第3讲：相反数与绝对值
七年级上册-第二章-第3讲(绝对值)
第七讲 绝对值一、相反数的定义定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数. 特别地， 的相反数是0.相反数的求法：求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即a 的相反数是－a ，其实质是改变这个数的符号．例1 分别写出下列各数的相反数．－3，2，4.5，0，－ .练1 如图，表示互为相反数的两个数的点是________．二、多重符号的化简例2 化简下列各数：(1)－[＋(－1)]；(2)－{－[－…(－1) …]}. (2n －1)个负号，n 为正整数练1化简下列各数：(1)－[－(＋2)]＝______； (2)－[－(－2 017)]＝________；(3)－[＋(－18)]＝__________； (4) ． 三、相反数的性质－2.5与＋2.5，＋1与－1，＋3与－3性质：每一对数在数轴上的对应点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．在一个数的前面添上“＋”号表示这个数本身．在一个数的前面添上“－”号表示原来这个数的相反数．例3 填空：(1) 的相反数为_______； (2)2是______的相反数；(3)x －y 的相反数为_______； (4)π－3的相反数是_______.练1 下列说法：①m 与－m 互为相反数，因此它们一定不相等；②相反数等于它本身的数只有0；③正数和负数互为相反数；④负数的相反数是正数；⑤a 的相反数一定是负数．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4四、绝对值的定义定义：一般地，数轴上表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |.(这里的数a 可以是正数、负数和0).代数定义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0的绝对值是 ；任意一个数的绝对值为 ． 用式子表示为： 2=3⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭－＋－＋859－000a a a a ⎧⎪=⎨⎪（＞）；（＝）；163例4 写出下列各数的绝对值：，0， ， ，－4.5，－5. 五、绝对值的性质性质：互为相反数的两个数的绝对值 .1. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.非负性：任何有理数的绝对值都是 ，即 例6 下列各式中无论m 为何值，一定是正数的是( ) A. B. C. +1 D.－(－m )例7 已知 ，求x 与y 的相反数.练1若|a －1|＝a －1，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ＜1D ．a ＞1六、有理数的大小比较用数轴比较两数的大小：1. 在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数 ．2. 利用数轴比较大小关键有两步：一是在数轴上 ；二是观察表示数的点在数轴上的 ．有理数大小比较法则：a.正数都大于零，负数都小于零， 正数都大于负数．b.两个负数比较大小，绝对值大的反而小例8 已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图，下列结论错误的是( )A ．|a |＜1＜|b |B ．1＜－a ＜bC ．1＜|a |＜bD ．－b ＜a ＜－1例9 下列说法正确的是( )A ．一个数的绝对值一定比0大B ．一个数的相反数一定比它本身小C ．绝对值等于它本身的数一定是正数D ．最小的正整数是115432－132－0.a m 1＋m m 42=0－＋＋x y七、课堂小练1．只有________不同的两个数互为相反数．相反数具有以下四个特征：(1) 相反数是________出现的；(2) 0的相反数是 ；(3) 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，到原点的距离________．2. 下列说法：①－2是相反数；② 2是相反数；③－2是2的相反数；④－2和2互为相反数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．运用相反数的意义化简多重符号，若数字前面的负号有偶数个，则结果为______数；若数字前面的负号有________数个，则结果为负数．4. 下列各组数中，不相等的是( )A ．－(＋2)和＋(－2)B ．－7和－(＋7)C ．＋(－5)和－(－5)D ．－[＋(－8)]和－[－(＋8)]5. 若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是( )A ．正数B ．正数或零C ．负数D ．负数或零6. 如图，已知A ，B ，C ，D 四个点在一条没有标明原点的数轴上． (1)若点A 和点C 表示的数互为相反数，则原点为________；(2)若点B 和点D 表示的数互为相反数，则原点为________；(3)若点A 和点D 表示的数互为相反数，请在数轴上标出原点O 的位置．7. 是一个正方体纸盒的平面展开图，若在其中三个正方形A ，B ，C 内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形A ，B ，C 内的数分别是多少？8. 数轴上表示数a 的点与原点的________，叫做数a 的绝对值，记作________，读作____________．9. 点M ，N ，P ，Q 在数轴上的位置如图所示，其中表示的数的绝对值最大的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q 10. 一个正数的绝对值是它________；一个负数的绝对值是它的_________；______的绝对值是0.任何数都有且只有一个绝对值；互为相反数的两数绝对值_______，任何数的绝对值不可能是___数． 11. 若|x |＝4，则x 的值是( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D. 12.有理数比较大小的规定： (1)正数______0，0______负数，正数______负数．(2)两个负数比较大小，绝对值大的__________．1413.已知a＝－1，b＝－2，则()A．a<b B．|a|>|b| C．|a|<|b| D．a>|b|14.若a，b为有理数，a>0，b<0且|a|<|b|，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．b<－a<－b<a B．b<－b<－a<a C．b<－a<a<－b D．－a<－b<b<a 15.如果－a的相反数是最小的正整数，b是绝对值最小的数，求a＋b的值．16.有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．(1) 在横线上填入“＞”或“＜”：a______0，b______0，c______0，|c|______|a|；(2)试在数轴上找出表示－a，－b，－c的点；(3)试用“＜”将a，－a，b，－b，c，－c，0连接起来．。
相反数与绝对值
相反数与绝对值相反数是指两个数值绝对值相等，但符号相反的数。
在数学中，相反数的概念广泛应用于代数、几何和物理等领域。
绝对值则表示一个数距离原点的距离，无论该数是正数还是负数，其绝对值总是非负的。
相反数与绝对值的概念常常被同时介绍，因为它们之间存在一定的关联。
在本文中，我们将探讨相反数和绝对值的定义、性质以及在实际生活中的应用。
一、相反数的定义和性质相反数是指两个数值的绝对值相等，但符号相反。
如果一个数为a，那么其相反数为-b，即-a与b满足以下条件：1. 绝对值相等：|a| = |b|2. 符号相反：若a > 0，则b < 0；若a < 0，则b > 0例如，数值3与-3便是相反数。
它们的绝对值都是3，但一个是正数，另一个是负数。
相反数的性质也包括以下几点：1. 两个相反数相加等于0：a + (-a) = 02. 相反数与原数相乘等于-1：a * (-a) = -1这些性质在代数运算中经常被使用，在解方程、求根和简化复杂表达式等过程中都是必不可少的。
二、绝对值的定义和性质绝对值表示一个数距离原点的距离，它忽略了该数的正负，将其转化为非负数。
对于实数a来说，其绝对值表示为|a|。
其定义如下：1. 若a >= 0，则|a| = a2. 若a < 0，则|a| = -a例如，|4| = 4，|-4| = 4。
无论正数还是负数，绝对值总是非负的。
绝对值具有以下几个重要性质：1. 非负性质：对任意实数a，|a| >= 0，绝对值为非负数。
2. 正数性质：对任意正数a，|a| = a，绝对值与原数相等。
3. 负数性质：对任意负数a，|a| = -a，绝对值为原数的相反数。
4. 三角不等式性质：对任意实数a和b，有|a + b| <= |a| + |b|，绝对值的加法满足三角不等式。
绝对值在解决不等式、求解模型和统计分析等问题中具有广泛的应用。
三、相反数与绝对值的应用相反数和绝对值在实际生活中有许多应用，下面我们来看几个例子：1. 温度计：温度计可用来测量环境温度，其刻度分为正负两个方向。
初一导学课3相反数与绝对值
相反数
学习目标
1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个 点关于原点对称（难点） 2.会求有理数的相反数(重点）
内容讲解
1.相反数的概念
只有符号不同的两个数叫做互为相反数 如+5.3与-5.3互为相反数，3 与-3 互为相反数。也可以说一个数 是另一个数的相反数，如5是-5的相反数，-5的相反数是5 结论：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，
-5
（4）| ＋（-2.6） |
-|＋5|
例题讲解
例2 答案 （1）-3.3 ＜ 1 （2）0 ＞ -5 （3）-| -3 | ＞ -5 （4）| ＋（-2.6） | ＞
-|＋5|
例题讲解
例3 把下列各数在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序用 “＜”连接起来
1
-3, 0，＋3.5， -1 , 2，0.5
例题讲解
例4 已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：
（1）判断正负，用＞、＜或者=填空 a＋b 0 a-b 0 a＋b＋c 0
（2）化简：| a ＋c |-| a ＋b ＋c |＋| a -b |
例题讲解
例4 答案
（1）判断正负，用＞、＜或者=填空
a＋b ＜ 0
