山西省运城市高考数学一轮复习：42 空间向量及其运算(理科专用)

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2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录

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2025年高考数学一轮复习第八章 -第五节空间向量及其运算【课件】

2.共面向量定理:如果两个向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是存在
唯一
= +
______的有序实数对
, ,使____________.
3.空间向量基本定理
如果三个向量,,不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组 , , ,
= + +
相反
（ⅱ）当 < 0时,与的方向______.

②当 = 0或 = 时, =___.
（4）空间向量的线性运算满足如下运算律:对于实数与 ,向量与,有
① + = + ；②( + ) = + .
四、空间向量的数量积及运算律
1.数量积
非零向量,的数量积 ⋅ = cos⟨,⟩.
边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
（3）给定一个实数与任意一个空间向量,则实数与空间向量相乘的运算称为数
乘向量,记作.其中:

①当 ≠ 0且 ≠ 时,的模为______,而且的方向如下:
相同
（ⅰ）当 > 0时,与的方向______；
第八章立体几何与空间向量
第五பைடு நூலகம் 空间向量及其运算
1
1 强基础知识回归
2
2 研考点题型突破
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其
课坐标表示.
标 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量
解的数量积判断向量的共线和垂直.
+ + = 1）,为空间中任意一点.
3.若 = + 且点或点不在平面内,则//平面.

2025年高考数学一轮复习-8.6-空间向量及其运算和空间位置关系【课件】

PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,所
以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
n= −2,1,1 ,则(
)
A.l∥α
B.l⊥α
C.l⊂α或l∥α
D.l 与α斜交
【解析】选C.因为a= 1,0,2 ,n= −2,1,1 ,
所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l⊂α.
核心考点·分类突破
考点一利用空间向量证明平行问题
角度1 线面平行
[例1]如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 2,M是AD的
因为=(0,1,0),=(0,2,0),
所以=2,所以BC∥EF.
又因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
所以EF∥平面PBC,
同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.
又因为EF∩GF=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.
解题技法
利用空间向量证明线面、面面平行的方法
中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.
【证明】如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,
建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知,A(0, 2,2),B(0,- 2,0),D(0, 2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0),
1
2

,所以k=4.
−2
3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量

2024届高考数学一轮复习+第七章《立体几何与空间向量》第五节+空间向量及其运算+课件

（5）空间向量基本定理定理:如果三个向量 , , 不共面,那么对空间任一向量 ,存在唯一有序实数组使得 _____________.推论:设 , , , 是不共面的四点,则对平面内任一点都存在唯一的有序实数组，使，且 .
2.数量积及坐标运算
（1）两个向量的数量积； _________（ , 为非零向量）; ____.
10
[解析] ，，， .
关键能力·突破
考点一空间向量的线性运算
1. （2022广东深圳重点中学高三联考）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，，又，，， .
③ ,正确；④ 与不是一对相反向量,是相等向量，错误.正确结论的个数为1，故选A.
4. 已知四边形为正方形，是正方形所在平面外一点，在平面上的射影恰好是正方形的中心，是的中点，求下列各题中，的值：
（1）；
[解析] 如图，， .
（2） .
迁移应用
2. （2022江苏南通期末）试写出一个点的坐标：_ _______________________，使之与点，共线.
（答案不唯一）
[解析] 设 ,令，则，故， ,不妨令，则，故 .
3. （2022山西运城二模）如图，在几何体中，，，均为边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面 .求证：，，，四点共面.
5. （2022福建宁德期末）如图，在平行六面体中，，，，点是中点，则异面直线与所成角的余弦值是_ ____.
[解析] ， .又，，从而有，， .
方法感悟用已知向量表示某一向量的三个关键点（1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合空间图形，以图形为指导是解题的关键.（2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.（3）在空间中，向量的三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

高考数学一轮复习第八章立体几何第6节空间向量及运算课件理

⑦cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3
.
a21＋a22＋a32· b12＋b22＋b23
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．(
)
(2)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋
D→A＝0.(
)
(3)对于向量 a，b，若 a·b＝0，则一定有 a＝0 或 b＝0.(
B．(－1，－3,2)
C.－12，32，－1
D．( 2，－3，－2 2)
[解析] 可知－12a＝－12，32，－1，选 C.
[答案] C
4．若向量 a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，且〈a，b〉＝π3，则
实数 z＝(
)
A. 22
B．5
C．± 22
D．±5
[解析] ∵cos〈a，b〉＝cosπ3＝|aa|· ·|bb|
其中真命题的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①正确，②中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 p ＝xa＋yb 就不成立．③正确．④中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不正确．
[答案] B
6．已知 a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．
)
(4)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(
)
(5) 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相
同．(
)
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×

