南京外国语学校数学试题3
南京外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
【详解】解:由题意:点 M(1,﹣2)为切点,则 kOM
kl
1, kOM
2 0 1 0
2 ,
解得: kl
1 2
,
∴l 的方程: y (2) 1 (x 1) ,整理得: x 2y 5 0 ,
2
故选:B.
【点睛】本题考查圆的切线的几何意义,点斜式直线方程,两线垂直其斜率相乘等于 1,是基础题.
2a 2 4c2
16 400
,则
PF1 2
PF2
2 PF1
PF2
256,
则 PF1
PF2
400 256 72 , 2
所以
F1PF2 面积为
1 2
PF1
PF2 36 .
故选:C
8. 已 知 双 曲 线 x2 y2 a2 , 左 右 顶 点 为 A , B , 点 P 为 双 曲 线 右 支 上 一 点 , 设
A. a 2,b 5
B. a 2,b 5
C. a 2,b 5
D. a 2,b 5
【答案】B 【解析】 【分析】根据截距的定义进行求解.
【详解】 5x 2 y 10 0 中,令 x 0 ,解得 y 5 ,令 y 0 , x 2 ,
故 a 2,b 5 .
故选:B
2. 抛物线 y 2x2 的焦点坐标是( ).
________.
13. 已知圆 M : x2 ( y 2)2 1, Q 是 x 轴上动点, QA,QB 分别是圆 M 的切线,切点分别为 A, B 两点,
则直线 AB 恒过定点________.
14. 已知点 A,B 为圆 O : x2 y2 13 上两动点,且 | AB | 4 3 ,点 P 为直线 l : x y 5 2 0 上动点,
2024-—2025学年江苏省南京市玄武区南京外国语学校九年级(上)10月数学试卷+答案解析
2024-—2025学年江苏省南京市玄武区南京外国语学校九年级(上)10月数学试卷一、选择题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中,是关于x的一元二次方程是()A. B. C. D.2.一组数据5,6,6,x,7,8,9的平均数是7,则中位数是()A.6B.C.7D.83.某款手机上市时的售价为2000元,半年内经过两次降价后售价降到1620元,设平均每次降价的百分率为x,则下列方程正确的是()A. B.C. D.4.如图1,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图2,筒车与水面分别交于点A、B,筒车上均匀分布着若干盛水筒,P表示筒车的一个盛水筒,PC是的直径,连接PA、PB,点M在AB的延长线上,若,则()A. B. C. D.5.为了解全班学生的身高情况,王老师测量了班上在场学生的身高,经计算后发现男生的平均身高是170cm,女生的平均身高是160cm,当天有两名学生缺课.第二天这两名学生均到校上课,老师也测量了他们的身高.有趣的是,重新计算后全班男、女生的平均身高都不变.下列说法正确的是()A.全班学生的平均身高不变B.缺课的两名学生身高相同C.若缺课的两名学生都是男生,则身高都是170cmD.若缺课的学生是男、女生各一名,则男生身高170cm,女生身高160cm6.如图,在中,C是上一点,,过点C作弦CD交OB于E,若,则与满足的数量关系是()A. B. C. D.二、填空题:本题共10小题,每小题3分,共30分。
7.方程的解是__________.8.已知圆的直径为12cm,如果圆心与直线的距离是6cm,那么直线和圆的位置关系为__________填“相交”、“相切”或“相离”9.把方程配方后得到方程__________.10.如图,AB是的直径,AC与相切,A为切点,连接BC交于点已知,则的度数为__________.11.小明同学用计算一组数据方差,那么__________.12.数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出,则圆形工件的半径为__________.13.如图,圆内接四边形ABCD中,,连接,则的度数是__________.14.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若的周长为12,则直角梯形ABCE周长为__________.15.如图,有一块矩形菜地ABCD,,,面积为,现将边AB增加1m,边AD 增加2m,有且只有一个a的值,使得到的矩形面积为,则s的值是__________.16.已知的半径为4,是上两定点,点A是上一动点,且,的平分线交于点D,过点D作BC的平行线交AB的延长线于点下列说法中正确的是__________.①AD的最大值是8;②点D为BC上一定点;③的最大值是;④DF与相交;⑤若为锐角三角形,则三、计算题:本大题共1小题,共6分。
南京外国语学校2023年高二上学期10月月考数学试题含答案
南京外国语学校高二年级阶段性测验——《解析几何》班级________ 姓名________ 学号________注意事项:本试卷包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填写在答题卡相应位置上.1.圆221x y +=和228690x y x y +−++=的位置关系是()A.外离B.相交C.内切D.外切2.已知双曲线22133x y a −=+的离心率为2.则=a ( )A.2− B.1C.3− D.33.已知直线1l :210x ay −+=,2l :()10a x y a −−+=,则“2a =”是“12//l l ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点(),P x y 是阴影部分(包括边界)的动点,则2yx −的最小值为( )A.23−B.32−C.43−D.1−5.已知F 为抛物线2y x =的焦点,点,,A B C 在抛物线上,F 为ABC 的重心,则AF BF CF ++=( ) A.12B.1C.32D.26. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在C 上,且112PF F F ⊥,直线2PF 与C 交于另一点Q ,与y 轴交于点M ,若222MF F Q =,则C 的离心率为( )A.B.47C.D.7. 已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10x y C a b a b −=>>有相同的焦点1F 、2F ,椭圆1C 的离心率为1e ,双曲线2C 的离心率为2e ,点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的交点,且123F PF π∠=,则221213e e +的值为( )A.B. 2+C. 1D. 48. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λ(1λ≠)的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中,(4,1),(4,4)A B −−,若点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任意一点,点Q 为抛物线2:16C y x =上的动点,Q 在直线4x =−上的射影为R ,则||2||2||PB PQ QR ++的最小值为( )A.B.C.D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填写在答题卡相应位置上.全部选对得5分,部分选对得2分,不选或有选错的得0分.9. 下列说法中错误的是( ) A. 不过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示B. 若直线12l l ∥,则两直线的斜率相等C. 过两点()()111222,,,P x y P x y 直线都可用方程()()()()121121x x y y y y x x −−=−−表示D. 若两条直线中,一条直线的斜率存在,另一条直线的斜率不存在,则两条直线垂直 10. 已知曲线22:1C mx ny +=.有( ) A. 若0m n >>,则C 是焦点在y 轴上的椭圆 B. 若0m n =>,则C的圆C. 若0mn <,则C是双曲线,且渐近线的方程为y = D. 若0,0m n =>,则C 两条直线 11. 已知,A B 是抛物线2:6C y x =上的两动点,F 是抛物线的焦点,下列说法正确的是( ) A. 直线AB 过焦点F 时,以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B. 直线AB 过焦点F 时,AB 的最小值为6C. 若坐标原点为O ,且OA OB ⊥,则直线AB 过定点()3,0D. 与抛物线C 分别相切于,A B 两点的两条切线交于点N ,若直线AB 过定点3,02,则点N 在抛物线C 的准线上12. 设P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上动点,12,F F 分别为椭圆C 的左,右焦点,焦距为2c ,点I 到12PF F △三边的距离相等,椭圆的离心率为13,短轴长为 ) A. 点P 到椭圆C 的焦点的最大距离为4B. 若2120PF F F ⋅= ,则283PF =C. 12PF F △的面积的最大值为8D. 直线1IF 和直线2IF 的斜率之积是定值三、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱,底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体),发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为12,则“切面”所在平的是的面与底面所成锐二面角的大小为__________.14. 若动点(),M x y 到点()4,0F 的距离比它到直线30x +=的距离大1,则M 的轨迹方程是________.15. 已知双曲线方程为()2210x y m m m−=>,焦距为8,左、右焦点分别为1F ,2F ,点A 的坐标为()1,2,P 为双曲线右支上一动点,则1PF PA +的最小值为___________.16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,以线段12F F 为直径的圆交C 于,A B两点,其中点A 在第一象限,点B 在第三象限,若113AF BF ≤,则C 的离心率的取值范围是__________.四、解答题:本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.17. 已知ABC 的三个顶点是()()()1,2,1,4,4,5A B C −. (1)求BC 边的高所在直线1l 的方程;(2)若直线2l 过点C ,且点,A B 到直线2l 的距离相等,求直线2l 的方程. 18. 以两条坐标轴为对称轴的椭圆C过点)P和(0,Q ,直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,M为线段AB 的中点. (1)求椭圆C 的方程; (2)若点M 的坐标为21,33−,求直线l 的方程; 19. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>. (1)求双曲线C 方程;(2)直线:3l y kx =+与双曲线交于,M N两点,若MN =k 的值. 20. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心为C 的动圆过点()2,0,且在y 轴上截得的弦长为4,记C的轨迹的为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)已知()1,2A 及曲线E 上的两点B 和D ,直线BD 经过定点()3,2−,直线AB AD 、的斜率分别为12k k 、,求证:12k k +为定值.21. 如图,过点()1,0E 的直线与圆22:4O x y +=相交于AB 、两点,过点()2,0C 且与AB 垂直的直线与圆O 的另一交点为D .(1)求弦长AB 的最小值;(2)求四边形ACBD 面积S 的取值范围.22. 已知拋物线2:2(0)C y px p =>焦点为F ,过点F 且斜率为k 的直线l 交C 于,P Q 两点.当1k =时,16PQ =.(1)求C 的方程;(2)若P 关于x 轴的对称点为T ,当k 变化时,求证:直线TQ 过定点,并求该定点坐标.的南京外国语学校高二年级阶段性测验——《解析几何》班级________ 姓名________ 学号________注意事项:本试卷包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 圆221x y +=和228690x y x y +−++=的位置关系是( ) A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切【答案】D 【解析】【分析】由圆与圆的位置关系判断,【详解】圆221x y +=的圆心为(0,0),半径为1,圆228690x y x y +−++=可化为()()224316x y −++=,圆心为()4,3−,半径为4,14=+,故两圆外切, 故选:D2. 已知双曲线22133x y a −=+的离心率为2.则=a ( )A. 2−B. 1C. 3−D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用离心率求出24e =,再由6412a a ++即求.【详解】由22133x y a −=+,则b =, 因为26243a e e a +==+,,6412a a ++,解得2a =−, 故选:A.3. 已知直线1l :210x ay −+=,2l :()10a x y a −−+=,则“2a =”是“12//l l ”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】依题意,1l :210x ay −+=,2l :()10a x y a −−+=, 若两直线平行,则()()()211a a ×−=−×−, 解得1a =−或2a =.当1a =−时,1l :210x y ++=,2l :210,210x y x y −−−=++=, 此时两直线重合,不符合.当2a =时,1l :2210x y −+=,2l :20x y −+=,符合题意 所以“2a =”是“12//l l ”的充要条件. 故选:C4. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点(),P x y 是阴影部分(包括边界)的动点,则2yx −的最小值为( )A. 23−B. 32−C. 43−D. 1−【答案】C 【解析】【分析】转化为点(),P x y 与(2,0)连线的斜率,数形结合后由直线与圆的位置关系求解, 【详解】记()2,0A ,则2yk x =−为直线AP 的斜率, 故当直线AP 与半圆()()22110x y x +−=>相切时,得k 最小,.此时设():2AP y k x =−1,解得43k =−或0k =(舍去), 即min 43k =−. 故选:C5. 已知F 为抛物线2y x =的焦点,点,,A B C 在抛物线上,F 为ABC 的重心,则AF BF CF ++=( ) A.12B. 1C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】由抛物线方程确定焦点F 坐标,根据抛物线焦半径公式和重心的坐标表示可直接求得结果. 【详解】由抛物线方程知:1,04F;设()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y , 则()12312311134444AF BF CF x x x x x x ++=+++++=+++; F 为ABC 的重心,123134x x x ++∴=,则12334x x x ++=,333442AF BF CF ∴++=+=. 故选:C.6. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在C 上,且112PF F F ⊥,直线2PF 与C 交于另一点Q ,与y 轴交于点M ,若222MF F Q =,则C 的离心率为()A.B.47C.D.【答案】D 【解析】【分析】首先根据几何性质表示焦半径,再结合余弦定理求焦半径的长度,即可求解. 【详解】如图,因为1//OM PF ,所以点M 是2PF 的中点,连接1FQ ,由222MF F Q =,得224PF F Q =,设2F Q t =,则24PF t =,124PF a t =−,12QF a t =−.由余弦定理得2221111||2||cos QF PF PQ PF PQ F PQ =+−∠, 即22224(2)(24)(5)2(24)54a t a t a t t a t t t −−=−+−−××,整理得514t a =,则12F F =,故12222F F c e aa===.故选:D7. 已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10x y C a b a b −=>>有相同的焦点1F 、2F ,椭圆1C 的离心率为1e ,双曲线2C 的离心率为2e ,点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的交点,且123F PF π∠=,则221213e e +的值为( )A.B. 2+C. 1D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义,结合余弦定理即可求解.【详解】不妨设P 在第一象限,由椭圆和双曲线的定义可得:1211222,2PF PF a PF PF a +=−=,所以112212,PF a a PF a a =+=−, 在12PF F △中,由余弦定理可得()()()()222121212124πcos 32a a a a ca a a a ++−−=+−,化简得2221234a a c +=,所以22122234a a c c+=,即221213 =4e e +,故选:D8. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λ(1λ≠)的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中,(4,1),(4,4)A B −−,若点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任意一点,点Q 为抛物线2:16C y x =上的动点,Q 在直线4x =−上的射影为R ,则||2||2||PB PQ QR ++的最小值为( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出点P 的轨迹方程,再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得||2||2||2||2||2||PB PQ QR PA PQ QF ++=++,从而可得出答案.【详解】设(),P x y ,则12PA PB, 化简整理得()2244x y ++=,所以点P 的轨迹为以()4,0−为圆心2为半径的圆, 抛物线2:16C y x =的焦点()4,0F ,准线方程为4x =−, 则||2||2||2||2||2||PBPQ QR PA PQ QF ++=++()2||||||2PA PQ QF AF =++≥=,当且仅当,,,A P Q F (,P Q 两点在,A F 两点中间)四点共线时取等号,所以||2||2||PB PQ QR ++的最小值为.故选:D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填写在答题卡相应位置上.全部选对得5分,部分选对得2分,不选或有选错的得0分.9. 下列说法中错误的是( ) A. 不过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 B. 若直线12l l ∥,则两直线的斜率相等C. 过两点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可用方程()()()()121121x x y y y y x x −−=−−表示D. 若两条直线中,一条直线的斜率存在,另一条直线的斜率不存在,则两条直线垂直 【答案】ABD 【解析】【分析】根据对直线的截距式、两点式的理解即可判断AC ;根据两直线的位置关系即可判断BD. 【详解】A :直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线,故A 错误; B :1l 和2l 的斜率有可能不存在,故B 错误;C :选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果, 直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线, 但化为整式后就可以表示任意直线,故C 正确;D :直线斜率不存在,则直线垂直于x 轴;直线斜率存在,但不一定为0,所以两直线不一定垂直,故D 错误. 故选:ABD.10. 已知曲线22:1C mx ny +=.有( ) A. 若0m n >>,则C 是焦点在y 轴上的椭圆B. 若0m n =>,则C的圆C. 若0mn <,则C是双曲线,且渐近线的方程为y = D. 若0,0m n =>,则C 是两条直线 【答案】AD 【解析】【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】A 选项,若0m n >>,曲线C 的方程可化为22111x y m n+=, 则110m n<<,所以C 是焦点在y 轴上的椭圆,A 选项正确. B 选项,若0m n =>,曲线C 的方程可化为221x y n+=, 则C的圆,所以B 选项错误. C 选项,若0mn <,曲线C 的方程可化为22111x y m n+=,表示双曲线, 由220mx ny +=得22,m y x y n =−=,所以C 选项错误. D 选项,若0,0m n =>,曲线C的方程可化为21,y y n= 表示两条直线,所以D 选项正确. 故选:AD11. 已知,A B 是抛物线2:6C y x =上的两动点,F 是抛物线的焦点,下列说法正确的是( ) A. 直线AB 过焦点F 时,以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B. 直线AB 过焦点F 时,AB 的最小值为6C. 若坐标原点为O ,且OA OB ⊥,则直线AB 过定点()3,0D. 与抛物线C 分别相切于,A B 两点的两条切线交于点N ,若直线AB 过定点3,02,则点N 在抛物线C 的准线上【答案】ABD 【解析】【分析】对于A :根据抛物线的定义分析判断;对于B :设AB 方程为32x my =+,联立方程,根据抛物线的定义结合韦达定理分析求解;对于C :设AB 方程为x my a =+,设211,6y A y,222,6y B y ,联立方程,根据垂直关系可得1236y y =−,结合韦达定理分析求解;对于D :可知抛物线C 在点200,6y y处的切线方程为20036=−y y x y ,根据切线方程求交点坐标,结合选项B 分析判断.【详解】对于选项A :如图1,设AB 中点为M ,分别过点,,A B M 向准线作垂线,垂足为111,,A B M ,则由抛物线的定义可得,1AF AA =,1BF BB =. 因为AB 中点为M ,所以有111222AA BB AF BF ABMM ++===, 所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切,故A 正确; 对于选项B :由抛物线2:6C y x =,可得3,02F, 由题意可知直线AB 斜率不为0,设AB 方程为32x my =+,设()11,A x y ,()22,B x y , 联立直线与抛物线的方程2326x my y x=+= ,消去x 可得2690y my −−=,则()2263636360m m ∆=−+=+>恒成立。
南京外国语学校2023-2024学年高一上数学10月月考试卷(含答案)
和 q 均为真命题,则实数 m 的取值范围为( )
A. (2,3)
B. (,1] (2, )
C (, 2) [3, )
D. (, 2) (1, 2]
7. 方程 x2 ax 4 0 在区间3, 4 内有解,则实数 a 的取值范围是( )
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A. 2,5
B.
