近世代数

f1, f2,…, fk),在已知运算的情况下可简记为A.
对于代数结构的理解, 需注意以下几点： (1)A非空; (2)代数运算; (3)(k + 1)-元组(A, f1, f2,…, fk); (4)运算的元数可以相同. 例5-1: (1)(R, +). (2)(R, +, ). (3) ( P( X ),,, ). 有限代数与无限代数?
分配性（分配律） 设*和◦是集合A上的两个2元代数运算，若对于任意 x,y,zA,有 x*(y◦z)=x*y◦x*z； (y◦z)*x=y*x◦z*x 成立，则称*对于◦是可分配的（分配律）。
吸收性 设*和◦是集合A上的两个2元代数运算,若对于任意x, yA,有 x*(x◦y)=x； (y◦x)*x=x 成立，则称*对于◦是可吸收的（吸收律）。
封闭性： A中任何元素都可参与运算， 运算结果属于A。
【例1】设 f : ZN ， f (x)=|x|，则f是整数集合 Z上的取绝对值运算，f是1元运算。运算是封闭 的。
【例2】设 f :Q×QQ ， f (x1，x2)= x1+x2， 则f是集合Q上的加法运算，f是2元运算。运算 是封闭的。 【例3】设 f : Q×Q×QQ ， f (x1，x2，x3)= x1+x2+ x3，则f是集合Q上的3元封闭运算。
例5-4 在例5-3中, (*, ◦, )是独异点, 而(+, ◦) 不是.
Remarks (1)在(*, ◦ , )中的称为代数常数. 代数结构中 的代数常数可以不止一个, 例如在后面将学习 的布尔代数就有2个代数常数. 当然也可以没有 代数常数. (2) (*, ◦)是半群, (*, ◦ , )是独异点, 它们是两 个不同的代数结构. 正因为这样,一个最好的处 理方式是将代数常数看作是0元运算,(*, ◦, ) 有1个0元运算(及1个二元运算),布尔代数有2个 0元运算. Theorem 设(S, *)是有限半群, 则(S, *)中存在幂 等元素.
集合的非运算；数集的取反运算，矩阵的逆运算 及转置运算均具有对合性。
幂等性（幂等律） 设*是A上的2元代数运算， 若对于xA，有x*x=x 则称x为关于*运算的幂等元；若对于A中每个元素x对 于*都是幂等元，则称*运算具有幂等性或称*满足幂 等律（等幂律）。
集合上的交、并运算具有幂等性.
交换性（交换律） 设*是A上的2元代数运算， 若对于任意的x, y A， 均 有 x*y=y*x，则称*满足交换律。
离散数学 Discrete Mathematics
主讲教师: 王 涛 Email:wangtao690103@163.com
第5章
代数结构
关于代数结构
“…时至今日，数学家们还在忙于发展简单的计算方法，
也就是在一切数学领域中的所谓算法。一旦我们有了算法， 所有的其他事都留给了计算机。计算机所作的不再是数学 了，但为了使用计算机，需要数学和数学家。” —H.Freudenthal “模型化是数学中的一个基本概念，它处于所有的数学 应用之心脏，也处于某些最抽象的纯数学核心之中。” ——R.C.Buck 数学之所以重要，其中心原因就在于它提供的数学系统 丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以便于 使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题、回答问题， 并且也就探索了模型的行为。 ——R.C.Buck &.E.F.Buck
Theorem m, n Z. (1) (a 1 ) 1 a. (a b) 1 b 1 a 1. (2) (3) a m a n a m n . (4) (a m ) n a mn . (5) (a 1 b a) n a 1 b n a.
德摩根律 设· 是集合A上的1元代数运算, *和◦是A上的两个2元 代数运算,若对于任意x,y A， 均有下面两个等式成 立:· （x*y）=(· y)和· x)◦(· （x◦y）=(· · x)*( y) 则称这三种运算满足德摩根律。
特异元素
单位元素
设*是A上的2元代数运算,若存在eA,对于任意的xA, 下列条件均成立： e*x=x； x*e=x. 则称e为集合A关 于*运算的单位元素或幺元素。 零元素
2.两种最简单的代数结构: 半群及独异点 Def 设*是非空集合S上的2元代数运算, 若*满 足结合律, 即对于任意x, y, z S,有(x*y)*z = x*(y*z), 则(S, *)称是半群(semigroup). 例 实数集合R关于其上的乘法运算“”作成 一个半群(R, .).