2021版新高考数学一轮集训42 空间向量的运算及应用

空间向量的运算及应用建议用时：45分钟一、选择题1．已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0，3，－6) B ．(0，6，－20) C ．(0，6，－6)D ．(6，6，－6)B [由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20).]2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内D [∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面．则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．]3．已知a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )A ．a ∥c ，b ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对C [∵c ＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a ，∴a ∥c ，又a·b ＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a ⊥b .]4.如图所示，三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →＝( )A ．12(－a ＋b ＋c ) B ．12(a ＋b －c )C ．12(a －b ＋c ) D ．12(－a －b ＋c )B [NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝12(a ＋b －c ).]5．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定C [∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD → ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．] 二、填空题6．在空间直角坐标系中，A (1，1，－2)，B (1，2，－3)，C (－1，3，0)，D (x ，y ，z )(x ，y ，z ∈R )，若A ，B ，C ，D 四点共面，则2x ＋y ＋z ＝________．1 [∵A (1，1，－2)，B (1，2，－3)，C (－1，3，0)，D (x ，y ，z )(x ，y ，z ∈R )，∴AB →＝(0，1，－1)，AC →＝(－2，2，2)，AD →＝(x －1，y －1，z ＋2).∵A ，B ，C ，D 四点共面，∴存在实数λ，μ使得AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －1，y －1，z ＋2)＝λ(0，1，－1)＋μ(－2，2，2)，∴⎩⎨⎧x －1＝－2μ，y －1＝λ＋2μ，z ＋2＝－λ＋2μ，解得2x ＋y ＋z ＝1.] 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N 〉的值为________．459 [如图建立空间直角坐标系D -xyz ，设正方体棱长为2，则易得CM →＝(2，－2，1)，D 1N ＝(2，2，－1)，∴cos 〈CM →，D 1N 〉＝CM →·D 1N |CM →||D 1N |＝－19，∴sin 〈CM →，D 1N 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－192＝459.]8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．①②③ [∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确．∵BD →＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)， ∴BD →与AP →不平行，故④错误．] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．[解] (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2) ＝(－2，－1，2)，∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3，∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2). (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，故向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.10.如图，在棱长为a 的正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz .(1)写出点E ，F 的坐标； (2)求证：A 1F ⊥C 1E ；(3)若A 1，E ，F ，C 1四点共面，求证：A 1F ＝12A 1C 1＋A 1E ． [解] (1)E (a ，x ，0)，F (a －x ，a ，0). (2)证明：∵A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )， ∴A 1F ＝(－x ，a ，－a )，C 1E ＝(a ，x －a ，－a )， ∴A 1F ·C 1E ＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0， ∴A 1F ⊥C 1E ， ∴A 1F ⊥C 1E .(3)证明：∵A 1，E ，F ，C 1四点共面， ∴A 1E ，A 1C 1，A 1F 共面．选A 1E 与A 1C 1为在平面A 1C 1E 上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A 1F ＝λ1A 1C 1＋λ2A 1E ，即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a ，0)＋λ2(0，x ，－a ) ＝(－aλ1，a λ1＋xλ2，－aλ2)，∴⎩⎨⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F ＝12A 1C 1＋A 1E ．1．在空间四边形ABCD 中，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [法一：(直接法)如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c, 则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →) ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.法二：(特值法)在三棱锥A -BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．所以AB →·CD →＝0，AC →·DB →＝0，AD →·BC →＝0. 所以AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝0.]2.(2019·四川名校联考)如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定B [∵正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a3， ∴MB →＝23A 1B ，CN →＝23CA →， ∴MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B ＋BC →＋23CA →＝23(A 1B 1＋B 1B )＋BC →＋23⎝⎛⎭⎫CD →＋DA →＝23B 1B ＋13B 1C 1．又∵CD →是平面B 1BCC 1的法向量，且MN →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23B 1B ＋13B 1C 1·CD →＝0，∴MN →⊥CD →，∴MN ∥平面B 1BCC 1.故选B.]3．△ABC 的顶点分别为A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 等于________．5 [设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴D (1，4λ－1，2－3λ)， ∴BD →＝(－4，4λ＋5，－3λ)， ∵AC →·BD →＝0，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝（－4）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5.]4．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝1，∠ACD ＝90°，把△ADC 沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求BD 的长．[解] ∵AB 与CD 成60°角， ∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°.又∵AB ＝AC ＝CD ＝1，AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，∴|BD →|＝BD →2＝（BA →＋AC →＋CD →）2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD → ＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉＝3＋2cos 〈BA →，CD →〉，∴|BD →|＝2或 2.∴BD 的长为2或 2.1．已知O (0，0，0)，A (1，2，1)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．(1，1，2) [由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1，1，2).]2.如图所示，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ，若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．[解] (1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．底面边长为a ，则高SO ＝62a ，于是S ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，62a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD . (2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面P AC .理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量，且DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0.设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a （1－t ），62at ，而BE →·DS →＝0⇒t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE ⊥DS . 而BE ⊄平面P AC ，故BE ∥平面P AC .快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件

(3)a·b= x1x2+y1y2+z1z2
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识预案自诊
02
关键能力学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有大小
又有方向
(2)向量的模(或长度):向量的大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1

