2019高考数学二轮复习第二编专题二函数与导数第2讲导数及其应用配套作业文

第2讲导数及其应用

配套作业

一、选择题

1．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝x 3

－3ax ＋14，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a 的值为()

A.12B ．－12 C ．－34D.

14 答案 D

解析 f ′(x )＝3x 2

－3a ，设切点坐标为(x 0,0)，则

⎩⎪⎨

⎪⎧

x30－3ax0＋14＝0，3x20－3a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x0＝12，a ＝1

4，

故选D.

2．(2018·赣州一模)函数f (x )＝12x 2

－ln x 的递减区间为()

A ．(－∞，1)

B ．(0,1)

C ．(1，＋∞)

D ．(0，＋∞) 答案 B

解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)，

f ′(x )＝x －1x

＝

x2－1

x

， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1， 故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B.

3．(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )＝ln x

x ，则()

A ．f (2)＞f (e)＞f (3)

B ．f (3)＞f (e)＞f (2)

C ．f (3)＞f (2)＞f (e)

D ．f (e)＞f (3)＞f (2) 答案 D

解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)，

因为f ′(x )＝1－ln x

x2

，所以x ∈(0，e)，f ′(x )>0；

x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0，

故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)，

而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 9

6

，

f (e)>f (3)>f (2)．故选D.

4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)

B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)

C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)

D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D

解析 ①当x ＜－2时，1－x ＞0.∵(1－x )f ′(x )＞0， ∴f ′(x )＞0，即f (x )在(－∞，－2)上是增函数． ②当－2＜x ＜1时，1－x ＞0.∵(1－x )f ′(x )＜0， ∴f ′(x )＜0，即f (x )在(－2,1)上是减函数． ③当1＜x ＜2时，1－x ＜0.∵(1－x )f ′(x )＞0， ∴f ′(x )＜0，即f (x )在(1,2)上是减函数． ④当x ＞2时，1－x ＜0.∵(1－x )f ′(x )＜0， ∴f ′(x )＞0，即f (x )在(2，＋∞)上是增函数． 综上，f (－2)为极大值，f (2)为极小值．

5．(2018·河南八校联考)已知f (x )＝14

x 2

＋cos x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象大致为()

答案 A

解析 因为f (x )＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝1

2

x －sin x ，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排

除B ，D ，又f ′(1)＝12－sin1＜12－sin π

4＜0，f ′(2)＝1－sin2＞0，所以f ′(x )的图象大致为A.

6．已知f (x )＝ax 3

，g (x )＝9x 2

＋3x －1，当x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为()

A ．a ≥11

B ．a ≤11

C ．a ≥418

D ．a ≤

41

8 答案 A

解析 f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3

≥9x 2

＋3x －1.

∵x ∈[1,2]，∴a ≥9x ＋3x2－1x3.令1x ＝t ，则当t ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，1时，a ≥9t ＋3t 2－t 3.令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3

，

h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2＋12.∴h ′(t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数．∴h ′(t )min ＝h ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝－34

＋12>0.

∴h (t )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，1上是增函数．∴a ≥h (1)＝11，故选A. 7．(2018·宝鸡二检)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝4，且f (x )的导函数f ′(x )<3，则不等式f (ln x )＞3ln x ＋1的解集为()

A ．(1，＋∞)

B ．(0，e)

C ．(0,1)

D ．(e ，＋∞) 答案 B

解析 设g (x )＝f (x )－3x －1，则g ′(x )＝f ′(x )－3.由题意，得g ′(x )<0且g (1)＝0，故函数g (x )为单调递减函数．不等式f (ln x )>3ln x ＋1可以转化为f (ln x )－3ln x －1>0，即g (ln x )>0＝g (1)，所

以⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＞0，ln x ＜1，解得0＜x ＜e.

二、填空题

8．(2018·陕西一检)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线为l ，若l 与曲线y ＝ax 2

＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 答案 8

解析 因为y ＝x ＋ln x ，所以y ′＝1＋1x ，所以y ′x ＝1＝2，故曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方

程为y ＝2x －1，与y ＝ax 2

＋(a ＋2)x ＋1联立，可得ax 2

＋ax ＋2＝0，Δ＝a 2

－8a ＝0，所以a ＝0(舍)或a ＝

8，所以a ＝8.

9．已知函数f (x )＝1＋ln x x .若函数f (x )在区间⎝

⎛⎭⎪⎫t ，t ＋12(t ＞0)上不是单调函数，则实数t 的取值范围为________． 答案 1

2

＜t ＜1

解析 f ′(x )＝－ln x

x2(x ＞0)，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1；由f ′(x )＜0，得x ＞1.所以f (x )在(0,1)

上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．因为函数f (x )在区间⎝

⎛⎭⎪⎫t ，t ＋12(t ＞0)上不是单调函数，所以⎩⎪⎨⎪

⎧

t ＜1，t ＋1

2

＞1，解得1

2

＜t ＜1.

10．(2018·广西三市调研)已知函数f (x )＝ax －ln x ，当x ∈(0，e](e 为自然常数)时，函数f (x )的

最小值为3，则a 的值为________． 答案 e

2

解析 易知a ＞0，由f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ＝0，得x ＝1a ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1a 时取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1－ln 1a .①当0

＜1a ≤e 时，由1－ln 1a ＝3，得a ＝e 2

，符合题意；②当1a

＞e 时，x ∈(0，e]，f (x )min ＝f (e)，即由a e －ln