2,
13 3
C. 2,5
(1)若 x 1时, y 1且对 x 2,5 , y 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;
(2)若 x 1时, y 1且对 a 2, 1 , y 0 恒成立,求实数 x 的取值范围.
21. 某厂生产某种产品 年固定成本为 300 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C x .当年产量不足 90 千
x
2
y
2 x
1 y
4
4y x
x y
4
2
4y x 422 8, xy
当且仅当 4 y = x ,即 x 4, y 2 时取等号. xy
所以 x 2y 8 min
所以 m2 2m 8 ,即 m2 2m 8 0 ,
解得: 2 m 4 .
故选:C 【点睛】方法点睛:求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法
D.
13 3
,
5
8. 设正实数 x, y, z 满足 x2 3xy 4y2 z 0 ,则当 xy 取得最大值时, 2 1 1 的最大值为( )
z
xyz
9
A. 9
B. 2
C.
D. 3
4
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分.有选错的得 0 分.
江苏省南京市外国语学校2022-2023学年高一下学期五月月考数学试卷
2022-2023学年南京外国语学校高一五月月考试卷一.选择题(共8小题,每题5分,工40分)1.将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括()A.一个圆柱、一个圆锥B.一个圆台、一个圆锥C.两个圆锥D.两个圆柱2.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,直线AD1与直线DC1的夹角等于()A.B.C.D.3.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N,下列结论正确的是()A.MN∥平面ABE B.MN∥平面ADE C.MN∥平面BDH D.MN∥平面CDE 4.已知四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图为直角梯形A'B'C'D',如图所示,A'B'=1,A'D'=2,B'C'=3,A'B'⊥B'C',A'D'∥B'C',则四边形ABCD的周长为()A.B.C.D.5.Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是()A.5B.3C.3D.6.已知两个平面相互垂直,下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面其中不正确命题的个数()A.1B.2C.3D.47.在二面角α﹣l﹣β中,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥l,BD⊥l,若AB=1,AC=BD=2,CD=,则二面角α﹣l﹣β的余弦值为()A.B.﹣C.D.﹣8.蹴鞠,又名蹴球,筑球等,蹴有用脚踢、踏的含义,鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动,类似现在的足球运动.2006年5月20日,蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.3D 打印属于快速成形技术的一种,它是一种以数字模型为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术.过去常在模具制造、工业设如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等).已知某蹴鞠的表面上有四个点A.B.C.D,满足任意两点间的直线距离为6cm,现在利用3D打印技术制作模型,该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分,打印所用原材料的密度为1g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原材料的质量约为()【参考数据】π≈3.14,,,.A.101g B.182g C.519g D.731g二.多选题(共4小题,每题5分,共20分)9.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中错误的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β10.如图,点A,B,C,P,Q是正方体的顶点或所在棱的中点,则满足PQ∥平面ABC的有()A.B.C.D.11.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,P A⊥平面ABCD,P A=AB,点E 为P A的中点,则下列判断正确的是()A.PB与CD所成的角为60°B.BD⊥平面P ACC.PC∥平面BDE D.V B﹣CDE:V P﹣ABCD=1:412.如图圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,O1,O2为圆柱上下底面的圆心,O为球心,EF O1的一条直径,若球的半径r=2,则下列各选项正确的是()A.球与圆柱的体积之比为2:3B.四面体CDEF的体积的取值范围为C.平面DEF截得球的截面面积最小值为D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点,则PE+PF的取值范围为三.填空题(共4小题,每题5分,共20分)13.用半径为2的半圆面围成一个圆锥,则该圆锥的体积为.14.如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在底面ABCD 上移动,且满足B1P⊥D1E,则线段B1P的长度的最大值为.15.祖暅(公元5﹣6世纪),祖冲之之子,是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等;该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现,比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上,以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面,可以证明S圆=S环总成立.据此,b为6cm,a为8cm的椭球体的体积是cm3.16.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AA1=,设其外接球的球心为O,已知三棱锥O﹣ABC的体积为,则球O表面积的最小值为.四.解答题(共6小题,共70分)17.如图,AB是圆柱OO'的一条母线,BC过底面圆心O,D是圆O上一点.已知AB=BC =5,CD=3.(1)求该圆柱的表面积;(2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周,求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.18.已知平面α∩β=l,直线a∥α,且a∥β,求证:a∥l.19.如图①,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1木块中,E是CC1的中点.(1)要经过点A将该木块锯开,使截面平行于平面BD1E,在该木块的表面应该怎样画线?请在图①中作图,写出画法,并证明.(2)求四棱锥E﹣ABC1D1的体积;20.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1,D,E,F分别是BC,BB1,AA1的中点.(Ⅰ)求证:CF∥平面ADE;(Ⅱ)求证:BC1⊥平面ADE.21.如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?若不存在,说明理由,若存在请证明你的结论,并说明P的位置.22.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE 为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值;(3)若点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.2022-2023学年南京外国语学校高一五月月考试卷参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括()A.一个圆柱、一个圆锥B.一个圆台、一个圆锥C.两个圆锥D.两个圆柱【解答】解:一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周,所得几何体是两个底面重合的圆锥.故选:C.2.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,直线AD1与直线DC1的夹角等于()A.B.C.D.【解答】解:如图连接AB1,因为几何体是长方体,所以DC1∥AB1,直线AD1与直线DC1的夹角等于直线AD1与直线AB1的夹角,三角形AB1D1是正三角形,所以直线AD1与直线DC1的夹角为.故选:C.3.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N,下列结论正确的是()A.MN∥平面ABE B.MN∥平面ADE C.MN∥平面BDH D.MN∥平面CDE 【解答】解:连结BD,设O为BD的中点,连结OM,OH,AC,BH,MN,因为M,N是BC,GH的中点,所以OM∥CD,且OM=,NH∥CD,且NH=,所以OM∥NH且OM=NH,则四边形MNHO是平行四边形,所以OM∥NH,又MN⊄平面BDH,OH⊂平面BDH,所以MN∥平面BDH.故选:C.4.已知四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图为直角梯形A'B'C'D',如图所示,A'B'=1,A'D'=2,B'C'=3,A'B'⊥B'C',A'D'∥B'C',则四边形ABCD的周长为()A.B.C.D.【解答】解:由题意可知,如图所示,过点D作DH⊥BC,垂足为H,则四边形ABCD的高为,,故四边形ABCD的周长为.故选:A.5.Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是()A.5B.3C.3D.【解答】解:∵△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,∴AB==5,过C作CM⊥AB,交AB于M,连结PM,由三垂线定理得PM⊥AB,∴点P到斜边AB的距离为线段PM的长,由S△ABC=AC•BC=AB•CM,得CM===,PM===3.∴点P到斜边AB的距离为3.故选:B.6.已知两个平面相互垂直,下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面其中不正确命题的个数()A.1B.2C.3D.4【解答】解:两个平面相互垂直,①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的一条直线,进而垂直于另一个平面内的无数条直线,故①正确;②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线,不正确,只有该直线垂直于两个平面的交线,由面面垂直的性质定理可得该直线垂直于另一个平面内的任意一条直线,故②不正确;③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面,错误,只有该直线垂直于两个平面的交线,才有该直线垂直于另一个平面,故③错误;④若此点在交线上,那么作出来的线就不一定与另一平面垂直了,故④错误.故选:C.7.在二面角α﹣l﹣β中,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥l,BD⊥l,若AB=1,AC=BD=2,CD=,则二面角α﹣l﹣β的余弦值为()A.B.﹣C.D.﹣【解答】解:根据题意画出图形:在平面β内,过A作AE∥BD,过点D作DE∥l,交AE于点E,连接CE.∵BD⊥l,∴AE⊥l,∴ED⊥平面CAE.又AC⊥l,∴∠CAE或其补角是二面角α﹣l﹣β的平面角.由矩形ABDE得EA=2,ED=1.在Rt△CED中,由勾股定理得CE==2.∴△ACE是等边三角形,∴∠CAE=60°,∴cos∠CAE=.∴二面角α﹣l﹣β的余弦值为故选:A.8.蹴鞠,又名蹴球,筑球等,蹴有用脚踢、踏的含义,鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动,类似现在的足球运动.2006年5月20日,蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.3D 打印属于快速成形技术的一种,它是一种以数字模型为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,现正用于一些产品的直接制造,特别是一些高价值应用(比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等).已知某蹴鞠的表面上有四个点A.B.C.D,满足任意两点间的直线距离为6cm,现在利用3D打印技术制作模型,该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分,打印所用原材料的密度为1g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原材料的质量约为()【参考数据】π≈3.14,,,.A.101g B.182g C.519g D.731g【解答】解:由题意可知以A,B,C,D为顶点构成正四面体,设正四面体的棱长为a,取CD中点E,连结BE,过A作AF⊥BE,交BE于F,则BE==,BF==,正四面体的高为AF==,正四面体的外接球球心O在AF上,设球半径为R,则OB=OA=R,OF=,∵OB2=BF2+OF2,∴R2=+(﹣R)2,解得正四面体的外接球的半径为R=a,则3D打印的体积为V==,因为a=6,所以a3=216,所以V=27≈207.711﹣25.38≈182,故选:B.二.多选题(共4小题)9.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中错误的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β【解答】解:设l为直线,α,β是两个不同的平面,对于A,若l∥α,l∥β,则α与β相交或平行,故A错误;对于B,若l⊥α,l⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故B正确;对于C,若l⊥α,l∥β,则α与β相交,故C错误;对于D,若α⊥β,l∥α,则l与β相交、平行或l⊂β,故D错误.故选:ACD.10.如图,点A,B,C,P,Q是正方体的顶点或所在棱的中点,则满足PQ∥平面ABC的有()A.B.C.D.【解答】解:对于A,由PQ为上底面的面对角线,PQ与下底面过B的面对角线平行,所以PQ与平面ABC相交,故A错误;对于B,由中位线定理可得PQ∥AC,PQ⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,可得PQ∥平面ABC,故B错误;对于C,取中点D,连接DB,DQ,CP,可得截面为正六边形ABDQPC,即有PQ⊂平面ABC,故C错误;对于D,连接BD,设AB与PD的交点为H,连接CH,由中位线定理可得CH∥PQ,而PQ⊄平面ABC,CH⊂平面ABC,则PQ∥平面ABC,故D正确.故选:BD.11.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,P A⊥平面ABCD,P A=AB,点E 为P A的中点,则下列判断正确的是()A.PB与CD所成的角为60°B.BD⊥平面P ACC.PC∥平面BDE D.V B﹣CDE:V P﹣ABCD=1:4【解答】解:对于A,∵CD∥AB,∴∠PBA(或其补角)为PB与CD所成角,∵P A⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴P A⊥AB,在Rt△P AB中,P A=AB,∴∠P AB=45°,即PB与CD所成角为45°,故A错误;对于B,∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD,∵P A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴P A⊥BD,∵P A∩AC=A,P A、AC⊂平面P AC,∴BD⊥平面P AC,故B正确;对于C,连结AC,交BD于点F,则F为AC的中点,连结EF,∵E为P A的中点,∴EF∥PC,而EF⊂平面BDE,PC⊄平面BDE,∵PC∥平面BDE,故C对于D,设AB=P A=x,则•AB•AD•P A=x3,V B﹣CDE=V E﹣BCD=S△BCD•AE=•x2•x=.∴V B﹣CDE:V P﹣ABCD=:=1:4,故D正确.故选:BCD.12.如图圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,O1,O2为圆柱上下底面的圆心,O为球心,EF为底面圆O1的一条直径,若球的半径r=2,则下列各选项正确的是()A.球与圆柱的体积之比为2:3B.四面体CDEF的体积的取值范围为C.平面DEF截得球的截面面积最小值为D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点,则PE+PF的取值范围为【解答】解:球的半径为r=2,可知圆柱的底面半径r=2,圆柱的高为2r=4,则球的体积为,圆柱的体积为π×22×4=16π,则球与圆柱的体积之比为2:3,故A正确;由题可知四面体CDEF的体积等于,点E到平面DCO 1的距离d∈(0,4],又×4×4=8,∴=×8d∈(0,],故B正确;过O作OG⊥DO1于G,则由题可得OG=×=,设O到平面DEF的距离为d1,平面DEF截得球的截面圆的半径为r1,则d1≤OG,≥4﹣,∴平面DEF截得球的截面面积最小值为,故C错误;由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上,设P在底面的射影为P',则PP′=2,PE=,,P′E2+P′F2=16,设t=P'E2,则t∈[0,42],PE+PF=,可得=24+2∈[24+,48],∴PE+PF∈2+2,],故D正确.故选:ABD.三.填空题(共4小题)13.用半径为2的半圆面围成一个圆锥,则该圆锥的体积为.【解答】解:因为圆锥的母线长为2,设围成圆锥的底面半径为r,则2πr=2π,解得r=1,所以圆锥的高为h==,所以圆锥的体积为V=π×12×=.