a - b ＞ 0 a＋b＋c ＜ 0
绝对值
学习目标
1.了解绝对值的表示方法，理解绝对值的意义，会计算有理数 的绝对值
2.绝对值的代数意义和几何意义
内容讲解
1.绝对值的概念
数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值. 记作| a |，读作 a 的绝对值 求法：一个正数的绝对值是它本身
一个负数的绝对值是它的相反数 零的绝对值是零
小升初数学衔接暑假班系列讲义第三讲：数轴、相反数和绝对值
三、解答题
． - 0.8
11．画出数轴，在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把各数连接起来． -3， 0， 3，5， -5
2014
12．一个点在数轴上表示的数是 -5，这个点先向左边移动 3 个单位，然后再向右边移动 6 个单位，这时它
表示的数是多少呢？如果按上面的移动规律，最后得到的点表示的数是
知识点 1：相反数的意义
定义
代数意义
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，
0 的相反数是 0．
数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数．
几何意义
一对相反数在数轴上的对应点分别位于原点两侧，且关于原点对称．
原点的对称点是它本身．
注1
1. 相反数必须成对出现，不能单独存在．
2. 定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，应与“只要符号不同”区分开，与具有相反意
义的量区分开．
3. 互为相反数的两个数的和为零，即若 a 与 b 互为相反数，则 a b 0 ；
反之，若 a b 0 ，则 a 与 b 互为相反数．
知识点 2：相反数的求法 求法 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“
- ”号即可．
注2
1. 一般地，数 a 的相反数是．因为字母 a 可以表示任意一个数， a 可以为正数、 0、负数，也可以是任
的相反数； -(-7) 的相反数是
(2) 若 5 与 2 互为相反数，则
．
(3) 如果 a＝ -13 ，那么＝
；如果 a＝ 5.4 ，那么＝
(4) 如果＝ -6 ，那么 x＝
；如果＝ 9，那么 x＝
(5) a 的相反数是
；的相反数是
．
．
． ．
苏教科版初中数学七年级上册2.3《绝对值与相反数(3)》PPT课件
例2
已知有理数a,b,c在数轴上对应的位置如图 所示，求︱ a ︱- ︱ b ︱+ ︱ c︱
a 0b
C
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议一议：
1.如果字母a表示一个数，则
︱ a ︱表示什么？︱ a ︱一定是正数吗？
(1)如果︱ x ︱+ ︱ y ︱=o则x= __0___y =__0___
(2)如果︱ x+2 ︱+ ︱ y-1 ︱=o则x= _-2___
∴ -9.5 ＜ -1.75 两个负数，绝对值大的反而小。
先判正负，再用法则。 苏科版初中数学网站
强化练习
1、比较下列每组数的大小 (1)-3 _＜___ -0.5； (2)+(-0.5) _＜___ +|-0.5| (3)-8 _＞___ -12 (4)-5/6 _＜___ -2/3 (5) -|-2.7| _＜___ -(-3.32)
2 有理数的大小比较 .3-3
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复习：
学.科.网
什么叫绝对值？什么叫相反数？
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数轴上表示一个数的点与原点的 距离，叫做这个数的绝对值。学.科.网
32
-3 -2 -1 0 1 2
n 符 号 不 同 ， 绝 对 值 相 等 的两个数 叫做互为相反数（opposite number)。
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小结:
1.正数的绝对值是
，负数的
绝对值是
，0的绝对值是
。
2.一个数的绝对值是 数。
3. 两个负数， 反而小。
{ 4. ︱a︱=
a （ a 是正数或0时） -a （ a 是正数或0时）
苏科版七年级上册《绝对值与相反数3》课件
结论：两个负数，绝对值大 的反而小。
1、比较下列每组数的大小：
（ 1） -5 6与 1 10 1， （ 2） -3 7与 9 4
(3)3与 0.273,(4)5与 5
11
89
2、若│a∣= —a ,则a是（ ）D；
A、 非负数 B、 负数
5、如果 x 5 ，那么x=__±__5___.
6、__非__正__数___与它的绝对值互为 相反数.
7、设a是最小的自然数，b是最 大的负整数的相反数，c是绝对 值最小的有理数，则a、b、c三 数之和是( C )
A.-1 B.0 C.1 D.2
8、下列判断正确的是( D ) A.若a b ，则a=-b B.若 a b ，则a>b C.若 a b ，则a<b
D.若a=-b，则 a b
9、已知有理数a,b在数轴上的对应 点的位置如图，0表示原点。 ①、请在数轴上表示出数-a,-b对应 的点的位置；
②、请按从小到大的顺序排列a, -a , -b,b, -1,0的大小；
．． ． ．．
a -1 0 b 1
10、正数a的绝对值是3 b的相反数是-113 ,
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
1、什么是一个数的绝对值？
2、谈谈你对相反数的认识。
相反数成对出现。 只有符号不同的两个数才互为相反数。 数轴上表示相反数的两个点，分别位于 原点两侧，它们到原点距离相等。即： 互为相反数的两个数的绝对值相等
3、一个数的绝对值与这个数本身 或它的相反数有什么关系？
用符号可以表示为：
若 a0,则a a;
C、 正数 D、 非正数
2.3 绝对值与相反数(第3课时)
2．3 绝对值与相反数（第3课时）【教学目标】，〖知识与技能〗1、进一步理解绝对值的概念及其代数意义，；2、了解一个数的绝对值与这个数的本身或它的相反数之间的关系；3、会利用绝对值比较两个负数的大小及有理数大小比较的一般方法。
〖过程与方法〗1、通过探索有理数的绝对值的过程，归纳出有理数绝对值的求法；2、能归纳出绝对值的代数意义和相反数的几何意义。
〖情感、态度与价值观〗在具体进行两个负数的大小比较中，培养学生的发现归纳和推理论证能力，并渗透数形结合与转化的思想方法．【教学重点】1、了解一个数的绝对值与这个数的本身或它的相反数之间的关系2、会利用绝对值比较两个负数的大小【教学难点】总结归纳出有理数大小比较的一般方法【教学过程】一、自学质疑：1、一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数之间存在什么样的关系？2、如何利用数轴进行两个有理数大小比较？利用绝对值又如何进行？二、交流展示：〖活动一〗 前面学过绝对值和相反数的概念，请完成下面问题：│2.3│= ， │+65│= ， │+5│= ， │－2.3│= ，│－65│= ，│－5│= ， －2.3，－65，－5的相反数分别是： 、 、 。
│0│= ，0的相反数是 。
三、互动探究：通过活动一，归纳出绝对值的代数意义（个数的绝对值与这个数的本身或它的相反数之间的关系）四、精讲点拨：1、绝对值的代数意义：教师引导，学生根据讨论总结规律（1）正数的绝对值是它本身；（2）负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0。
即对于任何有理数a ，都有a (a>0)a(a ≥0) a(a>0) │a │= 0 (a=0) 或者 │a │= 或写成│a │=－a(a<0) －a(a ≤0)－a (a<0)无论a 取任何有理数，都有│a │≥0 ，即任何一个有理数的绝对值都是非负数。
2、例题1讲解：例1：求下列各数的绝对值。
+6,-3,-2.7,0解：|+6|=6 正数的绝对值是它本身|-3|=3 负数的绝对值是它的相反数|-2.7|=2.7|0|=0 0的绝对值是0【点拨】求一个数的绝对值，首先要分清这个数是正数、负数还是0，然后在正确地写出它的绝对值。
相反数与绝对值教案
相反数与绝对值教案第一章：相反数的定义与性质1.1 教学目标了解相反数的定义掌握相反数的性质学会求一个数的相反数1.2 教学内容相反数的定义：一个数a的相反数是一个数-b，使得a + (-b) = 0。
相反数的性质：1) 每个数都有唯一的相反数。
2) 一个数的相反数的相反数等于它本身。
3) 任何数与它的相反数相加等于零。
1.3 教学活动通过实例讲解相反数的定义和性质。
让学生通过练习题来加深对相反数概念的理解。
教师提问，学生回答，共同总结相反数的性质。
1.4 练习题1. -5的相反数是什么？2. 证明：任何数a加上它的相反数-a等于零。
第二章：绝对值的定义与性质2.1 教学目标理解绝对值的定义掌握绝对值的性质学会求一个数的绝对值2.2 教学内容绝对值的定义：一个数a的绝对值是数轴上表示a的点到原点的距离。
绝对值的性质：1) 任何数的绝对值都是非负数。
2) 非零数的绝对值等于它的相反数的绝对值。
3) 零的绝对值是零。
2.3 教学活动通过数轴解释绝对值的定义和性质。
让学生通过练习题来加深对绝对值概念的理解。
教师提问，学生回答，共同总结绝对值的性质。
2.4 练习题1. -3的绝对值是多少？2. 证明：对于任意实数a，|a| = |-a|。
第三章：相反数与绝对值的关系3.1 教学目标理解相反数与绝对值之间的关系学会利用相反数和绝对值解方程3.2 教学内容相反数与绝对值的关系：一个数的相反数的绝对值等于它本身的绝对值。
3.3 教学活动通过实例讲解相反数与绝对值的关系。
让学生通过练习题来加深对相反数与绝对值关系的理解。
教师提问，学生回答，共同总结相反数与绝对值的关系。
3.4 练习题1. 如果一个数的绝对值是4，这个数的相反数是什么？2. 解方程：|x 2| = |x + 2|。
第四章：相反数与绝对值的应用4.1 教学目标掌握相反数和绝对值的基本运算学会解决实际问题中涉及相反数和绝对值的问题4.2 教学内容相反数和绝对值在实际问题中的应用，如距离问题、温度问题等。
七上数学第二章有理数第3节相反数绝对值
HYP 教案 第3节 绝对值教学目标:1、借助数轴，初步理解绝对值的概念，2、能求一个数的绝对值和相反数，会利用绝对值比较两个负数的大小。
3、通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。
4、知道│a │的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。
教学重点和难点：能求一个数的绝对值和相反数，会利用绝对值比较两个负数的大小。
知道│a │的含义。
