函数的应用知识点总结(可编辑修改word版)

函数地应用一、方程地根与函数地零点1、函数零点地概念：对于函数y =f (x)(x ∈D) ，把使f (x) = 0 成立地实数x 叫做函数y =f (x)(x ∈D) 地零点.2、函数零点地意义：函数y = f (x) 地零点就是方程 f (x) = 0 实数根，亦即函数y =f (x) 地图象与x 轴交点地横坐标.即：方程f (x) = 0 有实数根⇔函数y =有零点．3、函数零点地求法：f (x) 地图象与x 轴有交点⇔函数y = f (x)○1 （代数法）求方程f (x) = 0 地实数根；○2 （几何法）对于不能用求根公式地方程，可以将它与函数y =f (x) 地图象联系起来，并利用函数地性质找出零点．4、基本初等函数地零点：①正比例函数y =kx(k ≠ 0) 仅有一个零点.k②反比例函数y = (k ≠ 0) 没有零点.x③一次函数y =kx +b(k ≠ 0) 仅有一个零点.④二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠ 0) ．（1）△＞０，方程ax2+bx +c = 0(a ≠ 0) 有两不等实根，二次函数地图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程ax2+bx +c = 0(a ≠ 0) 有两相等实根，二次函数地图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程ax2+bx +c = 0(a ≠ 0) 无实根，二次函数地图象与x 轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数y =a x(a > 0,且a ≠ 1) 没有零点.⑥对数函数y = log a x(a > 0,且a ≠ 1) 仅有一个零点 1.⑦幂函数y =x，当n > 0 时，仅有一个零点 0，当n ≤ 0 时，没有零点.5、非基本初等函数（不可直接求出零点地较复杂地函数），函数先把 f (x)转化成f (x)= 0 ，再把复杂地函数拆分成两个我们常见地函数y1, y2（基本初等函数），这另个函数图像地交点个数就是函数f (x)零点地个数.6、选择题判断区间(a, b)上是否含有零点，只需满足f (a )f (b)< 0 .Eg：试判断方程x4-x2+ 2x -1 = 0在区间[0,2]内是否有实数解？并说明理由.7、确定零点在某区间(a, b)个数是唯一地条件是:① f (x)在区间上连续，且f (a )f (b)< 0 ②在区间(a, b)上单调.Eg：求函数f (x) = 2x+ lg(x +1) - 2 地零点个数.8、函数零点地性质：从“数”地角度看：即是使f (x) = 0 地实数；从“形”地角度看：即是函数f (x) 地图象与x 轴交点地横坐标；若函数f (x) 地图象在x =x0 处与x 轴相切，则零点x0 通常称为不变号零点；若函数f (x) 地图象在x =x0 处与x 轴相交，则零点x0 通常称为变号零点．Eg：一元二次方程根地分布讨论一元二次方程根地分布地基本类型设一元二次方程ax 2 +bx +c = 0 （a ≠ 0 ）地两实根为x1 ，x2 ，且x1 ≤x2 .k 为常数，则一元二次方程根地k 分布（即x1 ，x2 相对于k 地位置）或根在区间上地分布主要有以下基本类型：表一：（两根与0 地大小比较）a ⋅ f (0) < 0⎪⎩a ⋅ f (0) > 0⎪ b⎨ - 2a > 0 ⎪ ⎧∆ > 0⎪⎩a ⋅ f (0) > 0 ⎪ b⎨ - 2a < 0 ⎪ ⎧∆ > 0（ 不 综讨 合 论 结论 ）f (0) > 0⎪⎩ f (0) < 0 ⎪ b ⎨- 2a > 0 ⎪ ⎧ ∆ > 0⎪⎩ f (0) < 0 ⎪ b ⎨- 2a < 0 ⎪ ⎧ ∆ > 0 得出地结论 ）大致图象 （a > 0表二：（两根与k 地大小比较）分布情况 两根都小于 k 即 x 1 < k , x 2 < k 两根都大于 k 即x 1 > k , x 2 > k一个根小于 k ，一个大 于 k 即x 1 < k < x 2大致图象 （）kkk得出地结论⎧ ∆ > 0 ⎪ - b < k ⎨ 2a ⎪ ⎪⎩ f (k ) > 0⎧ ∆ > 0⎪ - b > k ⎨ 2a ⎪ ⎪⎩ f (k ) > 0f (k ) < 0a < 0a）大致图象 （表三：（根在区间上地分布）a < 0a < 0a1大致图象 （）得出地结论⎧ ∆ > 0 ⎪f (m ) < 0 ⎪⎨ f (n ) < 0⎪b ⎪m < - < n⎪⎩2af (m )⋅ f (n ) < 0⎧ f (m ) < 0⎪⎪ f (n ) > 0 ⎨ f ( p ) > 0 ⎧⎪ f (m ) f (n ) < 0 ⎪⎪ f (q ) < 0 ⎨⎪ f ( p ) f (q ) < 0⎩ 或⎩（ 综不 合 ） 讨 结 论 论——————f (m )⋅ f (n ) < 0⎧ f (m )f (n ) < 0 ⎪ ⎨ ⎪⎩ f (p ) f (q ) < 0Eg ：（1）关于 x 地方程 x 2 + 2(m + 3)x + 2m +14 = 0 有两个实根，且一个大于 1，一个小于 1，求 m 地取值范围？（2）关于 x 地方程 x 2 + 2(m + 3)x + 2m +14 = 0 有两实根在[0,4] 内，求 m 地取值范围？（3）关于 x 地方程 mx 2 + 2(m + 3)x + 2m +14 = 0 有两个实根，且一个大于 4，一个小于 4，求 m 地取值范围？9、二分法地定义对于在区间[a ， b ] 上连续不断， 且满足 f (a ) ⋅ f (b ) < 0 地函数y = f (x ) ，通过不断地把函数 f (x ) 地零点所在地区间一分为二，使区间地两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值地方法叫做二分法．10、给定精确度 ε，用二分法求函数 f (x ) 零点近似值地步骤： （1） 确定区间[a ， b ]，验证 f (a ) ⋅ f (b ) < 0 ，给定精度；（2） 求区间(a ， b ) 地中点 x 1 ； （3） 计算 f (x 1 ) ：①若 f (x ) = 0 ，则x 1 就是函数地零点； ②若 f (a ) ⋅ f (x ) < 0 ，则令b = x （此时零点 x ∈ (a , x ) ）；111③若 f (x ) ⋅ f (b ) < 0 ，则令 a = x （此时零点 x ∈ (x , b ) ）；111画散点图用函数模型解释实际问题（4） 判断是否达到精度；即若| a - b |< ，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤（2）~（4）．11、二分法地条件 f (a ) · f (b ) < 0 表明用二分法求函数地近似零点都是指变号零点.12、解决应用题地一般程序：① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应地数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；④ 还原：将用数学知识和方法得出地结论，还原为实际问题地意义．13、函数地模型不符合实际检验符合实际14、根据散点图设想比较接近地可能地函数模型： 一次函数模型： f (x ) = kx + b (k ≠ 0); 二次函数模型： g (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0);1幂函数模型： h (x ) = ax 2+ b (a ≠ 0);指数函数模型： l (x ) = ab x + c （ a ≠ 0, b ＞0， b ≠ 1）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适地函数模型收集数据求函数模型选择函数模型版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理. 版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and other non- commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。