高考数学一轮复习空间向量及其运算

第6节空间向量及其运算和空间位置关系最新考纲i•了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示；2.了解空间向量的线性运算及其坐标表示； 3.了解空间向量的数量积及其坐标表示.旦归敦材，夯变基础知识梳理1 •空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量单位向量长度(模)为1的向量一相等向量方向相同且模相等的向量a= b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为一a表示空间向量的有向线段所在的共线向量a // b直线互相平行或重合的向量共面向量平仃于同一个平面的向量2. 空间向量中的有关定理⑴共线向量定理空间两个向量a(a^ 0)与b共线的充要条件是存在实数入使得b= 2a.推论如图所示，点P在I上的充要条件是= OA+ t a①其中a叫直线I的方向向量，t€ R，在I上取AB = a,则①可化为OA+ tAB或(2) 共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p= x a+ y b，其中x, y€ R, a, b为不共线向量，推论的表达式为MlP= xMlA+ yMlB或对空间任意一点0,有OP= OM + xMlA+ yMB 或0P= xOM + yOA+ zOB,其中x+ y+ z=丄.(3) 空间向量基本定理如果向量e i, e2, e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数2i,力，办，使得a= 姫+农eg+ ，空间中不共面的三个向量e i,e2, e s叫作这个空间的一个基底.3. 空间向量的数量积及运算律(1) 数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a, b,在空间任取一点0,作0A= a, 0B= b,则/AOB叫做、, n向量a与b的夹角，记作〈a, b〉,其范围是［0, n,若〈a, b〉= 2，则称a与b互相垂直，记作a丄b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a, b,则|a ll b|cos〈a, b〉叫做向量a, b的数量积，记作 a b,即 a b= |a||b|cos〈a, b〉.⑵空间向量数量积的运算律①结合律：(2a)b=!a_b)；②交换律：ab= ba；③分配律：a (b+ c) = a b+ a c.4. 空间向量的坐标表示及其应用设a= (a i, a2, a3), b= (b i, b2, b3).模|a|寸a l + a2+ a3夹角〈a，b> （a^0，0）. a i b i + a2b2 + a3b3 COS〈 a，b〉j 2 2 2J2 22寸a i + a2 + a3 •b i + b2 + b25. 直线的方向向量和平面的法向量⑴直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线I平行或重合，贝U称此向量a为直线I的方向向量.⑵平面的法向量：直线I丄a取直线I的方向向量a,贝U向量a叫做平面a的法向量.6. 空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线I l，2的方向向量分l i // I2n i // n2? n i=也别为n i，n2I l 丄I2n i X n2? nj22 = 0直线1的方向向量为n，I // a n 丄m? n m = 0平面a的法向量为m I丄a n// m? n= 2m平面a，B的法向量分别all B n// m? n= 2m为n，m a丄B n 丄m? n m = 0［常用结论与微点提醒］1. 共线向量定理的推论如图所示，点P在I上的充要条件是OA+ t a①其中a叫直线I的方向向量，t€ R，在I上取AB = a,则①可化为OA+ tAB或（1- t）OA+ tOB.2. a b= 0? a = 0 或b= 0 或〈a，b〉=才3. a b<0不等价为〈a，b〉为钝角，因为〈a，b〉可能为180°a b>0不等价为〈a, b〉为锐角，因为〈a, b〉可能为0°诊断自测1 •思考辨析(在括号内打“V”或“x”)(1) 空间中任意两非零向量a, b共面.()(2) 对任意两个空间向量a, b,若ab= 0,则a丄b.( )⑶若｛a, b, c｝是空间的一个基底，则a, b, c中至多有一个零向量.()⑷若ab v0,则〈a, b〉是钝角.()解析对于(2),因为0与任何向量数量积为0,所以⑵不正确；对于(3),若a,b, c中有一个是0,则a, b, c共面，所以(3)不正确；对于⑷，若〈a, b〉= n, 则a b<0,故(4)不正确.答案(1)2⑵x ⑶x ⑷x2. 在空间直角坐标系中，A(1, 2, 3), B(-2, - 1, 6), C(3, 2, 1), D(4, 3,0),则直线AB与CD的位置关系是()A .垂直B.平行C.异面 D .相交但不垂直解析由题意得，AB= (-3,-3, 3), C D = (1, 1,- 1),••• AB= —3CD，二AB与CD共线，又AB与CD没有公共点.••• AB// CD.答案B3. (选修2- 1P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1 与B1D1的交点.若AB= a, AD= b, AA1 = c,则下列向量中与BM相等的向量是()A. —§a + §b+ c B*2a+ §b+ c1解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM = BB1 + BM = AA i + -(AD- AB) = c+ -(b- a) = —2a + -b+ c.答案A4. 已知a= (2, 3, 1), b= (-4, 2, x)，且a丄b,则|b匸解析ab= 2X (—4)+ 3X 2+ 1 •= 0, /•x= 2,••• |b|= (- 4) 2+ 22+ 22= 2 6.答案 2 65. O为空间中任意一点，A, B, C三点不共线，且0P = 4OA+ -0B + tOC,若P,A, B, C四点共面，则实数t= __________ .3 - -解析v P, A, B, C 四点共面，• 4 + +1= 1, •t= ~.1答案-6. (2018嘉兴测试)设直线I的方向向量为a,平面a的法向量为n = (2, 2, 4),若a= (1, 1, 2),贝U直线I与平面a的位置关系为_________ ；若a= (—1，— 1 , 1),则直线I与平面a的位置关系为_________ .1解析当a= (1, 1, 2)时，a =尹，则I丄a；当a= (- 1,- 1, 1)时，a n= (-1,- 1, 1) (2, 2, 4) = 0,贝U l // a或l? a.答案I丄a l // a或l? aI考点突破丨分类讲练■、以俺求沱考点一空间向量的线性运算【例1】女口图所示，在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1 = a, AB= b, AD = c, M , N, P分别是AA1, BC, C1D1 的中点，试用a, b, c表示以下各向量：(1) AP；(2)MP + N A1.1；D I +D T P= a+ AD +解⑴因为P 是C i D i 的中点，所以AP = A A I +A—a+ c+ §AB = a+ c+ q b.⑵因为M是AA I的中点，所以MP —M A+A P1A+A P—|Ai i i i—-q a+ a+ c+ q b —q a+ q b+ c.i又NC i —N C+CC i —qBC+AA Ii ——i—qAD + AA I—q c+ a,苏+ g b+ c + a + q c所以M P+N C I—3 i 3—q a+ q b+q c规律方法(i)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.