高中数学三角函数半角公式
高中三角函数公式汇总与解析
高中三角函数公式汇总与解析【引言】三角函数是高中数学中的一大重点内容，掌握三角函数的公式是学好数学的基础。
本文将对高中三角函数的公式进行汇总与解析，以帮助读者更好地理解和运用这些公式。
【正文】一、角度与弧度的转换在三角函数中，角可以用度数表示，也可以用弧度表示。
两者之间的转换关系如下：1度=π/180弧度1弧度=180/π度二、基本三角函数公式1. 正弦函数（sin）①定义域：实数集R②值域：[-1,1]③周期性：T=2π④奇偶性：a. sin(-x) = -sin(x)b. sin(x+π) = -sin(x)2. 余弦函数（cos）①定义域：实数集R②值域：[-1,1]③周期性：T=2π④奇偶性：a. cos(-x) = cos(x)b. cos(x+π) = -cos(x)3. 正切函数（tan）①定义域：x≠(2k+1)π/2，其中k为整数②值域：实数集R③周期性：T=π④奇偶性：a. tan(-x) = -tan(x)b. tan(x+π) = tan(x)三、和差角公式1.正弦函数：sin(A±B) = sin(A)cos(B)±cos(A)sin(B) 2.余弦函数：cos(A±B) = cos(A)cos(B)∓sin(A)sin(B)tan(A±B) = (tan(A)±tan(B))/(1∓tan(A)tan(B))四、倍角公式1.正弦函数：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2.余弦函数：cos(2A) = cos²(A) - sin²(A) = 2cos²(A) - 1 = 1 - 2sin²(A) 3.正切函数：tan(2A) = (2tan(A))/(1 - tan²(A))五、半角公式1.正弦函数：sin(A/2) = ±√[(1-cos(A))/2]2.余弦函数：cos(A/2) = ±√[(1+cos(A))/2]3.正切函数：tan(A/2) = ±√[(1-cos(A))/(1+cos(A))]六、倒数公式1.正弦函数：csc(A) = 1/sin(A)sec(A) = 1/cos(A)3.正切函数：cot(A) = 1/tan(A)七、和角公式1.正弦函数：sin(A) + sin(B) = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)2.余弦函数：cos(A) + cos(B) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)3.正切函数：tan(A) + tan(B) = (sin(A)+sin(B))/(cos(A)+cos(B))【结论】本文对高中三角函数的公式进行了汇总与解析，包括角度与弧度的转换、基本三角函数公式、和差角公式、倍角公式、半角公式、倒数公式和和角公式。
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全以下为改写后的文章：高中三角函数公式大全三角函数公式：1.两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-XXX)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+XXX)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2.倍角公式tan2A = (2tanA)/(1-tanA)sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A-sin²A = 2cos²A-1 = 1-2sin²A 3.三倍角公式sin3A = 3sinA-4sin³Acos3A = 4cos³A-3cosAtan3A = tana·tan(A+π)·XXX(A-π) 4.半角公式sin(A/2) = ±√((1-cosA)/2)cos(A/2) = ±√((1+cosA)/2)tan(A/2) = ±√((1-cosA)/(1+cosA)) cot(A/2) = ±√((1+cosA)/(1-cosA)) 5.和差化积sin(a+b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a+b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a-b) = 2sin((a-b)/2)cos((a+b)/2)tan(a+b) = (tanA+tanB)/(1-XXX)6.积化和差sinA·sinB = (1/2)(cos(A-B)-cos(A+B)) cosA·cosB = (1/2)(cos(A-B)+cos(A+B)) sinA·cosB = (1/2)(sin(A+B)+sin(A-B)) cosA·sinB = (1/2)(sin(A+B)-sin(A-B)) 7.诱导公式sin(-A) = -sinAcos(-A) = cosAsin(π-A) = sinAcos(π-A) = -cosAsin(π+A) = -sinAcos(π+A) = -cosACos(π-a)=-cos aSin(π+a)=-sin aCos(π+a)=-cos aSin a万能公式：a^2 tan^2 a=a^2/(1+tan^2 a)a^2/(1-tan^2 a)=cos^2 a其他公式：2a sina+b cosa=(a^2+b^2)sin(a+c)，其中tanc=a sin(a)-b cos(a)=b/(a+cos a)1+sin a=(sin a+cos a)^2/2其他非重点三角函数：csc a=1/sin asec a=1/cos a双曲函数：sinh a=(e^a-e^-a)/2cosh a=(e^a+e^-a)/2XXX a公式一：对于任意角α，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα，cot(2kπ+α)=cotα公式二：对于任意角α，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，cot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα，cot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα，cot(π-α)=-cotα公式五：利用公式二和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(2π-α)=-tanα，cot(2π-α)=-cotα公式六：对于±α及±α，与α的三角函数值之间的关系为：sin(+α)=cosα，cos(+α)=-sinα以下是一些常用的三角函数公式：tan（+α）= -cotα，cot（+α）= -tanα这两个公式表示正弦和余弦的相反数的比值等于余切和正切的相反数。
高考数学-三角函数半角公式
高考数学-三角函数半角公式复习重点:半角角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))复习难点:半角公式的应用复习内容:倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式:降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:，，这组公式叫做“万能”公式.教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°解:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°例5．已知:.求:cos4θ+sin4θ的值.解:∵,∴, 即，即，∴cos4θ+sin4θ例6．求cos36°·cos72°的值.解:cos36°·cos72°例7．求:的值.解:上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴∴或，∴,∴,∴或=2.方法二:∵2cosθ=1+sinθ，∴,∴,∴或,∴或=2.例9．已知:，求:tanα的值.解:∵，∴，∵0≤α≤π,∴,∴(1)当时,，则有,∴，∴，∴，∴.(2)当，则有，∴，∴，∴.注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.证明:∵，∴∴4sin2α=1+2sin2β∴2-4sin2α=2-1-2sin2β∴2cos2α=cos2β.课后练习:1．若，则（）.A、P QB、P QC、P=QD、P∩Q=2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（）.A、B、C、D、3．若，则sin2θ=（）.A、B、C、D、4．若，则sinθ=（）.A、B、C、D、-5．若，则=（）.A、B、C、1D、-16．若，则cosα=________.7. 若θ为第二象限角，且，则=_____. 8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2.参考答案:1.C2.B3.C4.C5.B6.7. 6。