故答案为:.14.如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在底面ABCD 上移动,且满足B1P⊥D1E,则线段B1P的长度的最大值为3.【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设P(a,b,0),则D1(0,0,2),E(1,2,0),B1(2,2,2),=(a﹣2,b﹣2,﹣2),=(1,2,﹣2),∵B1P⊥D1E,∴=a﹣2+2(b﹣2)+4=0,∴a+2b﹣2=0,∴点P的轨迹是一条线段,当a=0时,b=1;当b=0时,a=2,设CD中点F,则点P在线段AF上,当A与P重合时,线段B1P的长度为:|AB1|==2;当P与F重合时,P(0,1,0),=(﹣2,﹣1,﹣2),线段B1P的长度||==3,当P在线段AF的中点时,P(1,,0),=(﹣1,﹣,﹣2),线段B1P的长度||==,设CD的中点为F,则点F在线段AF上,∴||2=(a﹣2)2+(b﹣2)2+4=(﹣2b)2+(b﹣2)2+4=5b2﹣4b+8(0≤b≤1),∴当b=时,||2取到最小值,当b=1时,||取到最大值9,∴线段B1P的长度的最大值为3.故答案为:3.15.祖暅(公元5﹣6世纪),祖冲之之子,是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等;该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现,比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上,以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面,可以证明S圆=S环总成立.据此,b为6cm,a为8cm的椭球体的体积是192πcm3.【解答】解:由题意知:b=6cm,a=8cm的椭球体的体积为:=192πcm3.故答案为:192π.16.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AA1=,设其外接球的球心为O,已知三棱锥O﹣ABC的体积为,则球O表面积的最小值为27π.【解答】解:设AB=a,BC=b,球的半径为r,连接AC1,A1C交于点O,取AC的中点D,连接BD,则O到三棱柱六个顶点的距离相等,即O是三棱柱外接球的球心,则OD=AA1=,又三棱锥O﹣ABC的体积为,即ab×=,得ab=12.则r==≥=,当且仅当a=b 时取等号,∴球O表面积的最小值为S=4πr2=27π,故答案为:27π.四.解答题(共6小题)17.如图,AB是圆柱OO'的一条母线,BC过底面圆心O,D是圆O上一点.已知AB=BC =5,CD=3.(1)求该圆柱的表面积;(2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周,求△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.【解答】解:(1)由题意知AB是圆柱OO′的一条母线,BC过底面圆心O,且AB=BC =5,可得圆柱的底面圆的半径为,则圆柱的底面积为,圆柱的侧面积为S2=2πRl==25π,所以圆柱的表面积为S=2S1+S2==;(2)△ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积是:分别以AC、AD为母线,BC,BD为底面圆半径的圆锥的体积之差,所以以△ACD绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为:.18.已知平面α∩β=l,直线a∥α,且a∥β,求证:a∥l.【解答】证明:过直线a作平面γ1,γ2使得α∩γ1=l1,β∩γ2=l2,∵a∥α,α∩γ1=l1,a⊂γ1,∴a∥l1,同理a∥l2,∴l1∥l2,又l1⊂α,l2⊂β,∴l1∥β,∴l1∥l,∴a∥l.19.如图①,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1木块中,E是CC1的中点.(1)要经过点A将该木块锯开,使截面平行于平面BD1E,在该木块的表面应该怎样画线?请在图①中作图,写出画法,并证明.(2)求四棱锥E﹣ABC1D1的体积;【解答】解:(1)取棱DD1的中点F,连接AF、CF、AC,则FC,F A,CA就是所求作的线.证明如下:在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,∵E是CC1的中点,F为DD1的中点,则EC∥D1F,且EC=D1F,于是得四边形CED1F是平行四边形,有D1E∥CF,而D1E⊂平面BD1E,CF⊄平面BD1E,因此CF∥平面BD1E.连接EF,可得EF∥CD∥AB,且EF=CD=AB,得四边形ABEF为平行四边形,则AF ∥BE,又BE⊂平面BD1E,AF⊄平面BD1E,于是有AF∥平面BD1E,而CF∩AF=F,CF,AF⊂平面AFC,从而得平面AFC∥平面BD1E.(2)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,连接CB1,交BC1于O,可得CO⊥平面ABC1D1,∵E是CC1的中点,∴E到平面ABC1D1的距离等于=,又四边形ABC1D1的面积S=,∴四棱锥E﹣ABC1D1的体积V=.20.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1,D,E,F分别是BC,BB1,AA1的中点.(Ⅰ)求证:CF∥平面ADE;(Ⅱ)求证:BC1⊥平面ADE.【解答】证明:(Ⅰ)设AE∩BF=O,连接OD,如图示:因为ABC﹣A1B1C1为正三棱柱,且AB=AA1,所以侧面A1ABB1为正方形,因为E,F分别是BB1,AA1的中点,所以O是BF的中点,又因为D是BC的中点,所以OD∥CF,因为OD⊂平面ADE,CF⊄平面ADE,所以CF∥平面ADE.(Ⅱ)因为△ABC为正三角形,所以AD⊥BC,又CC1⊥平面ABC,所以AD⊥CC1,所以AD⊥平面B1BCC1,所以BC1⊥AD,连接B1C,因为侧面B1BCC1为正方形,所以BC1⊥B1C,所以BC1⊥所以BC1⊥平面ADE.21.如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?若不存在,说明理由,若存在请证明你的结论,并说明P的位置.【解答】(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为半圆弧上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,BC⊂平面BMC,CM⊂平面BMC,所以DM⊥平面BMC.因为DM⊂平面AMD,∴平面AMD⊥平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连结AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连结OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.22.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE 为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值;(3)若点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.【解答】(1)证明:在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2,AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC,∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.(2)解:取FB中点G,连接AG,CG,∵AF==2,∴AB=AF,∴AG⊥FB,∵CF=CB=1,∴CG⊥FB,∴∠AGC=θ,∵BC=CF,∴FB=,∴CG=,AG=,∴cosθ==.(3)解:由(2)知:①当M与F重合时,cosθ=.②当M与E重合时,过B作BN∥CF,且使BN=CF,连接EN,FN,则平面MAB∩平面FCB,∵BC⊥CF,AC⊥CF,∴CF⊥平面ABC,∴BN⊥平面ABC,∴∠ABC=θ,∴θ=60°,∴cosθ=.③当M与E,F=λ,0<λ<,延长AM交CF的延长线于N,连接BN,∴N在平面MAB与平面FCB的交线上,∵B在平面MAB与平面FCB的交线上,∴平面MAB∩平面FCB=BN,过C作CH⊥NB交NB于H,连接AH,由(1)知,AC⊥BC,又∵AC⊥CN,∴AC⊥平面NCB,∴AC⊥NB,又∵CH⊥NB,AC∩CH=C,∴NB⊥平面ACH,∴AH⊥NB,∴∠AHC=θ,在△NAC中,NC=,从而在△NCB中,CH=,∵∠ACH=90°,∴AH==,∴cosθ==,∵0,∴,综上所述,cosθ∈[,].。
2023-2024学年江苏省南京市南京外国语学校仙林分校七年级(下)3月月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年江苏省南京市南京外国语学校仙林分校七年级(下)3月月考数学试卷一、选择题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算中,正确的是()A. B. C. D.2.如图,,,,,垂足分别为点D、点E、点F,中AC 边上的高是()A.CFB.BEC.ADD.CD3.如图,,,则的度数为()A. B. C. D.4.对于命题“若,则,”,下列能说明该命题是假命题的反例是()A.,B.,C.,D.,5.给出下列4个命题:①内错角相等;②在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相垂直;③垂线段最短;④三角形的一个外角大于任何一个内角.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.46.在中,、的平分线交于点O,的平分线所在直线与的平分线相交于点D,与的平分线相交于点E,则下列结论一定正确的是()①;②;③;④A.①②④B.①②③C.①②D.①②③④二、填空题:本题共10小题,每小题3分,共30分。
7.如图,已知,,则__________8.芝麻作为食品和药物,均被广泛使用,经测算一粒芝麻的质量约为,用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为_______9.若有成立,则x应满足条件____.10.若,,则_____.11.如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍,那么这个多边形是_____边形.12.计算_____.13.如图,将沿BC方向平移6cm得到,若,则BC的长为________.14.如图,已知AD为的中线,,的周长为20cm,则的周长为_____15.如图,五边形ABCDE的两个外角的平分线交于点若,则_____.16.如图,在中,,,D是AB上一点,将沿CD翻折后得到,边CE交AB于点F,若中有两个角相等,则_____.三、计算题:本大题共2小题,共12分。
17.计算:;;;18.已知,求的值:的值.四、解答题:本题共7小题,共56分。
江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1.若函数2231()(69)mm f x m m x -+=-+是幂函数且为奇函数,则m 的值为A .2B .3C .4D .2或42.已知{}2,|A y y x x ==∈R ,{}2|,R B y y x x ==∈,则A B =I ( )A .{}0,2B .{}(0,0),(2,2)C .[)0,∞+D .[]0,23.定义两种运算:a b a b ⊕⊗2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为( )A .奇函数B .偶函数C .奇函数且为偶函数D .非奇函数且非偶函数4.设,a b c n N >>∈,且11n a b b c a c+≥---恒成立,则n 的最大值为( ) A .2B .3C .4D .55.若函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧->=⎨--<⎩,若()()f a f a <-,则实数a 的取值范围是( )A .(1,0)(0,1)-UB .(,1)(0,1)-∞-⋃C .(1,0)(1,)-⋃+∞D .,1(),)1(-∞-⋃+∞6.已知()f x 为偶函数,它在[)0,∞+上是减函数,若有()()lg 1f x f >,则x 的取值范围是( ) A .1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B .()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C .1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭D .()()0,110,⋃+∞7.已知函数3()log (31)2x f x kx =++是偶函数,则实数k 的值为( ) A .12-B .13-C .14-D .15-8.已知函数())21f x ln x =-,则()133f lg f lg ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=( )A .1-B .0C .2D .2-二、多选题9.下列说法正确的是( )A .定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >,则函数()f x 是R 上的增函数B .定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >,则函数()f x 是R 上不是减函数C .定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是增函数,在区间[)0,∞+上也是增函数,则函数()f x 在R 上是增函数D .定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是增函数,在区间(0,)+∞上也是增函数,则函数()f x 在R 上是增函数10.有下列四种说法,正确的说法有( )A .幂函数的图象一定不过第四象限;B .奇函数图象一定过坐标原点;C .命题“x ∀∈R ,210x x ++>”的否定是“x ∃∈R ,210x x ++≤”D .定义在R 上的函数()y f x =对任意两个不等实数a 、b ,总有()()0f a f b a b->-成立,则()y f x =在R 上是增函数 11.某同学在研究函数()()1xf x x x=∈+R 时,分别给出下面几个结论,则正确的结论有( ) A .等式()()0f x f x -+=对x ∈R 恒成立; B .若12()()f x f x ≠,则一定有12x x ≠;C .若0m >,方程()f x m =有两个不等实数根;D .函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点.12.已知函数()21xf x =-,当a b c <<时,有()()()f a f c f b >>.给出以下命题,则正确命题的有( )A .0a c +<B .0b c +<C .222a c +>D .222b c +>三、填空题13.已知函数4()24xxf x =+,则(2023)(2024)f f -+=. 14.已知实数0x y >>,且111216x y +=+-,则x y -的最小值是.15.已知函数()f x 满足:对任意非零实数x ,均有(2)()(1)2f f x f x x=⋅+-,则()f x 在(0,)+∞上的最小值为. 16.函数1()lg(9)x x f x a a k -=+-的定义域为R (常数0a >,1a ≠),则实数k 的取值范围是.四、解答题17.(1)计算:21ln 233lg25lg2lg50(lg2)0.125e --++++; (2)已知2363412x y ==,求32x y+的值.18.(1)设a ,b ,c ,d 为实数,求证:2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++;(2)已知,a b ∈R ,求证:216536163aa b b +≤-++.19.已知奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,且当(0,1)x ∈时,()2x f x =. (1)证明:(4)()f x f x +=; (2)求12(log 18)f 的值.20.已知正数a ,b 满足2a b ab +=. (1)求a b +的最小值; (2)求2821a ba b +--的最小值. 21.定义在R 上的函数()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且2()()23f x g x x x +=--. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式;(2)求函数()()f x g x +在区间[]0,a 上的最小值.22.已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞,且()()()f xy f x f y =+.当(0,1)x ∈时,()0f x <. (1)求(1)f ;(2)证明:函数()y f x =在(0,)+∞为增函数; (3)如果112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解不等式1()()32f x f x -≥-.。
江苏省南京市南京外国语学校2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试题