教学过程：2个课时第一课时一、思考：1、在数轴上到原点的距离等于3个单位的数是多少？2、在数轴上到－2的点的距离等于2个单位的数是多少？二、相反数1、思考：3与－3，0．5与－０．５有什么不同，在数轴上的位置呢？2、相反数：①只有符号不同的两个数叫相反数。
②在数轴上位于原点两边，且到原点距离相等。
例：3与－3互为相反数，3是－3的相反数。
3、0的相反数是04、如何求一个数的相反数：只要在前面加一个负号。
例：a 的相反数是－a 。
三、绝对值在数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例：+2的绝对值是2，记作│+2│=2，－3的绝对值是3，记作│－3│=3四、求下列各数的绝对值－21、+94、0、－7．8、21五、议一议：一个数的绝对值与这个数有什么关系？六、归纳正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
注：绝对值等于本身的数是正数和0，绝对值最小的数是0。
七、做一做：P31八、归纳两负数比较大小，绝对值大的反而小。
九、例：比较下列每组数的大小（1）－1与－5 （2）7.265--与十、练习：P32，1，2，3、知识技能1 十一、作业：P32，2、3、4第二课时相反数、绝对值深化理解（练习）一、讲解上节课练习二、如何求一个数的相反数1、只要在原数前加一个负号，如a的相反数是－a，－3的相反数是－（－3），即－（－3）=32、－a一定是负数吗？3、相反数等于本身的数是三、如何求一个数的绝对值1、正数、0、负数的绝对值等于什么？2、互为相反数的绝对值有什么关系？3、绝对值等于本身的数是4、绝对值最小的数是5、绝对值等于4的数是6、绝对值小于3的整数是7、绝对值不大于3的整数是四、求│a│等于什么？零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=－a，则a≤0。
相反数与绝对值ppt课件
（3）数轴上表示0的点到原点的距离是_____.
0
概念（二）
绝对值：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，
记作|a|。
A
-6 -5 -4
B
-3
-2
B
-1
0
1
2
'
A
3
4
'
合作交流
根据绝对值的几何意义，填空：
8 ；| | =_____；|0|=_____；
1
3、一个数的相反数是最大的负整数，这个数是_______;
6
4、当a=-6时，-a=______,
a
5、-a的相反数是_______.
探究（二）
问题3：观察数轴，回答：
A
-6 -5 -4
B
-3
-2
B
-1
0
1
2
'
A
3
'
4
4，2.5
（1）数轴上表示4和2.5的点到原点的距离分别是_______;
4，2.5
1 或 -1
探究（三）
想一想：你会用数轴比较-4和-2.5的大小吗？
两个负数，绝对值大的负数反而小。
总结：比较两个负数大小的方法：（1）利用数轴（2）利用绝对值
【例1】 比较
解：|- |=
因为
<
和
|-|
的大小。
=
，也就是|- |<|- |，
初一数学 第3讲 数轴、相反数和绝对值 学生版
个性化教学辅导教案学生姓名 年 级 七上 学 科 数学上课时间 2021年教师姓名课 题 数轴、相反数、绝对值教学目标重点：1．数轴的三要素．2．相反数和绝对值的性质和运算以及与数轴的联系． 3．有理数的大小比较．难点：数轴的三要素；相反数和绝对值对的性质和运算；有理数的大小比较．教学过程 教师活动学生活动1．下列说法中正确的是（ ） A ．非负有理数就是正有理数B ．零表示没有，不是自然数C ．正整数和负整数统称为整数D ．整数和分数统称为有理数 2．下列四种说法中正确的是：（ ）A.不是正数的数一定是负数 B ．所有的整数都是正数 C ．－a 一定是负数 D ．0既不是正数，也不是负数 3．给出下列说法：①0是整数； ①-1是负分数； ①4.2不是正数； ①自然数一定是正数； ①负分数一定是负有理数，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．把下列各数分别填在括号内：-2.1,0.5,98,0,51,221,1453,-38,+3 正有理数集合：｛ …｝ 非负有理数集合：｛ ｝ 整数集合：｛ ｝分数集合：｛ ｝【目标导学】1. 认识数轴，会用数轴上的点表示有理数，能利用数轴比较有理数的大小。
2. 借助数轴认识相反数、绝对值的概念。
3. 能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。
【自主学习】活动一：认真阅读课本P7-P9页的内容，时间要求10分钟 学生思考：（1）什么是数轴？（2）画数轴需要注意哪些问题？试着画出一条数轴 （3）你会用数轴上的点来表示数吗？（4）你能读出下列数轴上的点表示的数吗？如：27,0,3,5.1,4--（5）若a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的什么位置上？ 与原点相距多少个单位长度；表示－a 的点在原点的什么位置上？ ①与原点又相距了多少个长度单位？活动二：认真阅读课本P9-P10页的内容，时间要求5分钟 学生思考：（1）认真思考P9页的探究问题，有什么发现呢？ （认真阅读“归纳”的内容）（2）什么样的两个数是互为相反数？ （3）怎样求一个数的相反数？请举例说明. （4）设a 表示一个数，-a 一定是负数吗？活动三：认真阅读课本P11-P13页的内容，时间要求10分钟 学生思考：（1）绝对值的概念？（2）│-3│= ，│3│= 分别表示什么？M 5M 4M 3M 2M 1-1-2-5-40-354231（3）由绝对值的定义可知，绝对值有哪些性质，一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是。
第03讲 绝对值与相反数(解析版)
第3讲 绝对值与相反数1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．考点01：相反数1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．考法01：20161-的相反数是（ ） A ．2016 B ．﹣2016 C ．20161 D ．20161-【思路】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数． 【答案】C【解析】解：∵20161-与20161只有符号不同， ∴﹣20161的相反数是20161．故选：C ．【总结】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变．考点02：多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．考法02：（本溪校级月考）化简：（1）﹣{+[﹣（+3）]}； （2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}． 【答案】解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．【总结】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．考点03：绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．考法03：求下列各数的绝对值． 112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路】112，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解． 【答案】 方法1：因为112-到原点距离是112个单位长度，所以111122-=． 因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3． 因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭．方法2：因为1102-<，所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭． 因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3． 因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0 因为1302⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭【总结】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．考点04：有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号 正数大于负数 －数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．考法04：比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ； (3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12- ； （4）1--______0.1-- 【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；(3)先化简1133⎛⎫--=⎪⎝⎭，1122-=，1123>，即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭．(4)先化简11--=-，0.10.1--=-，这是两个负数比较大小：因为11-=，0.10.1-=，而10.1>，所以10.1-<-，即1--＜0.1--【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．【总结】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．考向01：绝对值的非负性已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n 的值．【思路】由｜a ｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m ｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m ｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m ＝0，n-3＝0，所以m ＝2，n ＝3． 【答案】解：因为|2-m|+|n-3|＝0且|2-m|≥0，|n-3|≥0 所以|2-m|＝0，|n-3|＝0 即2-m ＝0，n-3＝0 所以m ＝2，n ＝3 故m-2n ＝2-2×3＝-4．