高中数学简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．知识点一 半角公式 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝b a1．cos α2＝1＋cos α2.( × ) 2．对任意α∈R ，sin α2＝12cos α都不成立．( × )3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )4．对任意α都有sin α＋3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( √ )一、三角恒等式的证明例1 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ.证明 方法一 左边＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cosθ22sin 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝sinθ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sinθ2＝2sin θ＝右边．所以原式成立．方法二 左边＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ＝右边． 所以原式成立．反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练1 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．二、三角恒等变换的综合问题例2 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练2 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 三、三角函数的实际应用例3 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解 连接OB (图略)，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. 反思感悟 (1)三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题．(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解 设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．若函数f (x )＝－sin 2x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 答案 D解析 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D.3．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.4．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上的值域是________． 答案 [0，3]解析 y ＝－3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . 又∵－π6≤x ≤π6，∴0≤π6－x ≤π3.∴0≤y ≤ 3.5．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，则tan α2＝________.答案 2解析 ∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， ∴1－sin α＝15，∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.1．知识清单： (1)半角公式； (2)辅助角公式；(3)三角恒等变换的综合问题； (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：换元思想，化归思想．3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2答案 D解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 4．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2 D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 答案 C解析 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2 ＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4.6．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 答案 －π6解析 因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.7．若θ是第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.答案 ±35解析 由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35.8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝________.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 tan x2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x2.9．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，求sin θ2＋cos θ2的值．解 因为θ∈(π，2π)， 所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin θ2＝1－cos θ2＝45， cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35， 所以sin θ2＋cos θ2＝15.10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B ．2 C.32 D ．3答案 C解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.12．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________. 答案 －1解析 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.13．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0， 即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1， 所以－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π.14．函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是______，单调递增区间是________． 答案 π ⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z 解析 y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．15．已知sin 2θ＝35，0<2θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________. 答案 12解析 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4 ＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1. 因为sin 2θ＝35，0<2θ<π2， 所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13， 所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12， 即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12. 16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解 如图所示，设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC的中点，在Rt △ONC 中，CN ＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3CN ＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2CN ＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3. 因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3. 故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值， 此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