江苏省南京市南京外国语学校2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试题一、单选题1.如图,点B E C F ,,,在同一条直线上,AC 与DE 相交于点M ,ABC DEF ≌△△,下列结论不正确的是( )A .A D ∠=∠B .AB DE ∥C .EM EC =D .BE CF = 2.如图,在ΔABC 中,D 、E 分别足边AC 、BC 上的点,BD 是ΔABC 的一条角平分线.再添加一个条件仍不能证明ADB EDB ∆∆≌的是( )A .DAB DEB ∠=∠B .AB EB =C .ADB EDB∠=∠ D .AD ED = 3.如图,在33⨯的网格中,每一个小正方形的边长都是1,点A ,B ,C ,D 都在格点上,连接AC ,BD 相交于P ,那么APB ∠的大小是( )A .80︒B .60︒C .45︒D .30︒4.如图,已知长方形ABCD 的边长AB=20cm ,BC=16cm ,点E 在边AB 上,AE=6cm ,如果点P 从点B 出发在线段BC 上以2cm/s 的速度向点C 向运动,同时,点Q 在线段CD 上从点C 到点D 运动.则当时间t 为( )s 时,能够使△BPE 与△CQP 全等.A .1B .1或4C .1或2D .35.如图,ABC V 中,D 为BC 的中点,点E 为BA 延长线上一点,⊥DF DE 交射线AC 于点F ,连接EF ,则BE CF +与EF 的大小关系为( )A .BE CF EF +<B .BE CF EF +=C .BE CF EF +>D .以上都有可能 6.如图,在ABC V 中,以,AB AC 为腰作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ,连接,EF AD 为BC 边上的高线,延长DA 交EF 于点N ,下列结论①EAN ABC ∠=∠;②EAN BAD V V ≌;③AEF ABC S S =V V ;④EN FN =,其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题7.如图,某人将一块三角形玻璃打碎成三块,带第块(填序号)能到玻璃店配一块完全一样的玻璃,用到的数学道理是.8.如图,在ABC V 中,90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ,且C D B E =,则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是.9.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,BE 是AC 边上的高,且AD 、BE 的交于点F ,若BF =AC ,CD =6,BD =8,则线段AF 的长度为.10.如图,四边形ABCD 中,AC BC =,90ACB ADC ∠=∠=︒,10CD =,则BCD ∆的面积为.11.如图所示,在ΔABC 中, AD 平分∠BAC ,点E 在DA 的延长线上,且EF ⊥BC ,且交BC 延长线于点F ,H 为DC 上的一点,且BH =EF , AH =DF , AB =DE ,若∠DAC +n ∠ACB=90°,则n =.12.如图所示,AD 为ABC V 中线,D 为BC 中点,AE AB =,AF AC =,连接EF ,2EF AD =.若AEF △的面积为3,则ADC △的面积为.13.如图,90C CAM ∠=∠=︒,8AC =,4BC =,P 、Q 两点分别在线段AC 和射线AM 上运动,且PQ AB =.若ABC V 与PQA △全等,则AP 的长度为.14.如图,ABE V ,BCD △均为等边三角形,点A ,B ,C 在同一条直线上,连接AD ,EC ,AD 与EB 相交于点M ,BD 与EC 相交于点N ,连接BF ,下列结论正确的有. ①AD EC =;②BM BN =;③MN AC ∥;④EM MB =;⑤FB 平分AFC ∠15.如图,在同一平面内,直线l 同侧有三个正方形A ,B ,C ,若A ,C 的面积分别为16和9,则阴影部分的总面积为.16.如图,等边三角形△ABC 的边长为6,l 是AC 边上的高BF 所在的直线,点D 为直线l 上的一动点,连接AD ,并将AD 绕点A 逆时针旋转60°至AE ,连接EF ,则EF 的最小值为.三、解答题17.如图,点E 在△ABC 外部,点D 在边BC 上,DE 交AC 于点F ,若123∠=∠=∠,AB AD =.(1)求证:ABC ADE △△≌;(2)若50ADB ∠=︒,15DAC ∠=︒,求∠E 的度数.18.如图,已知线段a ,b ,1∠,用直尺和圆规求作ABC V ,使得ABC V 的两边分别为a ,b ,一内角等于1∠.19.【问题背景】如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,ABC ∠和BAC ∠的平分线BE 和AD 相交于点 G .【问题探究】(1)AGB ∠的度数为︒;(2)过G 作GF AD ⊥交BC 的延长线于点 F ,交AC 于点 H ,判断AB 与FB 的数量关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若106AD FG ==,,求GH 的长.20.(1)如图,在四边形ABCD 中,AB AD =,180B D ∠+∠=︒,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且12EAF BAD ∠=∠.求证:EF BE FD =+;(2)如图,在四边形ABCD 中,AB AD =,180B ADC ∠+∠=︒,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,且12EAF BAD ∠=∠.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.。
2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一(下)期中数学试卷一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1.复数1+11+i在复平面内对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限2.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AO →=2AE →,则BE →=( )A .−34AB →+14AD →B .14AB →+34AD →C .−14AB →+34AD →D .34AB →+14AD →3.复数z =√2−√2i 的三角形式是( ) A .2(cos π4+isin π4) B .2(cos3π4+isin 3π4) C .2(cos 7π4+isin 7π4)D .2(cos 5π4+isin 5π4)4.已知α,β∈(0,π2),且sin (α+β)+sin (α﹣β)=sin2β,则( ) A .α+β=π2B .α+2β=πC .α=2βD .α=β5.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus ,大约公元前417年一公元前369年)通过下图来构造无理数√2,√3,√5,⋯,记∠BAC =α,∠DAC =β,则cos (α+2β)=( )A .√2−46B .√33−√66C .√33+√66D .√2+466.已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =√3,b 2+c 2﹣bc =3,则△ABC 面积的取值范围是( ) A .(√32,3√34] B .(√32,3√34) C .(√34,3√34) D .(√34,3√34] 7.设a =12cos7°−√32sin7°,b =2tan12°1+tan 212°,c =√1−cos44°2,则有( ) A .c <a <bB .a <b <cC .a <c <bD .b <c <a8.△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若三角形中cos A =13,S =4√2,且sin (A ﹣B )=2sin B (1﹣2cos A ),则c =( )A .3B .32C .2D .4二、多项选择题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,不选或有选错的得0分) 9.设z 1,z 2为复数,则下列四个结论中正确的是( ) A .|z 1﹣z 2|2=(z 1+z 2)2﹣4z 1z 2 B .z 1−z 1是纯虚数或零C .|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|恒成立D .存在复数z 1,z 2,使得|z 1z 2|<|z 1||z 2|10.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,下列说法正确的是( ) A .若a cosA=b sinB,则A =π4B .若sin2A =sin2B ,则此三角形为等腰三角形C .若a =1,b =2,A =30°,则解此三角形必有两解D .若△ABC 是锐角三角形,则sin A +sin B >cos A +cos B11.已知函数f(x)=2√3sinxcosx −cos2x ,则下列说法正确的是( ) A .f (x )的最小正周期是πB .若f (x +θ)为奇函数,则θ的一个可取值是π4C .f (x )的一条对称轴可以是直线x =π3 D .f (x )在[0,π4]上的最大值是112.已知A (cos α,sin α),B (cos β,sin β),M (cos γ,sin γ)是单位圆上的三点,满足0<α<π2<β<π,0<γ<2π,且OM →=λ(OA →+OB →),其中λ为非零常数,则下列结论一定正确的有( ) A .若λ=√22,则β=α+π2 B .若λ=1,则β=α+2π3C .|sinγ|=|sin α+β2|D .sinγ=sinα+sinβ2三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13.设复数z 满足z 2=√3+i ,则z 的模为 .14.已知α是第二象限角,且sin(α+π6)=13,则sin(2α+π3)= .15.已知向量a →=(13m ,2),b →=(2,3m ),若a →与b →共线且方向相反,则|2a →+b →|= .16.在△ABC 中,AB =8,AC =6,∠A =60°,M 为△ABC 的外心,若AM →=λAB →+μAC →,λ,μ∈R ,则4λ+3μ= .四、解答题:本大题共6小题,共70分,请把答案填写在答题卡相应位置上17.(10分)(1)已知tan(π4+α)=12,求sin2α−cos 2α1+cos2α的值.(2)求sin40°(tan10°−√3)的值.18.(10分)已知向量a →=(−1,2),b →=(m ,−4). (1)若(a →+b →)⊥(−2a →),求m 的值; (2)若a →与b →的夹角为钝角,求m 的取值范围. 19.(10分)已知z 是复数,z +i 和z 1−i都是实数,(1)求复数z ;(2)设关于x 的方程x 2+x (1+z )﹣(3m ﹣1)i =0有实根,求纯虚数m . 20.(10分)复数z 1=2sin θ−√3i ,z 2=1+(2cos θ)i ,i 为虚数单位,θ∈[π3,π2].(1)若z 1•z 2是实数,求cos2θ的值;(2)若复数z 1、z 2对应的向量分别是a →、b →,存在θ使等式(λa →−b →)•(a →−λb →)=0成立,求实数λ的取值范围.21.(15分)如图所示,某镇有一块空地△OAB ,其中OA =3km ,OB =3√3km ,∠AOB =90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖△OMN ,其中M ,N 都在边A ,B 上,且∠MON =30°,挖出的泥土堆放在△OAM 地带上形成假山,剩下的△OBN 地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在△OAN 的一周安装防护网. (1)当AM =32km 时,求防护网的总长度;(2)若要求挖人工湖用地△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的√3倍,试确定∠AOM 的大小; (3)为节省投入资金,人工湖△OMN 的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使△OMN 的面积最小?最小面积是多少?22.(15分)如图,设△ABC 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,AD 为BC 边上的中线,已知c =1且2c sin A cos B =a sin A ﹣b sin B +14b sin C ,cos ∠BAD =√217.(1)求b 边的长度; (2)求△ABC 的面积;(3)设点E ,F 分别为边AB ,AC 上的动点(含端点),线段EF 交AD 于G ,且△AEF 的面积为△ABC 面积的16,求AG →⋅EF →的取值范围.2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1.复数1+11+i 在复平面内对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限解:∵1+11+i =1+1−i (1+i)(1−i)=1+1−i 2=32−12i , ∴1+11+i 在复平面内对应的点为(32,−12),在第四象限. 故选:D .2.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AO →=2AE →,则BE →=( )A .−34AB →+14AD →B .14AB →+34AD →C .−14AB →+34AD →D .34AB →+14AD →解:∵AO →=2AE →,∴AE →=12AO →=14AC →,∴BE →=BA →+AE →=−AB →+14AC →=−AB →+14(AB →+AD →)=−34AB →+14AD →. 故选:A .3.复数z =√2−√2i 的三角形式是( ) A .2(cos π4+isin π4) B .2(cos 3π4+isin 3π4) C .2(cos 7π4+isin 7π4) D .2(cos 5π4+isin 5π4)解:z =√2−√2i =2(√22−√22i )=2(cos 7π4+isin 7π4), 故选:C .4.已知α,β∈(0,π2),且sin (α+β)+sin (α﹣β)=sin2β,则( ) A .α+β=π2B .α+2β=πC .α=2βD .α=β解:因为sin (α+β)+sin (α﹣β)=2sin αcos β=sin2β=2sin βcos β,所以2sin αcos β=2sin βcos β, 又因为α,β∈(0,π2),cos β≠0, 所以sin α=sin β, 故α=β. 故选:D .5.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus ,大约公元前417年一公元前369年)通过下图来构造无理数√2,√3,√5,⋯,记∠BAC =α,∠DAC =β,则cos (α+2β)=( )A .√2−46B .√33−√66C .√33+√66D .√2+46解:由图可知cosα=√22,sinα=√22,cosβ=√2√3=√63,sinβ=1√3=√33, 则sin2β=2sinβcosβ=2×√33×√63=2√23,cos2β=2cos 2β−1=2(√63)2−1=13, 所以cos(α+2β)=cosαcos2β−sinαsin2β=√22×13−√22×2√23=√2−46. 故选:A .6.已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =√3,b 2+c 2﹣bc =3,则△ABC 面积的取值范围是( ) A .(√32,3√34] B .(√32,3√34) C .(√34,3√34) D .(√34,3√34] 解:由于a =√3,b 2+c 2﹣bc =3,则cosA =b 2+c 2−a 22bc=12, 由于A ∈(0,π), 所以A =π3. 故外接圆的半径为R =12√3√32=1. 所以S △ABC =12bcsinA =√34⋅2sinB ⋅2sin(2π3−B)=√32sin(2B −π6)+√34, 由于0<B <π2,由于△ABC 为锐角三角形,所以π6<B <π2所以π6<2B −π6≤5π6,故:√32<√32sin(2B −π6)+√34≤3√34即√32<S △ABC ≤3√34. 故选:A .7.设a =12cos7°−√32sin7°,b =2tan12°1+tan 212°,c =√1−cos44°2,则有( ) A .c <a <bB .a <b <cC .a <c <bD .b <c <a解:∵a =12cos7°−√32sin7°=sin (30°﹣7°)=sin23°, b =2tan12°1+tan 212°=sin24°,c =√1−cos44°2=sin22°, ∵正弦函数在(0°,90°)是单调递增的, 则sin24°>sin23°>sin22°, 即b >a >c . 故选:A .8.△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若三角形中cos A =13,S =4√2,且sin (A ﹣B )=2sin B (1﹣2cos A ),则c =( ) A .3B .32C .2D .4解:∵cos A =13,且A ∈(0,π), ∴sin A =√1−cos 2A =2√23, ∵sin (A ﹣B )=2sin B (1﹣2cos A ),∴sin A cos B ﹣cos A sin B =2sin B ﹣4sin B cos A ,即sin A cos B =2sin B ﹣3sin B cos A , ∴2√23cos B =2sin B ﹣3×13sin B =sin B , ∴tan B =2√23, ∵B ∈(0,π),∴sin B =2√217,cos B =317, ∴sin C =sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B =2√23×1713×√217=√2317,由正弦定理知,bsinB=c sinC,∴2√2√17=8√23√17,即b =34c ,∵S =12bc •sin A =12•34c •c •2√23=4√2,∴c =4. 故选:D .二、多项选择题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,不选或有选错的得0分) 9.设z 1,z 2为复数,则下列四个结论中正确的是( ) A .|z 1﹣z 2|2=(z 1+z 2)2﹣4z 1z 2 B .z 1−z 1是纯虚数或零C .|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|恒成立D .存在复数z 1,z 2,使得|z 1z 2|<|z 1||z 2|解:对于A ,设z 1=i ,z 2=﹣i ,则|z 1﹣z 2|2=4,(z 1+z 2)2﹣4z 1z 2=z 12−2z 1z 2+z 22=−4,所以A 错误.对于B ,设z 1=a +bi ,a ,b ∈R ,则z 1−z 1=2bi ,当b =0时,z 1−z 1是0,当b ≠0时,z 1−z 1是纯虚数,所以B 正确.对于C ,由z 1确定向量OZ 1→,z 2确定向量OZ 2→,结合向量不等式可得|OZ 1→+OZ 2→|≤|OZ 1→|+|OZ 2→|,即|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|恒成立,所以C 正确.