环境系统工程 线性规划(图解法)
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线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
第一章线性规划-模型和图解法
a22 am2
a1n
a2n amn
(P1,
P2 ,
, Pn )
用向量表示时，上述模型可写为：
max(min)Z CX
s.t
n j 1
Pj x j
(, )b
X 0
线性规划问题可记为矩阵和向量的形式：
max(min)Z CX
s.t
AX
X
(, )b 0
max(min)Z CX
x21 x23
x14
x23
x32
x41
xij 0(i 1, ,4;
15
x22 x31 12
x23 x32
j 1, ,4)
10 20
二。线性规划问题的数学模型 下面从数学的角度来归纳上述三个例子的共同点。 ①每一个问题都有一组变量---称为决策变量，一般记为
x1, x2 , , xn. 对决策变量每一组值：(x1(0) , x2(0) , xn(0) )T 代表了
表1-3
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-4
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
max(min) Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t
a21x1
a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm
第1.2节 线性规划问题的图解法
x1 20 * x 2 100
* * z 1240
27
2 规划问题求解的几种可能结果
2）无穷多最优解
max z 12 x1 8 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x x2 40 1 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
23
x2 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
工序 花瓶种类 占用材料 （盎司） 艺术加工 （小时） 储存空间 （一单位） 利润值 （元）
大花瓶
1/3x1+1/3x2=40 (60,40)
x1
22
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 图1 花瓶问题的图解法
图解法的基本步骤：
（4）确定最优解。最优解是可行域中使目标
函数值达到最优的点，当目标函数直线由原点 开始沿法线方向向右上方移动时，z 值开始增 大，一直移到目标函数直线与可行域相切时为 止，切点即为最优解。
18
图解法的基本步骤：
（3）作出目标函数。由于
z 是一个待求的目 标函数值，所以目标函数常用一组平行虚线表 示，离坐标原点越远的虚线表示的目标函数值 越大。
线性规划的图解法
11
决策变量的设定
x1 = 原料A的购进量 x2 = 原料B的购进量
12
例. 原材料采购问题
min s.t. f = 2x1 + 3x2 . x1 + x2 ≥ 350, x1 ≥ 125, 2x1 + x2 ≤ 600, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
13
例. 原材料采购问题
用图解法求解该问题
14
线性规划问题解的不同情形 有唯一最优解 有无穷多最优解 有无界解 无可行解
15
最优解的一些重要特征
特征1 最优解（以决策变量的数值来表示）对 目标函数中系数的改变不是十分灵敏。
16
最优解的一些重要特征
特征2 对于一个线性规划问题来说，可能有许 多解，但是至少有一个顶点与其他不在 顶点上的最优解的目标函数值相同。 （即至少有一个顶点为最优解。）
20
某公司由于生产需要，共需要A， B两种原料至少350吨（A，B两种 材料有一定替代性），其中A原料 至少购进125吨。
4
例. 原材料采购问题
但由于A，B两种原料的规格不 同，各自所需的加工时间也是不同 的，加工每吨A原料需要2个小时， 加工每吨B原料需要1小时，而公司 总共有600个加工 小时。
5
例. 原材料采购问题
又知道每吨A原料的价格为2万元， 每吨B价格为3万元。 试问在满足生产需要的前提下，在公 司加工能力的范围内，如何购买A， B两种原料，使得购进成本最低？
6
例. 原材料采购问题
