24.2比例线段

都英教育教师辅导讲义

班级编号： 年 级：九 课时数：

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：常老师 学科组长签名及日期

授课时间

课 题

比例线段

教学目标

1、相似形的复习

2、知道两条线段的比的意义，理解比例线段及有关概念，运用比例线段的性质对比例进行简单的变形

重点、难点

1、熟练掌握比例线段的性质

2、运用“同高（或等高）的两个三角形的面积的比等于对应边的比”进行三角形的面积比与线段的比的转化

教学内容 一、知识回顾

1、在数学上，我们把______________的两个图形称为相似的图形，或者称为__________________。

2、如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的_______________相等，______________成比例。

3、利用“方格法”画与已知图形相似的图形的依据是_______________________________________. 例1、下面各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形，哪些是形状不同的图形。

例2、关于一个图形进行缩放时，以下说法正确的是（ ）

A. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变

B. 图形中线段的长度与角的大小都会改变

C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变

D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变

二、知识精讲

知识点一：成比例线段的概念

线段的比：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。

即：如果用同一长度单位量得线段a ，b 的长度分别是c ，d ,那么d c b a d c b a ==或::。在中，a 叫比的前项，b 叫比的后项。

（1）比例线段所表示的是四条线段的关系，

（2）比例线段所表示的是一种相等关系，因此表示比例线段的式子中必须有等号存在，

（3）线段a 、b 、c 、d 成比例是有顺序地表示为d c b a ::=。

（4）判断四条线段是否成比例，只要把这四条线段按长度的大小顺序排好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可。

生活常识：

（1）同一时刻物高与影长成比例. （2）图上长度与实际长度的比通常称为比例尺.

注意：

（1）两条线段比是一个正数,它没有单位.

（2）两条线段比与所选的长度单位无关.

（3）求两条线段比时.如果单位不同.那么必须先化成同一单位.再求它们的比.

例3、判断下列各组长度的线段是否成比例：

（1）2cm ，3cm ，4cm ，1cm

（2）1.5cm ，2.5cm ，4.5cm ，6.5cm

（3）

（4）

例4、若线段AB=3 cm ，CD=6 cm ，则AB ∶CD= ，CD ∶AB=

例5、已知，且是、的比例中项，则 ，若是、的比例中项，则 . 知识点二：比例线段的性质

1、比例线段的两个外项的积等于两个内项的积，即如果

d

c b a =，那么bc a

d =。还可以得到如果d c b a =，那么c d a b =，d b c a =，b

d d c =。 2、如果d c b a =，那么d

d c b b a +=+。 类似地，可得；如果d c b a =，那么c d c b b a -=-。 b a b a 或:;32,15,5,2====d c b a .10,15,8,12====d c b a 34=b a b a c =c b a b c =c

b

3、如果K d c b a ==，那么d b c a ++=K d

c b a ==，这个结论叫做比例的等比性质。 4、总结：几个常用的性质： （1）若，则

； （2）若，则或； （3）若，则； （4）若，则。 （5）若

，则（当） 例6、若，则 ， ， 。 例7、如果,那么下列等式成立的是( ) A. B. C. D.

例8、已知

3===f e d c b a ，求f

d b

e c a 4242+-+-的值（042≠+-

f d b ）。

注意：应用比例线段的性质，就要熟悉比例线段的基本性质和两个主要性质

（1）比例的基本性质是运用比例线段求线段长度的主要依据；

（2）合比性质是比例线段的又一重要性质，在对比例式

进行变形时，要注意分子加减分母比原分母，而不要理解反了。

（3）等比性质是对多条成比例线段进行变形的依据。在运用等比性质时，一定要注意性质满足的条件是所有比的分母和不为0.

d

c

b a =

c

d a b =d

c b a =

d b c a =a c b d =d

c b a =

d d c b b a +=+d c b a =d d c b b a -=-h g f

e d c b a ===b a h

f d b

g e c a =++++++0≠+++

h g d b 43=b a =+a b a =-b a a 2=-+b

a b a a c b d

=a b c d b d ++=a c b d a d --=a b c d b c ++=a c b d a b

--=d

c b a =

知识点3：黄金分割

如图所示，如果点C 把线段AB 分割成AC 和CB （AC>CB ）两条线段，且AC

BC AB AC =，那么称这种分割为黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比值21-5叫做黄金分割数（简称黄金数） 例8、已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )

A ．AM ∶BM=A

B ∶AM B.AM=215-AB C.BM=2

15-AB D.AM ≈0.618AB 课堂练习

1、如下图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（ ）

A. ：1

B. 1：

C. ：1

D. 1：

2、已知菱形ABCD 中，∠A ＝600，则

= ( ) A. B.1： C.1+ D.（+1）

3、已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（ ）

A 、2

B 、15+

C 、2或15+

D 、以上都不对

4、已知，且是、的比例中项，则 ，若是、的比例中项，则 .

5、若线段的第四比例项是4，则 .

6、已知 .

7、若，则 。

8、若，则 。

2233AC BD 333334=b a b a c =c b a b c =c

b 4,,1++x x x =x =-+=+-=

c b a a b c c b a 23,632,5:4:2::则且2:3:=y x 2:3:=z y =z y x ::0622=--y xy x =y x :