【解析】由｜a ｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m ｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m ｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m ＝0，n-3＝0，所以m ＝2，n ＝3．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a ＝b ＝…＝m ＝0．考向02：绝对值的应用正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大． 【总结】绝对值越小，越接近标准．考向03：化简已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：【答案】由图所示，可得．∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式．【易错01】若|x ﹣2|与（y+3）2互为相反数，则x+y= ． 【答案】-1.∵|x ﹣2|与（y+3）2互为相反数， ∴|x ﹣2|+（y+3）2=0， ∴x ﹣2=0，y+3=0， 解得x=2，y=﹣3， ∴x+y=2+（﹣3）=﹣1． 故答案为：﹣1． 【易错02】如果|x|＝6，|y|＝4，且x ＜y ．试求x 、y 的值．四、考场失分防范【思路】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．【答案】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．【总结】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4．【易错03】若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．【思路】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．【答案】2x﹣3．【解析】解：原式=x+1﹣（﹣x+4），=x+1+x﹣4，=2x﹣3.【总结】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．【易错04】已知a、b为有理数，且满足：12，则a=_______，b=________．【答案】由，，，可得∴【总结】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．五、考试真题探秘【真题01】一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【思路】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关. 【答案】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻．【总结】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.【真题02】已知|a|=2，|b|=2，|c|=3，且有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，计算a+b+c 的值．【答案】解：由数轴上a 、b 、c 的位置知：b ＜0，0＜a ＜c ； 又∵|a|=2，|b|=2，|c|=3， ∴a=2，b=﹣2，c=3； 故a+b+c=2﹣2+3=3．【真题03】已知有理数a ，b 满足ab 2＜0，a ＋b ＞0，且|a |＝2，|b |＝3，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －13＋(b －1)2的值．【答案】解：由ab 2＜0，知a ＜0.因为a ＋b ＞0，所以b ＞0.又因为|a |＝2，|b |＝3， 所以a ＝－2，b ＝3.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －13＋(b －1)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－13＋(3－1)2＝73＋4 ＝613. 【真题04】如图，A ，B ，C 三点在数轴上，A 表示的数为－10，B 表示的数为14，点C 在点A 与点B 之间，且AC ＝BC .(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求C 点对应的数；(3)甲、乙分别从A ，B 两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s ，乙的速度是2个单位长度/s ，求相遇点D 对应的数．【答案】解：(1)A ，B 两点间的距离为24. (2)C 点对应的数为2. (3)相遇点D 对应的数为－2.【真题05】已知|2－xy |＋(1－y )2＝0. (1)求y2 019＋(－y )2 019的值；(2)求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 019）（y ＋2 019）的值．【答案】解：因为|2－xy |＋(1－y )2＝0，而|2－xy |≥0，(1－y )2≥0， 所以2－xy ＝0 ①，1－y ＝0 ②. 由②得y ＝1.把y ＝1代入①得2－x ＝0，故x ＝2. (1) y2 019＋(－y )2 019＝12 019＋(－1)2 019＝1＋(－1)＝0. (2)1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 019）（y ＋2 019）＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 020×2 021＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋(13－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 020－12 021 ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 020－12 021＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋14＋…＋(－12 020＋12 020)－12 021＝1－12 021＝2 0202 021.1．2021的相反数是（ ）A.2021B.-2021C. 20211-D.20211【答案】B2．如果0a b +=，那么,a b 两个数一定是（ ）．A ．都等于0B ．一正一负C ．互为相反数D ．互为倒数 【答案】C【解析】若0a b +=，则,a b 一定互为相反数；反之，若,a b 互为相反数，则0a b += 3．下列判断中，正确的是( )．A ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；B ．如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；C ．任何数的绝对值都是正数；D ．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． 【答案】B【解析】A 错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B 正确；C 错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D 错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0．4．已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q 【答案】D【解析】解：∵点Q 到原点的距离最远，∴点Q 的绝对值最大． 故选：D ．5．下列各式中正确的是( )． A ．103<- B ．1134->- C ．-3.7＜-5.2 D ．0＞-2 【答案】D六、对点通关训练【解析】0大于负数．6．若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．-a ＜-bD ．-a ＜|b|【答案】B【解析】离原点越远的数的绝对值越大．7．如果a 与1互为相反数，则|a+2|等于________．【答案】1【解析】∵a 与1互为相反数，∴a=﹣1，把a=﹣1代入|a+2|得，|a+2|=|﹣1+2|=1．8． 化简下列各数： (1)23⎛⎫--= ⎪⎝⎭_ ；(2)45⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ；(3){[(3)]}-+-+=________． 【答案】24;;335- 【解析】多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为正；若“-”个数为奇数个时，化简结果为负．9．已知|x|＝2，|y|＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________．【答案】 ±2，-5【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±5．但由于x ＞y ，所以x=±2，y=-510．数a 在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝ ．【答案】a-2【解析】由图可知：a ≥2，所以|a-2|=a-2．11．在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ．【答案】-3，112．已知4334x x -=-，则x 的取值范围是________．【答案】 34x ≤ 【解析】将43x -看成整体a ，即a a =-，则0a ≤，故430x -≤，34x ≤．13．绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）【解析】解：根据题意画出数轴，如图所示：根据图形得：绝对值大于2而小于6的所有整数有：﹣3，﹣4，﹣5，3，4，5，这几个整数的和为：（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）+3+4+5=[（﹣3）+3]+[（﹣4）+4]+[（﹣5）+5]=0．答：绝对值大于2而小于6的所有整数的和是0．14．化简下列各数，再用“<”连接．