全称量词和特称量词

常用逻辑用语

全称量词与存在量词

3. 1 全称量词与全称命题

3. 2存在量词与特称命题

I明目标、知重点：1•通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特

称命题的真假.

填要点

1 .全称量词与全称命题

在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，

表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词.含有全称量词的命题，叫作全称命题.

2. 存在量词与特称命题

在命题中，“有些” “至少有一个”“有一个” “存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词.

含有存在量词的命题，叫作特称命题.

探要点：究所然

探究点一全称量词与全称命题

思考1下列语句是命题吗？(1)与(3), (2)与(4)之间有什么关系？

(1) x>3 ；

(2) 2x+ 1是整数；

(3) 对所有的x€ R, x>3;

(4) 对任意一个x€ Z,2x+ 1是整数.

答语句(1)(2)含有变量x,由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题.语句

(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础

上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因

此语句⑶(4)是命题.

小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“ 一切”都是在指定范围内，表示整

体或全部的含义，这样的词叫作全称量词.像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题.

思考2如何判定一个全称命题的真假？

答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但

要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x o,使得p(x o)不成立即可(即举反例). 例1判断下列全称命题的真假：

(1) 所有的素数是奇数；

(2) 任意x€ R , x2+ 1> 1；

(3) 对每一个无理数x, x2也是无理数.

解(1)2是素数，但2不是奇数.

所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.

⑵任意x€ R，总有x2> 0,因而x2+ 1> 1.

所以，全称命题“任意x€ R, x2+ 1> 1”是真命题.

(3) .2是无理数，但(，2)2= 2是有理数.

所以，全称命题“对每一个无理数x, x2也是无理数”是假命题.

反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.

跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：

(1) 任意x€ R , x2+ 2>o ; (2)任意x€ N , x4> 1.

⑶对任意角a都有sin2a+ COS2a= 1.

解⑴由于任意x€ R，都有x2> 0,因而有x2+ 2> 2>0，即x2+ 2>0,所以命题“任意x€ R ,

x2+ 2>0”是真命题.

⑵由于0€ N，当x = 0时，x4> 1不成立，所以命题“任意x€ N, x4》1”是假命题.

⑶由于任意a€ R , sin2a+ COS2a= 1成立.所以命题“对任意角a,都有Sin2a+ COS2a= 1 ”

是真命题.

探究点二存在量词与特称命题

思考1下列语句是命题吗？(1)与(3), (2)与(4)之间有什么关系？

(1) 2x+ 1= 3;

(2) x能被2和3整除；

(3) 存在一个x o€ R,使2x0 + 1 = 3;

⑷至少有一个x o€ Z,使x o能被2和3整除.

答(1)(2)不是命题，⑶(4)是命题.语句⑶在⑴的基础上，用短语“存在一个”对变量x 的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使⑶(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句⑶(4)是命题.

小结“有些” “至少有一个”“有一个” “存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词•像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题.

思考2怎样判断一个特称命题的真假？

答要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x= x o,使p(x o)

成立即可，否则，这一特称命题是假命题.

例2判断下列特称命题的真假：

(1) 有一个实数x o,使x2+ 2x o+ 3= 0;

(2) 存在两个相交平面垂直于同一条直线；

(3) 有些整数只有两个正因数.

解⑴由于任意x€ R ,x2+ 2x+ 3 = (x + 1)2+ 2>2，因此使x2+ 2x+ 3= 0的实数x不存在.所

以，特称命题“有一个实数x o,使x0+ 2x o+ 3 = 0”是假命题.

(2) 由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同

一条直线.所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.

(3) 由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题. 反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中

找到一个元素满足命题结论即可.

跟踪训练2判断下列命题的真假：

(1) 存在x o€ Z , x3<1 ;

(2) 存在一个四边形不是平行四边形；

(3) 有一个实数a, tan a无意义；

(4) 存在x o € R , cos x o=才.