某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少 350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料 至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不 同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A 原料需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而 公司总共有600个加工 小时。又知道每吨A原料的价 格为2万元，每吨B价格为3万元，试问在满足生产 需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购 买A，B两种原料，使得购进成本最低？
线性规划问题的图解法
bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
7-线性规划的概念及图解法
分析： 分析：
规格/ 规格/ m 2.9 2.1 1.5 合计/ m 合计/ 料头/ 料头/ m 下料方案 方案 Ⅱ Ⅲ 2 0 0 2 1 2 7.3 7.2 0.1 0.2
Ⅰ 1 0 3 7.4 0
Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3
Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料； 第一种下料方式用掉x 根管料； 下料方式用掉
数学模型为： 数学模型为：
min S = x + x + x + x + x
1 2 3 4 1 2 4 5
x + 2 x + x ≥ 100 2 x + 2 x + x ≥ 100 3 x + x + 2 x + 3 x ≥ 100 x ≥ 0, 整数（i = 1, 2, 3,4,5）
2
A z=10000=50x1+100x2
B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
• 重要结论 ： 重要结论1：
– 当线性规划问题的可行域非空时，它是 当线性规划问题的可行域非空时， 有界或无界的凸多边形（凸集） 有界或无界的凸多边形（凸集）; – 如果线性规划有最优解，则一定有一个 如果线性规划有最优解， 可行域的顶点对应一个最优解； 可行域的顶点对应一个最优解； – 无穷多个最优解。若将例 中的目标函 无穷多个最优解。若将例1中的目标函 数变为max z=50x1+50x2，则线段 则线段BC 数变为 上的所有点都代表了最优解； 上的所有点都代表了最优解；
线性规划的图解法
s.t.
32xx11'' 3x1'
+ + +
2
x2 x2 x2
+ x3' − x3'' + 2x3' − 2x3'' + 3x3' − 3x3''
+
x4
−
x5
= 9 = 4 = 6
x1'
,
2
x2
,
x3' ,
x3'' ,
x4 ,
x5
≥
0
2.1问题的提出
例7 将以下线性规划问题转化为标准形式。
min f =−3x1 + 5x2 + 8x3 − 7x4
x5
≥
20
x5 xj
+ ≥
x6 0,
≥ 30 j = 1, 2, ,
6
2.1问题的提出
所谓线性规划问题
就是求一组变量 (x1,x2,…,xn)的值，它们在满足一组线 性等式或不等式的限制条件下，使某一线性函数的值达到 极大或极小。而线性规划就是研究并解决这类问题的一门 理论和方法。
线性规划模型是由决策变量、目标函数和约束条件三要素 组成。
例2 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需的工
作人员数量如下：
时段
时间
所需人数
1
6:00~10:00
60
2
10:00~14:00
70
3
14:00~18:00
60
4
18:00~22:00
50
5
22:00~2:00
20
线性规划图解法(NO3)
2x1 =16
最优值
C
2x2 =10 Maxz=37
Z=30 B Z=37
Z=15
0
4
8A
10
x1
3x1 +4 x2 =32
3
一、线性规划问题的图解法
3、LP问题图解法的步骤：
（1）画出直角坐标系； （2）依次做每条约束直线，标出可行域的方向，并找出 它们共同的可行域；
（3）任取一目标函数值作一条目标函数线（称等值线） ,根据目标函数（最大或最小）类型，平移该直线即将离开 可行域处，则与目标函数线接触的最终点即表示最优解。
例：用图解法求解如下线性规划问题
最优解为
max Z 4x1 3x2
s.t.