(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(4)245⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】 (1)-(-54)＝54(2)-(+3.6)＝-3.6(3)5533⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭（4）224455⎛⎫--=⎪⎝⎭，按从小到大排列可得：52(+3.6)<(+)<(4)(54)35----<--15．已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数．计算：3a+3b+c 的值是多少？【解析】解：∵a是﹣（﹣5）的相反数，∴a=﹣5，∵b比最小的正整数大4，∴b=1+4=5，∵c是最大的负整数，∴c=﹣1，∴3a+3b+c=3×（﹣5）+3×5﹣1，=﹣15+15﹣1=-11.（漳州）﹣13的相反数是（）A . 13 B .-13 C .-3 D .3【答案】A2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（）．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】C【解析】先化简在判断，①+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；②-（+1）=-1，+（-1）=-1，不是相反数的关系；③+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；④+（-1）=-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以③④中的两个数是相反数的关系，所以答案为：C 3．满足|x|＝-x的数有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】D【解析】x为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个．4．已知1|3|a=-，则a的值是( )．A．3 B．-3 C．13D．13+或13-【答案】D【解析】∵13a=，∴13a=±，∴13a=±5．a、b为有理数，且a＞0、b＜0，|b|＞a，则a、b、-a、-b的大小顺序是( )． A．b＜-a＜a＜-b B．-a＜b＜a＜-b C．-b＜a＜-a＜b D．-a＜a＜-b＜b 【答案】A【解析】画数轴，数形结合．6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a ≠b ．其中正确的个数为( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C ．7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=．【答案】1【解析】由题意可知：7,2m n ==，所以27321m n -=-⨯=8．已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= ．【答案】-2【解析】因为,x z 均为y 的相反数，而一个数的相反数是唯一的，所以z x =，2z =，而y 为z 的相反数，所以y 为-2，综上可得：原式等于-2．9．1的相反数是 ； 的相反数是它本身．【答案】213-，0.10．绝对值不大于11的整数有 个．【答案】23【解析】要注意考虑负数．绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个．11．如果m ，n 互为相反数，那么|m+n ﹣2021|= ．【答案】2021.【解析】解：∵m ，n 互为相反数，∴m+n=0，∴|m+n ﹣2021|=|﹣2021|=2021；故答案为2021．12．若1a a =-，则a 0；若a a ≥，则a ． 【答案】＜；任意数.13．若有理数x 、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y ，求x ﹣y 的值．【解析】∵|x|=5，∴x=±5，又|y|=2，∴y=±2，又∵|x+y|=x+y ，∴x+y ≥0，∴x=5，y=±2，当x=5，y=2时，x ﹣y=5﹣2=3，当x=5，y=﹣2时，x ﹣y=5﹣（﹣2）=7．14．若|a+1.2|+|b ﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b 等于多少？【解析】解：∵|a+1.2|+|b ﹣1|=0，∴a+1.2=0，b ﹣1=0，∴a=﹣1.2，b=1，∴a+（﹣1）+（﹣1.8）+b=﹣3．15．阅读下面的材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB ∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1-1-1,∣AB ∣＝∣OB ∣=∣b ∣=∣a-b ∣；当A 、B 两点都不在原点时:①如图1-1-2，点A 、B 都在原点的右边:∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=b-a=∣a-b ∣；②如图1-1-3，点A 、B 都在原点的左边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如图1-1-4，点A、B在原点的两边:∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2，那么x为__________．③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______________．【解析】①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4．②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣．∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2，∴x+1=2或-2，∴x=1或-3．③令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2．将-1、2在数轴上表示出来，如图1-1-5，则-1、2将数轴分为三部分x＜-1、-1≤x≤2、x＞2．当x＜-1时，∣x+1∣+∣x-2∣=-（x+1）+〔-（x-2）〕=-2x+1＞3；当-1≤x≤2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+2-x=3;当x＞2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+x-2=2x-1＞3．∴∣x+1∣+∣x-2∣的最小值是3，相应的x的取值范围是-1≤x≤2．。
第03讲 相反数与绝对值(解析版)新七年级数学暑假精品课(北师大版)
第03讲相反数与绝对值1.理解相反数的概念，能正确求出一个数的相反数；2.掌握相反数的性质，并能进行多重符号的化简；3.理解绝对值的概念，能掌握绝对值的代数意义和几何意义；4.通过已知绝对值求这个数，初步培养学生逆向思维的数学思想方法。
知识点1：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。
两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。
3.多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点2:绝对值1.几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）2.代数意义一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是03.代数符号意义：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
4.性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。
即±a。
5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。
几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。
故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝01.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
6.比较大小2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。
两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
考点1：相反数的概念及表示例1．（2023•本溪一模）2023的相反数是（）A．2023B．C．﹣2023D．【答案】C【解答】解：2023的相反数是﹣2023．故选：C．【变式1-1】（2023•唐山一模）如图，能够表示﹣2的相反数的点是（）A．M B．N C．P D．Q【答案】D【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：D．【变式1-2】（2023•东方模拟）有理数﹣（﹣5）的相反数为（）A．B．5C．D．﹣5【答案】D【解答】解：∵﹣（﹣5）＝5，∴5的相反数为﹣5，∴﹣（﹣5）的相反数为﹣5，故选：D．【变式1-3】（2023•中山市校级一模）下列各组数中的两个数，互为相反数的是（）A．3和B．3和﹣3C．﹣3和D．﹣3和﹣【答案】B【解答】解：A、3和，互为倒数，故A错误；B、3和﹣3，是互为相反数，故B正确；C、﹣3和，绝对值不同，故C错误；D、﹣3和﹣，绝对值不同，不是相反数，故D错误；故选：B．考点二：相反数的性质运用例2.（2022秋•宣城期末）若a、b互为相反数，则a﹣（5﹣b）的值为．【答案】﹣5．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∴a﹣（5﹣b）＝a+b﹣5＝0﹣5＝﹣5．故答案为：﹣5．【变式2-1】（2022秋•市中区期末）已知a、b互为相反数，则＝．【答案】﹣．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0即a＝﹣b，∴＝2022（a+b）+＝0+（﹣）＝﹣，故答案为：﹣．【变式2-2】（2021秋•宁远县期末）若a与b互为相反数，则代数式2021a+2021b﹣5＝．