高中三角函数公式大全
三角函数公式一、两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+二、二倍角公式tan2A =Atan 12tanA2-sin2A=2s inA•cosAcos2A = cos 2A-sin 2A=2cos 2A-1=1-2sin 2A 三、三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)四、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +五、和差化积公式sina+sinb=2sin 2b a +cos 2ba -sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+六、积化和差公式sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb =21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]七、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa tan(-α)= -tanαsin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinatan(2π-α)= cotαsin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinatan(2π+α)= -cotαsin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosasin(2kπ＋α)= sinα cos(2kπ＋α)= cosα tan(2kπ＋α)= tanα cot （2kπ＋α）= cotαtgA=tanA =aacos sin八、万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa - 九、其它公式a•sinα+b•cosα=)b (a 22+sin(α+φ)[其中tan φ=ab]a•sinα-b•cosα=)b (a 22+cos(a-φ)[其中tan φ=b a]1+sina =(sin 2a +cos 2a)21-sina = (sin 2a -cos 2a)2csc α =a sin 1sec α =a cos 1a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)弧长公式 l=ar （a 是圆心角的弧度数） 扇形面积公式 S=1/2*lr =1/2*ar 2 十、三角形中的一些结论：(不要求记忆) (1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1。
高中数学三角函数常用公式
高中数学三角函数常用公式三角函数是高中数学中非常重要的内容，掌握了三角函数的常用公式，能够对解题提供很大的帮助。
下面是一些常用的三角函数公式。
1.基本公式：正弦函数（sin）：sin(A+B) = sinA * cosB + cosA * sinBsin(A-B) = sinA * cosB - cosA * sinBsin2A = 2 * sinA * cosA余弦函数（cos）：cos(A+B) = cosA * cosB - sinA * sinBcos(A-B) = cosA * cosB + sinA * sinBcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A-1 = 1-2sin^2A正切函数（tan）：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)2.万能公式：sinA = 2tan(A/2) / (1 + tan^2(A/2))cosA = (1 - tan^2(A/2)) / (1 + tan^2(A/2))tanA = 2tan(A/2) / (1 - tan^2(A/2))3.诱导公式：s in(π/2 - A) = cosAcos(π/2 - A) = sinAtan(π/2 - A) = 1 / tanAcot(π/2 - A) = 1 / tanAsec(π/2 - A) = 1 / cosAcsc(π/2 - A) = 1 / sinA 4.任意角公式：sin(-A) = -sinAcos(-A) = cosAtan(-A) = -tanAtan(A + π) = tanAsin(π - A) = sinAcos(π - A) = -cosAsin(A + π) = -sinAcos(A + π) = -cosAsin(2π -A) = -sinAcos(2π - A) = cosAsin(A + 2π) = sinAcos(A + 2π) = cosA5.等差关系：sin(A + nπ) = sinAcos(A + nπ) = cosAtan(A + nπ) = tanA6.倍角公式：sin(2A) = 2sinAcosAcos(2A) = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Atan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2A)7.半角公式：sin(A/2) = ±√((1 - cosA) / 2)cos(A/2) = ±√((1 + cosA) / 2)tan(A/2) = ±√((1 - cosA) / (1 + cosA))8.三角恒等式：sin^2A + cos^2A = 11 + tan^2A = sec^2A1 + cot^2A = csc^2A这些是高中数学中常用的三角函数公式，掌握了这些公式，能够在解题过程中准确、快速地计算三角函数的值，帮助解决许多复杂的问题。
高中数学第三章 §3 第2课时 半角公式及其应用
第2课时 半角公式及其应用[核心必知]正弦、余弦和正切的半角公式[问题思考]1．半角公式适用条件是什么？ 提示：cosα2＝± 1＋cos α2，sin α2＝± 1－cos α2中，α∈R ，tan α2＝± 1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中， α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .2．半角正切公式中的三个公式各有什么优缺点？提示：无理式公式的优点是只含一个函数cos α，缺点是含有“±”号，需判断α2所在的象限来确定tan α2的正负；有理式公式的优点是不用判断α2所在的象限，缺点是需知道sin α，cos α两个函数的值才能计算．讲一讲 1．已知cos α＝33，α为第四象限的角，求tan α2的值． [尝试解答] 法一：(用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理)．∵α为第四象限的角，∴α2是第二或第四象限的角．∴tan α2<0.∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33＝－ 2－ 3＝－12 8－4 3＝－12 （6－2）2＝2－62. 法二：(用tan α2＝1－cos αsin α来处理)∵α为第四象限的角， ∴sin α<0.∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－1－13＝－63. ∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62.法三：(用tan α2＝sin α1＋cos α来处理)∵α为第四象限的角，∴sin α<0.∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－1－13＝－63. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.在求半角的正切tan α2时，用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理，要由α所在的象限确定α2所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan α2＝1－cos αsin α或tanα2＝sin α1＋cos α来处理，可以避免这些问题．尤其是tan α2＝1－cos αsin α，分母是单项式，容易计算．因此常用tan α2＝1－cos αsin α求半角的正切值．练一练1．已知sin α＝－45，180°<α<270°，求sin α2，cos α2，tan α2的值．