1 描述电磁场的基本物理量 2 电磁场的基本关系3 电磁场微分方程数...

4.数值计算中Maxwell方程的运用形式
r r r r ∂ r 4：高斯电通定律：∇ • D = ρ，将∇ × A = B，∇φ = − E − A代入 ∂t r r r ∂ r ∂ 左 = ∇ • D = ε∇ • E = −ε∇ • （ A + ∇φ） −ε（ ∇ • A + ∇ 2φ） = ∂t ∂t r ∂φ ∂ ∂φ 由：∇ • A = − µε （劳伦兹条件），左 = −ε（ （− µε ） ∇ 2φ） + ∂t ∂t ∂t ∂ 2φ ρ 2 而，右 = ρ，如要左 = 右，则∇ φ − µε 2 = − 应成立， ε ∂t 则高斯电通定律满足
2
3.稳态场问题： －－赫姆霍兹方程 －－齐次赫姆霍兹方程 （无源稳态场）
r r r 2 ∇ A + µεϖ A = − µJ 2 ρ 2 ∇ φ + µεϖ φ = − ε r r 2 2 ∇ A + µεϖ A = 0 2 ∇ φ + µεϖ 2φ = 0
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6.常见边界条件（求解场域的已知/限定条件）
1. 高斯电通定律
板书、 笔记
2. 高斯磁通定律 3. 法拉第电磁感应定律 4. 安培环路定律 构成maxwell方程 注意：积分形式和微分形式
2.描述电磁场的基本关系
1. 无源场 2. 静态场 3. 稳态场 4. 时变场
3.介质的边界条件
4.数值计算中MD = ρ r ∇ ⋅ B = 0 r r ∇ × E = − ∂B ∂t r r r ∂D ∇ × H = J + ∂t 标量电位：φ r 矢量磁位：A
µ
µ
µ
恒等 式A-8
4.数值计算中Maxwell方程的运用形式
r 如左 = 右，则定律成立，为此需对A作进一步限制： r 法1 ：设∇ • A = 0 （库仑条件），简单，但引起电磁方程不对称， r r ∂φ 法2：设∇ • A = − µε （劳伦兹条件）将A和φ联系起来，对称，机解 ∂t 条件 2代入左边： r r r 1 1 ∂φ 2 2 左 = 【∇（∇ • A） ∇ A】= 【∇（− µε ） ∇ A】 − − ; ∂t µ µ r r ∂A ∂ 而右 = J − ε - ε ∇φ ∂t ∂t r 2 r r ∂ A 2 如要左 = 右，则：∇ A − µε 2 = − µJ应成立，则安培定律满足 ∂t
7.偏微分方程问题的分类
7.偏微分方程问题的分类
2/4 附：矢量计算
2/4 附.矢量计算
2/4 附.矢量计算
2/4 附.矢量计算
Maewell方程直接运用不方便：
变量多、电场和磁场耦合在一起
希望对maxwell方程进行简化：
为此引入标量电位和矢量磁位来分离方 程中的电场量和磁场量 形成所谓的位函数方程（势函数方程）
4.数值计算中Maxwell方程的运用形式
r r r 人为引入矢量磁位A（Web/m），并定义其旋度：∇ × A = B r r ∂A 引入标量电位φ（V），定义其梯度为：∇φ = − E − ∂t
4.数值计算中Maxwell方程的运用形式
r r r r ∂B 2：法拉第定律：∇ × E = − ，将∇ × A = B代入 A-7 ∂t r r r r ∂ ∂ = 得：∇ × E = − （∇ × A），移项后：∇ × E + （∇ × A） 0应成立 ∂t ∂t r ∂ r 即是：∇ × E + A） 0应成立，将恒等式：∇ × ∇φ） 0加入 （ = （ ≡ ∂t r ∂ r r ∂ r = 即：∇ × E + A + ∇φ） 0，如E + A + ∇φ = 0成立，也即： （ ∂t ∂t r ∂ r ∇φ = − E − A成立，则上述推导成立，也就自动满足该定律 ∂t
r 引入A、φ后，仍应该满足Maxwell方程，验证：
4.数值计算中Maxwell方程的运用形式
r r ∂A 引入标量电位φ（V）：∇φ = − E − ∂t 后，maxwell方程中的高斯磁通定律和法拉第定律就自动满足了
