用Excel计算洛伦茨曲线

用Excel表达贫富不均——洛仑兹曲线的绘制及基尼系数的定积分计算
在反贫困工作中有两项重要的统计工具：洛仑兹曲线和基尼系数，它们使用、整理大量调查数据所绘制的图形、曲线及计算结果，可以用来说明社会收入差距大小，贫富两极分化程度。

这些工作可以使用Excel来处理。

根据本人近年实践，总结介绍如下。

1.洛仑兹曲线
洛仑兹曲线研究的是国民收入在国民之间的分配问题，这是美国统计学家洛仑兹提出来的。

它先将一国或一地区人口按收入由低到高排队，然后考虑收入最低的任意百分比人口所得到的收入百分比。

例如最低的10%、20%、30%的人口等等所得到的收入比例分别为1.09%、4.16%、9.21%等等，如表1所示，最后将这样得到的人口累计百分比和收入累计百分比的对应关系制成图表，即得到洛仑兹曲线，如图0所示。

表1
图0
上图即为洛伦兹曲线，其横坐标是相对人口累计百分比，纵坐标是收入累计百分比。

如果收入是绝对均等的（当然这只是一种理想化的状态），每1%的人口都得到1%的收入，累计99%的人口就得到累计99%的收入，则收入分配是完全平等的，累计收入曲线就是上图中的对角线OL，图中标明是“绝对均等线”。

假如收入分配绝对不均等（当然这也是一种设想的状态），几乎所有的人口均一无所有，即99%的人完全没有收入，而所有的收入都在1% 的人手中，即1%的人拥有100%的收入，累计分配曲线是由横轴和右边垂线组成的折线OAL。

图中标明是“绝对不均等线”
一般来说，一个国家、一个地区的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介于两者之间，那么相应的洛仑兹曲线既不是折线OAL，也不是对角线OL，而是介于两者之间的就是中间那条向横轴突出的OCL曲线。

洛仑兹曲线的弯曲程度具有重要意义。

一般来说它的弯曲程度反映了收入的不平等程度，弯曲程度越大，收入分配程度越不公平。

洛伦兹曲线和对角线之间的那块月牙形区域（图中斜线区域）可以看成是贫富之间的那条沟坎。

这块月牙形区域面积S大小，可以用来表征实际收入分
配与理想境界的差距：这块月牙形区域面积S越大，洛伦兹曲线弯曲度越大，
月牙弯得越大，它和对角线离开得越远，说明收入差距越大，贫富两极分化越
严重。

反之，这块月牙形区域面积S越小，洛伦兹曲线越平缓，月牙弯得越小，
它和对角线靠得越近，说明社会收入差距越小，贫富两极分化越不明显。

用Excel绘制洛仑兹曲线,主要使用面积图，先绘制绝对平均区域的对角线三角形面积图，并以某显著颜色图案着色。

再绘制洛仑兹曲线，选择一个前景色着色，掩盖前者的一部分以后，就可见到月牙形的曲边形，从而为基尼系数的计算做了准备。

绘制洛仑兹曲线的步骤如下：
【步骤01】：选择单元格C2:C12作图表，进入【图表向导-4 步骤之1-图表类型】，子图表类型选择“面积图”第一行第一个“面积图。

显示各种树脂随时间或类别而变化的趋势线”，如图1：
图1
【步骤2】：进入“下一步”，添加标题“洛仑兹曲线”，取消图例，完成后对系列、坐标轴数据格式等格式调整后所得图形如图2：
图2
【步骤03】：取消网格线，将系列内部颜色调整为黑色斜线条，如图3：
图3
【步骤04】：选择图表，右键选“源数据”，添加系列2，其值通过右端小按钮选取输入为“=Sheet2!$B$2:$B$12”，如图4：
图4
【步骤05】：确定后，加上X轴、Y轴标题，取消X轴数据标志，调整系列2内部颜色，手工使用文本框写入O、A、L、B、C和汉字，插入箭头，并长按Ctrl键，将这些加入内容和原图标都选中叠加，右键选“组合”-“组合”，从而完成洛仑兹曲线图的绘制，如图5所示。

图5
2.基尼系数
洛伦兹曲线常用来形象化地说明问题，它不可能用一个确切的数字来表示收入差异的总体水平，国际通用的衡量这种水平的最常用的是基尼系数。

基尼系数是从洛伦兹曲线推导出来的，用以测定洛伦兹曲线背离完全均等状况的程度。

基尼系数的计算是这样的：
设：洛伦兹曲线和对角线之间的那块区域（图中斜线区域）面积为S，绝对不均等折线和绝对均等对角线围成的三角形OAL区域的面积为P
基尼系数G ＝S ／P 。

关于基尼系数的解读，应该注意以下几点：
①当收入分配完全均等时，S ＝0，于是，G ＝0；
②当收入分配完全不均等时，S ＝P ，G ＝1；
③现实生活中，基尼系数总是介于0和1之间，即0 ＜G ＜1；基尼
系数越大说明收入分配越不平等，基尼系数越小，表明收入分配越趋于均等。