解：∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°.又∵sin α＝－45，∴cos α＝－35.∴sin α2＝1－cos α2＝ 1－（－35）2＝255. cos α2＝－1＋cos α2＝ 1＋（－35）2＝－55. tanα2＝sinα2cosα2＝－2.讲一讲2．设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos 2α. [尝试解答] ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α>0，cos α2<0.故原式＝ 12＋12cos 2α ＝12＋12cos α ＝cos2α2＝|cos α2| ＝－cos α2.利用半角公式进行化简时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式(cos 2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1)去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式(sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2)降低次数以减少运算量，注意隐含条件中角的范围．练一练2．化简：sin 2x 2cos x (1＋tan x tan x2)．解：原式＝2sin x cos x 2cos x (1＋sin x cos x ·1－cos xsin x )＝sin x (1＋1－cos xcos x )＝sin x 1cos x＝tan x .讲一讲3．求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.[尝试解答] 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sinα2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝12cos 2αsin αcos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝ 右边．1．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．2．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．3．证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构)，从解决某一差异入手，采用条件转化法或条件代入法．练一练3．求证：sin 2α4－1＝－cos α2＋12.证明：由sin α2＝±1－cos α2， 知sin α4＝±1－cosα22， ∴sin 2α4＝1－cosα22，∴sin 2α4－1＝1－cosα22－1＝－cos α2＋12，原等式得证．化简：（1＋sin α＋cos α）（sin α2－cos α2）2＋2cos α(90°<α<180°)．[错解] ∴α是第二象限角，∴原式＝（2cos 2α2＋2sin α2cos α2）（sin α2－cos α2）2×2cos2α2＝2cos α2（cos α2＋sin α2）（sin α2－cos α2）－2cosα2＝cos α2（－cos α）－cosα2＝cos α.[错因] 错解中把α的范围错误地当作α2的范围，从而判断cos α2的符号时出现错误．[正解] 原式＝ （2cos2α2＋2sin α2cos α2）（sin α2－cos α2）2×2cos2α2＝2cos α2（cos α2＋sin α2）（sin α2－cos α2）2|cos α2|＝cos α2（－cos α）|cos α2|.又∵90°<α<180°，∴45°<α2<90°，∴cos α2>0，∴原式＝cos α2×（－cos α）cosα2＝－cos α.1．tan 15°等于( )A ．2＋ 3B ．2－ 3 C.3＋1 D.3－1解析：选B tan 15°＝tan 30°2＝1－cos 30°sin 30°＝2－ 3.2．设α∈(π，2π)，则 1－cos （π＋α）2等于( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析：选D ∵α∈(π，2π)，∴π2<α2<π.∴cos α2<0.∴原式＝1＋cos α2＝|cos α2|＝－cos α2. 3．已知sin 2θ＝1213，θ∈(0，π4)，则tan θ等于( )A.32B.23或32 C.23 D.12解析：选C ∵0<θ<π4∴0<2θ<π2.∴cos 2θ＝ 1－sin 22θ＝1－（1213）2＝513.∴tan θ＝1－cos 2θsin 2θ＝1－5131213＝23.4．已知cos α＝23，270°<α<360°，那么cos α2的值为________．解析：∵270°<α<360°，∴135°<α2<180°，∴cos α2<0.∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋232＝－306. 答案： －3065．已知sin θ＝45且52π<θ<3π，则tan θ2＝________．解析：∵5π2<θ<3π，∴cos θ＝－35，又∵5π4<θ2<32π，∴tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1＋351－35＝2. 答案：26．计算：tan π8＋1tanπ12.解：tan π8＋1tan π12＝1－cos π4sin π4＋1＋cosπ6sinπ6＝1－2222＋1＋3212＝2－22＋2＋ 3＝1＋2＋ 3.一、选择题1．已知tan α2＝3，则cos α为( )A.45 B ．－45 C.415 D ．－35解析：选B 法一：cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45.法二：∵tan α2＝3，∴1－cos α1＋cos α＝9，即1－cos α＝9＋9cos α，解得cos α＝－45.2．已知α为第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34解析：选C ∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－（－2425）2＝－725，tan α2＝1－cos αsin α＝1－（－725）－2425＝－43.3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝ 1－cos 50°2则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°， b ＝2tan 13°cos 213°cos 213°＋tan 213°cos 213°＝2sin 13°cos 13°cos 213°＋sin 213° ＝sin 26°，c ＝sin 25°. 由24°<25°<26°可得a <c <b .4．化简4cos 2α÷(1tanα2－tan α2)的结果为( )A ．－12cos αsin α B ．sin 2α C ．－sin 2α D ．2sin 2α解析：选B 原式＝4cos 2αtan α21－tan 2α2＝2cos 2αtan α＝2cos 2αsin αcos α＝2sin αcos α＝sin 2α.二、填空题5．计算：sin π8＝________． 解析：sin π8＝ 1－cos π42＝ 1－222＝2－22. 答案：2－22 6．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值为________． 解析：∵cos A ＝13， ∴原式＝cos 2A2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝1＋132＋2×(13)2－1＝－19. 答案：－19 7．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________． 解析：原式＝cos 2α1＋cos 2α·2sin 2αcos 2α＝1＋cos 2α21＋cos 2α·2tan 2α ＝12×2tan 2α ＝tan 2α.答案：tan 2α8．已知sin α2－cos α2＝－55，若450°<α<540°，则tan α2＝________． 解析：由条件知1－2sin α2cos α2＝15， ∴2sin α2cos α2＝45，即sin α＝45又450°<α<540°，cos α<0，∴cos α＝－35. tan α2＝1－cos αsin α＝1＋3545＝2. 答案：2三、解答题9．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)． 解：原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°) ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10° ＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10° ＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝cos 30°＝32. 10．已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1(x ∈R )，求函数的最大值及对应自变量x 的集合． 解：y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54＝12sin(2x ＋π6)＋54， y 取最大值，只需2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即x ＝k π＋π6(k ∈Z )． ∴y max ＝74. ∴当函数y 取最大值74时，自变量x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z .。