⑵首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.A【训练1】如图，三棱锥O — ABC 中，M , N 分别是AB , OC 的中点，设OA = a , OB = b , OC = c ,用 a , b , c 表示N M ，则 N M =（）A*2（ — a + b + C ） C*2（ a — b + c ）D*2（— a — b + c ）解析 N M = NA + AM =（OA —O N ）+2AB—OA — qOC + 2（OB — OA ） = qOA + qOB — qOC 1 —2（a + b 一 c ）. 答案 B考点二共线定理、共面定理的应用【例2】已知E , F , G , H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB , BC , CD , DA 的中点，用向量方法求证：（1） E , F , G , H 四点共面；（2）BD //平面 EFGH.证明 ⑴连接 BG ,贝U EG — EB + BG — EB + 1（BC + BD ）— EB + BF + EH — EF +EH ,由共面向量定理知E , F , G , H 四点共面.（2）因为E H — A H —A E — 2AD — 2AB — 1（A D —AB ） — ^B D ，因为 E , H , B ,D 四点不共线，所以EH // BD.又 EH?平面 EFGH , BD?平面 EFGH , 所以BD //平面EFGH.规律方法（1）证明空间三点P , A , B 共线的方法B*2（a + b 一 c ）①PA= ?P B(X€ R)；②对空间任一点O, OP = xOA+ yOB(x+ y= 1).(2) 证明空间四点P, M , A, B共面的方法①IMP= xlMA+ yMB;②对空间任一点O, OP = xOM + yOA+ zOB(x+y+z= 1);③PMl// AB(或PA// MB或PB// AM).(3) 三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【训练2】(1)若A( —1, 2, 3), B(2, 1, 4), C(m, n, 1)三点共线，则m+ n=(2)已知空间四点A(—2, 0, 2), B(—1, 1, 2), C(—3, 0, 4), D(1 , 2, t),若四点共面，贝U t的值为 _________ .解析(1)AB= (3,—1, 1), AC= (m+ 1, n —2,—2).••• A, B, C 三点共线，二AB// AC,m+1 n—2 —23 —1 1 ，••• m= —7, n = 4, 二m+ n= —3.(2)AB= (1, 1, 0), AC二(—1 , 0, 2), AD= (3, 2, t —2),••• A, B, C , D四点共面，•AB, A C , AD共面.设Ab= xAB+yAC,即(3, 2, t —2)= (x—y, x, 2y),X — y =3, X =2,则x = 2, 解得y =— 1,「.t 的值为0.2y = t — 2, t = 0.答案⑴―3⑵0考点三空间向量数量积的应用【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a,点M , N 分别是AB , CD 的中点.(1) 求证：MN 丄AB , MN 丄CD ;(2) 求MN 的长；(3) 求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值.(1) 证明设AB = p , AC = q , AD = r .由题意可知，|p |=|q 匸|r |= a ,且p , q , r 三向量两两夹角均为60°1 11MN = AN — AMl = 2(AC + AD) — 2(q + r — p ),••• MN AB = 2(q + r — p ) P=cos 60 + a 2cos 60 — a 2) = 0.••• MN 丄 AB ,即卩 MN 丄 AB.同理可证MN 丄CD._1⑵解由⑴可知MN 二2(q + r —p ),• |MN f 二 4(q + r — p )21 2 2 2二 4【q + r + p + 2(q r — p q — r p )]V 2 2 2 ，一2、p +r p —p ) 2 , 2 , 2 , c a 2 a 2、2 2(■—4 la + a + a + 2 Q—彳21 2 a—-x 2a2—74 2'•|MN|-弟. • MN 的长为#a.⑶解设向量AN 与MC 的夹角为9.AN =2(AC + A D)=2(q + r ),MC — AC — AM = q 一 q p ,••• AN MC — 2(q + r ) (q- g p )1 2 1 1 —2(q ― 2q P + rq — 2「P )1 2 1 2 2 1 22(a — 2a cos 60 + a cos 60 — qa cos 60)’ 2 2 2 2夹角直接计算；二是利用坐标运算•可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1归工 0，0, a 丄 b ? a b = 0;⑵ |a |= ,a 2；a b(3) cos 〈a , b 〉-丽【训练3】如图所示，四棱柱 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°2因此异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为3.—l (a 2一 a_+ 鱼一 a_)—a_—2(a 4 十 2 4)—2. 又T |AN|— |MC| — -^a ,————_• AN MC — AN||MC|cos 9—~^a x • cos 9— 3，.••向量AN 与MC 的夹角的余弦值为 .3 .3 _ 三a x-^a x cos 缸㊁. 23, 规律方法利用数量积解决问题的两条途径:是根据数量积的定义，利用模与⑴求AC i 的长；(2) 求证：AC i 丄 BD ;⑶求BD i 与AC 夹角的余弦值.(1) 解记AB = a , AD = b, AA i = c ,则|a |= |b |= |c |= 1,〈a , b 〉=〈 b , c 〉=〈 c , a 〉= 60 ：• a b = b c = c a = g AC i f = (a + b + c )2 = a 2+ b 2+ c 2 + 2(a b + b c + c a ) i1 i i ) =i + i + i + 2X 3 + 3 + 3 = 6, <2 2 2) •I AC i |= .6,即 AC i 的长为.6. (2) 证明 °.°AC i = a + b + c , BD = b — a , 二 AC i B D = (a + b + c ) (b — a ) =a b + b + b c — |a |2— a b — a c = b c — a c =|bg cos 60 — |a ||c |cos 60 = 0. ••• AC i 丄BD ,.・. AC i 丄BD. ⑶解 B D i = b + c — a , AC = a + b, |BD I | = A /2, |AC| = V 3, B D i AC = (b + c — a ) (a + b ) 2 2 =b — a + a c + b c = i. 考点四利用空间向量证明平行与垂直【例4】（一题多解）如图，在四面体 A — BCD 中，AD 丄平面BCD , BC 丄CD , AD = 2, BD = 2 2, M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且 AQ = 3QC.cos 〈 EBD i , AC 〉B B I AC _心|B D i |AC| 6 ••• AC 与BD i 夹角的余弦值为_6 6 .证明：PQ//平面BCD.证明法一如图，取BD的中点0,以0为原点，0D, OP所在射线分别为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz由题意知，A(0, .2, 2)，B(0,—2, 0), D(0, 2, 0).设点C的坐标为(x o, y o, 0).因为AQ= 3Q C,所以Q弘话+弘1 -因为M为AD的中点，故M(0, •. 2, 1).又P为BM的中点，故P 0, 0, 1,所以元=4%0，¥+ |y0, 0 .又平面BCD的一个法向量为a= (0, 0, 1),故PQ a = 0.又PQ?平面BCD，所以PQ//平面BCD.