概率论课件第一章习题课解析

—— 所有基本事件构成的集合
事件的关系及运算 —— 四种关系和三种运算
包含
•
关系
相等
互斥
AB =
两两互不相容
互逆 AB = ， A∪B =
•
运算
和 A∪B ={ | A 或 B } 积 A∩B ={ | A 且 B } 差 A - B ={ | A 且 B }
例3．某人投篮两次，设 Ai “第i次投中”，i=1，2，试用
Ai 表示下列事件：
B=“两次都投中”，C=“两次都未投中”，D=“恰有一次投中”， E=“至少有一次投中”，并指出B、C、D、E中哪些是互不相 容事件？哪些是对立事件？
答： B A1A2, C A1A2, D A1A2 A1A2, E A1 A2 （1）事件B、C、D两两互不相容，因为在两次投篮中，B、C、 D不可能同时发生任意两个结果。事实上
概率 性质 —— 5 条
10 P( )= 0;
20 若事件 A1 ,…, An 两两互不相容, 则P(Ai )=P(Ai ); 30 对任意事件A, B，有 P(A∪B)= P(A)+P(B)- P(AB); 40 对任一事件A， 有 P(A)=1- P(A );
50 设Ａ, B是两个事件，且 B Ａ，则
P(A- B)= P(A)- P(B), P(B)≤ P(A),
古典概型
直接计算 几何概率
伯努利概型
计算
等可能性
Байду номын сангаасP( A)
A包含的样本点数
中的样本点总数
P( A)
A的度量
的度量
Pn
(k
)
C
k n
p
k
q
n
k
0 k n
推
算
条件概率
P(A|
B)
P( AB) P(B)
有包含或主从关系时用
（1） 叙述事件 AB的C 意义。
（2）在什么条件下 ABC=C 成立？
（3）什么时候关系式 C 是B正确的？
（4）什么时候 A 成B 立？
ABC
---------该生是三年级男生但不是运动员
ABC C C AB ---------全系远动员都是三年级男生
CB
---------全系远动员都是三年级学生
P(A) P(B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P(A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(A B) P(B)时取得
例7.设事件 A {掷一枚骰子4次，得一次六点}；
B {掷二枚骰子24次，得一次双六}.
试比较 P(A), P(B) 的大小.
A B A B且B A --------全系女生在三年级且三
年级学生的都是女生，即三年级学生由该系女生组成
例2．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？
答：（1）两事件对立必定互不相容，但互不相 容未必对立；
（2）互不相容的概念适用与多个事件，但对 立的概念只适用于两个事件；
（3）两个事件互不相容是指这两个事件不能 同时发生，即至多只能发生一个，但可以都不 发生，而两个事件对立则表示它们有且仅有一 个发生。
但显然 A B
例5．设随机事件A,B互不相容，已知 PA p, PB q,
试求：PA B, PA B, PAB, PAB, PAB .
解：因为A，B互不相容,故有
PA B PA PB p q
又因为A，B互不相容，故 B A
所以 PA B PA 1 p PAB P 0
PAB PB q
交换律 ——和、积 结合律 ——和、积 分配律 ——积关于和，
和关于积 对偶律 ——和、积
AB AB, AB AB
定义 —— 定义在样本空间上满足三条公理
的集合函数
(1) 0 ≤ P(A)≤ 1 ;
(2) P( )= 1 ;
(3) 两两互不相容事件A1 ,…,An ,…有 P(Ai )=P(Ai ).
随机试验 随机事件 样本空间
• •
每次试验可出现多种可能结果； 每三次个试限验定前条能件明确试验的所有可能结果，
试验但的不每能个确定试验后会出现哪一个结果. 可能的结果
基本事件—— 不能再分或不必细分 复合事件—— 多于一个的基本事件构成
必然事件
P( )=1，反之不真！
不可能事件 P( )=0，反之不真！
BC A1 A2 A1 A2 A1 A1 A2 A2
CD A1A2 ( A1A2 A1A2 ) ( A1A1) A2 A1( A2 A2 )
BD A1A2 ( A1A2 A1A2 ) A1( A2 A2 ) ( A1A1) A2
即 BC CD BD
故B、C、D两两互不相容。 （2）C和E是对立事件
CE A1A2 ( A1 A2 ) C E A1A2 A1 A2
A1 A2 A1 A2
故C和E是对立事件。
例4．若事件A、B、C满足A+C=B+C，问A=B是否成立？ 答：不一定成立。 例如：
A 1,2,3,4,5,6, B 1,2,3, C 4,5,6
则 AC BC
第 一章 事件与概率
第一章 习题课
主要内容:
一、概率的概念 １．事件的有关关系和运算; ２．概率的定义.
（1）描述性定义；（2）统计定义；（3）公理化定义. 二、概率的性质 三、三种特殊概率：古典概型、几何概型、伯努利概型 四、有关条件概率的计算公式 五、独立性
小结
• 可在相同条件下重复进行；
基本概念
利用独立性
P(AB)= P(A)P(B)
重要公式
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) ( P(A)>0)
全概率公式
n
P ( A) P(Bi) P( A|Bi )
贝叶斯公式
i 1
P ( Bi | A) P(Bi ) P( A| Bi )
n
P(Bj )P(A | Bj )
j 1
例1 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男 生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。
PAB P A B 1 PA B 1 p q
例6 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,在何条件 下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？
解 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(A B)