高中数学三角函数公式大全
高中数学三角函数公式大全1500字高中数学中的三角函数公式是非常重要且常用的知识点，它们有助于解决各种与三角函数有关的问题。
下面是一个包含一些高中数学三角函数公式的大全，共计1500字。
一、基本公式1. 弦的定义：在单位圆上，点P(x,y)对应的弦为OP，则弦的长度为2y。
2. 弧度制和角度制的转换公式：- 弧度制转角度制：角度 = 弧度× 180°/π- 角度制转弧度制：弧度 = 角度×π/180°3. 余弦函数和正弦函数的关系：cos²θ + sin²θ = 14. 三角函数的互余关系：- 余弦函数和正弦函数的互余关系：cosθ = sin(π/2 - θ)，sinθ = cos(π/2 - θ)- 正割函数和余割函数的互余关系：secθ = csc(π/2 - θ)，cscθ = sec(π/2 - θ)- 正弦函数和余割函数的互余关系：sinθ = csc(θ)，cscθ = sin(θ)- 余弦函数和正割函数的互余关系：cosθ = sec(θ)，secθ = cos(θ)- 正弦函数和余弦函数的互余关系：sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ二、和差角公式1. 余弦函数的和差角公式：- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ2. 正弦函数的和差角公式：- sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ- sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ3. 余弦函数和正弦函数的和差角公式的整理形式：- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcosβ - cosαsinβtanβ = cosβ(cosα - sinαtanβ)- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ = cosαcosβ + cosαsinβtanβ = cosβ(cosα + sinαtanβ)- sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ = cosαsinβ/cosβ + sinα = (sinαcosβ + cosαsin β)/cosβ = (sinαsecβ + cosαtanβ)/cosβ- sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ = cosαsinβ/cosβ - sinα = (sinαcosβ - cosαsin β)/cosβ = (sinαsecβ - cosαtanβ)/cosβ4. 正切函数的和差角公式：- tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)- tan(α - β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ)5. 反余弦函数的和差角公式：- arccos(cosαcosβ - sinαsinβ) = α + β或 2π - (α + β)- arccos(cosαcosβ + sinαsinβ) = α - β或 2π - (α - β)6. 反正弦函数的和差角公式：- arcsin(sinαcosβ + cosαsinβ) = α + β或π - (α + β) - arcsin(sinαcosβ - cosαsinβ) = α - β或π - (α - β)三、倍角公式1. 余弦函数和正弦函数的倍角公式：- cos2θ = 2cos²θ - 1- sin2θ = 2sinθcosθ2. 余弦函数和正切函数的倍角公式：- cos2θ = 1 - 2sin²θ = (1 - tan²θ)/(1 + tan²θ)3. 正弦函数和正切函数的倍角公式：- sin2θ = 2sinθcosθ = 2tanθ/(1 + tan²θ)4. 正切函数的倍角公式：- tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)5. 反余弦函数的倍角公式：- arccos(2cos²θ - 1) = 2θ或 2π - 2θ- arccos((1 - tan²θ)/(1 + tan²θ)) = 2θ或 2π - 2θ6. 反正弦函数的倍角公式：- arcsin(2sinθcosθ) = 2θ或π - 2θ- arcsin(2tanθ/(1 + tan²θ)) = 2θ或π - 2θ四、半角公式1. 余弦函数的半角公式：- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ)/2)2. 正弦函数的半角公式：- sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/2)3. 正切函数的半角公式：- tan(θ/2) = sinθ/(1 + cosθ) = (1 - cosθ)/sinθ4. 反余弦函数的半角公式：- arccos((1 + cosθ)/2) = θ/2 或 -θ/2- arccos((1 - cosθ)/2) = θ/2 或 -θ/25. 反正弦函数的半角公式：- arcsin(√((1 - cosθ)/2)) = θ/2 或π/2 - θ/2- arcsin(-√((1 - cosθ)/2)) = -θ/2 或π/2 + θ/2六、特殊角值1. 30°和150°的正弦、余弦和正切值：- sin30° = 1/2，cos30° = √(3)/2，tan30° = 1/√(3)- sin150° = 1/2，cos150° = -√(3)/2，tan150° = -1/√(3) 2. 45°和135°的正弦、余弦和正切值：- sin45° = √(2)/2，cos45° = √(2)/2，tan45° = 1- sin135° = √(2)/2，cos135° = -√(2)/2，tan135° = -13. 60°和120°的正弦、余弦和正切值：- sin60° = √(3)/2，cos60° = 1/2，tan60° = √(3)- sin120° = √(3)/2，cos120° = -1/2，tan120° = -√(3)以上是一些高中数学三角函数公式的大全。
高中教育数学必修第二册《4.3.2 半角公式》教学课件
答案：54
3．已知 sin α＝－45，π<α<32π，则 sinα2＝________，cosα2＝________.
解析：∵π<α<32π，sin α＝－54，∴cos α＝－35，且2π<α2<34π，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝2 5
5，cosα2＝－
1＋cos 2
α＝－
55.
答案：2
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝sin2x＋2 3sin xcos x＋3cos2x，x∈R， (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数 f(x)在区间－π6，π3上的值域．
解析：(1)f(x)＝1－c2os 2x＋ 3sin 2x＋31＋c2os 2x＝2＋ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6＋2，
＋
1＋2cos2α2－1－ 1－1－2sin2α2
sin2α2＋cos2α2－2sinα2cosα2
＝
1＋2cos2α2－1＋
1－1－2sin2α2
sinα2＋cosα22 2cosα2－sinα2
＋
2sicnoα2s－α2＋cossα2in2α2因
为
π<α<32π，所以π2<α2<34π，所以
α
α
∵tan α＝－34，∴cos α＝－35，∴cosα2＝－
1＋cos 2
α＝－
5 5.
答案：A
2．已知 tanα2＝13，则 cos α＝________.
解析：∵tanα2＝±
1－cos 1＋cos
αα，∴tan2α2＝11－＋ccooss
αα，
∴11－＋ccooss αα＝91，解得 cos α＝45.