法二在线段CD上取点F，使得DF = 3FC,连接OF,同法一建立空间直角坐标系，写出点A, B, C的坐标，设点C坐标为(X0, y0, 0).•••C F=4CD，设点F坐标为(x, y, 0),贝U(x—X0, y—y0, 0) = 4(—X0, .2 —y°, 0),K 3x 0，j 酉3二芜y ^4+4y °，••• O F = P Q ,A PQ // OF .又PQ?平面BCD , OF?平面BCD , ••• PQ//平面 BCD.规律方法（1）恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.（2）证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.（3）用向量证明垂直的方法① 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.② 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③ 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.【训练4】如图所示，已知四棱锥P - ABCD 的底面是直角梯形，/ ABC =Z BCD =90° AB = BC = PB = PC = 2CD ，侧面 PBC 丄底面 ABCD.证明：(1)PA 丄 BD ;又由法一知PQ = 3 2 3 门4x 0, z +4y o , 0 ,⑵平面FAD丄平面PAB.证明（1）取BC的中点0,连接PO,•••平面PBC丄底面ABCD, △ PBC为等边三角形，••• P0丄底面ABCD.以BC的中点0为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点0与AB平行的直线为y 轴，0P所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD= 1，贝U AB= BC = 2，P0= 3.•A(1,—2, 0)，B(1, 0，0)，D(- 1，- 1, 0)，P(0，0，.3).•BD二(-2,-1, 0), PU (1,- 2,- .3).••• BD PA= (-2)X 1 + (- 1)X (-2)+ O X (- 3) = 0,•PA X BD, •PA丄BD.⑵取PA的中点M,连接DM，则M 1，- 1,石3••- DM二3, o,宁,PB= (1, 0,- 3),•D M P B=|X 1 + 0x0+23X (- .3) = 0,•D M丄PB,即卩DM丄PB.•••D M R A=3X 1 + 0x (-2) +-23X(—.3) = 0,•DM 丄FA, 即卩DM 丄PA.又•••FA P PB= P,.・. DM 丄平面FAB.v DM?平面FAD，•平面PAD丄平面FAB.I课乍业另层训练■，提升能力基础巩固题组一、选择题 1. （2017 台州统考）已知向量 a = （2m + 1, 3, m — 1）, b = （2, m ,—m ）, 则实数m 的值等于（） C . 0答案 B 2 .在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M ,N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则渝〉的值为（）八1 门4 ；5 厂.2*5 小2 A.9 B. 9 C. 9 D.3 解析如图，设正方体棱长为2,则易得C M =（2,— 2, 1）, D 1N =（2, cos 〈 CM , D 1N > CM D 1N _ 1 |CM||D 1N| 9答案 B3. 空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么（ a. AE B C <AE C D且 a / b , 解析 t a // b, 2m + 1 2 3 m — 1 m = 解得m = — 2.sin 〈 CM , 2,— 1),b. AE B C_ AE C Dc. A E B C> AE C DD.AE BC与AE CD的大小不能比较1 _解析取BD的中点F，连接EF，则EF綉"CD，因为〈AE, EF〉=〈A E,C D〉>90；因为A E B C=o, ••• AlCb v o,所以AfeBfc>AlCt).答案C4. 已知向量a= (1, 1, 0), b= (—1, 0, 2),且k a+ b与2a—b互相垂直，则k的值是()4 5 7A. —1B.C. D~3 3 5解析由题意得，k a+ b= (k—1, k, 2), 2a—b= (3, 2,—2).所以(k a+ b) (2a —b) = 3(k—1) + 2k—2x2 = 5k—7 = 0,解得k= 7.答案D5. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E, F分别是BC, AD的中点，则AE AF的值为()2 12 12 32A. aB.石a C~a D.丁a2 4 4解析如图，设AB= a, AC= b, AD = c,则|a|= |b|=|c| = a,且a, b, c三向量两两夹角为60 :Al= 2(a+ b), AF=*C,••• AE AF= 2(a+ b) j c =；(a c+ b c)1 2 2 1 2=4(a cos 60 +a cos 60 )= 4a .答案C6. 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M , P, Q分别为棱AB, CD ,BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则:① A i M // D i P ; ② A i M // B i Q ;③ A i M //平面 DCC i D i ； ④ A i M //平面 D i PQB i . 以上说法正确的个数为(C . 3D . 4解析 A I M = A !A +A M =A i A + 2AB , D 1P = D I D + DP =A i A +*AB ,••• A I M // D ip ,所以A i M // D i P ,由线面平行的判定定理可知，A i M //平面DCC i D i , A i M //平面 D i PQB i .①③④ 正确. 答案 C 二、填空题7. ______________________________ 已知 2a + b = (0,— 5, i0), c = (i ,- 2,— 2), a c = 4, |b |= i2,则以 b , c 为方向向量的两直线的夹角为 . 解析由题意得，(2a + b )c = 0+ i0— 20=— i0.即 2a c + bc =— i0,又 v a c = 4, • bc = — i8,答案 60°8. (2018湖州月考)已知a = (—2, 1, 3), b = (— 1, 2, 1), a 与b 夹角的余弦值为 ________ 若 a 丄(a — 2b)，贝U A _______ .—i8••• cos 〈 b,|b |1旷 i21二1 2, • <b , c>=i20o , •两直线的夹角为60°解析 v a = (— 2, 1, 3), b = (—1,2, 1), • cos <a , b>a b 2+ 2 + 3丽厂一14门6二"6~A M ti、. 2 2由题意 a (a — 2b) = 0,即 a — la b = 0,又 a = 14, a b = 7,二 14— 7 后 0,二后 2. 答案-f 29. (2018 温州质检)已知 AB = (1, 5,— 2), BC = (3, 1, z),若AB 丄 E B C , EBP = (X —1, y , — 3)，且 BP 丄平面 ABC ,则 x =3+ 5 — 2z = 0,解析由条件得 X — 1 + 5y + 6= 0,3 (x — 1)+ y — 3z = 0,解得x =岁，y =—学，z = 4. 答案号—罗410.设A 1, A 2,A 3, A 4, A 是空间中给定的5个不同的点，则使; / d成立的点M 的个数有解析设 M(a , b , c), A k = (x k , y k , Z k )(k = 1, 2, 3, 4, 5). 则MA k = (x k — a , y k — b , z k — c),上5 — 5<J = 0*答案1 三、解答题11. 