结构几何非线性有限元分析与应用

2、45弯梁空间弯扭大位移分析（Cont’l）
P 300
动力荷载
160 140 120
0
1
ADINA 结果 NFBA 结果
t(s)
梁端竖向位移
100 80 60 40 20 0 0 20 40
线性结果
60
80
100
时间t(s)
图 5.13
梁端位移非线性动力响应结果的比较
结构几何非线性有限元分析与应用
丁泉顺 副研 同济大学桥梁系
一、非线性有限元方法
1、概述：
– 结构几何非线性问题是连续介质力学中固体力学的 一个分支 – 几何线性与非线性问题的区别：线性问题假设结构 在变形前后的受力特征是一样，而非线性问题则考 虑结构在变形之后的受力特征发生变化 – 非线性问题的分类：大变位（大位移大转动）小应 变理论，大应变理论 – 从理论方法上来说，结构几何非线性问题的研究已 经非常完善 – 杆系结构几何非线性问题
2
0 3l 0 0 0 4l 2 0 3l 0 0 0 －l 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 3l 0 36 0 0 0 3l
0 0 0 3l 0 0 0 36 0 3l 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 36
36 0
0 －l 0
0 0 3l 3l 0 0 0 －l 2 0 0 －l 2 (N 为轴向拉力) 0 0 0 3l 3l 0 0 0 4l 2 0 0 4l 2 0
2、分析方法(cont’l)
2、分析方法(cont’l)
Y y
i i
0
j
j
Z
x
y
j
x
s x32
s x2 x x22 x12 1 s 2s x32 x32 x3 x31
s x21 1 s x11 s x31
s
i
0
0
X
O
O
X
图2
x31 各坐标系统示意图
Y
图1
平面梁单元变形图
3、非线性问题的有限元求解
1
t t
s x22
1
x2
11 12
图4(a) t+t时刻端截面(节点1)位置图
图4(b) 单元随转坐标系的确定
二、数值算例
1、坦拱的大挠度分析
P h H w0 L R
X Z
固定端
R
R=133.114 h=0.1875 b=1.0 L=34.0 H=1.09 =7.33970 A=0.1875 I=0.0005493 E=107 =0.2
的大挠度
图6
450弯梁大位移分析
2、45弯梁空间弯扭大位移分析（Cont’l）
–单元划分：将梁划分为8个单元 ； –每步加载量为 P=10.0；
表2 梁自由端变形前后的无量纲位置坐标 Tab.2 Position of the free end of curving beam K=0(初始态) X/R Ansys ADINA 本文解 0.293 0.293 0.293 Y/R 0.707 0.707 0.707 Z/R 0.0 0.0 0.0 K=3.6(30个加载步) X/R 0.223 0.222 0.223 Y/R 0.589 0.585 0.588 Z/R 0.402 0.404 0.402 K=7.2(60个加载步) X/R 0.157 0.157 0.157 Y/R 0.471 0.468 0.472 Z/R 0.536 0.536 0.535
'
N
Q
nR
P N
Q V P
n (n R ) n
R'
V
R
O 图3(a) 矢量转动总图 图3(b) 垂直于转动轴的平面
4、小应变时单元内力增量计算(Cont’l)
t t
t t
x1
x
s 11
t t
t t
e3
t t
* 1
t t
450
R
图5 坦拱在集中荷载下的大挠度
图6 4
1、坦拱的大挠度分析（Cont’l）
–单元划分：将拱的一半分18个单元； –每步加载量为 P=2.0；
表1 加载步 Ansys ADINA 本文解 5 0.03522 0.03525 0.03525 坦拱无量纲拱顶位移w/H的比较 10 0.08655 0.08677 0.08675 15 0.1839 0.1853 0.1852 17 0.2954 0.3056 0.3044 18 1.6073 1.6081 1.6077 20 1.6303 1.6316 1.6308
Tab.1 Comparison of nondimensional displacements at the top of arch
2、45弯梁空间弯扭大位移分析
Z
固定端
b
R=100.0 b=1.0 h=1.0 =0.0 E=107 t s P r w v
Y
1.0 970
R
X
45
0
R
h
u
s x21 1 s x11 s x31
s
i
0
0
X
图X 4.5
O
O
x31 随旋坐标系下从 ti 时刻到 ti＋t 时刻的变形情况 图2 各坐标系统示意图
Y
图1
平面梁单元变形图
4、小应变时单元内力增量计算(Cont’l)
–空间梁单元的变形（详细情况见论文）
j
Z
x
j
s x2 x x22 x12 1 s 2s x32 x32 x3 x31
(3)
4、小应变时单元内力增量计算
–平面梁单元的变形
u x L(t t ) L(t ) ， i i ( 0 ) ， j j ( 0 )
Y y
i i
0
j
j
Z
x
y
j
x
s x32
s x2 x x22 x12 1 s 2s x32 x32 x3 x31
Fs ( ) P0 ( ) 0
• Newton-Raphson迭代 方法 • 修正Newton-Raphson迭代 方法
dP0 K T d
3、非线性问题的有限元求解(Cont’l)
图 4.1
Newton-Raphson 法计算示意(第一加载步)
图 4.2
修正的 Newton-Raphson 法计算示意(第一加载步)
2、非线性分析方法
– 按结构参考形态：
• 完全的拉格郎日方法（T.L. Total Lagrange） • 更新的拉格郎日方法（U.L. Updated Lagrange） • 欧拉方法（结构分析中不常用）
– 引入随旋坐标系：
• CR－TL（Corotational－TL） • CR－UL（Corotational－TL）
x
s 21
t t
32
x3
2*
t t

s x32
1
e1
t t
s e11
t t
s x 21
2
22
e2
s x 22
1
端截面
t t
s x31
t t
1
t t
t t
s x 31
1
* 1
源自文库
x1
11
1
12
t t
s x 21
t t
Newton-Raphson迭代 方法
修正Newton-Raphson迭代 方法
3、非线性问题的有限元求解(Cont’l)
0 0 0 0 36 0 0 0 36 0 0 0 0 0 3l 0 N 0 3l e KG 0 0 30l 0 0 36 0 0 36 0 0 0 0 0 3l 0 0 3l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3l 0 4l 2 0 0 0 3l 0
s x21 1
s
j
x
s x32
s x11 s x31
O
X
X
图2
x31 各坐标系统示意图
Y
单元变形图
4、小应变时单元内力增量计算(Cont’l)
–有限转动公式(见数学手册):
R ON NV VQ n(n R) [ R n(n R)]cosΦ (n R) sin Φ