高中数学三角函数知识点总结
高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点总结一、锐角三角函数公式sin=的对边/斜边cos=的邻边/斜边tan=的对边/的邻边cot=的邻边/的对边二、倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA2)(注：SinA2是sinA的平方sin2(A))三、三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a=tanatan(/3+a)tan(/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)辅助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 四、降幂公式sin2=(1-cos(2))/2=versin(2)/2cos2=(1+cos(2))/2=covers(2)/2tan2=(1-cos(2))/(1+cos(2))推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sinacos3a=cos(2a+a)=(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa=4cosa-3cosasin3a=3sina-4sina=4sina(3/4-sina)=4sina[(3/2)-sina]=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2]=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cosa-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosa[cosa-(3/2)]=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]*{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-30)/2]}=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]=-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)五、半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a))/2cos2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))六、三角和sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)七、两角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)八、和差化积sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 九、积化和差sinsin=[cos(-)-cos(+)]/2coscos=[cos(+)+cos(-)]/2sincos=[sin(+)+sin(-)]/2cossin=[sin(+)-sin(-)]/2十、诱导公式sin(-)=-sincos(-)=costan(—a)=-tansin(/2-)=coscos(/2-)=sinsin(/2+)=coscos(/2+)=-sinsin(-)=sincos(-)=-cossin(+)=-sincos(+)=-costanA=sinA/cosAtan(/2+)=-cottan(/2-)=cottan(-)=-tantan(+)=tan诱导公式记背窍门：奇变偶不变，符号看象限十一、万能公式sin=2tan(/2)/[1+tan(/2)]cos=[1-tan(/2)]/1+tan(/2)]tan=2tan(/2)/[1-tan(/2)]十二、其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot( C/2)(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*( n-1)/n]=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0以及sin2+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0拓展阅读：学好函数的方法一、学数学就像玩游戏，想玩好游戏，当然先要熟悉游戏规那么而在数学当中，游戏规那么就是所谓的根本定义。
三角函数的半角公式
三角函数的半角公式三角函数是数学中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
为了简化计算和推导，人们发展了各种公式和恒等式，其中就包括三角函数的半角公式。
本文将对三角函数的半角公式进行详细介绍和推导。
首先，我们来定义三角函数的半角。
对于任意角度θ，它的半角定义为θ/2。
现在，我们将研究如何通过已知角度的三角函数值来计算它的半角的三角函数值。
我们首先来看正弦函数的半角公式。
设θ为一个角度，且0<θ<π/2，则θ的半角为θ/2。
根据三角函数的定义，正弦函数的半角可以表示为：sin(θ/2) = ±√((1-cosθ)/2)其中正负号的选择取决于角度θ所在的象限。
这个公式可以通过使用三角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1以及三角函数的定义sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny来推导得出。
接下来，我们来看余弦函数的半角公式。
同样假设θ为一个角度，且0<θ<π/2，则θ的半角为θ/2。
余弦函数的半角可以表示为：cos(θ/2) = ±√((1+cosθ)/2)正负号的选择同样取决于角度θ所在的象限。
这个公式可以通过使用三角函数的定义cos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny以及sin(θ/2)的半角公式来推导得出。
最后，我们来看正切函数的半角公式。
假设θ为一个角度，且-π/2<θ<π/2，则θ的半角为θ/2。
正切函数的半角可以表示为：tan(θ/2) = ±√((1-cosθ)/(1+cosθ))同样，正负号的选择取决于角度θ所在的象限。
这个公式可以通过使用三角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1以及sin(θ/2)和cos(θ/2)的半角公式推导得出。
通过三角函数的半角公式，我们可以更方便地计算和推导三角函数的值。
这些公式在各种数学和物理问题中有着重要的应用，特别是在几何、三角学、信号处理等领域。
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中一个非常重要的概念，常用于计算角度和边长之间的关系。
在三角函数的学习过程中，倍角与半角公式被广泛地应用。
本文将介绍三角函数的倍角与半角公式，并且详细阐述其应用。
一、正弦函数的倍角与半角公式正弦函数表示一个角的对边与斜边之间的比值，常用符号为sin。
正弦函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)其中，θ为任意角。
正弦函数的倍角公式表明，一个角的正弦值可以由该角的两倍角的正弦、余弦函数的乘积来表示。
2. 半角公式sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中，θ为任意角。
正弦函数的半角公式表明，一个角的半角的正弦值可以通过该角的余弦值来计算。
二、余弦函数的倍角与半角公式余弦函数表示一个角的邻边与斜边之间的比值，常用符号为cos。
余弦函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)其中，θ为任意角。
