§13..2一致收敛性质

2015年11月23日星期一 11
例1 设函数
1 2 n x , 0 x , n 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
y
n 1, 2, .
(其图象如图13－6所示). 显然 { f n ( x )}是 [0, 1] 上的 连续函数列, 且对任意
x0
x
f n ( x ) f n ( x0 ) f n( t )dt
x0
x
| f n ( x ) f ( x ) || f n ( x0 ) f ( x 0 ) [ f n( t ) g( t )]dt | | f n ( x0 ) f ( x 0 ) | | f n( t ) g( t ) | dt
x [0, 1] , lim f n ( x ) 0.
n
n
fn
图 13 6
O
1 2n
1 n
1
x
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y
x [0, 1], lim f n ( x ) 0.
n
n
fn
图 13 6
又 sup | f n ( x ) 0 | n
x[0, 1]
即
fn ( x)
f ( x)
证毕。
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2015年11月23日星期一
定理11的条件只是充分的： 1 例2 fn ( x) ln(1 n2 x 2 ), 2n nx f n( x ) 2 2, 1 n x
即极限号与求导符号可交换。 注：在本定理条件下，可推出
fn ( x)
f ( x)
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2015年11月23日星期一
证
设f n ( x0 ) A,
f n( x )
g(x), x [a , b]
x x0 x
0
x [a , b], f n ( x ) f n ( x0 ) f n( t )dt
| f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
lim f N 1 ( x ) a N 1
x x0
0, 0,当0 | x x0 | , 有 | f N 1 ( x ) a N 1 | / 3,
ba
,
故n N , 有
b b b
a
a
b
lim f n ( x )dx
n
| f n ( x )dx f ( x )dx || [ f n ( x ) f ( x )]dx |
a a
| f n ( x ) f ( x ) | dx a
即
b

(b a )
x0 x0 x
x
| f n ( x0 ) f ( x 0 ) | | f n( t ) g( t ) | dt
a
b
2015年11月23日星期一
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由 f n ( x0 ) f ( x0 )， 0, N1 , n N1 , 有 | f n ( x0 ) f ( x0 ) | / 2,
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ) f ( x) 则 x x n n x x
0 0
特别，如果 n, f n ( x )在x0连续，即 lim f n ( x ) f n ( x0 ),
x x0
则 lim f ( x ) lim f n ( x0 ) f ( x0 ),
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0, N , n N , p, x D, 都有 | f n ( x ) f n p ( x ) | . 从而 | an an p | lim | f n ( x ) f n p ( x ) | ,
x x0
x a n n x a
若 f n ( x ) 在 ( a , b) 上一致收敛,且 lim f n ( x ) 存在, 则有
x b n
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ).
n x b
x b
2015年11月23日星期一
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fn ( x)
由
f n( x )
g(x), x [a , b]
0, N 2 , n N 2 , t [a , b], 有 | f n( t ) g( t ) |

ba
,
0, N max{ N 1 , N 2 }, n N , x [a , b], 有 | f n ( x ) f ( x ) | ,
1
但f ( x ) 0在[0， 1]连续、可积，且 f ( x )dx 0,
0
nx 而 f n ( x )dx dx 2 2 0 0 1 n x 1 1 2 ln(1 n ) 0 f ( x )dx. 0 2n
1 1
即定理13.9、13.10的条件不满足，但结论也可能成立。
2n
1
充说 f(x) 取 n 1, 则 f n ( x ) 分明 但定 但定理10的结论成立。 不理 必 10 取 n n, 则 f n ( x ) 要的 f(x) 的条 1 1 。件 1 这时 f n ( x )dx f ( x )dx 0 不收敛于 是 0 0 2 定理10的结论不成立。
x x0 x x0 n
即 证
fn ( x)
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ) f ( x) 则 x x n n x x
0 0
(1)
证明lim an存在。
n
因为 f n ( x )
f ( x)
0, N 0,
p N , x D, 都有| f n ( x) f n p ( x) | .
f ( x)

ba
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0, N 0, n N , x I , 有 | f n ( x ) f ( x ) |
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,
0, N 0, n N , x I , 有 | f n ( x ) f ( x ) |

