用不动点法求数列通项的一点几何意义

用不动点法求数列通项的一点几

何意义

用不动点法求数列通项的一点几何意义猜想孟剑卫(江苏省东海高级中学，江苏东海) 定义；方程

f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。利用递推数列f(x)的不动点，可将某些递推关系a n=£ ( a n-1 )所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法叫不动点法。对于这个方法有几个重要定理，若只从代数角度理解，恐怕对许多中学生来说是有难度的。下面笔者对这几个定理予以几何解释：定理1:若f(x)= ax+b(a 半 0,a 半 1), p 是f(x)的不

动点，a n满足递推关系a n=£ (a n-1 ),(n>1)则a n-P=a(a n-i-p),即｛a n-P ｝是公比为a的等比数列。它的代数证明如下：证明：因为p是f (x)的不动点，所以

ap+b=p, 所以b-p=-ap, 由a n=a. a n-i +b 得a n-p=a.

a n-i+b-p=a(a n-i-p),所以｛a n-P ｝是公比为a 的等比数列。

对这一定理的几何意义如下：

f(x)=x,即f(x)与g(x)=X的交点一目了然，a n-p /a n-i-p 即为

f(x)的斜率a。

定理2*钱才住)=竺卫/工0申M-氐｛%｝満足递推关系叫

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上面是【文1】给出的纯代数证明，下面看看它所蕴含的几何意义

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与定理一的几何意义相似，表示的是两条直线的的斜率相比是定值k,但怎么证

明笔者尚未想到简便的方法，只能从上面的代数方法借鉴。第二种情况也是如

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上面几个定理笔者暂且不再进行证明，在此只提 出一种理想化的构思，见谅。

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参考文献1胡贵平《用不动点法求数列通项》[J]

2 胡良星用不动点法求数列通项[J] 《中学数学研究》2000年第7期