余弦函数的倍角公式表明，一个角的余弦值可以通过其本身的余弦值和正弦值的平方差来计算。
2. 半角公式cos(θ/2) = ±√[(1 +cosθ)/2]其中，θ为任意角。
余弦函数的半角公式表明，一个角的半角的余弦值可以通过该角的余弦值来计算。
三、正切函数的倍角与半角公式正切函数表示一个角的正弦与余弦之间的比值，常用符号为tan。
正切函数的倍角与半角公式如下：1. 倍角公式tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))其中，θ为任意角，且tan(θ) ≠ ±1。
正切函数的倍角公式表示，一个角的正切值可以通过该角的两倍角的正切值计算得出。
2. 半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]其中，θ为任意角，且cos(θ) ≠ -1。
正切函数的半角公式表示，一个角的半角的正切值可以通过该角的余弦值计算得出。
高中必背三角函数公式表
高中必背三角函数公式表高中必背三角函数公式表作为高中数学的重要部分，三角函数是很多学生所苦恼的部分，需要反复理解和重复记忆才能掌握好。
今天，我们就来看一下高中必背的三角函数公式表，相信对你的学习有所帮助。
I. 基本三角函数公式1. 正弦函数（sin）sinA = 对边 / 斜边sin A = a/c2. 余弦函数（cos）cos A = 邻边 / 斜边cos A = b/c3. 正切函数（tan）tan A = 对边 / 邻边tan A = a/b4. 正割函数（sec）sec A = 斜边 / 邻边sec A = c/b5. 余割函数（csc）csc A = 斜边 / 对边csc A = c/a6. 割正切函数（cot）cot A = 邻边 / 对边cot A = b/aII. 商数与余数公式1. 正弦函数的商数与余数公式sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin Bsin 2A = 2sin A cos Asin (π/2 - A) = cos Asin (π + A) = -sin Asin (π - A) = sin Asin (2π - A) = -sin A2. 余弦函数的商数与余数公式cos (A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B cos 2A = cos² A - sin² Acos (π/2 - A) = sin Acos (π + A) = -cos Acos (π - A) = -cos Acos (2π - A) = cos A3. 正切函数的商数与余数公式tan (A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B) tan² A + 1 = sec² AIII. 其他常用公式1. 三角函数同角变换公式sin (-A) = -sin Acos (-A) = cos Atan (-A) = -tan A2. 三角函数的平方和差公式sin² (A ± B) = sin² A ± 2sin A sin B + sin² B cos² (A ± B) = cos² A ∓ 2cos A cos B + cos² B 3. 三角函数的倍角公式sin 2A = 2sin A cos Acos 2A = cos² A - sin² Atan 2A = (2tan A) / (1 - tan² A)4. 半角公式sin (A/2) = ± √[(1 - cos A) / 2]cos (A/2) = ± √[(1 + cos A) / 2]tan (A/2) = ± √[(1 - cos A) / (1 + cos A)]总结高中数学中，三角函数是考试不可避免的一部分，而掌握好三角函数公式，则是解题的必要条件。
三角函数的半角公式
三角函数的半角公式三角函数是数学中的重要概念，其中包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
而对于半角公式，即将一个角度的二分之一转化为三角函数的形式的公式，也是三角函数中相当重要的一个知识点。
在本文中，我们将深入研究三角函数的半角公式，以加深对它的理解。
一、正弦和余弦半角公式正弦函数半角公式为：$\sin(\frac{\theta}{2})= \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}$，其含义是将角度$\theta$的二分之一转化为正弦函数的形式。
而余弦函数的半角公式则是$\cos(\frac{\theta}{2})=\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}$。
为了证明这两个公式，我们从以下三方面入手：1、同角三角函数的平方和公式：$\sin^2x+\cos^2x=1$当中的“x”是任意角度，这个公式是三角函数中最重要的公式之一。
在进行半角公式的证明时，我们将它作为基本工具来使用。
2、二倍角公式：$\sin2x=2\sin x \cos x$$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$这个公式是要证明半角公式必不可少的，因为只有它才能够将一个角度的二分之一与三角函数之间建立联系。
3、半角公式的平方形式：$\sin^2(\frac{x}{2})=\frac{1-\cos x}{2}$$\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+\cos x}{2}$这两个公式是半角公式的关键形式，因为它们将三角函数与角度之间的关系清晰地呈现出来。
有了以上三个方面的基础，我们来证明正弦和余弦函数的半角公式。
首先是正弦函数的半角公式：$\sin(\frac{\theta}{2})^2=\frac{1-\cos \theta}{2}$$\Rightarrow \sin(\frac{\theta}{2})^2+\cos(\frac{\theta}{2})^2=1- \cos \theta$替换同角三角函数的平方和公式得：$\sin(\frac{\theta}{2})^2+\cos(\frac{\theta}{2})^2=1- \cos\theta=1-2\sin^2 (\frac{\theta}{2})$整理一下变形：$\sin(\frac{\theta}{2})^2=\frac{1-\cos \theta}{2}$$\Rightarrow \sin(\frac{\theta}{2})=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}$因此，我们得到了正弦函数的半角公式，接下来研究余弦函数的半角公式。
半角公式课件高一下学期数学
2.3简单的三角恒等变换 2.3.1 半角公式
导语
同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式、差角公 式、倍角公式，进行三角恒等变换.将一个三角函数式变为与 之恒等的其他三角函数式的变换过程，称为三角恒等变换. 这 些公式就成了三角恒等变换的新工具，三角恒等变换从内容 上、思路上、方法上都可以进一步丰富；下面我们用三角恒 等变换来产生一些新的公式并加以运用.
cos
2
3
cos
2
3
cos
2
1 2
1 2
2
cos
2
cos
3
cos
2
1. 2
降幂扩角 （降幂公式）
半 角 公 式
公式中的2α和α可以换成其它存在二倍关系的角吗？
观察这三个公式有什么共同特点：
半
半角公式和倍角公式实质 是对同一公式的不同变形；
角
公
式
巧 半角公式常戴帽,象限确定帽前号; 如何确定半角公式中的符号？ 记 1减余弦想正弦，1加余弦想余弦。
半 角 公 式
半 角 公 式
右
左：二倍角公式
有理形式
左
右：
半角公式
7
2
25
设顶角为ɑ，底角为β，则ɑ＋β=π
证明：
还有别的方法吗？
2
万能公式
课堂小结
1.熟悉半角公式的推导思路和公式的应用
3.万能公式：
P84 练习第2题 正式作业 P91 习题2.3 第1、2题
你能回想起二倍角公式吗？
公式中的2α和α可以换成其它存在二倍关系的 角.
