第六章 地震波和地球内部结构

地球物理学原理
主讲教师：王卫东 教授 长安大学地测学院
第六章 地震波和地球内部结构
地震波及传播基本规律 地球内部地震波速度和其他地球物理 参数的计算 地球内部结构
第一节 地震波及传播基本规律
讨论地震波的传播问题，通常对地球介质有下列 假设： 均匀的； 连续的； 各向同性的； 完全弹性的。 实际的岩石在构造力作用下，并不是完全弹性体。 数学工具：连续介质力学。
Fermat Fermat 原理 原理
A
inc
Snell Snell 定律 定律
Fermat原理
反射点 x 应使t达到最小值。即：
B
ref
V1 V2
h
x
o
L x
r
dt( x) 1 x ( L x) 0 2 2 dx V1 h 2 x 2 r ( L x)
L
2
x h x
2

( L x) r 2 ( L x) 2
射线AOB的走时为：
1 t ( x) V1
h x
2
2
r 2 ( L x) 2

sin(inc ) sin( ref )
Fermat原理
A
inc
Snell定律
Fermat原理
反射点 x 应使t大到最小值。即：
X
i1
p sin(in ) sin(iN ) sin(i1 ) sin(i2 ) ... .. V1 V2 Vn VN
第一节 地震波及传播基本规律
二、应变张量
1.正应变与切应变
单位长度上的线变，称为正应变。
l ex l
第一节 地震波及传播基本规律
二、应变张量
1.正应变与切应变
两坐标间角度变 化的一半，称为 切应变。
1 1 u v exy ( ) ( ) 2 2 y x
第一节 地震波及传播基本规律
地震学中的Fermat定理：
地震波在介质中传播的路径为走时最小的路 径.
地震学中的Fermat定理不是永远成立， 是高频情况下地震波波动方程的渐近解。
Fermat定理是地震波的高频近似解。
高频近似：地震波的特征波长远小于所研究问题的 特征尺度。 注： 当高频近似条件不满足时，地震波的传播不能够 用Fermat定理来描述，必须严格求解原始的波动方程。
sin( inc ) sin( t ) V1 V2
射线参数
sin( inc ) sin( t ) p V1 V2
p 是射线参数。 对于给定的射线, 射线参数是一常数， 即在射线传播过程中保持不变。
临界透射与首波
sin( inc ) sin( t ) V1 V2
当 V2 > V1 时,存在临界角 c
第一节 地震波及传播基本规律
六、地震波的类型和特点
体波：在整个体积内传播的波
分为：纵波（P）和横波（S）
面波（含导波）：和界面存在有关的波
分为：瑞利波（LR）和勒夫波（LQ）
地球自由震荡：驻波 分为：球形震荡（S mode)
和扭转震荡（T mode)
第一节 地震波及传播基本规律
六、地震波的类型和特点
体波：整个体积内传播。 面波（导波）：能量随离开界面距离的增加而迅速 衰减，或局限制在波导（一般是低速层）内。 面波的速度随周期而异，称为频散。周期愈大速 度亦愈大时，称为正频散；反之，称为反频散。 瑞利波是质点纵向振动（与传播方向平行）和铅 直方向振动的组合。它的轨迹是沿着波行进方向的垂 直平面内的逆进椭圆。自由半空间表面瑞利波的传播 速度为VR=0.9VS。勒夫波的振动为在水平面内，与传 播方向垂直, 和SH波相似。
走时曲线和走时方程
令层数无限增加，而层厚趋于无限小，得到速度
连续变化情形：V=V(r)， 射线由折线变为光滑曲线。 射线上任一点都有：
rn sin in rn 1 sin in 1 r0 sin i0 p, Vn Vn 1 V0 (n 1, 2,3,).
水平层状介质中地震波的走时方程
Spheroidal, n=0, ℓ=2, m=±1. period ≈ 54 minutes
Spheroidal, n=0, ℓ=2, m=±2. period ≈ 54 minutes
Torsional, n=0, ℓ=2, |m|=0. period ≈ 44 minutes
第一节 地震波及传播基本规律
d ui Ti dS fi dV 2 dV dt S V V
n
2
第一节 地震波及传播基本规律
四、运动方程
利用高斯定理，得：
2 ij d ui ( f i )dV 2 dV x j dt V V
由于S面因而V是任取的，令它收缩为一点，得
2 ij d ui fi 2 x j dt
二、应变张量
2. 应变张量
1 ui u j eij ( ) 2 x j xi
e11 e12 eij e21 e22 e31 e32 e13 exx e23 eyx e33 ezx
可以证明应变张量为二 阶对称张量。
exy eyy ezy
第一节 地震波及传播基本规律
一、应力张量
1. 体力与面力
体力是作用在物体的各个质点上的力。经常用单位质 量受到的体力描述体力作用:
F f lim V 0 V
第一节 地震波及传播基本规律
一、应力张量
1. 体力与面力
通过物体表面的沿某个方向的作用力，称为面力 。经 常用单位面积受到的面力描述面力作用:
sin i1 sin i2 , r2 r1 消去i1得 r1 sin i1 r2 sin i2 p V1 V2
球对称介质中Snell定律
令层数无限增加，而层厚趋于无限小，得到速度
连续变化情形：V=V(r)， 射线由折线变为光滑曲线。 射线上任一点都有：
rn sin in rn 1 sin in 1 r0 sin i0 p, Vn Vn 1 V0 (n 1, 2,3,).
第一节 地震波及传播基本规律
六、地震波的类型和特点