A
x
g ( t )dt
lim f n ( x ) A g( t )dt
n x0
x
记f ( x ) lim f n ( x ),
n
x x0
则f ( x ) A g( t )dt
x0
x
f ( x ) [ A g( t )dt ] g( x ).
x x0 n
即f(x)在x0也连续。即有： 2.连续性 定理13.9 若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
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定理13.9的逆否命题：
若fn(x)的极限函数f(x)在I上不连续，则
fn ( x)
0 0
定理指出: 在一致收敛的条件下, { f n ( x )} 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序.
fn ( x) 类似地, 若 f n ( x ) 在 (a, b) 上一致收敛, 且 lim
x a
lim f n ( x ) lim lim f n ( x ); 存在, 则有 lim
如
I
f(x).
f n ( x ) x n , x ( 1,1],
0, x 1, 其极限函数：f ( x ) 1, x 1.
所以 在x=1不连续，
fn ( x)
I
f(x).
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2015年11月23日星期一
定理13.9
若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
特别
| f N 1 ( x ) f ( x ) | / 3, 及 | a N 1 A | / 3,
2015年11月23日星期一 3
| f ( x ) A | | f ( x ) f N 1 ( x ) f N 1 ( x ) a N 1 a N 1 A |
fБайду номын сангаас( x)
x [a , b],
且n, f n ( x)在[a, b]上连续，则
a
b
lim f n ( x )dx lim f n ( x )dx.
n n a
b
即极限号与积分号可交换。 证 由连续性，f(x)在[a,b]上也连续，故 fn , f 均可积。 由
fn ( x)
b
(b a ) .
证毕。
a
b
lim f n ( x )dx lim f n ( x )dx.
n n a
注：定理中的连续条件改为可积，结论仍然成立.
2015年11月23日星期一 10
注：定理13.9、13.10的条件只是充分的：
nx f n ( x) 1 n2 x 2 f ( x ) 0, x [0,1]
一、一致收敛函数列的性质 二、一致收敛函数项级数的性质
2015年11月23日
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一、一致收敛函数列的性质
1.极限交换定理
f ( x), 定理13.8 { f n ( x)}在D (a, x0 ) ( x0 , b)上一致收敛于
n, lim f n ( x ) a n , 则 lim f ( x ) lim a n .
注 由于连续性是函数的一种局部性质，因此连续函数列 {fn(x)}）在区间 I 上内闭一致收敛于 f(x)，就足以保证 f(x) 在 I 上连续。
推论
若连续函数列{fn(x)}）在区间 I 上内闭一致收敛于 f(x)，
则 f(x)在 I 上连续。
2015年11月23日星期一 8
3.可积性 定理13.10 若 fn ( x)
lim an存在, 设 lim an A.
n n
( 2)
证明 lim f ( x ) A。
x x0
fn ( x)
f ( x ) 及an A, 有
0, N 0, n N , x D, 有
| f n ( x) f ( x) | / 3, 及 | an A | / 3,
0, 0,当0 | x x0 | , 有 | f ( x ) A |
x x0

3


3


3
,
证毕。
4
即 lim f ( x ) A。
2015年11月23日星期一
fn ( x)
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ) f ( x) 则 x x n n x x
2015年11月23日星期一 14
4.
可微性
定理13.11（可微性） 设 {fn(x)} 为定义在[a,b]上的函数列，若
x0 [a , b]为{ f n }的收敛点， { f n }的每一项 在[a , b]上有连续的导数，且{ f n }在[a , b]上
一致收敛，则 d d ( lim f n ( x ) ) lim f ( x ). n n dx dx n
d d (lim f n ( x )) lim f n ( x ). 即 n dx dx n
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在本定理条件下，推出 f n ( x ) 证： f ( x ) ( lim f n ( x )) g( x ).
n
f ( x) 。
f ( x ) f ( x0 ) g( t )dt，
O
1 2n
1 n
1
x
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致 收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
2015年11月23日星期一
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fn ( x)
f ( x ) 当且仅当 lim n 0.
n

1
0
f n ( x )dx
n
2n
,
0
1
f n ( x )dx f ( x )dx 0 当且仅当 l i m n 0. 0 n