基于最优化方法的控制器设计.

(2)
对最终状 态有重要 影响，其 值越小末 态偏差就 越小
对控制过程的误差 有相当大的重要影 响，可以定量描述 整个控制过程的控 制效果，其值越小 控制效果越好
表示控制信号消耗的能量， 反映控制的代价，其值越 小控制代价就越小。相当 于对整个控制过程中的控 制向量u(k)加了一定的限 制。
其中Q0和Q1是非负定对称阵，Q2是正定对称阵。
得到次优的结果。
6.1.2 线性二次型最优控制问题
LQG控制与最小方差控制问题： LQG控制问题：
基于被控对象的状态空间模型，适用于一般的输入输出
系统。 随机系统的最小方差控制：
6.1.1 最优控制的基本概念
性能指标是一个纯量函数，其函数值表示实际性能与理想 性能的接近程度。用来代替经典设计中的性能指标，如过 渡过程时间，超调量等。 按数学形式分为如下三类： （1）积分型性能指标。表示在整个控制过程中，系统的状 态及控制应满足的要求，包括最小时间控制指标，最少燃 料控制指标，最少能量控制指标等。 （2）末值型性能指标。表示在控制过程结束后，对系统末 态的要求。 （3）复合型性能指标。表示对整个控制过程和末端都有要 求，是最一般的性能指标形式，主要包括状态调节型性能 指标和输出跟踪型性能指标。
计算机控制理论与设计
东北大学
计算机控制理论与设计课程组
2011年9月
课程内容
第一wenku.baidu.com 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 绪论 计算机控制系统的数学模型与性能指标 经典控制器设计方法 复合系统控制器设计方法 基于极点配置方法的控制器设计 基于最优化方法的控制器设计
第六章 基于最优化方法的控制器 设计
6.1.2 线性二次型最优控制问题
控制效果与控制代价之间的权衡可以通过选取加权矩阵Q1和 Q2来实现。 （1）若强调控制效果（即控制精度），较少计较控制代价， 则应选取加大的Q1，较小的 Q2； （2）若强调控制代价，较少计较控制效果，则应选取加小的 Q1，较大的 Q2 可以证明，最优控制律可以写成如下形式：
本章主要内容
最优控制设计方法的原理 最优化状态反馈控制器的设计

最小方差控制器的设计
随机系统（Stochastic system）指含有内部随机参数、 外部随机干扰和观测噪声等随机变量的系统。 随机系统是不确定性系统的一种，其不确定性是由随机 性引起的。 按确定性控制理论设计随机控制系统，当随机因素不能 忽略时，控制系统就会偏离预定的设计要求，而产生随 机偏差量。
(1)
其中 x Rn , u Rm , y Rr
二次型的最优控制问题就是要确定求取控制向量u(k)的规则， 以使所给的二次型性能指标达到最小。
6.1.2 线性二次型最优控制问题
典型的二次型性能指标函数如下：
J x ( N )Q0 x( N )
T N 1 k 0 T T [ x ( k ) Q x ( k ) u (k )Q2 u(k )] 1
6.1.2 线性二次型最优控制问题
针对确定性系统，设计得到LQ控制问题的最优控制律：
u(k ) L(k )x(k )
然后针对随机系统，进行状态的最优估计（Kalman滤波） ˆ (k ) 得到 x 最后得到LQG问题的最优控制律为：
ˆ (k ) u(k ) L(k )x
此即为分离性原理。 对于LQG控制问题，应用分离性原理能得到全局最优的 结果。对于一般的随机控制问题，应用分离性原理只能
系统的最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控 制问题，简称为线性二次型最优控制问题或线性二次型问 题（LQ：Linear Quadratic）。
6.1.2 线性二次型最优控制问题
对于一个确定性的线性定常系统，其离散状态空间模型为：
x(k 1) Fx(k ) Gu(k ) y(k ) Cx(k )
6.1.1 最优控制的基本概念
说明： （1）按照某个性能指标设计出的最优系统，在另一个指标 下并不是最优的。
（2）对于线性随机系统的二次型最优控制问题，若系统是
完全能控和完全能观的，则最优控制律一定存在。
6.1.2 线性二次型最优控制问题
对于线性系统的控制器设计问题，如果其性能指标是状态
变量和（或）控制变量的二次型函数的积分，则这种动态
u(k ) L(k )x(k )
其中 L(k ) 是 m n 时变矩阵。 当
L( k )
N （时间）
(3)
L （常数）
6.1.2 线性二次型最优控制问题
LQ （Linear Quadratic）控制问题：确定性系统的线性二
次型最优控制问题；对于调节系统，可称为LQR（Linear Quadratic Regulater）控制问题。 LQG （LQG：Linear Quadratic Gaussian）控制问题（线 性二次型高斯控制问题）：随机系统的线性二次型最优控 制，即在过程模型中考虑了高斯随机扰动。 LQG控制律的设计可以在LQ控制问题的基础上进行。
变分学： 经典变分学—控制无约束问题 现代变分学—控制有约束问题 动态规划：贝尔曼1957年创立
极小值原理：庞德里亚金1958年创立
说明：解决有约束的最优控制问题，采用极小值原 理和动态规划方法可以得到相同的结果。二者比较， 动态规划方法在实际应用中更麻烦一些。
6.1.1 最优控制的基本概念
如果给出如下条件：
6.1.1 最优控制的基本概念
最优控制研究的主要问题：
根据已经建立的被控对象的数学模型，选择一个容许的
控制律，使得被控对象按照预定要求运行，并使给定的 某一性能指标达到极小值（或极大值）。 从数学观点来看，最优控制研究的问题是求解一类带有 约束条件的泛函极值问题，属于变分学的范畴。
6.1.1 最优控制的基本概念
（1）系统方程；
（2）允许的控制向量组； （3）问题的约束；
（4）性能指标；
（5）系统参数。
则可用数学模型来描述控制系统的优化问题。 最优控制问题的解就是在可行的控制向量组中确定的最 优控制向量u(k)。 除了某些特殊情况外，要得到最优控制问题的解析解是
很困难的，所以一般只能得到最优控制问题的数值解。