自由振荡：一个机械系统，因受外力作用破坏其平衡 状态；在取去外力后，该系统产生振动。 地球自由振荡：大地震激发的整个地球的自由振荡。 地球自由振荡是驻波； 分为球型振荡：同时包含球面上的前后振动和径 向振动；扭转型振荡：球体每一质点只能在球面上作 前后振动； T振型的性质类似于勒夫面波，S振型的性质类似 于瑞利面波。分别可以看作长周期勒夫波干涉和长周 期瑞利波干涉的结果。
满足：
t 90o and inc c
V1 即：sin( c ) V2
首波, 侧面波 （Head wave）
A
c
c
B
V1 V2
O
V2
P
可以利用惠更斯原理或费马原理证明首波的存在 及其特殊的传播路径。
球对称介质中的地震射线
球对称介质中Snell定律
在 三 角 形 OA1A2 中 应用正弦定理：
七、地震波的传播 地震波与其它波动现象（如，光波、电磁 波）一样，有反射、透射、衍射、散射等现 象； 也满足：惠更斯原理（Huygens’ Principle) 和费尔马原理（Fermat’s Principle)。
费马原理 （Fermat’s Principle）
光学中的Fermat定理：
“光在介质中传播的路径为走时（traveltime)最小的路径”
第一节 地震波及传播基本规律
四、运动方程
由运动方程和各向同性介质的应力应变关系：
ij 2 ui 2 fi x j t
2
ij ij 2 ij
可得各向同性介质中，质点的运动方程：
u 2 2 ( )( u ) u f t u 2 2 ( )( u ) u t
t
y
x
S
显然，当n的方间变化时，应力的大小和方向都会有变 化，即应力不但与力的大小和方向有关，也与作用面的 方向有关，可以证明应力为二阶对称张量。
第一节 地震波及传播基本规律
一、应力张量
2. 应力张量
x xy xz 11 12 13 ij yx y yz 21 22 23 zx zy z 31 32 33
F T lim S 0 S
注意：表面可以是虚的（人为的）
第一节 地震波及传播基本规律
一、应力张量
1. 体力与面力
作用于被表面S包围的体积V的总作用力和力矩为:
F fdV TdS
V S
r fdV r TdS
V S
第一节 地震波及传播基本规律
V1 V2
h
x
L o
t
L x
0
r
B
dt( x) 1 x 1 dx V1 h 2 x 2 V2
( L x) r 2 ( L x) 2
1 x 1 ( L x) V1 h2 x 2 V2 r 2 ( L x)2
射线AOB的走时为：
t ( x) 1 1 h2 x2 r 2 ( L x) 2 V1 V2
对S于振型，n与径向的节点数相关，l-m表示纬度方 向的节点数，m表示过极点的大圆数。
对于T振型，n表示在径向的节点数，l-1-m表示纬度 方向的节点数，m表示过极点的大圆数。
Spheroidal, n=0, ℓ=0, m=±0 period ≈ 20 minutes
Spheroidal, n=0, ℓ=2, m=±0 period ≈ 54 minutes
第一节 地震波及传播基本规律
三、广义胡克定律
为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令
C12 , C11 C12 2
则同性材料的本构关系公式可以简化为：
ij ij 2eij
其中：
ekk e11 e22 e33
上式即为各向同性弹性材料的广义胡克（Hooke）定 理， 、 称为拉梅（Lamé）弹性常数。
一、应力张量
2. 应力
物体在外界因素作用下，物体内部各个部分之间将产 生相互作用，物体内部相互作用力称为内力，单位面 积的内力定义为应力 。显然应力属于面力。
F T lim S 0 S
n
第一节 地震波及传播基本规律
一、应力张量
2. 应力
z
ˆ n
o
F T lim S 0 S
n
第一节 地震波及传播基本规律
三、广义胡克定律
E、K、、四个弹性常数中,只有两个是独立的,满 足：
弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为：
(3 2 ) E , 2( )
四、运动方程
设有弹性介质，取其中间的任一闭合面 S ， S 面内 包含的介质体积为 V ，假定 V 内单位体积的介质受 到的体力为ρf，其中， ρ为密度， f为单位质量的 介质受到的外力， S面的面元dS上受到V外介质对 n ，其中n为面元dS的外 V内介质作用的应力为 Ti 法线单位向量 由牛顿定律有：
2
若无体力，上式变为：
第一节 地震波及传播基本规律
五、波动方程
对上式分别求散度和旋度,得：
2
θ 2 2 ρ 2 (λ 2μ) θ 和 ρ 2 μ t t 其中 u θ u
2

上述两方程表示波动，根据 的定义，这种 波的质点振动方向与传播方向一致，称为纵 波，VP称为纵波速度；根据的定义,这种波 的质点振动方向与传播方向垂直，称为横波， VS为横波速度。
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第一节 地震波及传播基本规律
三、广义胡克定律
应力和应变间最广义的线性关系：应力的每个张量分 量与所有应变张量分量间存在线性关系，而且反过来 亦成立，即：
ij Cijkleij
第一节 地震波及传播基本规律
三、广义胡克定律
各向同性弹性体，就是物体各个方向上的弹性 性质完全相同，就是应力和应变之间的关系在所有 方位不同的坐标系中都一样。 对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标 轴的选取无关，任意一个平面都是弹性对称面。