上述推导说明： r r r 引入矢量磁位A：∇ × A = B
下面继续验证，安培定律和高斯电通定律
r r 2r ∂ A ∇ A − µε 2 = − µJ ∂t ∂ 2φ ρ ∇ 2φ − µε =− 2 ∂t ε
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方程组右边为激励源，左边为电磁 位函数与位置、时间、材料有关
4.数值计算中Maxwell方程的运用形式
位函数方程完全代表了Maewell方程 变量只有标量电位函数和矢量磁位函数，其它场量可由此导出，这 一过程成为后处理。 电场和磁场位函数方程对称，可简化计算,也便于用计算机编程求解
位函数方程+边界条件(边界激励条件)＝场域问题的定解 1.狄利克莱Drichlet边界条件： 描述势函数中某场域边界上的分布情况 例：参考电位，激励电位
φ
Γ1
= g (Γ1) Γ1为狄利克莱边界， g (Γ1) 为某位置函数
6.常见边界条件（求解场域的已知/限定条件）
2.诺伊曼（Neumann）边界条件：描述场域内势函数关于该边界 分布对称，如场域几何尺寸、激励源的具有对称性时常用， 例：变压器磁场分布
4.数值计算中Maxwell方程的运用形式
r r r r ∂ r r r ∂D 3：安培环路定律：∇ × H = J + ，将∇ × A = B，∇φ = − E − A代入 ∂t ∂t r r r r 1 r 1 1 2 左 = ∇ × H = （∇ × B） （∇ × ∇ × A） 【∇（∇ • A） ∇ A】 = = − r r r r ∂D r ∂E r ∂A ∂ 右=J+ = J +ε = J −ε - ε ∇φ ∂t ∂t ∂t ∂t
说明： r r r A的方向，如磁场激励源为直流，则A的方向为J的方向； r 上述定义对A而言，不唯一，后面还要对其加散度限制； r A作为求解磁场问题的中间量，不具备物理含义，为简化 运算而引入
4.数值计算中Maxwell方程的运用形式
r 引入A、φ后，仍应该满足Maxwell方程，验证：
r 1 ：高斯磁通定律：∇ ⋅ B = 0 r r r 将∇ × A = B代入得：∇ （∇ × A） 0 ⋅ = 为矢量恒等式，说明自动满足该定律
∇ • ∇φ ≡ ∇ 2φ
4.数值计算中Maxwell方程的运用形式
r ∇ ⋅ D = ρ r ∇ ⋅ B = 0 r r ∇ × E = − ∂B ∂t r r r ∂D ∇ × H = J + ∂t 标量电位：φ r 矢量磁位：A
r r ∇ × A = B ∂φ r ∇ ⋅ A = − µε （劳伦兹条件） ∂t r r ∂A ∇φ = − E − ∂t
r r 2r ∂ A ∇ A − µε 2 = − µJ ∂t ρ ∂ 2φ ∇ 2φ − µε =− 2 ∂t ε
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5.典型电磁场问题的位函数方程
永磁 机构 问题 电机空载问题，绝 缘击穿问题
r ∇ A = 0 1.无源静态场问题： 2 －－拉普拉斯方程 ∇ φ = 0 r r 2 2.静态场问题： ∇ A = − µJ 2 ρ －－帕松方程 ∇ φ = − ε
∂φ ∂n
Γ2
+ σ ( Γ 2 )φ
Γ2
= h( Γ 2 )
Γ 2为诺伊曼边界， σ ( Γ 2 )h( Γ 2 )为某位置函数
6.常见边界条件（求解场域的已知/限定条件）
3.齐次边界条件
φ
Γ1
= 0 : 表示某边界上势函数为0，例：无穷远处的电势
∂φ ，表示某边界法向方向势函数变化率为0， Γ2 =0 ∂n 例变压器对称切面
1 电磁场理论回顾
1 描述电磁场的基本物理量 2 电磁场的基本关系 3 电磁场微分方程数值应用形式
1.描述电磁场的基本物理量
1. 场量
电荷 q 电场强度 E 电通密度 D 磁通密度 B 均匀介质 各向同性介质 传导电流密度 J
磁荷 (没有) 磁场强度 H 介电系数 磁导率 电导率
板书、 笔记
2.描述电磁场的基本关系