32xx11
3 2
x x
2 2
24 26
x1,
x
2
0
B(0,13) Q3(0,8)
3x1+2x2=26 Q2(6,4)
x1=6,x2=4 最优值为 maxz=36
2x1+3x2=24
Q1(26/3,0) A(12,0)
一、线性规划问题的图解法
4、线性规划解的特性
• 由线性不等式组成的可行域是凸多边形(凸多边形是凸集)
凸集定义：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合
a
b
c
d
• 可行域有有限个顶点。 • 目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在 其区域的内部。
5
一、线性规划问题的图解法
5、线性规划解的可能性
x1 x2 5 s.t.3x1 4x2 24
x1, x2 0
4
2
O
2
4
6
8 x1
第三章 线性规划及图解法
max z＝11x1+8x2+0 sl +0 s2 +0 s3； 约束条件： 例2中 10x1+ 2x2-sl＝20， sl＝0 3x1+3 x2-s2＝18， s2＝0 4x1+9x2-s3＝36， s3＝13 x1，x2，sl，s2，s3≥0
六、线性规划数学模型的标准形式
引入了松驰变量和剩余变量后，就可以 将线性规划数学模型用“≤”，“≥”和“=” 建立的一般形式化为统一用“=”的标准形式：
兰州大学管理学院
运筹学
-------数据、模型与决策
2010年用
运筹学
第三章
线性规划及图解法
第三章 线性规划及图解法
确定型决策 ——线性规划方法
线性规划 ——所有资源限制条件式和目标 式都是自变量的一次方关系。
描述的是在一定资源限制下(自然状态)，给 出了很多个可以选择的不同方案(运行方案)， 从这些方案中找到一个最好的方案来执行。
二、线性规划问题的解
1、在线性规划问题的解集合中，若约束条件能构成 一个封闭的可行域，则可行域的任意点都是问题的 一个可行解，这些可行解中必有最优解。 若最优解是可行域中一个点，则这个解是线性 规划的唯一最优解。唯一最优解都必落在可行域的 顶点上，可行域的所有顶点称为基本可行解； 对于求最大目标的线性规划问题，取Z值最小的 基本可行解为初始基本可行解，再依次迭代至最优 解。 求最小目标的情况，可选可行域中任意目标初函 数值较大的点为初始基本可行解，再依次迭代至最
蛋白质 钙
食用量不能为负
一般线性规划问题的建模过程
（1）理解要解决的问题。明确在什么条件下，要 追求什么目标。 （2）定义决策变量。每个问题都用一组决策变量 (x1, x2, …, xn)表示，当这组决策变量取具体值时就 代表一个具体方案，一般这些变量取值是非负的。 （3）用决策变量的线性函数形式写出所要追求的 目标，即目标函数，按问题的不同，要求目标函数 实现最大化或最小化。 （4）用一组决策变量的等式或不等式来表示在解 决问题过程中所必须遵循的约束条件（决策分析中 的自然状态）。
第二章 线性规划的图解法
例2.某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，已知生产单位产品所需的设备台 时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制， 如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ 产品才能使工厂获利最多？
第二章 线性规划的图解法
问题1具体数据如表所示：
资源 单耗 资源 煤(t) 电(kw.h) 油(t) 单位产品价格 9 4 3 7 4 5 10 12 360 200 300 产品 甲 乙 资源限量
提出和形成问题
建立模型
求解
结果的分析和应用
第二章 线性规划的图解法
在本例中
决策变量： 甲、乙产品的计划产量，记为x1 ，x2； 目标函数： 总收入记为f,则 f=7x1 +12x2 ，为体现对其求极大化， 在f 的前面冠以极大号Max，
第二章 线性规划的图解法 例2：.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需 要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总共 有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元， 每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的 前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B 两种原料，使得购进成本最低？
第二章 线性规划的图解法
★线性规划模型的三个基本要素：
（也是所有规划问题的三个基本要素）：
（1）决策变量：甲、乙产品的产量x1 ，x2 决策变量：需要决策的量，即等待求解的未知数。 （2）目标函数：总收入最大，Max f = 7 x 1 +12 x 2 目标函数：想要达到的目标，用决策 变量的表达式表示。 （3）约束条件： 约束条件：由于资源有限，为了实现 目标有哪些资源限制，用决策变量的 等式或不等式表示。
线性规划的图解法
1.2 线性规划的图解法
内容回顾：
上一节列举了四个把实际问题构造成线性规划数学模 型的例子，初步解决了模型构造问题。 如何求解数学模型以获得问题的最优解自然成为了本 节关心的焦点。 从简单到复杂、从具体到抽象是人类认识客观事物的 一般过程，首先讨论用图解法解决只包含两个变量的 线性规划问题正是尊重人类认识规律的具体体现 虽然在实际问题中，只有两个决策变量的小问题是很 少见的，但图解法能揭示线性规划问题解的一些基本 概念，并为解决大规模线性规划问题提供原则性的指 导。
A
| | E| | | | | | |
2 4 6 8 10 12 14 16 18
x1
17
1.2 线性规划的图解法 18x—2
16 —
14 —
12 — 10 —
B
8—
2x1 + x2 16 2x1 + 2x2 18
6—
(0,6.8)
C
4—
2—
0
34x1 + 40x2 = 272
4x1 + 6x2 48 D
6—
5—
4x1 16
4—
3—B
C
2—
1—
0 可行域
|| |
A
12 3
D
|E|
45
4 x2 12 x1 + 2x2 8
||||
6 7 8 9 x1
6
1.2 线性规划的目图标函解数法max z 2x1 3x2
图解法