例 设是若干个字母组成的集合,称为字母表,由 中有限个字母组成的序列称为上的串,不含 任何字母的串称为空串,记为. 令*是所有 上的串组成的集合, 其上的运算◦为 *上的连 接运算: * * s1s2 ...sk Σ , t1t2 ...t s Σ :
知识点回顾
【定义】运算：设A1, A2,…, An和B是集合，若 f：A1A2…AnB 则称f为A1, A2,…, An到B的n元运算。
【解释】 1．定义在集合之上的运算，要求集合必须是非空集合。 2．若f：AA…AB，则称f为A上的n元运算； 3．若对于任意x1，x2，…，xnA，有f (x1，x2，…，xn)=yA， 则称f为A上的n元封闭运算(代数运算)。即f : AA…AA 4．由定义知，运算结果是唯一的，其中x1，x2，…，xn是参加运 算的n个有顺序的对象，y是运算结果，f 称为n元运算。
古典代数������ 代数系统(系统化：模型及其性质)；纯数 学������ 结合计算机应用。 • 计算机科学：计算？ 计算过程？——能行性计算模型：抽象与具体化。 • 计算机科学中的代数方法： 形式语言与自动机理论、可计算理论、语义学（模型 论）——模型/语言。 集合代数、逻辑代数 密码学、数据表示理论、数字逻辑 未来的计算机 • 其他：代数方程求解、物理、化学 • 思维训练 • 有关科学家：Von Neumann、Abel、Galois、 Hawking、吴文俊
设*是A上的2元代数运算,若存在A,对于任意的xA, 下列条件均成立：*x = ；x* = . 则称为集合A关 于*运算的零元素。
逆元素 设*是A上的2元代数运算且有单位元素e，若对于xA, 存在yA，使得下列条件均成立:x * y = e ;y * x = e.则 称y为x的关于*的逆元素。
近世代数—绪 论
初等代数、线性代数、高等代数都称 为经典代数，研究的对象是代数方程 和线性方程组。近世代数也称为抽象 代数，研究的对象是代数系统 （带有 封闭运算的集合）。
由于近世代数在数学的其他分支、近代 物理、近代化学、计算机科学、数字通 信、系统工程等许多领域都有重要应用， 因而它是现代科学技术的数学基础之一， 是许多科技人员需要掌握的基本内容和 方法，因此近世代数也是数学专业的专 业基础课之一。
5.2 群的定义及性质
1.群的定义 Def 设G是非空集合, 是G上的代数运算,若下列 3个条件成立,则称为群(group). (1) 满足结合律; (2)G关于有单位元, 通常记为e; (3)G中每一个元素在G中都有逆元.
下面是群的例子. 例 验证: 整数集合Z关于数的加法运算+构 成群. Solution 因为Z关于+是封闭的且满足 (1)+运算满足结合律; (2)Z关于+有单位元0: x + 0 = 0 + x = x; (3)Z中每一个元素x Z, 都有逆元- x Z: x + (-x) = (-x) + x = 0. 所以, (Z, +)是群.
n元运算的表示
运算符号的选取 1）在不同场称呼不同； 2）未加说明人们习惯的运算符号含义最好不改变； 3）运算符号可以自己规定。 4）在本系统中运算符号含义明确。 运算符号的位置 1）放在最前面（或顶置、肩置） 2）放在中间 3）放在最后面 运算表
运算的性质
实数集上的取相反数运算？
对合性 设*是A上的1元代数运算， 若对于任意的xA,均有 *(*x)=x,则称*具有对合性，或称*满足对合律。
结合性（结合律） 设*是A 上的2元代数运算，若对于任意的x，y，zA, 均有(x*y)*z=x*(y*z)Fra Baidu bibliotek则称*运算具有结合性，或称*运 算满足结合律。 哪些运算符合上述性质？
消去性. 设*是A上的2元代数运算， 若A关于*运算有零元则记 为 , 如果对于任意的x, y, zA， 只要x , 那么下列条 件均成立： x*y = x*z y=z；y*x = z*x y=z； 则称*具有消去性， 或称*满足消去律。
s1s2 ...sk t1t2 ...t s . 很容易验证: (*,)是半群. 实际上, 上的所有非空串组成的集合+, 关于 其上的串的连接运算也构成一个半群(+, ◦).
Def 设*是非空集合M上的2元代数运算,若*满 足结合律且M关于*有幺元e, 即对于任意 xM, 有e*x = x*e = x, 则称(M, *, e)为独异点.
2.群的性质 Theorem 设是(G, )群, 则满足消去律.
a b a c a 1 (a b) a 1 (a c) b c. b a c a (b a) a (c a) a b c.
1 1
Theorem 设(G, )是群, 对于任意a, b G, 方程 a x = b(x a = b或)在G中有唯一解a-1 b (b a-1 ). (1)存在性; (2)惟一性. 利用“群中任意元素均存在逆元”.
5.4 Abel群与循环群
Abel群与循环群是两类较简单的群. 1. Abel群 Def 设(G, )是群，若其运算是可交换的，则称 (G, ) 为交换群(commutative group)或Abel群 (Abelian group).
跟E. Galois一样，挪威数学家N. H. Abel在群的 研究方面也做出过惊人的成就.
例 设
1 0 1 0 1 0 1 0 G 0 1 , 0 1, 0 1 , 0 1.
证明: G关于矩阵的乘法运算构成一个Abel群.
2.循环群 循环群是最简单的群. (1)群中元素的整数方幂an(n Z) 0 Def a e. n a n a a ... a(n 0). n a n a 1 a 1 ... a 1 (n 0). Remark 方幂运算是对群中的运算来说的. 如在群(Z, +)中, 有: 2 1 0 1 2 ...,3 3 3 6,3 3,3 0,3 3,3 6,...
举例说明哪些运算具有幂等元、单位元、零元素 和逆元素。
5.1 代数结构简介
1.代数结构的定义
Def 设A是非空集合, f1, f2,…, fk(k 1)是A上的
代数(封闭)运算,则集合A连同其上的代数运算
称为代数结构(algebra structure)或代数系统
(algebra system)或简称代数(algebra),记为(A,
1828年，他写的论文送交法国科 学院审查，原稿被柯西弄丢了。 1829年7月，他在巴黎高等工科 大学的入学考试中再次失败。 1830年初，他向科学院提交了的 论文,因科学院秘书傅立叶将其手 稿拿回家去审读, 不料在写出评 审报告前去世了, 此文再也没有 找到.
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1827年阿贝尔回到挪 威。次年患结核病不幸 去世，年仅27岁。就在 他去世后两天后，克雷 尔来信通知他已被柏林 大学任命为数学教授。 但为时已晚，阿贝尔已 无法前往接受这一职务 了。