【答案】﹣5．【解答】解：∵a与b互为相反数，∴a+b＝0．∴2021a+2021b﹣5＝2021（a+b）﹣5＝2021×0﹣5＝﹣5．故答案为：﹣5．【变式2-3】（2022秋•天山区校级期末）若（m﹣3n）的相反数是7，则（5﹣m+3n）的值为．【答案】12．【解答】解：由题意得，m﹣3n＝﹣7，∴5﹣m+3n＝5﹣（m﹣3n）＝5﹣（﹣7）＝12，故答案为：12．考点三：绝对值的定义例3.（2023•莱芜区二模）﹣7的绝对值是（）A．﹣7B．7C．D．±7【答案】B【解答】解：﹣7的绝对值是|﹣7|＝7．故选：B．【变式3-1】（2022秋•济南期中）下列各组数中，互为相反数的是（）A．2与B．﹣（﹣2）与﹣2C．|﹣3|与3D．﹣|﹣3|与﹣3【答案】B【解答】解：A、这两个数互为倒数，故此选项不符合题意；B、﹣（﹣2）＝2，﹣2只有符号不同的数互为相反数，故此选项符合题意；C、这两个数的结果是同一个数3，故此选项不符合题意；D、这两个数的结果是同一个数﹣3，故此选项不符合题意；故选：B．【变式3-2】（2022秋•南宁期末）在﹣5，﹣3，0，1.7这4个数中绝对值最大的数是（）A．﹣5B．﹣3C．0D．1.7【答案】A【解答】解：∵|﹣5|＝5，|﹣3|＝3，|0|＝0，|1.7|＝1.7，∴5＞3＞1.7＞0，故选：A考点四：绝对值的性质化简例4（2022秋•江都区期末）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|﹣|a+b|的结果是（）A．2a+b+c B．b﹣c C．c﹣b D．2a﹣b﹣c【答案】A【解答】解：由题意得：b＜a＜0＜c，且|c|＞|a|．∴a+c＞0，a+b＜0．∴原式＝a+c﹣（﹣a﹣b）＝a+c+a+b＝2a+b+c．故选：A．【变式4-1】（2022秋•宛城区校级期末）若m≤0，则m﹣|m|+2等于（）A．2m+2B．2C．2﹣2m D．2m﹣2【答案】A【解答】解：∵m≤0，∴|m|＝﹣m，原式＝m+m+2＝2m+2．故选：A．【变式4-2】（2022秋•新市区校级期末）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a﹣c|﹣|b﹣c|+|a+b|的结果是（）A．﹣2a B．2a C．2a+2b﹣2c D．﹣2a+2b﹣2c 【答案】A【解答】解：由数轴可得：a﹣c＜0，b﹣c＜0，a+b＜0，则原式＝﹣（a﹣c）+（b﹣c）﹣（a+b）＝﹣a+c+b﹣c﹣a﹣b＝﹣2a．故选：A．【变式4-3】（2021秋•梅县区校级期末）若3＜a＜5，则化简|3﹣a|﹣|5+a|结果为（）A．2a+2B．﹣2a﹣2C．﹣8D．8【答案】C【解答】解：∵3＜a＜5，∴3﹣a＜0，5+a＞0，∴|3﹣a|﹣|5+a|＝a﹣3﹣5﹣a＝﹣8．故选：C．考点五：绝对值的非负性例5.（2022秋•正定县期末）若|x﹣1|+（y−3）2＝0，则y﹣x＝2．【答案】2．【解答】解：由题意得，x﹣1＝0，y﹣3＝0，解得x＝1，y＝3，所以，y﹣x＝3﹣1＝2．故答案为：2．【变式5-1】（2023•浠水县一模）若|a+2|与|b﹣3|互为相反数，则2a+b＝．【答案】﹣1．【解答】解：根据题意得：|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，解得：a＝﹣2，b＝3，∴2a+b＝2×（﹣2）+3＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式5-2】（2023春•东丽区期中）已知实数x、y满足|x﹣1|+|y+3|＝0，则x+y的值为．【答案】﹣2．【解答】解：由题意得，x﹣1＝0，y+3＝0，解得x＝1，y＝﹣3，所以，x+y＝1+（﹣3）＝﹣2．故答案为：﹣2．【变式5-3】（2022秋•绥宁县期末）若|a+3|+|b﹣2|＝0，则（a+b）2022＝．【答案】1．【解答】解：∵|a+3|+|b﹣2|＝0，∴a＝﹣3，b＝2，则（a+b）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．故答案为：1．考点六：绝对值的几何意义例6.（2022秋•琼中县校级月考）绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为6，则这两个数是（）A．6，﹣6B．0，6C．0，﹣6D．3，﹣3【答案】D【解答】解：∵绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是6，∴这两个数到原点的距离都等于3，∴这两个数分别为3和﹣3．故选：D．【变式6-1】（2022秋•仁怀市期中）数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（）A．5B．﹣5C．5或﹣5D．不能确定【答案】C【解答】解：数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和﹣5，则M表示5或﹣5．故选：C．【变式6-2】（2022秋•海林市期末）已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（）A．﹣10B．﹣2C．﹣2或﹣10D．2【答案】C【解答】解：∵m+n＝|m+n|，|m|＝4，|n|＝6，∴m＝4，n＝6或m＝﹣4，n＝6，∴m﹣n＝4﹣6＝﹣2或m﹣n＝﹣4﹣6＝﹣10．故选：C．【变式6-3】（2022秋•余庆县期末）若|3﹣x|＝7，则x的值为（）A．﹣4B．4C．10D．﹣4或10【答案】D【解答】解：∵|3﹣x|＝7，∴3﹣x＝±7，∴x＝10或x＝﹣4．故选：D．考点七：利用法则比较有理数大小例7.（2023春•南岗区期中）比较大小：﹣0.2﹣0.02（填“＞”、“＝”或“＜”）．【答案】＜．【解答】解：|﹣0.2|＝0.2，|﹣0.02|＝0.02，∵0.2＞0.02，∴﹣0.2＜﹣0.02．故答案为：＜．【变式7-1】（2022秋•焦作期末）比较大小：﹣|﹣2.7|﹣（﹣3.3）（填“＜”、“＞”、“＝”）．【答案】＜．【解答】解：∵﹣|﹣2.7|＝﹣2.7，﹣（﹣3.3）＝3.3，∴﹣|﹣2.7|＜﹣（﹣3.3）．故答案为：＜．【变式7-2】（2023•温州二模）在4，﹣2，0，四个数中，最小的为（）A．4B．﹣2C．0D．【答案】B【解答】解：∵，∴在4，﹣2，0，四个数中，最小的为﹣2．故选：B．【变式7-3】（2023春•新荣区期中）下列各组有理数比较大小，正确的是（）A．﹣5＞﹣4B．2＜﹣（﹣3）C．﹣1＞0D．﹣2＞1【答案】B【解答】解：A．因为|﹣5|＝5，|﹣4|＝4，5＞4，所以﹣5＜﹣4，故本选项不符合题意；B．因为﹣（﹣3）＝3，所以2＜﹣（﹣3），故本选项符合题意；C．﹣1＜0，故本选项不符合题意；D．﹣2＜1，故本选项不符合题意．故选：B．考点八：利用特殊值法比较有理数大小例8.（2022秋•建邺区校级月考）若0＜a＜1，则a，﹣a，的大小关系是．【答案】＞a＞﹣a．【解答】解：∵0＜a＜1，∴a＝，则﹣a＝﹣，＝10，∵10＞＞﹣，∴＞a＞﹣a．故答案为：＞a＞﹣a．【变式8-1】（2022秋•隆安县期中）若0＜a＜1，则a，a2，按从小到大排列是．【答案】a2＜a＜．【解答】解：∵0＜a＜1，∴取a＝，∴a2＝，＝2，∴a2＜a＜，故答案为：a2＜a＜．【变式8-2】（2020秋•新抚区校级期中）若：﹣1＞a＞0，则a2，a3，a4，a5的大小关系是（）A．a2＞a3＞a4＞a5B．a2＞a4＞a5＞a3C．a2＜a3＜a4＜a5D．a4＞a2＞a5＞a3【答案】B【解答】解：∵﹣1＞a＞0，∴a²＞a4＞a5＞a3，故选：B．考点九：利用数轴比较有理数大小例9.（2022秋•武汉期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列应是﹣a＜b＜﹣b＜a（用“＜”号连接）．【答案】﹣a＜b＜﹣b＜a．【解答】解：观察数轴得：b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴﹣a＜b＜﹣b＜a．故答案为：﹣a＜b＜﹣b＜a．【变式9-1】（2022秋•攸县期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则将有理数|a|，1，b按从小到大的顺序用“＜”连接起来是．【答案】1＜|a|＜b．【解答】解：观察数轴得：a＜﹣1，b＞1，|a|＜|b|，∴1＜|a|＜b．故答案为：1＜|a|＜b．【变式9-2】（2022秋•洛川县校级期末）A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，则﹣a、b、﹣c的大小关系．【答案】﹣c＜﹣a＜b．【解答】解：如图，﹣a、b、﹣c在数轴上表示如下：∵数轴左边的数总是小于右边的数，∴由数轴可知：﹣c＜﹣a＜b，故答案为：﹣c＜﹣a＜b．1．（2022•钢城区）﹣7的相反数是（）A．﹣7B．﹣C．7D．【答案】C【解答】解：﹣7的相反数为7，故选：C．2．（2022•陕西）﹣21的绝对值为（）A．21B．﹣21C．D．﹣【答案】A【解答】解：﹣21的绝对值为21，故选：A．3．（2022•阜新）在有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是（）A．﹣1B．﹣2C．0D．2【答案】B【解答】解：有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是﹣2，故选：B．4．（2022•荆门）如果|x|＝2，那么x＝（）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．2或【答案】C【解答】解：∵|±2|＝2，∴x＝±2．故选：C．5．（2022•南充）下列计算结果为5的是（）A．﹣（+5）B．+（﹣5）C．﹣（﹣5）D．﹣|﹣5|【答案】C【解答】解：A选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；C选项，原式＝5，故该选项符合题意；D选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；故选：C．6．（2021•淄博）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（）液体名称液态氧液态氢液态氮液态氦沸点/℃﹣183﹣253﹣196﹣268.9 A．液态氧B．液态氢C．液态氮D．液态氦【答案】A【解答】解：∵|﹣268.9|＞|﹣253|＞|﹣196|＞|﹣183|，∴﹣268.9＜﹣253＜﹣196＜﹣183，∴沸点最高的液体是液态氧．故选：A．7．（2021•大庆）下列说法正确的是（）A．|x|＜xB．若|x﹣1|+2取最小值，则x＝0C．若x＞1＞y＞﹣1，则|x|＜|y|D．