已知空间中三点 A( — 2, 0, 2), B(— 1, 1, 2), C(— 3, 0, 4),设 a = AB , b =A C.3'i-y 7 - j 弋 5右=0・1a= 5 ••• b =1(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5),(y i + y 2 + y 3 + y 4 + y 5), 二存在唯一点 M. 1&5 (Z 1 + Z 2+ Z 3 + Z 4 + Z 5),⑴若c 匸3,且c // BC ,求向量c .(2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值.解(1)： c// BC , BC = (-3, 0, 4)— (- 1, 1, 2) = (-2,— 1, 2), 二 c = mBC = m( — 2,— 1, 2)= (— 2m ,— m , 2m),••• |c |= ( — 2m ) 2+(— m ) 2+(2m ) 2 = 3|m|= 3, •••m =±.「. c = (— 2,— 1, 2)或(2, 1,— 2).(2)：a = (1, 1, 0), b = (— 1, 0, 2),• ab = (1, 1, 0)(—1, 0, 2)=— 1,又 v |a |= 12+ 12+ 02= 2, |b 匸.(—1) 2 + 02 + 22= 5,• cos 〈a , b>= — 一-£°,|a | |b | (1010 'FA X CD , PA _ 1, PD _ 2, E 为 PD 上一点，PE _ 2ED.(1)求证：FA 丄平面ABCD ;(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ,使得BF //平面AEC ?若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由. (1)证明 v PA _ AD _ 1, PD _ 2,• PA 2 + AD 2_ PD 2,即卩 PA X AD.即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为一 .10而. 12. (2018丽水测试)如图所示，四棱锥P — ABCD 的底面是边长为1的正方形,又PA X CD, AD A CD _ D, •PA丄平面ABCD.⑵解以A 为原点，AB , AD , AP 所在直线分别为x 轴，y 轴, z 轴建立空间直角坐标系.则 A(0, 0，0)，B(1, 0，0)， C(1, 1, 0)，P(0, 0, 1)， E 0, 3 3 , AC = (1,1, 0),AE = 0, 2, 1 •设平面AEC 的法向量为n = (x , y , z),则 n = (- 1, 1,— 2).假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF = 2CP(0＜疋1), 使得BF //平面AEC ，则BF n = 0.又••• BF = BC + CF = (0, 1, 0)+ (—入一入为=(—人 1—入莎, 1BF n = 2+ 1 — — 2 入=0,.••入 =2，•••存在点F ，使得BF //平面AEC ,且F 为PC 的中点.能力提升题组13.在空间四边形 ABCD 中，ABCD + AC DB + AD BC =()A . — 1 解析如图,B . 0C . 1D .不确定c则n 心0,n Al = 0, 即x+y = 0,2y +z = 0,令 y = 1,令AB= a, AC = b, AD = c,则AB CD + AC E)B + AD EBC=a (c—b) + b (a —c) + c (b—a)=a c— a b+ b a— b c+ c b— c a= 0.答案B14•若｛a, b, c｝是空间的一个基底，且向量p= x a + y b+ z c,则(x, y, z)叫向量p 在基底｛a, b, c｝下的坐标.已知｛a, b, c｝是空间的一个基底，｛a+ b, a—b, Q是空间的另一个基底，一向量p在基底｛a, b, c｝下的坐标为(4, 2, 3),则向量p在基底｛a+ b, a—b, c｝下的坐标是()A. (4, 0, 3)B. (3, 1, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 1, 3)解析设p在基底｛a+ b, a—b, c｝下的坐标为x, y,乙则p= x(a+ b) + y(a—b) + z c= (x+ y)a+ (x —y)b+ z c, ①因为p在｛a, b, c｝下的坐标为(4, 2, 3),:.p= 4a + 2b+ 3c,②x+ y=4,由①②得x—y= 2,z= 3,x= 3,二y=1,z= 3,即p在｛a+ b, a—b, c｝下的坐标为(3, 1, 3).答案B15. 已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA= (1, 2, 3), (2, 1, 2), OP= (1, 1, 2),且点Q在直线OP上运动，当QA QB取得最小值时，OQ的坐标24是 __________ :解析•••点Q 在直线0P 上，•••设点Q （入人2》, 则QA = (1—人 2—入 3-2》,QB = (2—人 1—入 2 — 2\,QA QB = (1 —》(2 —》+ (2 —》(1 —》+ (3 — 2 2)(2 — 2》=6》—16》+ 10 = 6 2 -3.即当》4时，QAQB 取得最小值一3. 「—禺 4 8、此时 0Q = 3, 3, 3 • 答案44 816. 如图，在棱长为a 的正方体OABC — O 1A 1B 1C 1中，E , F 分别是棱AB , BC 上的动点，且AE = BF = x ,其中O W x <a ,以O 为原点建立空间直角坐标系 O —xyz(1) 写出点E , F 的坐标； (2) 求证：A 1F 丄C 1E ;⑶若 A 1, E , F , C 1 四点共面，求证：A 1F = 2A 1C 1 + A 1E.(1) 解 E(a , x , 0), F(a — x , a , 0). (2) 证明 T A 1(a , 0, a), C 1(0, a , a),A 1F — (— x , a , — a), C 1E — (a , x — a , — a),2C 1E — — ax + a(x — a)+ a — 0, ••• A 1F 丄 GE ,二 A 1F 丄 C 1E.(3) 证明 T A 1, E , F , C 1四点共面,••• A1FE B••• A i E, A1C1, A i F共面.1F 选A1E与A l C i为在平面A i C i E上的一组基向量，则存在唯一实数对（入，劲，使A=2i A r C i+ 加走，即（—x，a，—a）=入（一a，a，0）+ 力（0，x，—a）—（—a /i，a A i + x ）2，— a?2），■ —x——a A，a—a A+ x A，—a ——a A，i 解得A —i，A —i.于是A i F —i A i C i+ A i E.i7.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于i,点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(i)EF BA; (2)EG 的长；(3) 异面直线AG与CE所成角的余弦值.解设AB—a，AC —b，AD — c.则|a|—|b|—|c|—i，〈a，b〉一〈b，c> — < c，a〉一60°,—i —i i —(1) EF—Q BD—?C— 2a，BA——a，——i i i 2 i iEF B A— 2c一2a (—a) —2a一2a c—4，(2) EG —EB+ BC + CG—2a+ b—a+ 2c—^bi i i——?a + ?b+ 2®|EG|2—買+ 器2+ 4c2—i a b+ 2b c—*c a-舟，则|EG|-—i i ———i(3) AG —2b+ ^c，CE —CA+ AE——b+ 3a,cos〈A G, C E>|AG||CE| 3AG Cfc _ 22 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为3.。

