“北约”自主招生数学试题及答案(2010-2014)

2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =. 于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1, 所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.已知22()arctan14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.证明tan3是无理数.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3是有理数,则tan 6,tan12,tan 24为有理数,再由tan 6和tan 24可得tan 30为有理数,这与3tan 30=!因此,tan3是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠, 则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---, 由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠, 此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠, 故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,23不可以同时在M 中.10.已知12,,,n x x x R +∈,且121n x x x =,求证:12)(2)1)n n x x x +≥.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立; ②假设*(1,)n k kk N =≥∈时,不等式12)(2)1)k k x x x +≥成立.那么当1n k =+时,则1211k k x x x x +=,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k k x x x x x x +++--≤⇒+≥+,所以1212)(2(2)k kx x x x ++ 12112)[22()]kk kk x x xx x x ++=+++11212)(2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥+≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+=及n k =时的假设,故1n k =+时不等式也成综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立. (二法)左边展开得12)(2)n x x x+12121212111()(2)()k k nnn n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k k knn nk k k k C C C k k ki i i nii i n n n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12)(2)n x x x +1122))2)(2)(21)n n n n kknnn n nnC C C C ---≥++++=+,即证. (三法)由平均值不等式有111()n nnk k n ==≥……①;111(n nn k k n ==≥……②①+②得1()nk k n n x =≥,即12)(2)1)n n x x x +≥成立.2013年北约自主招生数学试题与答案（时间90分钟，满分120分）1．和1A. 2B. 3C. 5D. 6解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦的系数均为有理数，且有两根分别为和1.和1-于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为和1,,,,a b c d e 不全为0，则：420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和1和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。

三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。

所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法.3． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==+1x y ==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.4． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .A. 3019⨯2 2012B. 3019⨯22013C. 3018⨯22012D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=. 所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-，则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n na a ++=+.令2nn n a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由.A. BM+CN>MNB. MN +CN <MNC. BM+CN =MND.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN+=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定解析：根据公式z =1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAA B C ++=++=1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类. 其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈、、、、，满足12320130a a a a ++++=，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=-，求证：12320130a a a a =====.解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++=，（1）另一方面，令12233421312222a a a a a a a a m -=-=-==-=，则1223342222a a a a a a a a ----、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=-（2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a =====.从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ====.命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m =、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnij a '，即对任意的123j n =、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m =、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =-、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m =、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m =.则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i =、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnij a '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m =、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.2012年“北约”自主招生数学试题及解答2011年“北约”自主招生数学试题及解答2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->． (0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。