若|x+1|≤0，则x＝﹣1【答案】D【解答】解：A、当x＝0时，|x|＝x，故此选项错误，不符合题意；B、∵|x﹣1|≥0，∴当x＝1时，|x﹣1|+2取最小值，故此选项错误，不符合题意；C、∵x＞1＞y＞﹣1，∴|x|＞1，|y|＜1，∴|x|＞|y|，故此选项错误，不符合题意；D、∵|x+1|≤0，|x+1|≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，故此选项正确，符合题意．故选：D．8．（2021•永州）﹣|﹣2021|的相反数为（）A．﹣2021B．2021C．﹣D．【答案】B【解答】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，∴﹣2021的相反数为2021．故选：B．9．（2021•南充）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（）A．﹣2B．2C．1D．﹣1【答案】D【解答】解：由题意得：|m|＝|m+2|，∴m＝m+2或m＝﹣（m+2），∴m＝﹣1．故选：D．1．（2022春•四平期中）π﹣3.14的相反数是（）A．0B．﹣π﹣3.14C．π+3.14D．3.14﹣π【答案】D【解答】解：π﹣3.14的相反数是3.14﹣π．故选：D．2．（2023•金牛区模拟）在﹣1.5，﹣3，﹣1，﹣5四个数中，最大的数是（）A．﹣1.5B．﹣3C．﹣1D．﹣5【答案】C【解答】解：∵|﹣1.5|＝1.5，|﹣3|＝3，|﹣1|＝1，|﹣5|＝5，且5＞3＞1.5＞1，即|﹣5|＞|﹣3|＞|﹣1.5|＞|﹣1|，∴﹣5＜﹣3＜﹣1.5＜﹣1，即最大的数是﹣1．故选：C．3．（2022秋•惠山区校级期末）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+b|的结果是（）A．﹣a﹣b B．a+b C．﹣a+b D．a﹣b【答案】B【解答】解：因为a+b＞0，所以|a+b|＝a+b．故选：B．4．（2023•涪城区模拟）若|5﹣x|＝x﹣5，则x的取值范围为（）A．x＞5B．x≥5C．x＜5D．x≤5【答案】B【解答】解：∵|5﹣x|＝x﹣5，∴5﹣x≤0，即x≥5，故选：B．5．（2023•济阳区二模）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中一定成立的是（）A．ab＜2a B．1﹣3a＜1﹣3b C．|a|﹣|b|＞0D．ab＞﹣b【答案】A【解答】解；由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，a＜b，|a|＜|b|若ab＜2a，则b＞2，故选项A正确；若1﹣3a＜1﹣3b，则a＞b，故选项B错误；若|a|﹣|b|＞0，则|a|＞|b|，故选项C错误；若ab＞﹣b，则a＞﹣1，故选项D错误；故选：A．6．（2022秋•市北区校级期末）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．﹣12B．﹣2或﹣12C．2D．﹣2【答案】B【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7，∴a＝±5，b＝±7∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0，∴a＝±5．b＝7，当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣12；故a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：B．7．（2022秋•永康市期中）当3＜a＜4时，化简|a﹣3|+|a﹣4|＝（）A．1B．2a﹣7C．﹣1D．1﹣2a 【答案】A【解答】解：∵3＜a＜4时，∴|a﹣3|+|a﹣4|＝a﹣3+（4﹣a）＝a﹣3+4﹣a＝1，故选：A．8．（2022秋•岫岩县期中）已知|a|+a＝0，则化简|a﹣1|+|2a﹣3|的结果是（）A．3a﹣4B．4﹣3a C．﹣2D．2【答案】B【解答】解：∵|a|+a＝0，∴|a|＝﹣a，∴a≤0，∴a﹣1＜0，2a﹣3＜0，故原式＝1﹣a+3﹣2a＝4﹣3a．故选：B．9．（2022秋•河池期末）若x＞0，|x﹣2|+|x+4|＝8，则x＝．【答案】3．【解答】解：当x＞2时，∵|x﹣2|+|x+4|＝8，∴x﹣2+x+4＝8，解得：x＝3，当0＜x≤2是时，∵|x﹣2|+|x+4|＝8，∴2﹣x+x+4＝8，此时方程无解，综上，x＝3．故答案为：3．10．（2022秋•汾阳市期末）已知|x﹣2|+|y+3|＝0，则y x＝．【答案】9．【解答】解：∵|x﹣2|+|y+3|＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，∴x＝2，y＝﹣3，∴y x＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．11．（2022秋•滕州市校级期末）已知|x﹣2|与|y+4|互为相反数，则x+y＝．【答案】﹣2．【解答】解：∵|x﹣2|与|y+4|互为相反数，∴|x﹣2|+|y+4|＝0，∴x﹣2＝0，y+4＝0，∴x＝2，y＝﹣4∴x+y＝2﹣4＝﹣2，故答案为：﹣2．12．（2022秋•达川区校级期末）已知|x|＝4，|y|＝5，且x＞0＞y，则7x﹣2y的值是【答案】见试题解答内容【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝5，∴x＝±4，y＝±5，∵x＞0＞y，∴当x＝4，y＝﹣5，则7x﹣2y＝38；故答案为38．13．（2022秋•路北区校级月考）有理数a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，把a，﹣a，b，﹣b按由小到大的顺序排列是．【答案】﹣b＜a＜﹣a＜b．【解答】解：∵a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，∴把a，﹣a，b，﹣b按由小到大的顺序排列是﹣b＜a＜﹣a＜b，故答案为：﹣b＜a＜﹣a＜b．。
2.4《绝对值与相反数(3)》教案
【学习内容】2.4 绝对值与相反数（第3课）【学习目标】1、一个数的绝对值与它本身或相反数的关系；2、会利用绝对值比较两个负数的大小。
【学习重点】知道一个数的绝对值运算规律。
【学习难点】绝对值相等的数有两个（0除外）；字母绝对值的理解。
【学习过程】一．试一试：根据绝对值与相反数的意义填空：二．议一议：一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数有什么关系？设计思路：通过填空将绝对值与相反数的关系具体化．通过不完全归纳法，探索绝对值的代数意义．三．典型例题：例5 求下列各数的绝对值：，，，，6π32.70.+--归纳总结：求一个数的绝对值，首先要分清这个数是正数、负数、还是0，然后才能正确地写出它的绝对值．当a 是正数时，a 的绝对值是它本身，即当a ＞0时，a a =；当a 是0时，a 的绝对值是0，即当a ＝0时，0=a ；当a 是负数时，a 的绝对值是它的相反数，即当a ＜0时，a a －=．设计思路：求一个数的绝对值，首先要分清绝对值符号内的数：是正数、是负数还是0？然后再根据绝对值的意义求出结果．四．议一议两个正数中，绝对值大的那个数一定大吗？两个负数呢？数轴上表示两个正数的点都在原点的右边，并且表示绝对值较大的正数的点在另一个点的右边；数轴上表示两个负数的点都在原点的左边，并且表示绝对值较大的负数的点在另一个点的左边．设计思路：结合数轴，体会利用绝对值可以比较同号的两个数的大小．五．典型例题：例6 比较5.9-与75.1-的大小．设计思路：掌握如何利用绝对值比较两个负数的大小六．练一练1．填空： (1)52-的符号是______，绝对值是______； (2)10.5的符号是______，绝对值是______； (3)符号是“＋”号，绝对值是73的数是______； (4)符号是“－”号，绝对值是9的数是______；(5)符号是“－”号，绝对值是0.37的数是______．2．用“＜”或“＞”填空：。
《相反数与绝对值》 讲义
《相反数与绝对值》讲义一、相反数在数学的世界里，相反数是一个非常基础而重要的概念。
那什么是相反数呢？简单来说，相反数就是绝对值相等，符号相反的两个数。
比如说，5 和－5 就是一对相反数。
它们的绝对值都是 5，但一个是正数，一个是负数。
为什么要研究相反数呢？这是因为相反数在解决很多数学问题时都有着重要的作用。
首先，相反数的和为 0 。
这是一个非常关键的性质。
例如，3 的相反数是－3 ，那么 3 ＋（－3) ＝ 0 。
我们可以通过这个性质来简化一些计算。
比如，计算 a b ，可以将其变形为 a ＋（b) ，如果 b 的相反数 b 容易计算，那么就可以通过这种方式来简化运算。
其次，相反数在数轴上有着特殊的位置关系。
在数轴上，一对相反数关于原点对称。
原点就是数轴上的 0 点。
例如，2 和－2 ，在数轴上，2 在原点的右边2 个单位长度的位置，而－2 就在原点的左边 2 个单位长度的位置。
如何求一个数的相反数呢？对于一个正数，它的相反数就是在它前面加上负号。
比如 7 的相反数是－7 。
对于一个负数，它的相反数就是把负号去掉。
例如－9 的相反数是9 。
对于 0 来说，它的相反数就是 0 本身，因为 0 既不是正数也不是负数。
在实际生活中，相反数也有很多应用。
比如，在温度计上，零上 5 摄氏度和零下 5 摄氏度就是一对相反数，表示了相反的温度情况。
在经济领域，盈利 100 元和亏损 100 元也是一对相反数，反映了完全相反的经济状况。
二、绝对值说完相反数，我们再来聊聊绝对值。
绝对值表示的是一个数在数轴上距离原点的距离。
不管这个数是正数还是负数，它的绝对值都是非负数。
例如，5 的绝对值是 5 ，－5 的绝对值也是 5 。
绝对值的符号通常用两条竖线表示，比如｜3| 就表示 3 的绝对值。
那么，如何计算一个数的绝对值呢？如果这个数是正数，它的绝对值就是它本身。
如果这个数是负数，它的绝对值就是它的相反数。
如果这个数是 0 ，它的绝对值就是 0 。
相反数与绝对值
C、任何一个数都有它的相反数 D、数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数
4.a.如果a＝－13，那么－a＝______；b.如果-a＝－5.4，那么a＝______；
c.如果－x＝－6，那么x＝______; d.－x＝9，那么x＝______.
用式子表示： =
注意：绝对值等于它本身的数是正数和0；绝对值等于它的相反数的数是负数和0，不要漏掉0。
【例5】求下列各数的绝对值：2，-5，-3.14，2 ，-3.5,0
【例6】(1)已知|x|=2015,则x=;
(2)已知|x|=|-3 |,则x=;
(3)已知|x-28|=0,则x=.
