全概率公式与贝叶斯公式

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(1)事件A与B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B) 证：必要性 若A与B中有一个事件概率为零，结论成立。 设A与B的概率都不为零，由独立性 P(B|A)=P(B) 而由乘法法则可得 P(AB)=P(A)P(B|A) =P(A)P(B) 充分性 设P(B)>0,则
P(AB) P( A)P( B) = =P(A) P(B) P( B) 即A与B独立。 P(A | B) =
定理1 (全概率公式)若事件A1,A2,…构成一个完备事件组 并且都具有正概率，则对任何一个事件B,有 P( B) = ∑ P( A i )P(B | A i )
i
证：A1,A2,…两两互斥，故A1B,A2B,…两两互斥 且B = BΩ = B(∑ A i )＝∑ A i B
i
i
由加法法则
P( B) = ∑ P( A i B)
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2 一名士兵用步枪射击飞机，命中率为0.004。求： (1)若250名士兵同时射击，飞机被击中的概率。 (2)多少名士兵同时射击，才能使飞机被击中的概率达 到99％？ 解：用Ai表示第i名士兵击中飞机，P(Ai)＝0.004
(1)P( A1 + ... + A 250 ) = 1 − P( A1 )...P( A 250 ) = 1 − 0.996250 ≈ 0.63 ( 2)设要n名士兵同时射击 P( A1 + ... + A n )＝1 − P( A1 )...P( A n )
= 1 − 0.996n ＝0.99
即0.996n＝0.01 lg 0.01 故n = ≈ 1150 lg 0.996
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例3 甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管， 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9， 0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概 率以及机床因无人照管而停工的概率。 解：用A、B、C分别表示在这段时间内机床甲、乙、 丙不需要照管。 则A、B、C相互独立，且 P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85 P( A + B + C) = P( ABC) = 1 − P( ABC) = 1 − P( A )P( B)P(C) = 1 − 0.9 × 0.8 × 0.85 = 0.388
P(C) = P( AB)P(C | AB) + P( AB)P(C | AB) + P( AB)P(C | AB) + P( AB)P(C | AB) = P( A)P( B | A)P(C | AB) + P(A)P(B | A)P(C | AB) + P( A)P( B | A)P(C | AB) + P( A)P( B | A)P(C | AB) 4 3 2 4 6 3 6 4 3 6 4 3 6 5 4 = × × + × × + × × + × × + × × 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 288 = 0.4 = 720
P(A0)=0.6×0.5×0.3 =0.09 P(A1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36 P(A2)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P(A3)=0.4×0.5×0.7 =0.14
P(B) = ∑ P(A i )P( B | A i ) ＝0.458
§6.全概率公式与贝叶斯公式 6.全概率公式与贝叶斯公式
例1 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占 30％，甲厂产品的合格率是95％，乙厂的合格率是80％ 若用事件A，Ā分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品 为合格品。求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格 灯泡是甲厂生产的概率。 解：B=AB+ĀB且AB与ĀB互不相容。 P(B)=P(AB+ĀB) =P(AB)+P(ĀB) =P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā) =0.7×0.95+0.3×0.8=0.905 P( A)P( B | A) P( AB) = P( A | B) = P( A)P( B | A) + P(A)P( B | A) P( B) 0.7 × 0.95 = ≈ 0.735 1 0.7 × 0.95 + 0.3 × 0.8
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例5 甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为 0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是 0.2，若二人击中，则目标被摧毁的概率是0.6，若三人 都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人 摧毁的概率。 解：用Ai表示有i个人击中目标，i=0,1,2,3 用B表示目标被摧毁。 P(B|A0)=0 P(B|A1)=0.2 P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=1
P( AB + BC + AC) = P(AB) + P( BC) + P( AC) − 2P( ABC) = 0.1× 0.2 + 0.2 × 0.15 + 0.1× 0.15 − 2 × 0.1× 0.2 × 0.15 = 0.059
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例4 图中开关a、b、c开或关 的概率都是0.5，且各开关是 否关闭相互独立。求灯亮的 概率以及若已见灯亮，开关a 与b同时关闭的概率。
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(2)若事件A与B独立，则A与B， A与B， A与B中的 每一对事件都相互独立。 证： P( AB) = P( A − AB)
= P( A) − P( AB) =P(A)-P(A)P(B)
=P(A)(1-P(B))
= P( A)P(B)
由(1)可知，A与B独立。
类似可证其它两对事件独立。
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(3)若事件A1,A2,…,An相互独立，则有 P(A1…An)=P(A1)…P(An) 证：P(A1…An)＝P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1…An-1) 而P(A2|A1)=P(A2),…,P(An|A1…An-1)=P(An) 故P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)
