全国通用版2019版高考数学一轮复习第十五单元计数原理双基过关检测理

“计数原理”双基过关检测

一、选择题

1．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )

A．C25B．25

C．52D．A25

解析：选B 不妨设5名同学分别是A，B，C，D，E,

对于A同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去2种，

同样对于B，C，D，E都是2种，

由分步乘法计数原理可得，

第二天可能出现的不同情况的种数为2×2×2×2×2＝25(种).

2.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )

A．24种B．30种

C．36种D．48种

解析：选D 按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(种)．

3．(2018·云南师大附中适应性考试)在(a＋x)7展开式中x4的系数为280，则实数a的值为( )

A．1 B．±1

C．2 D．±2

解析：选C 由题知，C47a3＝280，解得a＝2.

4.如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为( )

A．30 B．42

C．54 D．56

解析：选B 用间接法．先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C38个，再减去三点共线的情形即可．共有C38－C35－C34＝42(个)．

5．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法种数为( )

A．12 B．24

C．36 D．48

解析：选B 将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A33种排法，故总的排法有2×2×A33＝24(种)．

6．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )

A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－1 解析：选D 展开式中含x 2的系数为C 25＋a C 15＝5，

解得a ＝－1.

7．(2018·成都一中摸底)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋

2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

解析：选A 令等式中令x ＝－1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)×(－1)9＝－2.

－lg b 的不同值的个数是( )

A ．9

B ．10

C ．18

D ．20

20个结果，其中lg 13＝lg 39，lg 31＝lg 93

，故共可得到不同值的个数为20－2＝18. 二、填空题

9.⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －1x 5的二项展开式中x 项的系数为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1x r ＝C r 5·(－1)r ·25－r ·x 5－2r . 令5－2r ＝1，得r ＝2.因此⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －1x 5的展开式中x 项的系数是C 25·(－1)2·25－2＝80. 答案：80

10．若n ＝⎠⎛e e 2 0181x d x ，则二项式(1－2x )n

的展开式中第 1 009项的二项式系数为________．(用符号作答)

解析：由题意知，n ＝⎠⎛e e 2 018

1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪ e 2 018e ＝2 017，二项式(1－2x )2 017的展开式中第1 009项为T 1 008＋1＝C 1 0082 017(－2x )

1 008，其二项式系数为C 1 008

2 017.

答案：C 1 0082 017 字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C 14C 35A 4

4＝960(个)，

四个数字都是奇数的四位数有A 45＝120(个)，

则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．

答案：1 080

12．有一个五边形ABCDE ，若把顶点A ，B ，C ，D ，E 涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有________种不同的涂色方法．

解析：首先A 选取一种颜色，有3种情况.

如果A 的两个相邻点B ，E 颜色相同，有2种情况，

则最后两个点C ，D 也有2种情况；

如果A 的两个相邻点B ，E 颜色不同，有2种情况；

则最后两个点C ，D 有3种情况.

所以共有3×(2×2＋2×3)＝30种不同的涂色方法.

答案：30

三、解答题

13．已知(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和等于⎝

⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而 (a 2＋1)n

的展开式的二项式系数最大的项等于54，求正数a 的值． 解：⎝

⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5展开式的通项 T r ＋1＝C r

5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r x 2052-r . 令20－5r ＝0，得r ＝4，

故常数项T 5＝C 45×165

＝16， 又(a 2＋1)n 展开式中的二项式系数之和为2n ，

由题意得2n

＝16，∴n ＝4.

∴(a 2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，

从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.

14．已知袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，现从中取出4个．

(1)取出的4个球必须是两种颜色的取法有多少种？

(2)取出的4个球中红球个数不少于白球个数的取法有多少种？

解：(1)根据题意，袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个，有C 410＝210种取法，

其中颜色相同的情况有2种：4个红球或4个白球，

若4个红球，有C 44＝1种取法，

若4个白球，有C 46＝15种取法，

则取出球必须是两种颜色的取法有210－(1＋15)＝194种.

(2)若取出的红球个数不少于白球个数，分3种情况讨论：

①4个全部是红球，有C 44＝1种取法，