第五章 条件平差

通常将:
AV W 0 V P A K
T
以上两组方程称为条件平差的基础方程。
1
19
条件平差的过程: 建立:
AV W 0 pLL
T

组成:
AQA K W 0
V P 1 AT K
ˆ L L V
代入: 回代:
20
那么，回头再看前面的例题：
v1 1 1 1 0 v2 0 0 1 0 1 v 4 0 3 v4
PV A K
T
16
用P-1左乘 PV AT K 算公式： 1 T
两端，得改正数V的计
T
V P A K QA K
上式称为改正数方程。 将得到的V回代到条件式 AV W 0 中：
AQA K W 0
T
上式称为条件平差的法方程。
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令法方程的系数阵为:
N aa
作业： P23 5.1.06、 5.1.07
25
上节内容回顾：
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
Naa K W 0
1 T
N aa
r r

r n n n
AQ AT
n r
改正数方程
V P A K QA K
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5-2
条件方程
条件平差中，至为重要的是正确地列出条件式。 条件方程的特点： 个数等于多余观测数r个； 且这r个条件方程彼此线性无关； 形式不唯一，优先选用形式简单、易于列立的 条件方程。 测量中常见的几何模型有：
水准网（三角高程）、三角网（测角网、测 边网、边角网）、导线网等。
V T PV 2K T ( AV W ) min
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矩阵的微分：
若有
X x1 x2 ... xn , Y y1
T
y2 ... yn , Yi fi ( X )
T
则Y的全微分由下式给出
y1 x1 y2 Y x1 dY dX X ... yn x1 y1 y2 x2 x2 xn y2 ... xn dX ... yn ... xn 14 ... y1
r r

r n n n
AQ AT
n r
法方程系数阵的特点： 1）是一个对称的方阵； 2）是一个r阶满秩方阵，且可逆；
R Naa R( AQAT ) R( A) r
则,法方程又可写为:
Naa K W 0
故，可得联系数K的唯一解：
K N W
18
1 aa
T T
2 0 P 0 0
ˆ L L V 1.0047 m 1.5174m
2.5127 m 1.5174m 24 ˆ ˆ ˆ H C H A L1 11.0083m, H D H A L1 L 4 12.5257 m.
课堂思考题：P22 5.1.01、 5.1.02、 5.1.03
2 D 0Q
c , n n ,1
ˆ ˆ A L B X A0 0
c ,u u ,1 c ,1
2 D 0Q
n1
ˆ ˆ L BX d ˆ C X Cx 0
nt t 1 n1
su
u 1
s1
s1
2 D 0Q
2
将函数模型转换成改正数V的表达式为：
c ,u u ,1 c ,1
n1
ˆ B X d V Bx l , l BX 0 d L ˆ ˆ L
nt t 1 n1 su u1 s1
ˆ C X Cx
ˆ Wx 0,Wx CX 0 Cx 0 Cx ˆ ˆ ˆ
s1
3
本章主要介绍以下几个内容： 条件平差原理；
r n n1
ˆ AL A0 0 AV W 0,W AL A
r 1 r 1
0
n ,1
ˆ ˆ ˆ L B X d V Bx l , l BX 0 d L
n ,t t ,1 n ,1
c , n n ,1
ˆ ˆ ˆ A L B X A0 0 AV Bx W 0,W AL BX 0 A0
yn
x2
特别地
(1) : F AY , dF dY 则： A ; dX dX (2) : F Y T Z Z T Y , dF d (Y T Z ) d ( Z T Y ) T dZ T dY 则： Y Z dX dX dX dX dX （3）：F V T PV V T ( PV ) ( PV )T V dF 则： V T P ( PV )T 2V T P dV
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课堂思考题：P24 5.2.08 5.2.09 5.2.10 若是由三角高程路线构成的网，又怎 样？
30
二、测角网条件方程 网中必要观测数？
测角网的基本条件方程类型？
31
三角网的基本图形
32
• 例：
B
P1 P2 P8 P3
P7 P5 P4
A
P6
三种基本图形构成： 单三角形、大地四边形、中点多边形。
33
① 必要观测数的确定： t=2n（n为待定点的个数）
② 条件式的个数： r=n-t ③ 观测方程的类型： 图形条件、圆周条件、极条件三种。
34
n=? t=?
r=?
35
• 例：
∆
∆
n=?wenku.baidu.com
t=?
r=?
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基本图形的条件方程 1）单三角形(r=1) ：一个图形条件。
a
b
c
图形条件（多边形的内角和条件）式为：
1 1 2 p1 , p2 1, p3 , p4 2 2 3
2 2 2 pvv p1v12 p2v2 p3v3 p4v4 min
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常常把条件式写成矩阵形式：
v1 1 1 1 0 v2 0 0 1 0 v 0 1 3 4 v4
1 1 P diag 1 2 2
2 3
求V、Lˆ？
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二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例
条件平差的计算步骤： （1）根据平差问题（网形），确定观测总数ｎ，必 要观测数t以及多余观测数r（条件数）； （2）正确列出r个函数独立的线性条件式； （3）根据条件式的系数A，闭合差W以及观测值的协 因数阵Q组成法方程； （4）解算法方程，求出联系数K值； （5）将K代入改正数方程，求出V； （6）由L+V求出平差值； （7）用平差值重新列出平差值条件方程式，看其是 否满足，以检验平差计算的正确性。 22
第五章 条件平差
1
上一章内容回顾
参数个数 ｕ=0 ｕ=t 0＜ｕ＜t ｕ＞t 平差方法 条件平差 间接平差 附有参数的条件平 差 附有限制条件的间 接平差 数学模型一般式
r n n1
ˆ AL A0
r 1