对于D ,z 1=a +bi ,a ,b ∈R ,z 2=c +di ,c ,d ∈R ,∵z 1z 2=(a +bi )(c +di )=ac ﹣bd +(ad +bc )i , ∴|z 1z 2|=√(ac −bd)2+(ad +bc)2=√(a 2+b 2)(c 2+d 2),∴|z 1|=√a 2+b 2,|z 2|=√c 2+d 2, ∴|z 1•z 2|=|z 1|•|z 2|,所以D 错误. 故选:BC .10.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,下列说法正确的是( ) A .若a cosA=b sinB,则A =π4B .若sin2A =sin2B ,则此三角形为等腰三角形C .若a =1,b =2,A =30°,则解此三角形必有两解D .若△ABC 是锐角三角形,则sin A +sin B >cos A +cos B 解:A 中,由a cosA=b sinB,由正弦定理可得asinA=b sinB,可得sin A =cos A ,在三角形中,可得A =π4,所以A 正确;B 中,由sin2A =sin2B ,可得2A =2B 或2A +2B =π,所以A =B 或A +B =π2,所以三角形为等腰三角形或直角三角形,所以B 不正确;C 中,若a =1,b =2,A =30°,则b sin A =1=a ,所以只有一个解,所以C 不正确;D 中,锐角三角形ABC 中,可得A +B >π2,可得π2>A >π2−B >0,可得sin A >sin (π2−B )=cos B ,同理可得sin B >cos A ,所以sin A +sin B >cos A +cos B ,所以D 正确;故选:AD .11.已知函数f(x)=2√3sinxcosx −cos2x ,则下列说法正确的是( ) A .f (x )的最小正周期是πB .若f (x +θ)为奇函数,则θ的一个可取值是π4C .f (x )的一条对称轴可以是直线x =π3 D .f (x )在[0,π4]上的最大值是1解:函数f(x)=2√3sinxcosx −cos2x =√3sin2x ﹣cos2x =2sin (2x −π6), 可得f (x )的最小正周期为T =2π2=π,故A 正确; 若f (x +θ)=2sin (2x +2θ−π6)为奇函数,则2θ−π6=k π(k ∈Z ), 解得θ=kπ2+π12(k ∈Z ),若θ=π4,则k =13∉Z ,故B 错误; 由f (π3)=2sin (2π3−π6)=2为最大值,故C 正确;当x ∈[0,π4],可得2x −π6∈[−π6,π3],则2sin (2x −π6)∈[﹣1,√3],故D 错误. 故选:AC .12.已知A (cos α,sin α),B (cos β,sin β),M (cos γ,sin γ)是单位圆上的三点,满足0<α<π2<β<π,0<γ<2π,且OM →=λ(OA →+OB →),其中λ为非零常数,则下列结论一定正确的有( ) A .若λ=√22,则β=α+π2 B .若λ=1,则β=α+2π3C .|sinγ|=|sin α+β2|D .sinγ=sinα+sinβ2解:因为OM →=λ(OA →+OB →),所以OM →2=λ2(OA →2+2OA →⋅OB →+OB →2), 所以1=λ2[1+2(cos αcos β+sin αsin β)+1],即cos(β−α)=12λ2−1,若λ=√22,则cos (β﹣α)=0,因为0<α<π<β<π,所以β﹣α=π,即β=α+π,故A 正确;若λ=1,则cos(β−α)=−12,因为0<α<π2<β<π,所以β﹣α=2π3,即β=α+23π,故B 正确;由OM →=λ(OA →+OB →),得OM →⋅OA →=λ(1+OA →⋅OB →),OM →⋅OB →=λ(1+OA →⋅OB →), 所以OM →⋅OA →=OM →⋅OB →,所以cos αcos γ+sin αsin γ=cos βcos γ+sin βsin γ,即cos (α﹣γ)=cos (β﹣γ), 因为0<α<π2<β<π,0<γ<2π,所以(α﹣γ)+(β﹣γ)=0或﹣2π,即γ=α+β2或π+α+β2,所以选项C 正确,D 不一定正确. 故选:ABC .三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13.设复数z 满足z 2=√3+i ,则z 的模为 √2 . 解:设z =a +bi ,则z 2=a 2−b 2+2abi =√3+i , 即{a 2−b 2=√32ab =1,解得{a 2=1+√32b 2=1−√32, 故|z|=√a 2+b 2=√2. 故答案为:√2.14.已知α是第二象限角,且sin(α+π6)=13,则sin(2α+π3)= −4√29 . 解:∵α是第二象限角,∴π2+2kπ<α<π+2kπ(k ∈Z),∴2π3+2kπ<α+π6<7π6+2kπ(k ∈Z),∴cos(α+π6)=−√1−sin 2(α+π6)=−2√23,∴sin(2α+π3)=2sin(α+π6)cos(α+π6)=2×13×(−2√23)=−4√29. 故答案为:−4√29.15.已知向量a →=(13m ,2),b →=(2,3m ),若a →与b →共线且方向相反,则|2a →+b →|=2√103.解:向量a →=(13m ,2),b →=(2,3m ),a →与b →共线且方向相反,则13m ⋅3m =2×2,解得m =﹣2或2(舍去),故a →=(−23,2),b →=(2,−6),所以2a →+b →=(23,−2),即|2a →+b →|=√(23)2+(−2)2=2√103. 故答案为:2√103. 16.在△ABC 中,AB =8,AC =6,∠A =60°,M 为△ABC 的外心,若AM →=λAB →+μAC →,λ,μ∈R ,则4λ+3μ=73.解:由题意得AB →⋅AC →=8×6×cos60°=24, 因为M 为△ABC 的外心,过M 作MD ⊥AB ,ME ⊥AC ,则D ,E 分别为AB ,AC 的中点, 因为AM →=λAB →+μAC →,所以AM →⋅AB →=(λAB →+μAC →)⋅AB →=λAB →2+μAB →⋅AC →=64λ+24μ, 又AM →⋅AB →=(AD →+DM →)•AB →=AD →⋅AB →+DM →⋅AB →=12AB 2=32, 所以64λ+24μ=32①,同理AM →⋅AC →=12AC 2=18,AM →⋅AC →=λAB →⋅AC →+μAC →2=24λ+36μ,故24λ+36μ=32②,①②联立可得λ=512,μ=29, 所以4×512+3×29=73. 故答案为:73.四、解答题:本大题共6小题,共70分,请把答案填写在答题卡相应位置上17.(10分)(1)已知tan(π4+α)=12,求sin2α−cos 2α1+cos2α的值.(2)求sin40°(tan10°−√3)的值.解:(1)由tan (π4+α)=1+tanα1−tanα=12可得tan α=−13,又sin2α−(cosα)21+cos2α=2sinαcosα−(cosα)22(cosα)2=2sinα−cosα2cosα=tan α−12,所以sin2α−cos 2α1+cos2α=−13−12=−56;(2)原式=sin40°(sin100−√3cos100cos100)=sin40°(−2sin500cos100)=−2sin400cos400cos100=−sin80cso100=−1. 18.(10分)已知向量a →=(−1,2),b →=(m ,−4). (1)若(a →+b →)⊥(−2a →),求m 的值; (2)若a →与b →的夹角为钝角,求m 的取值范围. 解:(1)∵a →=(−1,2),b →=(m ,−4), ∴a →+b →=(m −1,−2),−2a →=(2,−4), ∵(a →+b →)⊥(−2a →),∴2(m ﹣1)+(﹣2)×(﹣4)=0,解得m =﹣3. (2)∵a →与b →的夹角为钝角,∴a →⋅b →<0,即﹣m ﹣8<0,解得m >﹣8,当a →与b →共线时,2m =4,解得m =2,此时a →与b →反向,不满足题意, 综上所述,m 的取值范围为(﹣8,2)∪(2,+∞). 19.(10分)已知z 是复数,z +i 和z 1−i都是实数,(1)求复数z ;(2)设关于x 的方程x 2+x (1+z )﹣(3m ﹣1)i =0有实根,求纯虚数m . 解:(1)设z =a +bi ,a ,b ∈R ,则z +i =a +(b +1)i ∵z +i 为实数∴b =﹣1z 1−i=a+bi 1−i=a−i 1−i=(a−i)(1+i)(1−i)(1+i)=a+1+(a−1)i2∵z 1−i为实数∴a =1则z =1﹣i(2)设纯虚数m =ci ,c ∈R ,则x 2+x (2﹣i )﹣(3ci ﹣1)i =0有实根 即x 2+2x +3c +(1﹣x )i =0 ∴x =1,c =﹣1 ∴纯虚数m 为﹣i20.(10分)复数z 1=2sin θ−√3i ,z 2=1+(2cos θ)i ,i 为虚数单位,θ∈[π3,π2].(1)若z 1•z 2是实数,求cos2θ的值;(2)若复数z 1、z 2对应的向量分别是a →、b →,存在θ使等式(λa →−b →)•(a →−λb →)=0成立,求实数λ的取值范围.解:复数z 1=2sin θ−√3i ,z 2=1+(2cos θ)i ,i 为虚数单位,θ∈[π3,π2].(1)z 1•z 2=2sin θ+2√3cos θ+(4sin θcos θ−√3)i , z 1•z 2为实数,可得4sin θcos θ−√3=0,sin2θ=√32, 解得2θ=2π3, ∴cos2θ=−12;(2)复数z 1=2sin θ−√3i ,z 2=1+(2cos θ)i , 复数z 1,z 2对应的向量分别是a →,b →,a →=(2sin θ,−√3),b →=(1,2cos θ), (λa →−b →)•(a →−λb →)=0, ∵a →2+b →2=(2sin θ)2+(−√3)2+1+(2cos θ)2=8,a →⋅b →=(2sin θ,−√3)•(1,2cos θ)=2sin θ﹣2√3cos θ, ∴(λa →−b →)•(a →−λb →)=λ(a →2+b →2)﹣(1+λ2)a →⋅b →=8λ﹣(1+λ2)(2sin θ﹣2√3cos θ)=0,化为sin (θ−π3)=2λ1+λ2,∵θ∈[π3,π2],∴(θ−π3)∈[0,π6],∴sin (θ−π3)∈[0,12].∴0≤2λ1+λ2≤12,解得λ≥2+√3或λ≤2−√3.实数λ的取值范围是(﹣∞,2−√3]∪[2+√3,+∞).21.(15分)如图所示,某镇有一块空地△OAB ,其中OA =3km ,OB =3√3km ,∠AOB =90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖△OMN ,其中M ,N 都在边A ,B 上,且∠MON =30°,挖出的泥土堆放在△OAM 地带上形成假山,剩下的△OBN 地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在△OAN 的一周安装防护网.(1)当AM =32km 时,求防护网的总长度;(2)若要求挖人工湖用地△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的√3倍,试确定∠AOM 的大小; (3)为节省投入资金,人工湖△OMN 的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使△OMN 的面积最小?最小面积是多少?解:(1)在△OAB 中,因为OA =3,OB =3√3,∠AOB =90°,所以∠OAB =60°, 在△AOM 中,OA =3,AM =32,∠OAM =60°, 由余弦定理,得OM =3√32, 所以OM 2+AM 2=OA 2,即OM ⊥AN ,所以∠AOM =30°,所以△OAN 为正三角形,所以△OAN 的周长为9,即防护网的总长度为9km . (2)设∠AOM =θ(0°<θ<60°),因为△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的√3倍, 所以12ON ⋅OM sin30°=√3×12OA •OM sin θ,即ON =6√3sin θ,在△OAN 中,由ONsin60°=OAsin(θ+60°+30°)=3cosθ,得ON =3√32cosθ,从而6√3sin θ=3√32cosθ,即sin2θ=12, 由0°<2θ<120°,得2θ=30°,所以θ=15°,即∠AOM =15°.(3)设∠AOM =θ(0°<θ<60°),由(2)知ON =3√32cosθ, 又在△AOM 中,由OM sin60°=OAsin(θ+60°),得OM =3√32sin(θ+60°),所以S △OMN =12OM ⋅ON ⋅sin30°=2716sin(θ+60°)cosθ=8sin(2θ+60°)+43,所以当且仅当2θ+60°=90°,即θ=15°时,△OMN 的面积取最小值为27(2−√3)4km 2.22.(15分)如图,设△ABC 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,AD 为BC 边上的中线,已知c =1且2c sin A cos B =a sin A ﹣b sin B +14b sin C ,cos ∠BAD =√217.(1)求b 边的长度; (2)求△ABC 的面积;(3)设点E ,F 分别为边AB ,AC 上的动点(含端点),线段EF 交AD 于G ,且△AEF 的面积为△ABC 面积的16,求AG →⋅EF →的取值范围.解:(1)由已知条件可知:2c ⋅sinAcosB =a ⋅sinA −b ⋅sinB +14b ⋅sinC , 在△ABC 中,由正弦定理a sinA=b sinB=c sinC=2R ,得2ac ⋅cosB =a 2−b 2+14bc ,在△ABC 中,由余弦定理cosB =a 2+c 2−b 22ac,得a 2+c 2−b 2=a 2−b 2+14bc , ∴b =4c ,又∵c =1,∴b =4. (2)设∠BAC =θ,∵AD →为 BC 边上中线∴AD →=12AB →+12AC →,则AB →⋅AD →=AB →⋅12(AB →+AC →)=12|AB →|2+12|AB →||AC →|cosθ=2cosθ+12,|AD →|=√AD →2=√14(AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →)=12√|AB →|2+|AC →|2+2|AB →||AC →|cosθ=√17+8cosθ2 cos ∠BAD =AB →⋅AD →|AB →|⋅|AD →|=4cosθ+1√17+8cosθ=√217,①∴28cos 2θ+8cos θ﹣11=0,∴(2cos θ﹣1)(14cos θ+11)=0, ∴cosθ=12或cos(2A +B)=cos(2A +π3)=12cos2A −√32sin2A =12×(−1314)−√32×3√314=−1114,由①,得4cos θ+1>0,∴cosθ>−14,∴cosθ=12,∴sinθ=√32, ∴S △ABC=12|AB →|⋅|AC →|⋅sinθ=√3.(3)设 AD →=kAG →,AB →=λAE →,AC →=μAF →(λμ∈[1+∞)),∴|AE →|=1λ,|AF →|=4μ,AD →=12AB →+12AC →⇒2kAG →=λAE →+μAF →⇒AG →=λ2k AE →+μ2k AF →, 根据三点共线公式,得λ+μ=2k ,AG →⋅EF →=1k AD →⋅(AF →−AE →)=12k (AB →+AC →)(1μAC →−1λAB →)=12k ⋅(1μ⋅|AC →|2−1λ⋅|AB →|2+(1μ−1λ)|AB →|⋅|AC →|⋅cosθ)(cosθ=12,θ为∠BAC ) =12k ⋅(16μ−1λ+2μ−2λ)=3λμ⋅6λ−μλ+μ,S △ABC S △AEF=12⋅|AB →||AC →|⋅sinθ12⋅|AE →||AF →|sinθ=6,∴λμ=6.∴AG →⋅EF →=12⋅6λ−6λλ+6λ=3⋅λ2−1λ2+6=3⋅(1−7λ2+6), μ=6λ≥1⇒λ≤6⇒λ∈[16]⇒λ2+6∈[742], ⇒16≤7λ2+6≤1⇒AG →⋅EF →∈[0,52].。
江苏省南京市南京外国语学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题
江苏省南京市南京外国语学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列算式中,计算结果等于4a 的是( )A .33a a +B .3a a ⋅C .()24aD .122a a ÷ 2.下列各条线段的长能组成三角形的是( )A .5,7,12B .5,12,16C .2,3,6D .5,5,12 3.如图,在所标识的角中,同位角是( )A .1∠和2∠B .1∠和3∠C .1∠和4∠D .2∠和3∠ 4.下列命题中,是真命题的是( )A .两个锐角的和是锐角B .邻补角是互补的角C .同旁内角互补D .两条直线被第三条直线所截,内错角相等5.一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为2:1,则这个正多边形是( ) A .正五方形 B .正六边形 C .正七边形 D .正八边形 6.如图所示,下列条件中能判定AB CD P 是( )A .12∠=∠B .ADC B ∠=∠ C .180D BCD ∠+∠=︒ D .3=4∠∠7.如图,已知AB ∥CD ∥EF ,则∠x 、∠y 、∠z 三者之间的关系是( )A .180x y z ++=°B .180x y z +-=°C .360x y z ++=°D .+=x z y8.从前,古希腊一位庄园主把一块长为a 米,宽为b 米()100a b >>的长方形土地租给租户张老汉,第二年,他对张老汉说:“我把这块地的长增加10米,宽减少10米,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”如果这样,你觉得张老汉的租地面积会( )A .变小了B .变大了C .没有变化D .无法确定二、填空题9.两年多来,新冠肺炎给人类带来了巨大灾难,经科学家研究,冠状病毒多数为球形或近似球形,其直径约为0.0000011米.将0.0000011用科学记数法表示为 _____. 10.“等边三角形的三个内角都得于60︒”的逆命题是______.11.()2343x x -=______.2ab ⋅(______)26a bc =.三、解答题12.若4392781m m ⋅⋅=,则m =______.若36m =,32n =,则23m n -=______.四、填空题13.如图是一副三角尺拼成的图案,则AED ∠的度数为______︒.14.若()32413x x ax x -+++中不含有x 的四次项,则a 的值为______. 15.若6(3)1x x ++=,则x =_______.VECD21.请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据:AB BC ⊥,1290∠+∠︒=,23∠∠=,BE 与DF 平行吗?为什么?解:BE DF ∥.理由如下:∵AB BC ⊥(已知),∴ABC ∠=°即34∠+∠=︒()又∵1290∠+∠︒=(),且23∠∠=,∴=()∴BE DF ∥()22.画图(只用无刻的直尺)并填空:如图,每个小正方形的边长为1个单位,每个小正方形的顶点叫格点.(1)将ABC V 向左平移4格,再向上平移1格,请在图中画出平移后的A B C '''V ;(2)A B C '''V 的面积为______;(3)利用网格在图中画出ABC V 的中线AD ,高线AE ;(4)在图中能使PBC ABC S S =△△的格点P 的个数有______个(点P 异于点A ) 23.证明命题:三角形的外角和等于360°.(要求画出图形,写出已知、求证、证明) 24.如图,一个长和宽分别为2x y +,2x y +的长方形中剪下两个大小相同的边长为y 的正方形(有关线段的长如图所示),留下一个“T ”型的图形(阴影部分).y下面就请你完成小孙和小悟的证明.问题4:小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形ABCDE,请你也尝试画一画吧!(保作图痕迹并写出作图方法)。
