2018找规律专题
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19.(10分)(2017•安徽)【阅读理解】
我们知道,1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12,第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22,…;第n行n个圆圈中数的和为,即n2,这样,该
三角形数阵中共有个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2.
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+…+n2)=,因此,12+22+32+…+n2=.
【解决问题】
根据以上发现,计算:的结果为1345.
【分析】【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的,从而得出答案;
【解决问题】运用以上结论,将原式变形为,
化简计算即可得.
【解答】解:【规律探究】
由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n=2n+1,
由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:
3(12+22+32+…+n2)=(2n+1)×(1+2+3+…+n)=(2n+1)×,
因此,12+22+32+…+n2=;
故答案为:2n+1,,;
【解决问题】
原式==×(2017×2+1)=1345,
故答案为:1345.
【点评】本题主要考查数字的变化类,阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规律,并运用规律解决实际问题是解题的关键.
(2017年甘肃省天水市) 15.观察下列的“蜂窝图”
则第n个图案中的“”的个数是3n+1.(用含有n的代数式表示)
【考点】38:规律型:图形的变化类.
【分析】根据题意可知:第1个图有4个图案,第2个共有7个图案,第3个共有10个图案,第4个共有13‘个图案,由此可得出规律.
【解答】解:由题意可知:每1个都比前一个多出了3个“”,
∴第n个图案中共有“”为:4+3(n﹣1)=3n+1
故答案为:3n+1
(2017年甘肃省张掖市)18.下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的.如果第1个图形的周长为5,那么第2个图形的周长为8,第2017个图形的周长为6053.
【考点】38:规律型:图形的变化类.
【分析】根据已知图形得出每增加一个四边形其周长就增加3,据此可得答案.【解答】解:∵第1个图形的周长为2+3=5,
第2个图形的周长为2+3×2=8,
第3个图形的周长为2+3×3=11,
…
∴第2017个图形的周长为2+3×2017=6053,
故答案为:8,6053.
8.(3分)(2017•百色)观察以下一列数的特点:0,1,﹣4,9,﹣16,25,…,则第11个数是()
A.﹣121 B.﹣100 C.100 D.121
【分析】根据已知数据得出规律,再求出即可.
【解答】解:0=﹣(1﹣1)2,1=(2﹣1)2,﹣4=﹣(3﹣1)2,9=(4﹣1)2,﹣16=﹣(5﹣1)2,
∴第11个数是﹣(11﹣1)2=﹣100,
故选B.
【点评】本题考查了数字的变化类,能根据已知数据得出规律是解此题的关键.18.(3分)(2017•百色)阅读理解:用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法.(1)二次项系数2=1×2;
(2)常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3),验算:“交叉相乘之和”;
1×3+2×(﹣1)=1 1×(﹣1)+2×3=5 1×(﹣3)+2×1=﹣1 1×1+2×(﹣3)=﹣5
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(﹣3)+2×1=﹣1,等于一次项系数﹣1.
即:(x+1)(2x﹣3)=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3,则2x2﹣x﹣3=(x+1)(2x﹣3).像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.仿照以上方法,分解因式:3x2+5x﹣12=(x+3)(3x﹣4).
【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=(x+3)(3x﹣4)即可.【解答】解:3x2+5x﹣12=(x+3)(3x﹣4).
故答案为:(x+3)(3x﹣4)
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等,解此题的关键是熟练掌握“十字相乘法”分解因式,题目比较好,难度也不大.
11.(3分)(2017•玉林)如图,大小不同的两个磁块,其截面都是等边三角形,小三角形边长是大三角形边长的一半,点O是小三角形的内心,现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动,当由①位置滚动到④位置时,线段OA绕点O 顺时针转过的角度是()
A.240°B.360°C.480° D.540°
【分析】根据正三角形的性质分别得出点O转动的角度,进而得出答案.
【解答】解:由题意可得:第一次AO顺时针转动了120°,第二次AO顺时针转动了240°,第三次AO顺时针转动了120°,
故当由①位置滚动到④位置时,线段OA绕点O顺时针转过的角度是:120°+240°+120°=480°.
故选:C.
【点评】此题主要考查了正三角形的性质以及旋转的性质,分别得出旋转角度是解题关键.
18.(3分)(2017•桂林)如图,第一个图形中有1个点,第二个图形中有4个点,第三个图形中有13个点,…,按此规律,第n个图形中有(3n﹣1)个点.
【分析】观察已知图形,得出一般性规律,写出即可.
【解答】解:如图,第一个图形中有1个点,第二个图形中有4个点,第三个图形中有13个点,…,按此规律,第n个图形中有(3n﹣1)个点,
故答案为:(3n﹣1)
【点评】此题考查了规律型:图形的变化类,弄清题中的规律是解本题的关键.
18.如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置…,则正方形铁片连续旋转2017次后,点P的坐标为.
18.(4分)(2017•安顺)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+2交x轴于点A,交y轴于点A1,点A2,A3,…在直线l上,点B1,B2,B3,…在x轴的正半轴上,若△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为2n+1﹣2.