9x—2
8—
约束条件 4x1 ≤16
4x2 ≤12
x1
|| | | || | | |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
内容回顾：
上一节列举了四个把实际问题构造成线性规划数学模 型的例子，初步解决了模型构造问题。 如何求解数学模型以获得问题的最优解自然成为了本 节关心的焦点。 从简单到复杂、从具体到抽象是人类认识客观事物的 一般过程，首先讨论用图解法解决只包含两个变量的 线性规划问题正是尊重人类认识规律的具体体现 虽然在实际问题中，只有两个决策变量的小问题是很 少见的，但图解法能揭示线性规划问题解的一些基本 概念，并为解决大规模线性规划问题提供原则性的指 导。
A
| | E| | | | | | |
2 4 6 8 10 12 14 16 18
x1
17
1.2 线性规划的图解法 18x—2
16 —
14 —
12 — 10 —
B
8—
2x1 + x2 16 2x1 + 2x2 18
6—
(0,6.8)
C
4—
2—
0
34x1 + 40x2 = 272
4x1 + 6x2 48 D
6—
5—
4x1 16
4—
3—B
C
2—
1—
0 可行域
|| |
A
12 3
D
|E|
45
4 x2 12 x1 + 2x2 8
||||
6 7 8 9 x1
6
1.2 线性规划的目图标函解数法max z 2x1 3x2
图解法
9x—2
8—
约束条件 4x1 ≤16
4x2 ≤12
x1
|| | | || | | |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
1.2 线性规划的图解法
4x1 16 (0, 4) 4 x2 12 x1 + 2 x 2 8 (8, 0)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
第二节 线性规划解的概念、性质及图解法
5
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
例 2.4: 某工厂拥有 A 、 B 、 C 三种 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中需要占用的设备机 时数， 时数，每件产品可以获得的利润以及 三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500
无可行解的情况
22
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (c)有唯一的最优解；
31
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
直线B、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（E）、（G）的解，即： 的解， x(7) = (20,0,5,0,75)T 20, 75) 直线C、D的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（H）的解，即： 的解， x(8) = (0,25,15,15,0)T 25,15,15, 直线C、E无交点（C、E相互平行） 无交点（ 相互平行） 直线D、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（E）的解，即： 的解， x(9) = (0,0,65,40,75)T 65,40,75)
26
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2+x3= 65 (A) (B) 2x1+x2+x4= 40 3x2+x5= 75 (C) x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0 用（D）（E）（F）（G）（H） 分别表示x1 = 0、x2 = 0、x3 = 0、 x4 = 0、x5 = 0 。 这里一共有8个约束条件，其中3个等 式约束
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
例 2.4: 某工厂拥有 A 、 B 、 C 三种 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中需要占用的设备机 时数， 时数，每件产品可以获得的利润以及 三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500
无可行解的情况
22
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (c)有唯一的最优解；
31
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
直线B、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（E）、（G）的解，即： 的解， x(7) = (20,0,5,0,75)T 20, 75) 直线C、D的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（H）的解，即： 的解， x(8) = (0,25,15,15,0)T 25,15,15, 直线C、E无交点（C、E相互平行） 无交点（ 相互平行） 直线D、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（E）的解，即： 的解， x(9) = (0,0,65,40,75)T 65,40,75)
26
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2+x3= 65 (A) (B) 2x1+x2+x4= 40 3x2+x5= 75 (C) x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0 用（D）（E）（F）（G）（H） 分别表示x1 = 0、x2 = 0、x3 = 0、 x4 = 0、x5 = 0 。 这里一共有8个约束条件，其中3个等 式约束
线性规划的标准化及图解法
第一个约束加松弛变量x5,第二约束加剩余变量x6, 第三个约束两端乘-1，再加剩余变量x7.