2023-2024学年南京外国语学校高三第一学期期中数学试卷【学生版】
南京外国语学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题(A 卷)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若,则()A. B.0C. D.2.若对,恒成立,其中,则()A.3B.2C.0D.3.已知定义在上的函数,记,,则.的大小关系为()A. B. C. D.4.已知等比数列的前n 项和为且,则()A.3B.5C.30D.455.阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓,取一长方体,按下图斜割一分为二,得两个一模一样的三棱柱,称为暂堵,再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥,以矩形为底,另有一棱与底面垂直的四棱雉,称为阳马,余下的三棱锥称为鳖臑.(注:图1由左依次是堑堵、阳马、鳖臑)上图中长方体为正方体,由该正方体得上图阳马和鳖臑,已知鳖臑的外接球的体积为,则鳖臑体积为()6.在学校春季运动会中,甲、乙、丙、丁4名同学被安排到跳远、跳高、迎面接力这三个比赛()i 11z +=z z --=2-2i2i-x R ∈()55432()(2)5(2)10(2)10(2)521ax b x xx x x ++--=++++++-,a b R ∈a b -=1-R ()e xf x -=()0.5log 3a f =()()2log 5,0b f c f ==,,a b c b a c<<c a b<<a c b<<c b a<<{}n a 341,2,n S S a a =-2415a a +=35=a a +项目参加志愿服务,每个项目至少安排一个人,且每个人只能参与其中一个项目,则在甲不去跳远项目的条件下,乙被安排到跳远项目的概率是()A.B.C.D.7.已知矩形中,是边的中点.和交于点,将沿折起,在翻折过程中当与垂直时,异面直线和所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.已知,则()A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知实数满足,则下列不等式一定正确的是()A. B.C.D.10.设等差数列的前项和为,公差为,下列结论正确的是()A.B.当时,的最大值为13C.数列为等差数列,且和数列的首项、公差均相同D.数列前项和为最大11.已知函数,则()A.函数在上的单调递减区间是B.函数的图象关于点对称C.函数的图象向左平移个单位长度后,所得的图象关于轴对称,则的最小161451229ABCD 1,AB BC E ==BC AE BD M ABE V AE AB MD BA CD 161451223131sin ,ln ,223a b c ===a b c>>b c a>>b a c>>c a b>>,a b 0a b <<21a b -<tan tan a b <11a ab b +<+ln ln b a a b<{}n a n n S 16767,0,0,0d a a a a a >+>⋅<0d <0n S >n n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 12,n T T ()cos f x x x =+()f x 2,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ2,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ()f x ,03⎛⎫- ⎪⎝⎭π()f x (0)m m >y m值是D.若实数使得方程在上恰好有三个实数解,则12.正方体中,是体对角线上的动点,是棱上的动点,则下列说法正确的是()A.异面直线与所成的角的最小值为B.异面直线与所成的角的最大值为C.对于任意的,存在点使得D.对于任意的,存在点使得三、填空题(本大题共4题,每小题5题,共20分)13.某校2023年秋季入学考试,某班数学平均分为125分,方差为.成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误,同学实际成绩137分,被错录为118分;同学实际成绩115分,被错录为103分;同学实际成绩98分,被错录为129分,更正后重新统计,得到方差为,则(填)14.如图,在中,,若为圆心为的单位圆的一条动直径,则的取值范围是3πm ()f x m =[]0,2π123,,x x x 12383x x x ++=π1111ABCD A B C D -P 1AC M 1DD 1B P 1A D 6π1B P 1A D 3πP M 1AM B P ⊥M P 1AM B P⊥21S A B C 22S 21S 22S ,,><=ABC V 4,3,90AB AC A ===o ∠PQ A BP CQ ⋅u u r u u u r15.已知是双曲线的右焦点,直线与双曲线交于两点,为坐标原点,分别为的中点,且,则双曲线的离心率为.16.已知函数,则数列的通项公式为.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.F 2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>43y x =E A,B O P,Q ,AF BF 0OP OQ ⋅=u u u r u u u rE ()()()1,111x xe f x g x f x e -==-++()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L {}n a {}n a ()()114,121n n a na n a n n +=-+=+{}n a 22n n nn b a +={}n b n n T18.在中,,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求.(1)的值.(2)和的面积.条件①:.条件②:.注:如果选择条件(1)和条件(2)分别解答,按第一个解答计分.19.已知函数.(1)时,求的极值;(2)若在区间有2个零点,求的取值范围.ABC V 11a b +=a sin C ABC V 17,cos 7c A ==-19cos ,cos 816A B ==()ln 2f x x mx =-+1m =()f x ()f x 21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦m20.如图,在三棱台中,,侧棱平面,点是棱的中点.(1)证明:平面;(2)求平面与平面的夹角的余弦值.21.在平面直角坐标系中,已知,圆与轴切于点,又过作异于的两切线,设这两切线交于点.(1)求点的轨迹方程;(II)设为坐标原点,是的轨迹上的不同两点且不关于原点对称,若直线的斜率分别为和,若,求的面积。
江苏省南京外国语学校2025届九年级数学第一学期开学统考试题【含答案】
江苏省南京外国语学校2025届九年级数学第一学期开学统考试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷(100分)一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)1、(4分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A C F 、、在坐标轴上,E 是OA 的中点,四边形AOCB 是矩形,四边形BDEF 是正方形,若点C 的坐标为()3,0,则点D 的坐标为()A .1,1+B .(1,1+C .)1,3-D .()1,32、(4分)如图,AC =AD ,BC =BD ,则有()A .AB 垂直平分CD B .CD 垂直平分AB C .AB 与CD 互相垂直平分D .CD 平分∠ACB3、(4分)明明家与学校的图书馆和食堂在同一条直线上,食堂在家和图书馆之间。
一天明明先去食堂吃了早餐,接着去图书馆看了一会书,然后回家。
如图反应了这个过程中明明离家的距离y 与时间x 之间的对应关系,下列结论:①明明从家到食堂的平均速度为0.075km/min ;②食堂离图书馆0.2km ;③明明看书用了30min ;④明明从图书馆回家的平均速度是0.08km/min ,其中正确的个数是()A .1个B .2个C .3个D .4个4、(4分)如图,在四边形ABCD 中,90ABC ∠=︒,//,//AD BC AE CD 交BC 于E ,AE 平分BAC ∠,AO CO AD DC ==,,下面结论:①2AC AB =;②ABO ∆是等边三角形;③3ADC ABE S S ∆∆=;④2DC BE =,其中正确的有A .1个B .2个C .3个D .4个5、(4分)如图,已知正方形面积为36平方厘米,圆与各边相接,则阴影部分的面积是()平方厘米.(π 3.14=)A .18B .7.74C .9D .28.266、(4分)在ABC ∆中,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,若3DE =,则AC =()A .3B .6C .9D .127、(4分)如图,以某点为位似中心,将△OAB 进行位似变换得到△DFE ,若△OAB 与△DFE 的相似比为k ,则位似中心的坐标与k 的值分别为()A .(2,2),2B .(0,0),2C .(2,2),12D .(0,0),128、(4分)在Rt △ABC 中,∠C =90°,D 为BC 上一点,要使点D 到AB 的距离等于DC ,则必须满足()A .点D 是BC 的中点B .点D 在∠BAC 的平分线上C .AD 是△ABC 的一条中线D .点D 在线段BC 的垂直平分线上二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)9、(4分).若2m =3n ,那么m ︰n =.10、(4分)如图,在平面直角坐标系中,直线l :y =x +2交x 轴于点A ,交y 轴于点A 1,点A 2,A 3,…在直线l 上,点B 1,B 2,B 3,…在x 轴的正半轴上,若△A 1OB 1,△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x 轴上,则第n 个等腰直角三角形A n B n ﹣1B n 顶点B n 的横坐标为________________.11、(4分)分解因式:x 2﹣7x =_____.12、(4分)两个相似三角形的周长分别为8和6,若一个三角形的面积为36,则另一个三角形的面积为________.13、(4分)如图,点A 、B 都在反比例函数y=k x (x >0)的图像上,过点B 作BC ∥x 轴交y 轴于点C ,连接AC 并延长交x 轴于点D ,连接BD ,DA =3DC ,S △ABD =1.则k 的值为_______.三、解答题(本大题共5个小题,共48分)14、(12分)某校要从小红、小明和小亮三名同学中挑选一名同学参加数学素养大赛,在最近的四次专题测试中,他们三人的成绩如下表所示:学生专题集合证明PISA 问题应用题动点问题小红70758085小明80807276小亮75759065(1)请算出小红的平均分为多少?(2)该校根据四次专题考试成绩的重要程度不同而赋予每个专题成绩一个权重,权重比依次为x :1:2:1,最后得出三人的成绩(加权平均数),若从高分到低分排序为小亮、小明、小红,求正整数x 的值.15、(8分)某校为美化校园,计划对面积为2000m 2的区域进行绿化,安排甲、乙两个工程队完成,已知甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成绿化的面积的2倍,并且在独立完成面积为600m 2区域的绿化时,甲队比乙队少用6天.(1)甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少?(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.5万元,乙队为0.3万元,要使这次的绿化总费用不超过10万元,至少应安排甲队工作多少天?16、(8分)如图,从电线杆离地面12m 处向地面拉一条长为13m 的钢缆,则地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离为_____.17、(10分)在一次社会调查活动中,小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数,记录如下:56406430652067987325843082157453744667547638683473266830864887539450986572907850对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:步数分组统计表组别步数分组频数A5500≤x<65002 B6500≤x<750010 C7500≤x<8500m D8500≤x<95003 E9500≤x<10500n请根据以上信息解答下列问题:(1)填空:m=______,n=______;(2)补全频数发布直方图;(3)这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在______组;(4)若该团队共有120人,请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数.18、(10分)(1)用“<”“>”或“=”填空:51+31______1×5×3;31+11______1×3×1.(﹣3)1+11_____1×(﹣3)×1;(﹣4)1+(﹣4)1______1×(﹣4)×(﹣4).(1)观察以上各式,你发现它们有什么规律吗?你能用一个含有字母a,b的式子表示上述规律吗?再换几个数试一试.(3)运用你所学的知识说明你发现的规律的正确性.B卷(50分)一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)19、(4分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.请你添加一个适当的条件:______________,使四边形ABCD成为菱形.20、(4分)妈妈做了一份美味可口的菜品,为了了解菜品的咸淡是否适合,于是妈妈取了一点品尝,这应该属于___________(填普查或抽样调查)21、(4分)在▱ABCD 中,∠BAD 的平分线AE 把边BC 分成5和6两部分,则▱ABCD 的周长为_____.22、(4分)如图,在△ABC 中,∠BAC =60°,AD 平分∠BAC ,若AD =6,DE ⊥AB ,则DE 的长为_____________.23、(4分)如图,在菱形ABCD 中,对角线,AC BD 交于点O ,过点A 作AH BC ⊥于点H ,已知BO=4,S 菱形ABCD =24,则AH =___.二、解答题(本大题共3个小题,共30分)24、(8分)已知在△ABC 中,AB=1,,.(1)分别化简(2)试在4×4的方格纸上画出△ABC ,使它的顶点都在方格的顶点上(每个小方格的边长为1).(3)求出△ABC 的面积.25、(10分)若a =12-,b =312,请计算a 2+b 2+2ab 的值.26、(12分)甲、乙两家采摘园的圣女果品质相同,售价也相同,节日期间,两家均推出优惠方案,甲:游客进园需购买60元门票,采摘的打六折;乙:游客进园不需购买门票,采摘超过一定数量后,超过部分打折,设某游客打算采摘60x 千克,在甲、乙采摘园所需总费用为1y 、2y 元,1y 、2y 与x 之间的函数关系的图像如图所示.(1)分别求出1y 、2y 与x 之间的函数关系式;(2)求出图中点A 、B 的坐标;(3)若该游客打算采摘10kg 圣女果,根据函数图像,直接写出该游客选择哪个采摘园更合算.参考答案与详细解析一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)1、D【解析】过点D作DH⊥y轴,交y轴于H,根据矩形和正方形的性质可得∠EOF=∠BCF=∠HDE=90°,EF=BF=ED,BC=OA,根据角的和差故关系可得∠FBC=∠OFE=∠HED,∠BFC=∠OEF=∠HDE,利用ASA可证明△OFE≌△CBF≌△HDE,可得FC=OE=HD,BC=OF=HE,由点E为OA中点可得OF=2FC,即可求出FC的长,进而可得HE的长,即可求出OH的长,即可得点D坐标.【详解】过点D作DH⊥y轴,交y轴于H,∵四边形AOCB是矩形,四边形BDEF是正方形,∴∠EOF=∠BCF=∠HDE=∠EFB=90°,EF=BF=ED,BC=OA,∴∠OFE+∠BFC=90°,∠FBC+∠BFC=90°,∴∠OFE=∠FBC,同理:∠OEF=∠BFC,在△OEF和△CFB中,OFE FBC EF BFOEF BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴BC=OF=OA,FC=OE,∵点E为OA中点,∴OA=2OE,∴OF=2OE,∴OC=3OE,∵点C坐标为(3,0),∴OC=3,∴OE=1,OF=2,同理:△HDE≌△OEF,∴HD=OE=1,HE=OF=2,∴OH=OE+HE=3,∴点D 坐标为(1,3),故选:D.本题考查正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.2、A 【解析】由AC =AD ,BC =BD ,可得点A 在CD 的垂直平分线上,点B 在CD 的垂直平分线上,又由两点确定一条直线,可得AB 是CD 的垂直平分线.【详解】解:∵AC =AD ,BC =BD ,∴点A 在CD 的垂直平分线上,点B 在CD 的垂直平分线上,∴AB 是CD 的垂直平分线.即AB 垂直平分CD .故选:A .此题考查了线段垂直平分线的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.3、D 【解析】根据函数图象判断即可.