电磁场与波 电荷与电流分布关系

电荷与电流的分布关系

英才四班 陈兆丰 2803001005

摘要：

1.本文研究了点电荷、线电荷、面电荷与体电荷分布之间的关系；

2.分析了线电流、面电流与体电流分布之间的关系；

3.分析了电荷与电流分布直接的关系；

关键词：电荷密度、电流密度、δ函数、分布

引言：

由于在解题的过程中常常会遇到需要知道电荷、电流表达方式之间的转换关系，以及了解电荷与电流分布的关系，因此有必要对这几个方面进行总结。 正文：

1.电荷之间的分布关系：

先来看各种分布的图像：

图一、体电荷分布 图二、面电荷分布

图三、线电荷分布 图四、点电荷分布

（1）体电荷与面电荷的关系： 如图一，在体积V 中的体积微元V ∆中所包含的电荷是()q r ∆ ，则

体电荷密度0()()lim (1)V q r dq r V dV ρ∆→∆==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆ 同时，如图二，面电流定义为0()()lim (2)S S q r dq r S dS

ρ∆→∆==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆ 在定义的过程中，由于V ∆是体积微元，不关心它的形状，不妨把V ∆看成是高为h ∆、底面积为S ∆的长方体，则体电荷密度也可以表示为

0()()1()lim S S r q r dq r h S dS h h

ρρ∆→∆===∆∆∆∆ ，即()()S r r h ρρ=∆ 。 从物理角度分析，可以将h ∆定义成一个密度系数，其单位是线度的单位，h ∆符

合宏观小和微观大的特点，则()h r δ∆= ，即()()()(3)S r r r ρρδ=⋅⋅⋅⋅

此结果即为体电荷分布与面电荷分布的关系。

（2）面电荷与线电荷分布的关系： 如图三，线电荷的定义：0()()()lim (4)l l q r dq r r l dl

ρ∆→∆==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆ 类同于上面的推导，可得 00()()()1()1()lim lim l S l l r q r q r dq r r m l l m dl m m ρρ∆→∆→∆∆====∆∆∆∆∆∆ ，即 ()()l S r r m ρρ=∆ ，m ∆与上面h ∆的特点类似，即()m r δ∆= ，因此可得，()()()(5)l S r r r ρρδ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

上式即为面电荷分布与线电荷分别的关系。

（3）线电荷与点电荷的关系：

如图四，点电荷密度定义为：()()(6)p r q r r ρδ'=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

根据定义，点电荷模型可以看作线电荷的线度趋近于一个几何点，因此 上式中的()l q r dl ρ=⎰

，所以

()()()()(7)p l r q r r r dl r r ρδρδ''=-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰

小结一：通过上面的讨论，可以看到体电荷、面电荷、线电荷、点电荷相邻两个之间的关系是相差一个()r δ

的关系，而由于点可以看作是三个坐标面的交点，

因此点电荷是三个()r δ

的乘积，而线是两个坐标面的交线，因此线电荷是两个()r δ 的乘积；面直接可以看成一个坐标面，因此面只是一个()r δ 函数；而体

电荷可以看成不含坐标面，因此没有()r δ

函数。在直角坐标系中，

点电荷()()()()(8)p r q x x y y z z ρδδδ'''=---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

其他三个可以类似写出。

2.电流分布之间的关系：

先来看电流分布的图像

;

图五、体电流分布 图六、面电流分布

（1）体电流与面电流的关系：

如图五，体电流密度的定义为： 0lim (9)i i S i

i i di J e e S dS ∆→∆==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆ ，其中i e 为正电荷运动方向，i S ∆为垂直于正电荷运动方向的单位截面。

同样，如图六，面电流密度的定义为：

0lim (10)S i h i

di J Jh e dl →==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，其中i l 为垂直于正电荷运动方向的单位长度横截线。 比较两个定义，在定义中已经有0

lim S h J Jh →=

，其中h 与电荷分布中的h ∆类似，因此，

0lim ()i h h l δ→=，所以，两者的分布关系可以表示为：()(11)S i J J l δ=⋅⋅⋅⋅

（2）面电流和线电流的关系：

线电流的定义如下：

电荷在一个横截面积可以忽略的细线中做定向流动所形成的电流称为线电流，可以认为电流是集中在细导线的轴线上。线电流密度用数学语言表达为： ()(12)l i J e l δ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 类似的，可得()S l J J l δ=

此结果即为面电流与线电流的关系。

小结二：与电荷的分布类似，电流分布两两之间也是δ函数的关系。

3.体、面、线、点电荷的分布与电流分布的关系：

我们知道，电荷的定向运动形成电流，总的来说，电荷和电流的关系是电流的连续性定理： 积分形式：S V

dq d J d S dV dt dt ρ=-=-⎰⎰ 由高斯定理得出微分形式：J t

ρ∂∇=-∂ 以上的式子的推出是来源于体电荷分布，若电荷为面分布，则关系如下：

S S J t ρ∂∇=-∂ 若为线分布，同样有l l J t ρ∂∇=-∂

若为点分布，显然不能有电流的存在。

总结：通过以上的讨论我们发现，电荷与电荷、电流与电流之间的关系是δ函数的关系，可见当初δ函数的定义是多么的重要，同时我们更应该理解δ函数的物理意义或者条件。另外，本文并没有用过多的数学方法来推导各关系式，比如在面电荷分布时讨论电流连续性定理时，目的在于总结归纳这些关系。 参考文献：

1.谢处方等 电磁场与电磁波 北京 高等教育出版社 2006年

2.肖学雷 田晓岑 点电荷、线电荷、面电荷模型的电荷体分布函数 大学物理 2005年5月