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例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中 目标的概率分别为0.9和0.8。求一次射击中，目标被 击中的概率。 解：分别用A,B表示甲、乙击中目标。 目标被击中，即至少有一人击中，即A+B A与B独立。故 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.9+0.8-0.9×0.8 =0.98 或由性质(4) P(A + B) = 1 − P( A)P(B) =1-0.1×0.2 =0.98
= 0.005 × 0.95 0.005 × 0.95 + 0.995 × 0.05
≈ 0.087
若有10000人受检，患病者仅50人，其中验血阳性约47.5人 而9950健康人中，验血阳性者为9950×0.05＝497.5人
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§7 独立试验概型
(一)事件的独立性 一 事件的独立性 定义1 若事件发生的可能性不受事件B发生与否的影响， 即P(A|B)=P(A),则称事件A独立于事件B。 P( AB) 若 P( A) = P(A | B) = P( B) P( AB) = P( B | A) 则 P( B) = P( A) 故若A独立于B，则B也独立于A,称事件A与事件B相互 独立。 定义2 若n (n>2)个事件A1,…,An中任何一个事件发生的 可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响， 称A1,A2,…,An相互独立。 关于独立性有如下性质：
( 4)若事件A1 , A 2 ,..., A n 相互独立，则有 P(A1 + ... + A n )＝1－P( A1 )...P( A n ) 证：由于A1,...，A n 对立，1,..., n也对立 A A
P( A1 + ... + A n )＝1－P(A1 +...+A n ) = 1 − P( A1...A n ) = 1 − P( A1 )...P( A n )
i＝0 3
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(二)独立试验序列概型 二 独立试验序列概型 进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性 都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次 试验是相互独立的。 在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序 列概型。 若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次 试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事 件A发生的概率都是p(0<p<1)。 这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。
i
再由乘法法则
P(A i B) = P( A i )P(B | A i )
故P( B) = ∑ P( Ai )P( B | Ai )
i
2
定理2 (贝叶斯公式)若事件A1,A2,…构成一个完备事件组， 且都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件B,有
P(A m )P( B | A m ) P(A m |B) = ∑ P(Ai )P(B | Ai )
a
b
c
解：令A、B、C分别表示开关a、b、c关闭，D表示灯亮 P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC) =P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C) =0.5×0.5+0.5-0.5×0.5×0.5 =0.625 由于AB ⊂ D, ABD=AB
P( ABD) P( AB) 0.5 × 0.5 P( AB | D) = = = =0.4 P( D) P( D) 0.625
P( A)P(B | A) 5 = ( 2)P( A | B) = P(A )P( B | A) + P( A)P(B | A ) 2 × 0.6 + 3 × 0.1 5 5
= 0.8
4
例3 有三个同样的箱子，A箱中有4个黑球1个白球， B箱中有3个黑球3个白球，C箱中有3个黑球5个白球。 现任取一箱，再从中任取一球，求 (1)此球是白球的概率 (2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。 解：用A、B、C表示A、B、C三个箱子取球 用D表示取出的是白球。 则A、B、C是完备事件组。 1 且P( A ) = P(B) = P(C) = 3 1 1 5 P( D | A ) = P( D | B) = P( D | C) = 5 2 8
i
证：P(A m | B)＝
P(A m B) P( B)
＝
P( A m )P( B | A m ) ∑ P(Ai )P(B | Ai )
i
全概率 各原因下条件概率已知 求是某种原因造成得概率 贝叶斯
3
求事件发生概率 事件已发生
例2 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正。 一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校 正过的枪射击，中靶率为0.4。 (1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？ (2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校 正的概率。 解：设A表示枪已校正，B表示射击中靶 3 2 P( B | A) = 0.9 则P(A ) = , P(A) = 5 5 P(B | A ) = 0.1 P(B | A) = 0.4 P(B | A) = 0.6 (1)P( B) = P( A)P( B | A) + P( A)P(B | A) 3 2 = × 0.9 + × 0.4 ＝0.7 2 5 5 × 0 .6
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例4 (抽签的公正性)设10支签中有4支难签。甲、乙、丙 依次不放回的抽取。求各人抽到难签的概率。 解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。 4 P( A) = = 0.4 10 P( B) = P( A)P( B | A) + P( A)P( B | A) 4 3 6 4 36 = × + × = = 0.4 10 9 10 9 90
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(1)P( D) = P( A)P(D | A) + P( B)P( D | B) + P(C)P( D | C) 1 1 1 1 1 5 = × + × + × 3 5 3 2 3 8 53 = ≈ 0.442 120 P( B)P(D | B) ( 2)P(B | D) = P( A)P( D | A) + P( B)P( D | B) + P(C)P( D | C) 1 1 × 3 2 = 1 1 1 1 1 5 × + × + × 3 5 3 2 3 8 20 ≈ 0.378 = 53
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例5 设验血诊断某种疾病的误诊率仅为5％，即若用A表 示验血阳性，B表示受验者患病，则 P(A | B) = P( A | B) = 5%。若受检人群中仅有0.5％患此病， 即P(B)=0.005。求一个验血阳性的人确患此病的概率。 P( B)P( A | B) 解：P( B | A) = P( B)P( A | B) + P( B)P( A | B)