【详解】解:明明从家到食堂的平均速度为:0.6÷8=0.075km/min,①正确;食堂离图书馆的距离为:0.8-0.6=0.2km,②正确;明明看书的时间:58-28=30min,③正确;明明从图书馆回家的平均速度是:0.8÷(68-58)=0.08km/min,④正确.故选D.本题考查了函数图象的读图能力.要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件,结合题意正确计算是解题的关键.4、C 【解析】由两组对边平行证明四边形AECD 是平行四边形,由AD=DC 得出四边形AECD 是菱形,得出AE=EC=CD=AD ,则∠EAC=∠ECA ,由角平分线定义得出∠EAB=∠EAC ,则∠EAB=∠EAC=∠ECA ,证出∠EAB=∠EAC=∠ECA=30°,则BE=12AE ,AC=2AB ,①正确;由AO=CO 得出AB=AO ,由∠EAB=∠EAC=30°得出∠BAO=60°,则△ABO 是等边三角形,②正确;由菱形的性质得出S △ADC =S △AEC =12AB•CE ,S △ABE =12AB•BE ,由BE=12AE=12CE ,则S △ADC =2S △ABE ,③错误;由DC=AE ,BE=12AE ,则DC=2BE ,④正确;即可得出结果.【详解】解:∵AD ∥BC ,AE ∥CD ,∴四边形AECD 是平行四边形,∵AD=DC ,∴四边形AECD 是菱形,∴AE=EC=CD=AD ,∴∠EAC=∠ECA ,∵AE 平分∠BAC ,∴∠EAB=∠EAC ,∴∠EAB=∠EAC=∠ECA ,∵∠ABC=90°,∴∠EAB=∠EAC=∠ECA=30°,∴BE=12AE ,AC=2AB ,①正确;∵AO=CO ,∴AB=AO ,∵∠EAB=∠EAC=30°,∴∠BAO=60°,∴△ABO 是等边三角形,②正确;∵四边形AECD 是菱形,∴S △ADC =S △AEC =12AB•CE ,S △ABE =12AB•BE ,∵BE=12AE=12CE ,∴S △ADC =2S △ABE ,③错误;∵DC=AE ,BE=12AE ,∴DC=2BE ,④正确;故选:C .本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、角平分线定义、等边三角形的判定、含30°角直角三角形的性质、三角形面积的计算等知识,熟练掌握菱形的性质与含30°角直角三角形的性质是解题关键.5、B 【解析】【分析】先求正方形的边长,可得圆的半径,再用正方形的面积减去圆的面积即可.【详解】因为6×6=36,所以正方形的边长是6厘米36-3.14×(6÷2)2=36-28.26=7.74(平方厘米)故选:B 【点睛】本题考核知识点:正方形性质.解题关键点:理解正方形基本性质.6、B 【解析】三角形的中位线等于第三边的一半,那么第三边应等于中位线长的2倍.【详解】∵在ABC ∆中,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点且3DE =∴AC=2DE=2×3=6故选B此题考查三角形中位线定理,解题关键在于掌握定理7、A 【解析】两对对应点的连线的交点即为位似中心;找到任意一对对应边的边长,让其相比即可求得k .【详解】连接OD 、BE ,延长OD 交BE 的延长线于点O ′,点O ′也就是位似中心,坐标为(1,1),k =OA :FD =8:4=1.故选A .本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识,记住两对对应点的连线的交点为位似中心;任意一对对应边的比即为位似比.8、B 【解析】根据角平分线的判定定理解答即可.【详解】如图所示,DE 为点D 到AB 的距离.∵DC =DE ,∠C =90°,DE ⊥AB ,∴AD 平分∠CAD ,则点D 在∠BAC 的平分线上.故选B .本题考查了角平分线的判定,掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键.二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)9、3︰2【解析】根据比例的性质将式子变形即可.【详解】23m n =,32m n ∴=,故答案为:3︰2点睛:此题考查比例的知识10、122n +-.【解析】由题意得OA =OA 1=2,∴OB 1=OA 1=2,B 1B 2=B 1A 2=4,B 2A 3=B 2B 3=8,∴B 1(2,0),B 2(6,0),B 3(14,0)…,2=22﹣2,6=23﹣2,14=24﹣2,…∴B n 的横坐标为122n +-,故答案为:122n +-.11、x (x ﹣7)【解析】直接提公因式x 即可.【详解】解:原式=x (x ﹣7),故答案为:x (x ﹣7).本题主要考查了因式分解的运用,准确进行计算是解题的关键.12、64或814【解析】根据相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方求出面积比,根据题意计算即可.【详解】解:∵两个相似三角形的周长分别为8和6,∴两个相似三角形的周长之比为4:3,∴两个相似三角形的相似比是4:3,∴两个相似三角形的面积比是16:9,又一个三角形的面积为36,设另一个的面积为S ,则16:9=S :36或16:9=36:S ,∴S=64或814,故答案为:64或814.本题考查的是相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.13、2.【解析】过点A 作AN ⊥x 轴交x 轴于点N ,交BC 于点M ,设B (x ,y ),则BC=x,MN=y,由平行线分线段成比例定理得AM=2y,根据ABD ABC BCD S =S +S ∆∆∆11=BC AM+BC MN 22⋅⋅=1,即可求得xy=k 的值.【详解】解:如图,过点A 作AN ⊥x 轴交x 轴于点N ,交BC 于点M ,设B (x ,y ),则BC=x,MN=y,∵BC ∥x 轴,DA =3DC ,∴AN=3MN ,AM=2MN∴MN=y,AM =2y∵ABD ABC BCD S =S +S ∆∆∆11=BC AM+BC MN 22⋅⋅,S △ABD =1∴112+622x y x y ⋅⋅=,∴xy=2,∵反比例函数y=k x (x >0),∴k=xy=2.故答案为:2.本题考查平行线分线段成比例定理,反比例函数的比例系数k 的几何意义:在反比例函数y=k x 图象中任取一点,过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.三、解答题(本大题共5个小题,共48分)14、(1)77.5分;(2)1【解析】(1)根据平均数公式求小红的平均成绩即可;(2)利用加权平均数公式分别把三人的平均成绩表示出来,再根据三人的成绩的高低列不等式,求出x 的范围,在此范围内取正整数即可【详解】(1)解:(70+75+80+85)÷4=77.5分,答:小红的平均分为77.5分.(2)解:由题意得:757590265121x x ++⨯++++>808072276121x x ++⨯++++>707580285121x x ++⨯++++解得:2<x <4,∵x 为正整数的值.∴x =1,答:正整数x 的值为1.本题主要考查不等式的应用,第二问的解题关键在于能够理解题意列出不等式.15、(1)甲工程队每天能完成绿化的面积为3m 1,乙工程队每天能完成绿化的面积为2m 1.(1)至少应安排甲队工作10天.【解析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm1,则甲工程队每天能完成绿化的面积为1xm1,根据“在独立完成面积为600m1区域的绿化时,甲队比乙队少用6天”,即可得出关于x的分式方程,解之并检验后,即可得出结论;(1)设安排甲工程队工作y天,则乙工程队工作200010040250y y-=-天,根据总费用=需付给甲队总费用+需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过10万元,即可得出关于y的一元一次不等式,解之即可得出y的取值范围,取其内的最小正整数即可.【详解】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm1,则甲工程队每天能完成绿化的面积为1xm1,根据题意得:60060062x x-=,解得:x=2.经检验,x=2是原方程的解,∴1x=3.答:甲工程队每天能完成绿化的面积为3m1,乙工程队每天能完成绿化的面积为2m1.(1)设安排甲工程队工作y天,则乙工程队工作200010040250y y-=-天,根据题意得:0.5y+0.3(40﹣1y)≤10,解得:y≥10.答:至少应安排甲队工作10天.本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,列出关于x的分式方程;(1)根据总费用=需付给甲队总费用+需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过10万元,列出关于y的一元一次不等式.16、5m.【解析】根据勾股定理即可得到结果.【详解】解:在Rt△ABC中BC=12,AC=13,AB2+BC2=AC2∴AB2=AC2-BC2=132-122=25∴AB=5答:地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为5米.考点:本题考查勾股定理的应用点评:解答本题的关键是熟练掌握勾股定理:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.17、(1)4;1;(2)见解析;(3)B ;(4)48.【解析】(1)根据题目中的数据即可直接确定m 和n 的值;(2)根据(1)的结果即可直接补全直方图;(3)根据中位数的定义直接求解;(4)利用总人数乘以对应的比例即可求解.【详解】解:(1)由记录的数据可知,7500≤x <8500的有8430、8215、7638、7850这4个,即m=4;9500≤x <10500的有9865这1个,即n=1.故答案为4;1;(2)如图:(3)由于一共20个数据,其中位数是第10、11个数据的平均数,而第10、11个数据的平均数均落在B 组,∴这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在B 组;故答案为B ;(4)120×43120++=48(人),答:估计其中一天行走步数不少于7500步的有48人.故答案为48.18、(1)>,>,>,=;(1)如果a、b是两个实数,则有a1+b1≥1ab;(3)证明见解析.【解析】(1)通过计算可比较上述算式的大小;(1)由于(a-b)1≥0,所以a1+b1≥1ab(3)证明结论时根据完全平方的计算结果是非负数证明即可.【详解】解:(1)51+31>1×5×3;31+11>1×3×1.(﹣3)1+11>1×(﹣3)×1;(﹣4)1+(﹣4)1=1×(﹣4)×(﹣4)(1)一般结论是:如果a、b是两个实数,则有a1+b1≥1ab;(3)∵(a﹣b)1≥0,∴a1﹣1ab+b1≥0,∴a1+b1≥1ab.本题主要考查实数的大小的比较数字的变化规律,通过阅读题目,发现规律实质上是完全平方公式的变形:因为(a-b)1≥0,所以a1+b1≥1ab一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)19、AB=AD.【解析】由条件OA=OC,AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形,再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定.【详解】添加AB=AD,∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD为平行四边形,∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,此题主要考查了平行四边形的判定,关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.20、抽样调查【解析】根据普查和抽样调查的定义,显然此题属于抽样调查.【详解】由于只是取了一点品尝,所以应该是抽样调查.故答案为:抽样调查.此题考查抽样调查和全面调查,解题关键在于掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时,应选择抽样调查;对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.21、32或1【解析】根据平行四边形的性质可得∠DAE=∠AEB,再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB=BE,然后再分两种情况计算即可.【详解】解:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,则∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE,BC=BE+EC,①当BE=5,EC=6时,平行四边形ABCD的周长为:2(AB+BC)=2×(5+5+6)=32;②当BE=6,EC=5时,平行四边形ABCD的周长为:2(AB+BC)=2×(6+6+5)=1.故答案为32或1.平行四边形的性质及等腰三角形的性质、角平分线的性质是本题的考点,根据其性质求得AB =BE 是解题的关键.22、1【解析】分析:根据角平分线的性质求出∠DAC=10°,根据直角三角形的性质得出CD 的长度,最后根据角平分线的性质得出DE 的长度.详解:∵∠BAC=60°,AD 平分∠BAC ,∴∠DAC=10°,∵AD=6,∴CD=1,又∵DE ⊥AB ,∴DE=DC=1.点睛:本题主要考查的是直角三角形的性质以及角平分线的性质,属于基础题型.合理利用角平分线的性质是解题的关键.23、245【解析】根据菱形面积=对角线积的一半可求AC ,再根据勾股定理求出BC ,然后由菱形的面积即可得出结果.【详解】∵四边形ABCD 是菱形,∴4,BO DO AO CO ===,AC BD ⊥,∴8BD =,∵1242ABCD S AC BD =⨯=菱形,∴6AC =,∴132OC AC ==,∴5BC ==,∵24ABCD S BC AH =⨯=菱形,∴245AH =;故答案为:245.本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质,由勾股定理求出BC 是解题的关键.二、解答题(本大题共3个小题,共30分)24、见解析【解析】(1(2)根据勾股定理画出ACB 的位置,既要使AB =1,又要使BC =(3)利用三角形的面积公式,以BA 为底,确定AB 上的高为2,再计算即可.【详解】(1)=4×,=1515×(2)如图所示:(3)△ABC 的面积12⨯1×2=1平方单位.本题主要考查了应用与设计作图,以及勾股定理的应用和二次根式的计算,关键是正确化简AC 、BC 的长.25、1.【解析】将a 、b 的值代入原式=(a +b )2计算可得.【详解】当a=12-,b =2时,原式=(a +b )221,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭-+2,==1.本题主要考查考查二次根式的运算,解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式的混合运算顺序和法则.26、(1)1y 与x 之间的函数关系式为1y 1860x =+;2y 与x 之间的函数关系式为()()2300101515010x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨++>⎪⎩;(2)()30,600B ;(3)甲【解析】(1)根据单价=总价÷数量,即可求出甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格;1y 函数关系式=60+单价×数量;2y 与x 之间的函数关系式结合图像,利用待定系数法即可解决;(2)分两段,求函数交点即可解决;(3)当10x =时,根据y 1和y 2函数图象分析,图象在下方的价格低.【详解】(1)由图得单价为30010=30÷(元),据题意,得1y 300.6601860x x =⨯+=+当010x ≤<时,130y x =,当10x ≥时由题意可设2y kx b =+,将()10,300和()20,450分别代入2y kx b =+中,得1030020450k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得15150k b =⎧⎨=⎩,故2y 与x 之间的函数关系式为()()2300101515010x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨++>⎪⎩(2)联立21860y x =+,230y x =,得186030y x y x =+⎧⎨=⎩,故()5,150A .联立11860y x =+,215150y x x =+,得186015150y x y x =+⎧⎨=+⎩解得30600x y =⎧⎨=⎩,故()30,600B .(3)当10x =时,y 1的函数图象在y 2函数图象下方,故甲采摘园更合算.分析函数大小是解答本题的关键.。
2023-2024学年江苏省南京外国语学校八年级(上)期中数学试卷(a卷)