22
将线性规划化成标准形式
解：首先，目标函数是极小化 , 将它化成 求最大。其次考虑3个不等式约束： 第一个约束加松弛变量x5, 2x1-3x2+5x3+6x4+x5= 28 第二约束加剩余变量x6, 4x1+2x2+3x3-9x4–x6= 39 第三个约束两端乘-1，再加剩余变量x7 -6x2- 2x3-3x4-x7= 58
9
线性规划的应用模型
于是可得如下的线性规划的模型：
10
线性规划的一般形式
11
线性规划的数学结构
• • • • 它是求一个函数最大值或最小值问题; 这个函数称为目标函数; 这个目标函数是线性函数; 这个目标函数可以认为定义在一个特定 的区域上. • 这个区域是由一组线性不等式所确定.
12
线性规划的标准形式
但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相 同，但他们最优解的目标函数值 却相差一个符号，即 Min f ＝ - Max z
15
将线性规划化成标准形式
2、约束条件不是等式的问题：
设约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量 (称为松弛变量)xn+i ， xn+i ≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+ xn+i = bi
2
线性规划的问题
• 某工厂生产两种型号的电机（记为A和B），每台 A型电机需用原料2个单位，4个工时，每台B型电 机需用原料3个单位，2个工时，工厂共有原料 100个单位，120个工时，A、B型电机的每台利 润分别为600元和400元，问两种电机各生产多少 可使利润最大？
线性规划的图解法
据题意，可得线性规划模型 :
Wu School of Economics
Operations Research
第一讲
§1 线性规划模型的建立（3）
线性规划——Liner Programming 目标函数为变量的线性函数；约束条件为
变量的线性等式或不等式。因此，我们称 之为线性规划。 线性规划的一般形式：
Wu School of Economics
Operations Research
第一讲
第二讲 线性规划的图解法
线性规划——Liner Programming 特点：
在一定约束条件下追求最优化的目标
page 15 4 February 2016
Wu School of Economics
page 10 4 February 2016
Operations Research
第一讲
§2 线性规划的图解法（5）
max z 50x1 100x2
S.t.
