平稳时间序列预测

很容易看出: 当Gl* j Gl j时, 上式达到最小值 .
因此可得xt+l的最小均方误预测为：
ˆt (l ) Gl t Gl 1 t 1 Gl 2 t 2 x
预测误差为：
ˆt (l ) G0 t l G1 t l 1 Gl 1 t 1 et (l ) xt l x
9

进一步地，在正态分布假定下，有
X t l X t , X t 1 ,
2 ˆt l , G0 ~N x G12

Gl21 2


由此可以得到 X t l 预测值的95%的置信区 间为
xˆ l 1.96
t
ˆt l 1.96 var et l var et l , x
24
求例1中各步预测值的95%的置信区间： 已知：
a 2.45
xt 0.785xt 1 0.224xt 2 t 由于1 0.785, 2 0.224 于是由AR(2)模型的格林函数得: G0 1 G1 1 0.785 G2 1G1 2 0.785 0.785 0.224 0.392
（若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测）
4
二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导
设有平稳ARMA模型如下: ( B) xt ( B) t 此模型写成其传递形式 如下 : xt ( B ) ( B ) t G ( B ) t G j t j G0 t G1 t 1 G2 t 2
18
对于AR(p)模型 当 l p 时，
X t l 1 X t l 1
p X t l p t l
xt l (1xt l 1 2 xt l 2 l 1xt l (l 1) ) (l xt p xt p )
2 12 l 1

xˆ l 1.96 G G
t 2 0 2 1
或者
G

ˆt l 1.96 G G ,x
2 0 2 1
G
2 12 l 1


10
10
根据预测置信区间的公式得：
ˆ t (1) 1.96 a 当l 1时的95%的预测区间为: x ˆ t (2) 1.96 a 1 G12 当l 2时, 有 : x
2
第二节 最小均方误预测(正交投影预测)
3
一、最小均方误差预测概念
ˆ t (l )为已知xt , xt 1 ,,的条件下, 对xt l (l 0)进行的预测 设x , 其预测误差记为: ˆt (l ) xt l x ˆ t (l ) e 所谓l步最小均方误预测要满 足如下两条件准则: ˆt (l )]2 E[ xt l x ˆ t (l )]2 min (1)预测误差的方差最小 ,即 : E[e (2)预测值是过去时间序列 值的函数.
25
于是以t=250为原点，向前一步、二步、三步预测 的95%的置信区间分别为： 当l 1时的95%的预测区间为: ˆ250 (1) 1.96 a 2.749 1.96 2.45 2.749 4.802 x
1 j 0
其中: G0 1 将下标t l代入上式得: xt l G0 t l G1 t l 1 Gl 1 t 1 Gl t Gl 1 t 1 G0 t l G1 t l 1 Gl 1 t 1 Gl j t j
ˆ250 (1), x ˆ250 (2), x ˆ250 (3)以及预测的 求: x 95%置信区间
21
解：x2501
0.785x250 0.224x249 a251
ˆ250 (1) E ( x251 | x250 , x249 ,) x 0.785x250 0.224x249 0.785 4.58 0.224 3.78 2.749
j 0

式中 "权"系数Gl* j 可以在预测误差的方差 达到最小的意义下确定 .
6
由上得以t为原点，向前l步的预测误差为：
ˆt (l ) et (l ) xt l x G0 t l G1 t l 1 Gl 1 t 1 (Gl j Gl* j ) t j
j 0
利用条件期望的性质，对上式两端求条件期望， 得xt+l 的条件期望预测为：
ˆt (l ) E ( xt l | xt , xt 1 , xt 2 ) x Gl t Gl 1 t 1 Gl 2 t 2
可见， xt+l 的条件期望预测和它的最小均方误预测是一致的。
j 0
由于εt是白噪声，故有：
E t t j
o 2 a
j0 j0
7
所以 : 预测误差的方差为: ˆ t (l )) 2 E (et (l )) 2 E ( xt l x
2 a
G
j 0 2 j
l 1
2 a
* 2 ( G G ) l j l j j 0
当前时刻为t的一步预测为
ˆt (l ) E(1xt l 1 2 xt l 2 p xt p | xt , xt 1 ) x ˆt (l 1) 2 x ˆt (l 2) l 1x ˆt (1) (l xt p xt p ) 1x
用公式表示如下：
ˆt (l ) E( xt l | xt , xt 1 , xt 2 ) x
13
有关xt和εt的条件期望有如下性质：
(1) E ( xt l
xt l | xt , xt 1 , xt 2 ,) ˆ t (l ) x
(l 0) (l 0) (l 0) (l 0)
误差方差为：
2 2 2 2 E (et (l ))2 a (1 G12 G2 Gl21 ) a G j j 0 l 1
由上推导可知， （1）最小均方误预测误差的方差和预测步长l有关，而和 预测的时间原点无关。 （2）预测步长l越大，预测误差的方差也越大，即预测的 准确性越差。
第六章 平稳时间序列预测