2023-2024学年江苏省南京外国语学校八年级(上)期中数学试卷(A卷)一.选择题(共8题,共16分)1.(2分)的化简结果是()A.2B.﹣2C.±2D.12.(2分)如图,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,∠A=50°,∠C′=30°,则∠B的度数为()A.30°B.50°C.90°D.100°3.(2分)如图,已知∠CAB=∠DBA,那么还应添加一个条件,才能推出△ABC≌△BAD.则从下列条件中补充一个条件后,仍不能判定△ABC≌△BAD的是()A.∠C=∠D B.BC=AD C.∠CBA=∠DAB D.AC=BD4.(2分)满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是()A.∠A:∠B:∠C=3:4:5B.BC=1,AC=2,AB=C.BC:AC:AB=3:4:5D.BC=1,AC=2,AB=5.(2分)如图,△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为12、14、20,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△OAB:S△OBC:S△OAC=()A.2:3:4B.10:7:6C.5:4:3D.6:7:106.(2分)如图,△ABC中,DE是AB的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,已知AE=1cm,△ACD的周长为12cm,则△ABC的周长是()A.13cm B.14cm C.15cm D.16cm7.(2分)如图,△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,下面四个结论:①∠AEF=∠AFE;②AD垂直平分EF;③;④EF一定平行于BC.其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④8.(2分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=52°,BE为AC边上的中线,AD平分∠BAC,交BC边于点D,过点B作BF⊥AD,垂足为F,则∠EBF的度数为()A.19°B.33°C.34°D.43°二.填空题(共10题,共23分)9.(2分)若一个正数的两个平方根是2a﹣2和﹣a+3,则a=,这个正数是.10.(2分)在三角形内到三条边距离相等的点是三条的交点.11.(2分)如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=.12.(2分)如图,AB=AC,AB⊥CD,AC⊥BE,垂足分别为D、E,则图中共有对全等三角形.13.(2分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,AD⊥BC,垂足为D,则AD+BD=.14.(2分)若在直角三角形中,斜边比一直角边大1,且另一直角边长为5,则斜边上的中线长为.15.(2分)如图,等边△ABC,点D为边BC上一点,以AD为边在AD右侧作等边△ADE,连接CE,当△ADE面积最小时,∠CAE=.16.(2分)如图,△ABC是边长为5的等边三角形,D是BC上一点,BD=2、DE⊥BC交AB于点E,则AE=.17.(2分)在△ABC中,∠ABC=110°,点D在边AC上,若直线BD将△ABC分割成一个直角三角形和一个等腰三角形,则∠CDB的度数是.18.(2分)如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB 上的点,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有两个,则x的值是.三.解答题(共8小题,共61分)19.(6分)(1)解方程:(x﹣2)2=9;(2)计算:.20.(6分)已知:如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=AE.求证:BD=CE.21.(7分)如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于点F,BF=AC.(1)求证:△BDF≌△ADC;(2)若∠CAD=20°则∠ABE=°.(直接写出结果)22.(8分)(1)证明命题:一边中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.(写出已知、求证和证明步骤)(2)如图,已知点D、E分别是△ABC外和内的两点.请利用直尺与圆规在△ABC的边上画出所有的点F,使△DEF为直角三角形.23.(7分)如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=5,点E为BC上一点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在长方形内点F处,连接DF,且DF=3,求∠AFD的度数和BE的长.24.(7分)如图,在△ABC中,∠C=90°,点P在AC上运动,点D在AB上,PD始终保持与P A相等,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.(1)判断DE与DP的位置关系,并说明理由;(2)若AC=6,BC=8,P A=2,求线段DE的长.25.(9分)已知:点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.(1)如图1,若点O在边BC上,过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:AB=AC;(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC;(3)若点O在△ABC的外部,“小强”同学认为AB=AC也一定成立,你同意他的想法吗?若同意,请说明理由;若不同意,请画出反例并进行必要的标注.26.(11分)五线谱上跳动着美妙的音符,你能在等距的平行线上借助直尺和圆规画出美丽的几何图形吗?(1)在图①的两条平行线上画一个等腰三角形,使其三个顶点都在平行线上,且有一个内角等于已知角α.(画出符合题意的一种即可)(2)在图②的两条平行线上画一个等腰三角形,使其三个顶点都在平行线上,且满足腰:底=.(画出符合题意的一种即可)(3)在图③的三条等距平行线上画一个等边三角形,使其三个顶点分别在三条等距平行线上.(画出符合题意的一种即可)(4)在图④的四条等距平行线上画一个正方形,使其四个顶点分别在四条等距平行线上.(画出符合题意的一种即可)(5)“小强”同学声称他在五条等距的平行线上画出了如图⑤所示的正五边形(各边相等各内角也相等的五边形),你同意他的说法吗?请给出你的观点并说明理由.2023-2024学年江苏省南京外国语学校八年级(上)期中数学试卷(A卷)参考答案一.选择题(共8题,共16分)1.A;2.D;3.B;4.A;5.D;6.B;7.A;8.B;二.填空题(共10题,共23分)9.﹣1;16;10.角平分线;11.55°;12.4;13.21;14.;15.30°;16.1;17.40°或90°或140°;18.4﹣4<x≤4或x=4或x=2;三.解答题(共8小题,共61分)19.(1)x1=5,x2=﹣1;(2)2+.;20.证明见解答.;21.25;22.(1)(2)见解析.;23.;24.;25.(1)证明见解答过程;(2)证明见解答过程;(3)不同意他的想法,理由见解答过程.;26.(1)(2)(3)(4)见解析;(5)不同意,理由见解析.;。
2023-2024学年江苏省南京市玄武区南京外国语学校九年级(上)期中数学试卷+答案解析
2023-2024学年江苏省南京市玄武区南京外国语学校九年级(上)期中数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中,是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.已知的半径为3,A为线段PO的中点,则当时,点A与的位置关系为()A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.不能确定3.一元二次方程的根为()A. B.C.,D.4.抛物线的顶点坐标是()A. B. C. D.5.圆锥底面半径是3cm,母线是4cm,则圆锥侧面积是()A. B. C. D.6.如图,AB是的直径,点C,D,E在上,若,则的度数为()A. B. C. D.7.如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则的半径为()A. B.3 C.4 D.8.如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为直线,且过点,下列说法:①;②;③;④若,是抛物线上两点,则,其中说法正确的是()A.①②③B.②③C.①②④D.①②③④二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
9.方程的解是_________.10.四边形ABCD内接于圆,若,则____度.11.若扇形的圆心角为,半径为6,则这个扇形的弧长为_____结果保留12.一元二次方程的两根为、,则的值是_______.13.抛物线沿x轴向右平移1个单位长度,则平移后抛物线对应的表达式是__________.14.如图,AB是的直径,弦于点若,,则弦CD的长是___.15.如图,半径为4的与含有角的直角三角板ABC的边AC切于点A,将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移,当平移到AB与相切时,该直角三角板平移的距离为_____.16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点,C为平面内的动点,且满足,D为直线上的动点,则线段CD长的最小值为_______.三、计算题:本大题共1小题,共6分。
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2012年南京外国语学校高中招生考试数学冲刺试题(三)一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.用四舍五入法把0.06097精确到千分位后,所得近似值的有效数字是( ). A .0,6,0 B .0,6,1,0 C .6,0,9 D .6,1 2.下列等式正确的是( ). A .(-1)5 = 1 B .(-2)3×(-2)2 = 26 C .(-5)8 ÷(-5)2 =-56 D .(-4)0 = 1 3.已知 x + y = x -1 + y -1≠0,则xy 的值为( ). A .-1 B .0 C .1 D .24.如图,涪江河电站(青义)工程,需开挖土石方约53万m3,要求34个月完成.施工队加班加点,提前两个月完工.施工队实际挖洞所用的时间t (月)与剩余土石方量M (万m3)的函数关系图象大致是( ).5.已知等腰三角形的两边长分别为6 cm ,3 cm ,则该等腰三角形的周长是( ). A .9 cm B .12 cm 或15 cm C .12 cm D .15 cm 6A .5人 B .6人 C .4人 D .7人7.若方程组⎩⎨⎧=-+=+3)1(,134y a ax y x 的解x 与y 相等,则a 的值等于( ).A .4B .10C .11D .12 8.如图,以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 是小圆的切线,点P 为切点,且AB = 4,OP = 2.连结OA 交小圆于点E ,则扇形OEP 的面积为( ).A .4πB .3πC .2πD .8π9.△ABC 中,A (-1,2),B (-3,1),C (0,-1).若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180︒后得到△A′B′C′,则A 点的对应点A′ 的坐标是( ). A .(2,-3) B .(1,-3) C .(2,-4) D .(1,-4)10.已知函数x y 21=,y2 = x + 1,若y1>y2,则x 的取值范围是( ).E AB POA .x <-1 或 0<x <2B .-1<x <0 或 x >2C .-2<x <0 或 x >1D .x <-2 或 0<x <111.设b >则aA .1B .-1C .251-- D .251+-12.如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,正三角形ABC 的三顶点分别在l1、l2、l3上,则△ABC 的边长a 是( ).A .32B .364C .4173D .3212二、填空题:本大题共6个小题,每小题4分,共24分.将答案直接填写在题中横线上.13.21-的倒数是 .14.计算:(9a2b -6ab2)÷(3ab )= .15.代数式11-x 有意义时,字母x 的取值范围是 .16.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB = CD ,对角线AC 、BD 相交于点下有四个结论: ① 梯形ABCD 是轴对称图形; ② ∠DAC =∠DCA ; ③ △AOB ≌△DOC ; ④ △AOD ∽△BOC . 请把正确的结论的序号填在横线上:17.如图,在直角三角形ABC 中,∠ACB = 90︒,CA = 4. 点P 是半圆弧AC 的中点,连接BP ,线段BP 把图形APCB分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是 .18.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是 .三、解答题:本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分)BD A O C BC Al1 l2l3(1)计算:︒+︒+︒30tan 160sin 160cos .(2)先化简,再求值:)2(2a b ab a a b a --÷-,其中a = 1 +3,b = 1.20.(本题满分12分)房屋交易会期间,某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机问卷调查.共发放1 000份调查问卷,并全部收回,根据调查问卷,将消费者年收入的情况整理将消费者打算购买住房面积的情况调查后,做出部分频数分布直方图:题:(1)根据表格可得,被调查的消费者平均年收人为 万元;被调查的消费者年收入的中位数是 万元;在平均数、中位数这两个数中 更能反映被调查的消费者年收入的一般水平;(2)根据频数分布直方图可得,打算购买100-120平方米房子的人数为 人;打算购买住房面积小于100平方米的消费者人数与被调查人数的百分数是 面积/平方米;(3)在图中补全这个频数分布直方图. 21.(本题满分12分)如图,请在下列四个等式中,选出两个作为条件,推出△AED 是等腰三角形,并予以证明.(写出一种即可) 等式:① AB = DC , ② BE = CE ,③ ∠B =∠C , ④∠BAE =∠CDE .B A D E C22.(本题满分12分)平面直角坐标系中,点A 在第一象限,点B 的坐标为(3,0),OA = 2,∠AOB = 60 . (1)求点A 的坐标;(2)若直线AB 交y 轴于点C ,求△AOC 的面积.23.(本题满分12分)青年旅行社为吸引市民组团去香水湾风景区旅游,推出了如下收费标准:某单位组织员工去香水湾风景区旅游,共支付给青年旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去香水湾风景区旅游? 24.(本题满分12分)如图,AB ,AC ,AD 是圆中的三条弦, 点E 在AD 上,且AB = AC = AE .请你说明以下各式成立的理由. (1)∠CAD = 2∠DBE ;(2)AD2-AB2 = BD · DC .OByxA如果人数不超过25人,人均旅游费用为1000元 如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低20元,但人均旅游费用不得低于700元 D A CE B25.(本题满分14分)设抛物线y = ax2 + bx-2与xA(-1,0)、B(m,0),与y轴交于点C.且∠ACB = 90°.(1)求m的值和抛物线的解析式;(2)已知点D(1,n)在抛物线上,过点A的直线y = x + 1交抛物线于另一点E.若点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似,求点P的坐标.参考答案一.1.D 2.D 3.C 4.A 5.D 6.A 7.C 8.C 9.D 10.D 11.B 12.D 二.13.—2 14. 3a -2b 15. x >1 16.①③④ 17.4 18.16三. 19.(1)原式=323121++=23321=++;(2)原式=a b ab a a b a 222+-÷-=b a b a b a -=--1)(2. 把a = 1 +3,b = 1代入,可得原式=33.20.(1)2.39,1.8,中位数 (2)240,52% (3)如图(见前) 21.已知:①③(或①④,或②③,或②④) 证明:在△ABE 和△DCE 中,∵ ∠B =∠C ,∠BEA =∠CED ,AB = DC , ∴ △ABE ≌△DCE ,∴ AE = DE . △AED 是等腰三角形. 22.(1)过点A 作x 轴的垂线,垂足为D . 在Rt △OAD 中,OA = 2,∠AOB = 60︒,∴ ∠OAD = 30︒,OD =21OA = 1,于是 AD =3.A (1,3).(2)设直线AB 的解析式为y = kx + b , 把A (1,3),B (3,0)分别代入,得⎩⎨⎧+=+=,30,3b k b k 解得23-=k ,233=b .∴ AB 的解析式为y =23-x +233.令 x = 0 得 y =233,则C (0,233).所以,S △AOC =21OC ×1 =433.23.设该单位这次共有x 名员工去香水湾风景区旅游,因为1000×25 = 25000<27000,所以员工人数一定超过25人.可得方程 x = 27000,整理,得 x2-75x + 1350 = 0, 解得 x1 = 45,x2 = 30. 当x1 = 45时,1000-20(x -25)= 600<700,故舍去x1. 当x2 = 30时,1000-20(x -25)= 900>700,符合题意.答:该单位这次共有30名员工去香水湾风景区旅游.24.(1)如图,连接BC ,∵ AB = AC = AE , ∴ ∠5 =∠2,∠2 +∠3 =∠6. A C EB 124 563又 ∠4 +∠5 =∠6 =∠2 +∠3, ∴ ∠4 =∠3.而 ∠1 =∠4 +∠3,∴ ∠1 = 2∠4,即 ∠CAD = 2∠DBE . (2)设BC 与AD 的交点为G . ∵ ∠2 = ∠5,∠BAG =∠DAB ,∴ △BAG ∽△DAB , ∴ AB2 = AG · AD . ∴ AD2-AB2 = AD2-AG · AD = AD (AD -AG )= AD · DG . 又 ∵ ∠5 =∠ADC ,∠DBG =∠1,∴ △BDG ∽△ADC ,∴ DB: AD = DG:DC ,AG · AD = BD · DC . ∴ AD2-AB2 = BD · DC . 25.(1)在y = ax2 + bx -2中,令x = 0,得 y =-2, ∴ C (0,-2). ∵ ∠ACB = 90°,CO ⊥AB ,∴ △AOC ∽△COB ,∴ OA·OB = OC2,∴ OB = 4,即 m = 4.将A (-1,0),B (4,0)代入y = ax2 + bx -2,解得21=a ,23-=b .∴ 抛物线的解析式为223212--=x x y .(2)D (1,n )代入223212--=x x y ,得 n =-3.由 y = x + 1和223212--=x x y 解得⎩⎨⎧=-=01y x 或 ⎩⎨⎧==76y x∴ E (6,7).过E 作EH ⊥x 轴于H ,则H (6,0),∴ AH = EH = 7,∴ ∠EAH = 45°. 过D 作DF ⊥x 轴于F ,则F (1,0),∴ BF = DF = 3,∴ ∠DBF = 45°, ∴ ∠EAH =∠DBF = 45°. 从而 ∠DBH = 135°,90°<∠EBA <135°, 则点P 只能在点B 的左侧:① 若△DBP1∽△EAB ,则 AE BD AB BP =1,∴715272351=⨯=⋅=AE BD AB BP ,∴ 71371541=-=OP ,得 ),(07131P .② 若△DBP2∽△BAE ,则 AB BD AE BP =2,∴4223272⨯⋅=BD AE BP ∴52245422=-=OP , 得 ),(05222-P .综合①、②,点P 的坐标为),(07131P 或),(05222-P .。