高考数学一轮复习第八篇立体几何第6讲空间向量及其运算课件理

第6讲空间向量及其运算
第6讲空间向量及其运算
【2013年高考会这样考】 1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义．【复习指导】空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又对比论证，重点掌握空间向量共线与垂直的条件，及空间向量基本定理的应用．
面的充要条件是存在实数x，y使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 p＝xa＋yb＋zc .
一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．
基础梳理 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量．
2．空间向量的线性运算及运算律
→ AD
、
→ AA1
两两的夹角均为60°，且|
→ AB
|＝1，|
→ AD
|＝2，|
→ AA1
|＝
3，则|A→C1|等于( )．
A．5 B．6 C．4 D．8
解析设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则A→C1＝a＋b＋c， A→C12＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，
因此|A→C1|＝5. 答案 A
5．在四面体O-ABC中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则O→E＝________(用a，b，c表示)．解析如图，O→E＝12O→A＋12O→D＝12O→A＋14O→B＋14O→C＝12a＋14b＋ 1 4c. 答案 12a＋14b＋14c

高考数学一轮复习4空间向量及其运算课件理

第三十五页，共三十八页。
解法二存在点 E，且 E 为 AB 的中点时，DE∥平面 AB1C1. 证明如下：如图，取 BB1 的中点 F，连接 DF，则 DF∥B1C1. ∵DF⊄平面 AB1C1，B1C1⊂平面 AB1C1， ∴DF∥平面 AB1C1. ∵AB 的中点为 E，连接 EF，ED，则 EF∥AB1. ∵EF⊄平面 AB1C1，AB1⊂平面 AB1C1， ∴EF∥平面 AB1C1. ∵DF∩EF＝F， ∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE⊂平面 DEF，∴DE∥平面 AB1C1.
2.解决直线与平面平行的 3 个思维趋向 (1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线． (2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等． (3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维” 到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到 “面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
答案：D
第七页，共三十八页。
3．平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( ) A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β B．存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析：若 α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除 A.若 α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则 a∥β，故排除 B.若 α∩β＝l，a⊂ α，a∥l，b⊂β，b∥l，则 a∥β，b∥α，故排除 C.
∵四边形 BCC1B1 是平行四边形， ∴点 O 为 B1C 的中点． ∵D 为 AC 的中点，∴OD 为△AB1C 的中位线， ∴OD∥AB1. ∵OD⊂平面 BC1D，AB1⊄平面 BC1D， ∴AB1∥平面 BC1D.

2023版高考数学一轮总复习：空间向量及其应用课件理

(5)a⊥b⇔a·b=0⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0 ;
(6)|a|= · =
(7)cos<a,b>=
12 + 22 + 23 ;
·
||||
=
+ +
+ + · + +
.
考点1
空间向量及其运算
4. 空间两点间的距离及中点坐标
l∥α
n·m=0
n⊥m⇔_______
平面α的法向量为m.
l⊥α
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分
α∥β
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
别为n,m.
α⊥β
n⊥m⇔_________
n·m=0
考点2
空间向量的应用
3. 直线与平面所成的角
(1)
直角
射影
(2)线面角θ的取值范围:
π
[0, ]
2
.
(3)最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和
( C )
A.直线的方向向量是唯一确定的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α
C.若两平面的法向量平行,则两平面平行
考点1
空间向量及其运算
3. 空间向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3);
(2)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);
(3)a·b= a1b1+a2b2+a3b3 ;
(4)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) ;

高中数学一轮复习空间向量及其运算PPT课件

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表
考示．纲要求2．标掌表握示空．间向量的线性运算及其坐 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
• 标系xOy中，通过原点O，再作一条数轴z，使垂之直与x轴、y轴都，这样，它们中的任意两条都互相垂直，轴的方向通常这样选择90：° 从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转能与y轴的正半轴重合，这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系O－xyz，O
解析：A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．
B 错．因为|a|＝|b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无关．
C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有A→B>C→D这种写法．
D 对．∵A→B＋C→D＝0，∴A→B＝－C→D， ∴A→B与C→D共线，故A→B∥C→D正确．答案：D
且模的
• (6)共线向量：与平面向量一样，如果表
示空间向量的有向线段所在的直线互相平
行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a平行于b，记平作面a∥b.
• (7)共面向量：平行于同一
的向量
叫做共面向量．
• 3．空间向量中的有关定理
• (1)共线向量定理及其推论
• 共线向量定理：空间任意两个向量a， b(b≠0)，a∥b的充要条a＝件λ是b. 存在实数λ，使
④若 P、M、A、B 共面，则M→P＝xM→A＋yM→B.
其中真命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确；②中若 a，b 共线，p，a 不共线，则 p＝xa＋yb 就不成立；③正确；④中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不成立．

高考数学一轮复习第7章第6节空间向量及其运算(理)