【变式1】化简下列各数
五、直通中考
[2011年宜宾市] 的值是（）
A、 B、5 C、-5 D、
[2007年北京市]若 +（n-1）2=0则m+2n的值是（）
A、-4 B、-1 C、0 D、4
3.到原点距离越远，绝对值越大，到原点距离越远，其绝对值越小；两个负数，绝对值大的反而小。
二、比较大小
方法一、在数轴上表示，右边点表示的数大于左边点表示的数。
方法二、用绝对值比较大小，正数都大于0，负数都小于0，两 ，-1_____-4 ；（2） ，-π____-3，
（3）若
（4）若
6、(1)若 (2)若
【例9】已知|m+2|+|n-3|=0，求m、n的值。
【变式1】（1）
（2） （3）
【变式2】若|m＋n|=－(m＋n)，则()
A、m＋n=0 B、m＋n>0 C、m＋n<0 D、m＋n≤0
【例10】一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离为 单位长，则这个数是( )
相反数和绝对值
相反数和绝对值在数学中，相反数和绝对值是两个与数值相关的概念。
相反数是指对于一个数a，其相反数为-b，即两个数的和为0。
而绝对值则表示一个数离原点的距离，无论该数为正数还是负数，其绝对值都是非负数。
本文将详细介绍相反数和绝对值的概念、性质以及在数学运算和实际生活中的应用。
一、相反数的概念与性质相反数指的是两个数的和为0的一对数。
对于任意实数a，其相反数记作-a，即满足a + (-a) = 0。
相反数具有以下性质：1. 相反数的定义：对于任意实数a，其相反数为-a，即满足a + (-a)= 0。
2. 相反数的唯一性：每个实数都有唯一的相反数。
3. 相反数的性质：相反数的相反数仍为原数，即对于任意实数a，有-a的相反数为a，即-(-a) = a。
4. 相反数的加法性质：两个数的相反数相加等于0，即对于任意实数a，有a + (-a) = 0。
二、绝对值的概念与性质绝对值表示一个数与原点的距离，无论该数为正数或者负数，绝对值都是非负数。
对于任意实数a，其绝对值记作|a|，即|a| = a（当a≥0）；|a| = -a（当a<0）。
绝对值具有以下性质：1. 非负性：绝对值永远是非负数。
2. 正数的绝对值：正数的绝对值等于该正数本身，即对于任意正数a，有|a| = a。
3. 负数的绝对值：负数的绝对值等于该负数的相反数，即对于任意负数a，有|a| = -a。
4. 零的绝对值：零的绝对值等于0，即|0| = 0。
5. 绝对值的不等式：对于任意实数a和正数b，如果|a| < b，则-a < b，并且a < b。
三、相反数和绝对值的应用1. 相反数和绝对值在数学运算中的应用：相反数和绝对值在数学运算中经常被使用，如在求解方程、不等式、绝对值函数等过程中。
2. 相反数和绝对值在几何中的应用：在几何中，相反数和绝对值可以用于表示向量的方向和大小，帮助解决几何问题。
3. 相反数和绝对值在实际生活中的应用：相反数和绝对值在实际生活中也有广泛的应用。
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第3讲 相反数与绝对值一．练一练1．零上13℃记作+13℃，则零下2℃可记作（ ） A ．2 B ．-2 C ．2℃ D ．-2℃2．某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ） A ．-10℃ B ．-6℃ C ．6℃ D ．10℃ 3．向东行进-30米表示的意义是（ ）A ．向东行进30米B ．向东行进-30米C ．向西行进30米D ．向西行进-30米4．甲、乙两人同时从A 地出发，如果向南走48m,记作+48m ，则乙向北走32m ，记为___________，这时甲、乙两人相距＿＿＿m 。
5．把下列各数填入相应的集合中+3，－413，－（+1.9），3.14 ∙∙51，0，－1998，+123.正数集合{__________________________…}； 负数集合{__________________________…}； 整数集合{__________________________…}； 分数集合{__________________________…}； 有理数集合{___________________________…}. 6．下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?+6；-21；54；0；722；-3.14；0.001；-999 7．下列各数,哪些是整数,哪些是分数? 哪些是正数,哪些是负数?1， -0.10，85，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.1 8．“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什么?二．新知探究 探究一：相反数1．引入看上面数轴上的D ．B 两点表示的两个数：（1）这两个数从表面上看：_________________________；（2）这两个数在数轴上表示的点，分布在_________的两旁，并且到原点的距离_________。
2．概括相反数：像3与-3这样，_____________________________的两个数叫做互为相反数，也说其中一个数是另一个数的相反数。
0的相反数是_________，a 的相反数是___________。
练习 （1）9的相反数是_______,_______是-2的相反数,12与_______互为相反数,0的相反数是________；（2）写出数-5．0．122．π-的相反数. （3）把数-5．0．122．π-及其相反数表示在数轴上，看看相反数在数轴上表示的点的位置有何特点？ 小结：在一个数的前面添上“-”号，即表示这个数的_____________，而在一个数的前面添上“+”号，即表示这个数___________。
例1．填空+3=_______，+（-2）=________，+（+1）=________；-（-3）=_____，-（+4）=_______.}{[(2)]-+--=_______，}{[(2)]----=________.练习化简下列各数-(+10)=________；+(-0.15)=________；+(+3)=________；-(-20)=________.探究二：绝对值1．观察右边的数轴，回答下面的问题（1）数轴上4所在点到原点的距离是 ； （2）数轴上-3所在点到原点的距离是 ； （3）数轴上0所在点到原点的距离是 ； 2．归纳绝对值的几何意义绝对值：一个数a 在数轴上表示的点，与原点之间的距离，称为这个数a 的绝对值，记为________。
练习|+3|=_______，16= ，|+6.5|= ；|0|= ；|-5|= ，|-0.2|= ，|-1.8|= . 3．归纳绝对值的代数意义一个正数的绝对值等于它_________，一个负数的绝对值等于它的_______，0的绝对值是______。
即：____(_____||____(_____)____(_____)a ⎧⎪=⎨⎪⎩练习（1）正数的绝对值是_________数，负数的绝对值是________数，0的绝对值是_________。
（2）绝对值等于本身的数是____________，绝对值等于相反数的数是_________________。
4．归纳绝对值的性质绝对值的非负性：任意一个有理数的绝对值都是___________或______即_________。
||a ________（a 为任意有理数）练习（1）若|1||2|0x y -+-=，则____,_____.x y == （2）比较下列各数的大小①-6与-8； ②23-与34-.5．归纳绝对值的作用——比较两个负数的大小 两个负数，绝对值大的反而_________。
三．课堂反馈1．下列说法错误的是( ).A.最小的正整数是1B.没有最小的负整数C.最大的负整数-1D.最小的整数是0 2．下列说法正确的是( ).A.符号相反的两个数叫做互为相反数B.互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数C. 相反数和我们以前学过的倒数是一样的D.互为相反数的两个数之商是-1 3．下列说法正确的是( ).A.有理数的绝对值一定是正数B.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等C.如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数 4．数-2.5．1．0．132．-(+10)的相反数分别是_______．_______．________．_______．_________. 5．-3的符号是 ，绝对值是 ； 6．符号是“+”号，绝对是7的数是 ； 7．10.5的符号是 ，绝对值是 ；8．绝对值是5.1，符号是“-”号的数是 .9．绝对值是12的数有_______个，分别是______________. 10．绝对值是0的数有________个，分别是______________. 11．比较下列每对数的大小-8______-6．-5______0.1．14-______0．-4.2______-5.1．23,32．15+______0. 12．__________的相反数大于本身；_______的相反数等于本身；_________的相反数小于本身.13．化简下列各数-(+10)=________；+(-0.15)=________；+(+3)=________；-(-20)=________. 14．有没有绝对值是-3的数?为什么?15．计算①56-++ ②1.23.3---③2.05.4+⨯- ④3223-÷.作业3：有理数的基本概念一．选择题1．（2012福州）3的相反数是（ ）A ．－3B ．13C ．3D ．－132．（2012广州）3的倒数是（ ）A ．﹣B ．C ．﹣3D ．3 3.（2012广东湛江）2的倒数是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ． D ．﹣4．（2012广东）﹣5的绝对值是（ ）A ． 5B ． ﹣5C ．D ． ﹣5．（2012贵州安顺）在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（ ）A ．B ． 0C ． 1D ． ﹣26．（2012六盘水）﹣3的倒数是（ ）A ．B ． ﹣3C ． 3D ．7．（2012铜仁）2-的相反数是（ ） A ．21B ．12- C ．2- D ．2 9.（2012湖北黄石）13-的倒数是（ ） A.13 B. 3 C. －3 D. 13- 10．（2012武汉）在2.5，﹣2.5，0，3这四个数中，最小的数是（ ）A ． 2.5B ． ﹣2.5C ． 0D ． 311．（2012湖南常德）若a 与5互为倒数，则a= ( ) A.51 B. 5 C. -5 D. 51- 12．（2012娄底）2012的倒数是（ ）A ．B ． ﹣C ． 2012D ． ﹣201213．（2012益阳）﹣2的绝对值等于（ ） A ．2 B ．﹣2 C ． D ．±2 14．（2012张家界）﹣2012的相反数是（ ）A ． ﹣2012B ． 2012C ．D ．15．(2012连云港)－3的绝对值是( )A ． 3B ． －3C ．D ．16．（2012无锡）﹣2的相反数是（ ）A ． 2B ． ﹣2C ．D ．17．（2012江西）﹣1的绝对值是（ ） A ． 1 B ． 0 C ． ﹣1 D ． ±118．（2012滨州）32- 等于（ ）A ．6-B ．6C ．8-D ．8 19．（2012济宁）在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是（ ） A ． ﹣2 B ． 2 C ． ±2D ． 不能确定20．（2012临沂）16-的倒数是（ ） A ．6 B ．﹣6 C ．16 D ．16-21．（2012泰安）下列各数比﹣3小的数是（ ）A ．0B ．1C ．﹣4D ．﹣1 22．（2012成都）3-的绝对值是（ ） A ．3 B ．3- C ．13 D ．13-23．（2012德阳）﹣3的相反数是（ ）A ．3 B ．C ．D ． ﹣224．（2012四川广安）﹣8的相反数是（ ）A ． 8B ． ﹣8C ．D ． ﹣25．（2012乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（ ）A ．﹣500元B ．﹣237元C ．237元D ．500元 26．（2012攀枝花）﹣3的倒数是（ ）A ． ﹣3B ．C ． 3D ．27．(2012丽水)如果零上2℃记作＋2℃，那么零下3℃记作( ) A ．－3℃ B ．－2℃ C ．＋3℃ D ．＋2℃ 28．（2012重庆）在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．0 D ．2二．填空题1．（2012铜仁）|﹣2012|= ． 2．（2012湖南常德）若向东走5米记作+5米，则向西走5米应记作＿＿＿＿＿米。
3．（2012湘潭）﹣2的倒数是 ________． 4．（2012德州）﹣1，0，0.2，，3中正数一共有 个．5．（2005湘潭）计算：|﹣|=__________．。