r 1
0
2 D 0Q
n ,1
ˆ ˆ L B Xd
n ,t t ,1
n ,1
2 4
v1 1 1 1 0 v2 0 0 0 1 1 1 v3 4 v4 C 1, Pi 1 si
1 1 1 1 S1 2, S 2 1, S3 2, S 4 1.5 p1 P2 P3 P4 0 1 0 0 , ( P diag (2,1, 2,1.5)) 0 2 0 0 0 1.5 5 1 N aa AP 1 AT 1 2.5 5 1 k a 0 0 1 2.5 kb 4 k 0.35 a ka 1.74 0 0 V P 1 AT K 0.7 1.4 0.7 2.6 (mm)
AV W 0
1 1 P diag 1 2 2
2 3
V PV min
T
又如何求条件极值？
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一、基础方程及其解 条件方程
ˆ AL A0 0
改正数条件式
W AL A0
AV W 0
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AV W 0
V PV min
T
按求条件极值的拉格朗日乘数法，设乘数为K （称联系数）。 思考K的个数？（行？列？） 构成新函数：
例5-1.P74
ˆ ˆ ˆ L1 L2 L3 1800 0 v1 v2 v3 9 0 v1 1 1 1 v2 9 0, A 1 1 1 v3 P P2 P3 1, P I 1 N aa AP 1 AT AAT 3 3K 9 0, K 3 V QAT K 3 3 3
T
L1 v1 4201217 ˆ L L V L2 v2 780 0906 L3 v3 5903837
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例5-2.P75
ˆ ˆ ˆ h1 h2 h3 H A H B 0 ˆ ˆ h h 0
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下面按拉格朗日乘数法求条件平差的极值：
条件平差就是：要求函数 VTPV 在 AV+W=0 下 的极小值。 为此，组成新函数：
V PV 2 K（AV W）
T T
将对V求一阶导数，并令其等于零，得：
d T T 2V P 2 K A 0 dV 两边转置，得：
6
条件方程? 观测值的权阵? 最小二乘原则? 求唯一解?
7
条件极值----拉格朗日乘数法
8
9
例5-2(P75):就是一个求条件极值问题。
ˆ ˆ ˆ h1 h2 h3 H A H B 0 ˆ ˆ h h 0
2 4
v1 v2 v3 0 v2 v4 4 0
ˆ b c 1800 0 a ˆ ˆ
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例如：
a2 b1 b2 c1 a1 c2
各种平差问题条件方程的建立；
精度评定； 条件平差公式汇编和平差示例。
4
通过学习，要掌握以下： 1）按条件平差的方法，求平差值； 2）按条件平差的方法，求平差值函数的方 差。
5
5-1
条件平差原理
条件平差就是: 1)建立条件方程作为函数模型(?); 2)观测值的方差阵为随机模型(?); 3)然后利用最小二乘准则(?); 4)求平差问题的唯一解(?)。
T
条件平差的基础方程：
AV W 0 V P A K
T 1
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关键在于建立正确的数学模型！
组、解法方程（可利用MATLAB软件方便、快 速的求解！）。 如（P90）： 1 1 0 0 1 0 0
0 A 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 7 8 W 6 3 0 0 0 0 0 1.1 0 0 1.7 0 0 0 0 0 0 0 2.3 0 0 0 0 Q0 0 0 2.7 0 0 0 0 0 0 0 2.4 0 0 0 0 0 0 1.4 0 0 0 0 0 0 0 0 2.6
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一.水准网条件方程
必要观测数的确定：
1）网中有已知水准点时，必要观测数就等于网中 待定点的个数； 2）若没有已知水准点，则必要观测数等于待定点 的个数减1；
条件方程的个数： 等于多余观测数=观测总数-必要观测数。 条件方程一般是依两种思路建立的，即：
1）沿水准路线的闭合环确定几何关系； 2）沿附合路线来确定几何关系。