格点与面积

第四讲格点与面积

【例1】图1中是用橡皮筋钉在钉板上围成的几个图形，每两个相邻点之间的距离都是1厘米，这些图形的面积各是多少平方厘米？

（1）（2）（3）（4）（5）

图1

分析图1中每相邻点之间的距离都是1厘米，相邻四个点围成的小方格面积就是1平方厘米，相邻三个点围成的小三角形面积就是0.5平方厘米。

解进行分割（图2）。

（1）（2）（3）（4）（5）

图2

（1）的面积是6平方厘米，（2）的面积是12平方厘米，（3）的面积是3平方厘米，（4）的面积是9平方厘米，（5）的面积是5.5平方厘米。

说明图2中的图形，都是以格点为顶点的多边形，称为格点多变形，格点多边形的面积越大（小），它所包含的格点（包括边界上的）就越多（少）。

【例2】计算图3（1）中三角形的面积。

（1）（2）

图3

分析图中三角形是斜着的，先将它扩展成长方形，如图3（2），这个长方形由4个三角形组成，分别求出：①、②、③3个三角形的面积，再用长方形面积减去这3个三角形的面积和，即可求出原三角形的面积。

解三角形①的面积：3×2÷2=3

三角形②的面积：2×2÷2=2

三角形③的面积：4×1÷2=2

长方形面积：4×3=12

三角形④的面积：12-3-2-2=5

【例3】图4中每两个相邻点之间的距离都是1厘米，求出各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。

A B C D E

图形边上点数部点数面积

A

B

C

D

E

分析按照例1的分析方法，进行分裂。

解A的面积是2平方厘米，B的面积是4.5平方厘米，C的面积是5.5平方厘米，D的面积是7平方厘米，E的面积是2平方厘米。

填表：

图形边上点数部点数面积

A 4 1 2

B 9 1 4.5

C 9 2 5.5

D 10 3 7

E 6 0 2

寻找规律：

图形A：4÷2+1-1=2

图形B：9÷2+1-1=4.5

图形C：9÷2+2-1=5.5

图形D：10÷2+3-1=7

图形E：6÷2+0-1=2

于是，图形的面积与格点数有如下关系：

图形的面积=边上点数÷2+部点数-1

【例4】图5中每相邻三个点围成的面积是1平方厘米，求各图的面积。填好下表，最好总结出一般规律。

图形边上点数部点数面积

A

B

C

D

E

分析现在小方格的面积是2，即比例2扩大了两倍，可以用例2的公式，也可以直接计算，先把图4分割，如图6，然后数一数三角形的个数。

图6

解A的面积是5平方厘米，B的面积是10平方厘米，C的面积是12平方厘米，

D的面积是18平方厘米。

填表：

图形边上点数部点数面积

A 7 0 5

B 10 1 10

C 10 2 2

D 12 4 18

寻找规律：

图形A：（7÷2+0-1）×2=5

图形B：（10÷2+1-1）×2=10

图形C：（10÷2+2-1）×2=12

图形D：（12÷2+4-1）×2=18

于是，图形的面积与格点数有如下关系：

图形的面积=（边上点数÷2+部点数-1）×2

说明与例3的公式相比，现在的面积扩大了两倍。

练习：

★1.计算下图的面积。

★2.分别求出下图中各图形的面积。

图1 图2

★3.求下图中图形的面积。（1格表示1平方厘米。）

★4.求下面各图的面积。（1格表示1平方厘米）

★5.图中有28个点，其中每相邻的三个点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1平方厘米的等边三角形，试计算五边形ABCDE的面积。

★★6.图中的每个小正方形的面积都是2平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

★★7.图是某海岸一个灯塔的平面图，假设四个格点“∷”组成的小正方形面积为单位面积，试求此海岸的面积。

★★8.求下列格点多边形的面积。（每相邻三个点“∵”或“∴”构成面积为1的等边三角形）

（1）（2）

★★9.图中的每个小正方形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

★★★10.如图，求下面格点多边形的面积。（相邻四个点围成的小方格的面积为3平方分米）

★★★11.图中的每个正方形的面积都是1，那么图中这只狗所占的面积是多少？

★★★12.图中的图形是一个礼盒平面图，求它的面积。

★★★13.如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米。小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为平方厘米。