page 11 4 February 2016
x x 300 2 x x 400 x 250 4 x 3 x 1200 x 0, x 0
1 2 1 2 2 1 2 1 2
Wu School of Economics
Operations Research
第一讲
§2 线性规划的图解法（5）
线性规划解的情况： 如果某一个线性规划问题有最优解，则一
定有一个可行域的顶点对应最优解 线性规划存在有无穷多个解的情况。整数 规划中存在有限多个解的情况。 线性规划存在无界解，即有可行解但是无 最优解的情况 线性规划存在无可行解的情况。
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中南大学
基本概念-基、基变量
目标函数 约 束 条 件
=
右边常数
行列式≠0 基矩阵B
=
1) B在A中是任取的，因此A中有很多基 2) 基变量是针对基而言，不同的基有不同的基变量。
中南大学
基本概念-基,基变量说明
x1+x2+ x3 =6 x1+2x2+ x4 =8 x2+ x5=3 x1~x5≥0 1 1 1 0 0 A= 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1
x2≤3
x1,x2≥0
中南大学
图解法—无界解例
Max Z=x1+x2
-2x1+x2=4 x2 7 6 5 4 3 2 1
-2x1+x2≤4
x1-x2≤2
x1,x2≥0
x1-x2=2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x1
中南大学
图解法—无可行解例
Max Z=3x1+4x2
x1+x2≥6
x1≤2
x2 7 6 5 4 3 2 1
1 1 1 B1= 1 2 0 0 1 0 |B1|≠0, XB=(x1,x2,x3), Xn=(x4,x5)
1 0 0 B2= 0 1 0 0 0 1 |B2|≠0, XB=(x3,x4,x5), Xn=(x1,x2)
中南大学
线性规划模型建立步骤归纳
确定一组决策变量 确定一个线性目标函数 确定一组线性约束条件
中南大学
三、线性规划图解法及几何意义
中南大学
图解法—例
Max Z=3x1+4x2 x1+ x2≤6 x1+2x2≤8 x2≤3
x2
绘出可行解域
x1+x2=6 x2=3 x1+2x2=8 6 8 x1
xj 0 xn i 0
中南大学
松弛变量
例1
maxZ=40X1+ 50X2+0· X3 +0· X4+0· X5 X1 +2X2 +X3 =30 =60 +X5 =24 松弛变量
3X1 +2X2 2X2 +
+X4
X1 , …, X5 0
中南大学
剩余变量
Max Z C j x j
总量 A/B产品需求量 A、B产品利润/吨 6000元/5000元 A
540吨 煤
金 属
6/8吨
4吨
80/50公斤
B
2000千瓦 电
力
50/10千瓦
中南大学
线性规划建模例1— 资源合理利用问题
问题分析
（1）确定变量。设用x1，x2（单位为吨） 分别表示A、B产品的生产量。 （2）目标函数。 Z=6x1+5x2（千元） （3）约束条件。 煤： 6x1+8x2≤540（吨） 金属: 80x1+50x2≤4000（公斤） 电力： 50x1+10x2≤2000(千瓦）
(一) 三种表示形式--①一般型
maxZ=C1X1+ C2X2+…+CnXn
a11X1+ a12X2+…+ a1nXn =b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn =b2 … … … …
am1X1+ am2X2+…+ amnXn =bm
Xj 0(j=1,2,…,n) 其中 bi 0 (i=1,2,…,m)
中南大学
一、 线性规划的数学模型
问题的提出
B C A
乙
甲
原料 产品 甲 乙
A 1 1
B 1 2
C 0 1
单位利润 （百元） 3 4
6 8 3 供应量 问企业如何安排生产计划，使一天的总利润最大？
中南大学
问题的提出- 建模过程—引例
1）假设x1,x2为甲、乙产品每 天的生产量—决策变量 x1，x2≥0 —非负约束 2）假设Z为总利润, 希望最大 max Z=3x1+4x2 3）考虑限制条件 A原料：x1+x2≤6 B原料：x1+2x2≤8 C原料：x2 ≤3
在方程左边减一个非负剩余变量， 把“≥”改成“=”。
中南大学
例：约束条件的标准化
Max Z C j x j
j 1 n
a x
j 1 ij
n
j
bi
i 1,2 m j 1,2 n
松弛变量
xj 0
a x
j 1 ij
n
j