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第定二理级
内容
• 第三级对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条 –定第理四件级是存在实数λ，使 a＝λb ．
共线向量定理
»第＋t五如a图①级所其示中，a叫点做P在直l线上l的的充方要向条向件量是，：t∈O→RP，＝在Ol→上A
取A→B＝a，则①可化为O→P＝
题，填空题的形式出现．若
3.掌握空间向量的数量积作为解题的工具，则出现在
及其坐标表示，能运用向解答题中，且与线面关系、
量的数量积判断向量的共求角、求距离等问题结合在
线与垂直.一起考查，Fra bibliotek中档题. 单击此处编辑母版文本样式
第二级
名称 • 第三级
定义
空间向量在量– 空的第长间四度中级，或具_模_有_ 大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向
解：如图，连接AF，则E→F＝E→A＋A→F. 由已知ABCD是平行四边形，故A→C＝A→B＋A→D＝b＋c， A→1D＝A→1A＋A→D＝－a＋c.
又E→A＝－13A→C＝－13(b＋c)，由已知A→1F＝2F→D， ∴A→F＝A→D＋D→F＝A→D－F→D ＝A→D－13A→1D＝c－13(c－a)＝13(a＋2c)， ∴E→F＝E→A＋A→F＝－13(b＋c)＋13(a＋2c)＝13(a－b＋c)．
④(B→1D1＋A→1A)＋D→D1＝B→1D＋D→D1＝B→1D1≠B→D1，
综上，①②符合题意．
单击此处编辑母版文本样式第二级 • 第三级 – 第四级 »第五级
(3)解：①∵P是C1D1的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. ②∵M是AA1的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c.

2022版高考数学一轮复习第七章立体几何第六讲空间向量及其运算学案理含解析新人教版

为__ 2__．
[解析] |E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2＝E→C2＋C→D2＋D→F2＋2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋C→D·D→F)＝ 12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长的 2．
题组三走向高考
4．(2018·课标Ⅱ)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝1，AA1＝ 3，则异面直线 AD1
与 DB1 所成角的余弦值为( C )
A．1 5
B． 5 6
பைடு நூலகம்
C． 5 5
D． 2 2
[解析] 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，∵AB
第六讲空间向量及其运算(理)
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一空间向量的有关概念 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量，其大小叫做向量的__长度__或__模__． (2)相等向量：方向__相同__且模__相等__的向量． (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线__平行__或__重合__，则这些向量叫做__共线向量__或__平行向量__． (4)共面向量：平行于同一__平面__的向量叫做共面向量． 2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使 a
所以 CO⊥BD．
又 AO⊥平面 BCD，所以 AO⊥OB，AO⊥OC．
以{O→B，O→C，O→A}为基底，建立空间直角坐标系 O－xyz．
因为 BD＝2，CB＝CD＝ 5，AO＝2，

山西省临汾市高考数学一轮复习：42 空间向量及其运算(理科专用)

山西省临汾市高考数学一轮复习：42 空间向量及其运算（理科专用）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共26分)1. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 已知向量，则下列向量中与成的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·黄山期末) 已知，，且，则x的值是（）A . 6B . 5C . 4D . 33. （2分） (2015高二上·福建期末) 以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A . （2，﹣2，2）B . （﹣2，﹣2，2）C . （﹣2，2，2）D . （﹣2，﹣2，﹣2）4. （2分）已知分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系式（）A . 平行B . 垂直C . 所成的二面角为锐角D . 所成的二面角为钝角5. （2分） (2015高二上·莆田期末) 已知 =（﹣3，2，5）， =（1，5，﹣1）则 + 的值为（）A . （2，8，4）B . （1，3，6）C . （5，8，9）D . （﹣2，7，4）6. （2分）若向量=（﹣1，0，1），向量=（2，0，k），且满足向量∥，则k等于（）A . 1B . -1C . 2D . -27. （2分）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）A . a,2b,3cB . a+b,b+c,c+aC . a+2b,2b+3c,3a-9cD . a+b+c,b,c8. （2分）在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的共有（）①；②；③；④．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分）已知A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且=3，则C的坐标为（）A . （，﹣，）B . （，﹣3，2）C . （，﹣1，）D . （，﹣，）10. （2分） (2018高二上·嘉兴期末) 如图，在三棱锥中，点D是棱AC的中点，若，，，则等于（）A .B .C .D .11. （2分）如图，△ABC中，∠C=90°，且AC＝BC＝4，点M满足，则＝（）A . 2B . 3C . 4D . 612. （2分） (2017高二上·临沂期末) 已知向量 =（2m+1，3，m﹣1）， =（2，m，﹣m），且∥ ，则实数m的值等于（）A .B . ﹣2C . 0D . 或﹣213. （2分） (2015高二上·集宁期末) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若 =z+x +y ，则x+y+z的值为（）A . 1B .C . 2D .二、填空题 (共7题；共7分)14. （1分） (2020高二上·榆树期末) 在如图所示的长方体中，已知，，则点的坐标为________ .15. （1分） (2015高二下·福州期中) 如图：在底面为平行四边形的棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．则向量可用 = ， = ， = 表示为________．16. （1分） (2015高二上·和平期末) 已知点A（4，1，3），B（6，3，2），且，则点C的坐标为________．17. （1分） (2017高二下·孝感期中) 已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为________．18. （1分） (2018高二上·嘉兴期末) 已知空间向量，，若，则________．19. （1分）在空间直角坐标系中，点A（﹣3，2，﹣4）关于平面xOz对称点的坐标为________20. （1分）已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是________.三、解答题 (共2题；共10分)21. （5分） (2019高二上·丽水期末) 已知两两垂直, ,为的中点，点在上， .（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）若点在线段上，设 ,当时，求实数的值．22. （5分）在平面六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=，=，=， E，F分别为BB1和AD的中点，若=u+v+μ，求u，v，μ的值．参考答案一、单选题 (共13题；共26分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共7题；共7分)14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共2题；共10分) 21-1、22-1、。