④联合国有关组织规定：若
收入的基尼系数＜0.2 表示收入分配绝对平均；
收入的基尼系数介于0.2 ～0.3 表示比较平均；
收入的基尼系数介于0.3 ～0.4 表示相对合理；
收入的基尼系数介于0.4 ～0.5 表示收入差距较大；
收入的基尼系数＞0.6以上表示收入分配差距悬殊。

对于基尼系数的具体计算，关键在于几个图形的面积计算。

其中：
△OAL的面积为0.5(OL是边长为1的正方形的对角线)
曲边形OALC的面积则不能用初等数学的方式求得，可用定积分求曲线OCL下面积。

为此，先要确定曲线OCL方程。

由于统计数据不是连续曲线，事先也无确定方程，这些数据都是一些离散的点，因此，我们利用Excel作出它们的散点图（而不是前面的面积图），再使用添加趋势线的方式，求得这条拟合趋势线的方程，再利用定积分求得该曲线下面积。

下面，以上面例子的数据说明求解过程。

【求基尼系数步骤01】：选择单元格C2:C13, 进入【图表向导-4 步骤之1-图表类型】对话框,选择“X Y散点图”,在“下一步”取消图例，完成后得到图6 所示XY
散点图。

选择散点图中数据点，右键选择“添加趋势线”，见图6：
图6
【求基尼系数步骤02】：在【添加趋势线】对话框中，切换到“类型”选项卡，在“趋势预测/回归分析类型”中，可以根据题意及定积分计算方便，选择“多项式”，“阶数”可调节为2（视曲线与点拟合程度调节），如图7：
图7
【求基尼系数步骤03】：切换到“选项”选项卡，选中“显示公式”复选框，“设置截距=0”视情况也可选中，如图8，确定后，如图9，其中的公式，就是通过回归求得的拟合曲线的方程。

图8
图9
【求基尼系数步骤04】：为求曲边形OALC的面积，可用定积分求曲线OCL下面积，先用不定积分求其原函数：
再求其定积分：
＝F(1)-F(0)
＝0.335
(此题计算比较简单，只需口算即可得到解答。

如实际计算比较复杂,可再次利用Excel 输入公式计算,此处不再赘述。

)
即曲边形OALC的面积=0.335
S(月牙形面积)＝△OAL的面积-曲边形OALC的面积
＝0.5-0.335
＝0.165
【求基尼系数步骤05】：
基尼系数G ＝S(月牙形面积) ／△OAL的面积
＝0.165 / 0.5
＝0.33
该基尼系数介于0.3 ～0.4 表示收入分配相对合理。

求基尼系数的关键是：
其一：使用离散的统计数据作出XY散点图，并用“添加趋势线”的方式，求出拟合曲线的方程，方程的类型和次数可视拟合程度调整，不过选择多项式的话，在之后的使用积分求原函数的公式比较方便；
其二：在拟合曲线的方程确定后，使用定积分计算曲线下面积，计算月牙形面积，最后即可求得基尼系数。

【习题；利用某市2005年统计年鉴提供数据，绘制当年该市洛仑兹曲线图，并求基尼系数】
表2
作出辅助图标后，所作洛仑兹曲线如图10：
图10
做散点图，添加趋势线，拟合方程选多项式，次数分别选择二次（图11）、三次(图12)和四次(图13)，显然对于二次曲线，线外数据点较多，三次曲线还有个别数据点散落在线
外，只有四次曲线拟合较好。

图11 数据点落在曲线外较多
图12 仍有部分数据点落在曲线外
图13 数据点和曲线拟合较好
即采用四次曲线:
Y= 1.9953X4- 2.6705X3+ 1.4836X2+ 0.1918X 最后计算：
曲边形OALC的面积=0.321869
S(月牙形面积)＝△OAL的面积-曲边形OALC的面积
＝0.5-0.321869
＝0.178135
【求基尼系数步骤05】：
基尼系数G ＝S(月牙形面积) ／△OAL的面积
＝0.178135 / 0.5
＝0.35627
≈0.36
该基尼系数介于0.3 ～0.4 表示该市2005年居民收入分配相对合理。

特别要指出的是：虽然对于基尼系数在我国研究中的适用性还存在一定的争议，但作为国际通用的常用指标之一，仍然可以用来衡量社会不平等程度的重要指标，能够在一定程度上反映社会收入分配中存在的问题。

联合国开发计划署（UNDP）委托中国发展研究基金会组织撰写的《中国人类发展报
告2005》显示，目前中国的基尼系数已超过0.4，甚至可能达到0.45 。

2006年6月14日，国家统计局有关负责人表示，目前我国的基尼系数超过0.4的国际警戒线，但我国不能照搬国际统计口径，因为我国城乡差距和东西部差距较大是造成基尼系数较大的原因。

分别来看，城市居民和农村居民的基尼系数统计都低于0.4，这就是为什么我国基尼系数到了0.45也没有引起社会动荡的原因。