一 二倍角的三角函数
例
5
化简： sin
三角函数半角公式推导
三角函数半角公式推导我们先从正弦函数开始推导。
设角θ的半角为θ/2、根据三角函数的定义，正弦函数可以表示为sinθ = O / H其中，O表示角θ对应的直角三角形的对边长度，H表示斜边的长度。
接下来，我们利用半角的性质，得到θ的半正切函数值，即tan(θ/2)。
假设直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，则斜边的长度为√(a²+b²)。
根据三角函数的定义，tan(θ/2) = O / (√(a²+b²))为了方便计算，我们假设斜边的长度为1，即√(a²+b²)=1、这样，我们可以得到O = √(a²+b²) * tan(θ/2)= tan(θ/2)另一方面，tanθ = O / A其中，A表示角θ对应的直角三角形的邻边长度，根据勾股定理可得A²=a²+b²，即A=√(a²+b²)。
所以tanθ = O / (√(a²+b²))由于tan(θ/2) = O / (√(a²+b²))，所以tanθ = 2*tan(θ/2) / (1-(tan(θ/2))²)进一步化简，我们可以得到正切函数的半角公式tanθ = (2*tan(θ/2)) / (1-(tan(θ/2))²)接下来，我们推导余弦函数的半角公式。
设角θ的半角为θ/2、根据三角函数的定义，余弦函数可以表示为cosθ = A / H其中，A表示角θ对应的直角三角形的邻边长度，H表示斜边的长度。
我们利用半角的性质，得到θ的半余弦函数值，即cos(θ/2)。
假设直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，则斜边的长度为√(a²+b²)。
根据三角函数的定义，cos(θ/2) = A / (√(a²+b²))为了方便计算，我们假设斜边的长度为1，即√(a²+b²)=1、这样，我们可以得到A = √(a²+b²) * cos(θ/2)= cos(θ/2)另一方面，cosθ = A / H根据勾股定理可得H²=a²+b²，即H=√(a²+b²)。
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全高中三角函数是高中数学中重要的内容之一，它涉及到正弦、余弦、正切等基本函数的性质及其应用。
下面将介绍一些高中三角函数的公式和性质，希望能对大家的学习有所帮助。
一、基本关系式1. 正弦函数的定义：对于任意实数x，正弦函数sin(x)可以定义为一个新的函数，它的值等于x点处的单位圆上的纵坐标，即sin(x)=y，其中x 为弧度制。
2. 余弦函数的定义：对于任意实数x，余弦函数cos(x)可以定义为一个新的函数，它的值等于x点处的单位圆上的横坐标，即cos(x)=x，其中x 为弧度制。
3. 正切函数的定义：对于任意实数x，正切函数tan(x)可以定义为一个新的函数，它的值等于sin(x)除以cos(x)，即tan(x)=sin(x)/cos(x)，其中x为弧度制。
二、基本恒等式1. 余弦函数与正弦函数的关系：cos(x)=sin(π/2-x)2. 正弦函数和余弦函数的平方和恒为1：sin²(x)+cos²(x)=13. 正切函数与余切函数的关系：tan(x)=1/cot(x)4. 正切函数和余弦函数的关系：tan(x)=sin(x)/cos(x)5. 余切函数和正切函数的关系：cot(x)=1/tan(x)三、和差化积公式1. 正弦函数的和差化积公式：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)2. 余弦函数的和差化积公式：cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)3. 正切函数的和差化积公式：tan(a+b) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a)tan(b)) tan(a-b) = (tan(a) - tan(b))/(1 + tan(a)tan(b))四、倍角公式1. 正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)2. 余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)3. 正切函数的倍角公式：tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan²(x))五、半角公式1. 正弦函数的半角公式：sin²(x/2) = (1 - cos(x))/22. 余弦函数的半角公式：cos²(x/2) = (1 + cos(x))/23. 正切函数的半角公式：tan(x/2) = sin(x)/(1 + cos(x))六、和差化弦公式1. 正弦函数的和差化弦公式：2sin(a+b)cos(a-b) = sin(2a) + sin(2b)2sin(a-b)cos(a+b) = sin(2a) - sin(2b)2. 余弦函数的和差化弦公式：2cos(a+b)cos(a-b) = cos(2a) + cos(2b)-2sin(a-b)sin(a+b) = cos(2a) - cos(2b)七、其他公式1. 正弦函数的倒数性质：cosec(x) = 1/sin(x)2. 余弦函数的倒数性质：sec(x) = 1/cos(x)3. 正切函数的倒数性质：cot(x) = 1/tan(x)以上是一些常见的高中三角函数公式和性质，希望这些公式能够帮助大家更好地理解和应用三角函数。
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三角函数半角公式
复习重点:半角角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
复习难点:半角公式的应用
复习内容:
倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式:
降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:
，，这组公式叫做“万能”公式.
教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.
例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°
解:(1) csc10°-sec10°
(2) tan20°+cot20°-2sec50°
例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
例5．已知:.求:cos4θ+sin4θ的值.
解:∵,
∴, 即，
即，∴cos4θ+sin4θ
例6．求cos36°·cos72°的值.
解:cos36°·cos72°
例7．求:的值.
解:
上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.
例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.
方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴
∴或，∴,
∴,∴或=2.
方法二:∵2cosθ=1+sinθ，∴,
∴,
∴或,∴或
=2.
例9．已知:，求:tanα的值.
解:∵，∴，∵0≤α≤π,∴,∴
(1)当时,，
则有,∴，∴，∴，
∴.
(2)当，则有，
∴，∴，∴.
注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.
例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.
证明:∵，∴
∴4sin2α=1+2sin2β∴2-4sin2α=2-1-2sin2β∴2cos2α=cos2β.
课后练习:
1．若，则（）.
A、P Q
B、P Q
C、P=Q
D、P∩Q=
2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（）.
A、B、C、D、
3．若，则sin2θ=（）.
A、B、C、D、
4．若，则sinθ=（）.
A、B、C、D、-
5．若，则=（）.
A、B、C、1D、-1
6．若，则cosα=________.
7. 若θ为第二象限角，且，则=_____. 8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2.
参考答案:
1.C
2.B
3.C
4.C
5.B
6.
7. 6。