2015年广东省中考数学压轴题妙解法(免费版)

2015年广东省中考数学压轴题妙解法

第25题：如图，在同一平面上两块斜边相等的直角三角板Rt ΔABC 和Rt ΔADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC=∠ADC=900，∠CAD=300， AB=BC=4cm.

（1） 填空：AD=‗‗‗‗‗‗‗‗(cm), DC=‗‗‗‗‗‗‗‗(cm).

(2 ) 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A →D ，C →B 方向运动，当N 点运动到B 点时，M ，N 两点同时停止运动，连结MN ，求当M ，N 点运动到x 秒时，点N 到AD 的距离（用含x 的式子表示）

（3）在（2）的条件下，取DC 中点P,，连结 MP ，NP ，设ΔPMN 的面积为y (cm 2)，在整个运动过程中，ΔPMN 的面积y 存在最大值，请求出y 的最大值. ( 参考数据 0

06262sin 75,sin1544

+-==

）

解：（1）()()26,22;AD cm DC cm ==

(2 ) 如图1，作NH ⊥AD 于H ，作NE ⊥DC 交DC 的延长线于E ，Rt ΔNCE 中，

00sin 75,sin15.NE x EC x =⋅=⋅四边形NHDE 是矩形，NE=ED.

∴0

62

sin15222 2.2NH x x -=+=+

(3) 解法1；构造梯形法

()

0011

sin 75sin15222PNE S NE PE x x ∆=

⋅=+

2131.

84x x +=+

.62x MD -= ∴()

1

2

22623.2

2PMD S x x ∆=

-=-

()()

.3422826121

2+-++-=⋅+=

x x ED MD NE S MNED 梯形

B

N

C

P

D

M

A

图1

E

H

B

N

C

P

D

M A

P M D P N E M N E D S S S y ∆∆--=∴梯形

()

x x x x x 22

32413812422826-122+-+--+-++=

2623227

2 3.

8

4x x --

-+=-

+

+

.

64-2430

-37210-66+=

∴最大值y

解法

2；构造相似三角形法 设NH 交PM 于S ，作SQ ‖MD 交PD 于Q ，△PSQ ∽△PMD,设PQ=m,

00sin 752sin 75,.

22626m x x m x x ⋅∴=∴=-- 00

2sin15sin15226x NS EQ x x ==++

-

111

222y NS MH NS HD NS MD

=⋅+⋅=⋅

(

)

012s i n 75

s i n 15226

226x x x x ⎛⎫=++- ⎪

⎪-⎝⎭

()()

001sin152262sin 752x x x ⎡

⎤

=

+-+⎣

⎦

262

3227

2 3.

8

4x x -

-

-+=-

+

+

说明：由于是动态问题，随着x 的值逐步增大，NH 运

动到与PM 无交点时（如图3所示）。将NH 平移至与MF 重合，仿以上步骤，利用△PSQ

∽△PNE 可求出PQ ,再求出MS 。利用1

,2

y MS NE =

⋅可求结果与上面一致，读者不仿试一试。

图2

E

H

B

N

C

P

D

M A

Q S

.

6

4-2430

-37210-66+=

∴最大值y S

图3

F E M

B

N

C P

D

H A

Q