第一节 第二节 第三节 第四节
平稳时间序列预测概念 最小均方误预测 条件期望预测 适时修正预测
1
第一节 平稳时间序列预测的概念
设当前时刻为t , 且零均值平稳序列 {xt }在时刻t及 以前的观察值为 xt , xt 1 ,, 用序列{xt }对时刻t 以后的观察值xt l (l 0)进行预测, 这种预测称为 以t为原点向前期步长为 l的预测, 预测值记 ˆ t (l ). 为x
2 ˆ t (3) 1.96 a 1 G12 G2 当l 3时, 有 : x

可见：随着预测步长的加大，预测误差的置信区间也越大， 预测结果越不准确。
11
第三节 条件期望预测
12
一、条件期望预测的一般公式
条件期望预测: 指在已知xt , xt 1 , xt 2 ,条件下, 取xt l (l 0)的条件期望作为其预测 值
二、用条件期望进行预测


1.AR模型的条件期望预测 设AR(1)模型如下:
(1)以t为原点，向前一步预测公式(l=1)
xt 1 xt 1 t
由xt 1 1 xt t 1 对上式两端求条件期望 得: ˆt (1) E ( xt 1 | xt , xt 1 , xt 2 , ) x E (xt t 1 | xt , xt 1 , xt 2 , ) 1 E ( xt | xt , xt 1 , xt 2 , ) E ( t 1 | xt , xt 1 , xt 2 ,) 1 xt
23
ˆ 250 (l ) 0.78x ˆ 250 (l 1) 0.22x ˆ 250 (l 2) x 即: ˆ 250 (l ) 0.78x ˆ 250 (l 1) 0.22x ˆ 250 (l 2) 0 x
解此差分方程即可求出预测函数。
当l
2
时，预测值满由模型自回归部分决定的差分方程：
(2) 向前二步预测公式(l=2)
xt l 1 xt l 1 t l ˆt (l ) E ( xt l 1 | xt , xt 1 , xt 2 ,) x E (1 xt l 1 t l | xt , xt 1 , xt 2 ,) ˆt (l 1) 1 x
预测举例：

例1：利用对mlpm所建立的模型进行预测。 先对原序列零均值化，

设原序列为 yt , 则xt yt y, y 9.42
然后建模如下：
xt 0.785xt 1 0.224xt 2 at
20
已知：
x250 4.58, x249 3.78
a 2.45
j 0
5
由于预测只能建立在到t时刻为止的可用信息的基础上， 因此，根据最小均方误预测的第二个准则，以及平稳可 逆序列可以表示成传递函数形式的论断，可以将预测值 ˆ t (l ) 表示成能够估计的项εt，εt-1，……，的加权和的 x 形式：
ˆt (l ) Gl* j t j Gl* t Gl*1 t 1 Gl* 2 t 2 x
当l
ˆt l E X t l X t , X t 1, x
p ，当前时刻为t的 l 步预测
E X
1 t l 1
p X t l p t l X t , X t 1,
ˆt l p p x

ˆt l 1 1x
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xt 2 1 xt 1 t 2 ˆt (2) E ( xt 2 | xt , xt 1 , xt 2 ,) x E (1 xt 1 t 2 | xt , xt 1 , xt 2 ,) ˆt (1) 1 x
(3) 向前l步预测公式(l≥2)
ˆ250 (2) E ( x252 | x250 , x249 ,) x ˆ250 (1) 0.224x250 0.785x 0.785 2.749 0.224 4.58 1.132
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同理：
ˆ250 (3) E ( x253 | x250 , x249 , ) x ˆ250 (2) 0.224x ˆ250 (1) 0.785x 0.7851.132 0.224 2.749 0.273
由上推导可见，对于l>0，条件期望预测值 x ˆ t (l ) 满足如下差分方程： ˆ t (l ) 1 x ˆ t (l 1) 0 ˆ t ( 0) x ˆt ) x (x
此差分方程的特征方程 为:
1 0 即得 : 1
ˆ t (l ) c 1l 于是 : x ˆ t (1) 1 xt 由: x 得 : c xt ˆ t (l ) xt 1l 所以 : x
t l (2) E ( t l 来自百度文库 xt , xt 1 , xt 2 ,) 0
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由于：
xt l G0 t l G1 t l 1 Gl 1 t 1 Gl t Gl 1 t 1 G0 t l G1 t l 1 Gl 1 t 1 Gl j t j