x n i b i
i 1,2 m j 1,2 n i 1,2 m
6
4 3
x1,x2≥0
中南大学
图解法—例
求最优解
x2
法线
x1+x2=6
Max Z=3x1+4x2 x1+x2≤6 x1+2x2≤8 x2≤3
6
4 3
最优解（4，2）
x2=3
x1,x2≥0
6
x1+2x2=8
8 x1
最优方案甲产品4吨，乙2 吨，目标函数为Z=20(利润2000元)
中南大学
图解法：一般过程
1）绘出每个约束方程的约束平面 x2 x1+x2=6
x1+x2>6 与(1,1)同方向
•设约束方程为a1x1+a2x2≤(≥,=)b
(1)画出直线a1x1+a2x2=b (2)若约束方程为a1x1+a2x2≤b 则半平 面在直线-(a1,a2)方向
6
4
(3)若约束方程为a1x1+a2x2≥b 则半平 面在直线(a1,a2)方向
(最优解) 基可行解 可行解域
中南大学
线性规划问题中的基本概念
设有标准型
AX=b (1-3) X≥0 (1-4)
A=(aij)mn
m<n
可行解： 满足约束方程(1-3),(1-4)的解X称为线性规划问 题的可行解。 基(矩阵)： 设B是从A中任取m列元素所构成的方阵。且 |B|≠0则称B是线性规划问题的一个基(矩阵)。 基变量： 若B为基，则B中列所对应的变量称为基变量， 用XB表示，余下的其他变量称为非基变量，用XN表示。
模型归纳 max Z=6x1+5x2 6x1+8x2≤540
80x1+50x2≤4000
50x1+10x2≤2000 x1,x2≥0
中南大学
线性规划的标准型（一般型）
满足以下条件的称为标准型： 目标函数为求最大值 约束方程均为等式方程 所有变量均为非负变量
中南大学
二、线性规划的标准型
max Z CX
P X
j 1 j
n
j
B
X 0
X1 AX=(P1 P2 …Pn ) X2
…
=B
Xn P1 X1+ P2 X2 + … +Pn Xn=B
中南大学
（二）化线性规划问题为标准型
约束条件 决策变量 目标函数
中南大学
（二）化线性规划问题为标准型
化不等式约束为等式约束
约束方程为“≤”号： 在方程左边加一个非负松弛变量， 把“≤”改成“=”。 约束方程为“≥”号：
约束条件： 目标函数：
中南大学
隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与 决策变量改变量成正比 可加性：每个决策变量对目标和约束的影响 独立于其它变量 连续性：每个决策变量取连续值 确定性：线性规划中的参数aij , bi 定值
, ci为确
中南大学
线性规划建模例1— 资源合理利用问题
(4)若约束方程为a1x1+a2x2=b 则半平 面为该直线
2
(1,1方向) 2 (2,-3）方向
4
2x1-3x2 > 6 x1 6
2x1-3x2=6
中南大学
线性规划的标准型（一般型）
2）绘出可行解域 各个约束半平面相交的区域 3）作法线相垂直的目标函数等值线 设目标函数为maxZ=c1x1+c2x2,作 与方向（c1,c2)相垂直的目标函数等 值线在可行解域中沿方向（c1，c2） 同方向移动 移动中确定使目标达到最优的 可行解，该解即为最优解。 x2 maxZ=3x1+4x2 max Z=3x1+4x2
x2≤3
x1,x2≥0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x1
中南大学
线性规划的几何意义
中南大学
线性规划的几何意义的基本概念
两点间线段上点的表示法
y y2 y W(x,y) y1 W2（x2,y2)
设有两点W1(x1,y1)，W2(x2,y2). 我们要求出W1，W2连线上任意一 点W的表示方法。 由于三角形的相似关系推导出
中南大学
(一) 三种表示形式-P1②矩阵型 P2 ……… Pn
maxZ=CX
a11 a12 ……… a1n
AX=B
X 0
X1
其中 A=Βιβλιοθήκη a21 a22 ……… a2n
…………………
am1 am2 ………amn
b1 B= b2 bm … C=(C1 C2 …Cn )
X=
X2 Xn
…
中南大学
(一) 三种表示形式--③向量型
中南大学
环境系统工程
薛 生 国
中南大学冶金学院环境工程系
中南大学
第三章 最优化技术
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划
中南大学
§3.1 线性规划
研究对象
有一定的人力、财力、资源条件下，如 何合理安排使用，效益最高 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省