大连理工大学复变函数第二章(1)
复变函数及积分变换第二章
x
arg z在负实 轴上不连续.
若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点
arctan( y / x),
arg z arctan( y / x) π,
arctan( y / x), arctan( y / x),
x0 0
lim
z z0
arg
z
lim
( x, y)( x0
,
y0
)
arctan(
) ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连 内每一点都连续，那么称函
数f(z)在区域D内连续.
定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、 商（要求分母不为零）在点z0处连续.
(1)多项式 w a0 zn a1zn1 an1z an 在整个复平
面上连续；
(2)任何一个有理分式函数
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存
在，试求出极限值：
(1) f (z)
z Re(z) ; z
(2) f (z)
Re( z
z
2
2
)
.
解： (1)方法一
因为
f (z)
z
Re(z) z
z
所以 0，取 ，当0 z 时，总有
f (z) 0 f (z) z
根据极限定义 lim f (z) 0 z0
解：dw lim f (z Δz) f (z) lim (z Δz)n zn
dz Δz0
Δz
Δz 0
Δz
Δlizm0(Cn1 zn1 Cn2 zn2Δz
C n1 n
zΔz
n2
Cnn Δz n1 )
Cn1zn1 nzn1,
第四版复变函数第二章市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
例6：反函数的求法：z cos w 1 (e iw e iw ) 2
得到关于e iw的二次方程：e i2w 2ze iw 1 0 (e iw z)2 z 2 1 e iw z z 2 1 w iLn(z z 2 1)
反双曲函数定义：z shw
则：w Arshz
Arshz Ln( z z2 1 )
三角函数性质：(5条)
周期为2的周期函数；
在复平面内处处解析；
sin z cos z, cos z sin z
欧拉公式仍然成立； e iz cos z i sin z 一些三角公式仍然成立 ； cos(z1 z2 ),sin(z1 z2 ) sin 2 z cos2 z 1, 但 sin z 1 & cos z 1不成立
- u y v
x y
定理一：f (z) u( x, y) v( x, y)i
在一点z x iy可导的充分必要条件为 ：
u( x, y), v( x, y)在点z( x, y)可导；
满足柯西 黎曼方程：u v , u v x y y x
定理二：f (z) u( x, y) v( x, y)i
则：曲线组u(
x,
y)
c1和v( x,
y)
c
互相正交。
2
证明：f
( z )
1 i uy
vy
0
u y , v y不全为0
u y , v y 都不为0，u( x, y) c1
任一条曲线斜率为：dy dx
k1
ux uy
v(x, y) c2
任一条曲线斜率为：dy dx
k2
vx vy
利用C R方程得：k1k2
模：ez e x 辐角：Arg ez y 2k
复变函数-工科复变1-2
|z-z1|－ |z-z2|＝2a或－2a (|z1-z2|>2|a|)表示以 z1和z2为焦点，以a为实半轴的双曲线，其 中正号代表离焦点z2近的分支，负号代表 另一分支。
P15,6(1) |z+2|+|z-2|=6
-2
23
8
(3)用含复数辐角的不等式表示
从点z0出发，与实轴夹角θ 0的射线
z1的任一邻域内于 既 E的 含点 有， 属又含有不 于E的点 , 那末 z1称为 E的边界 . 点
21
进一步地，设 D是一个平面区域, 点 P 不属
于D, 但 P 的任一邻域内总有D的点,则称 P为区
域 D 的边界点.
D的所有边界点组成D的边界.
注意1： 区域的边界可能是由几条曲线和一些
孤立的点所组成的.
13
（2） Jordan曲线
设 C:zz(t)(atb)为一条连 , 续曲 z(a)与z(b)分别C 称 的为 起点.和终点
当 t1t2而z(t有 1)z(t2)时 ,点 z(t1)称为曲 线 C 的.重点
除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为 简单曲线.
起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线.
（1） 邻域
平面 z0为 上中 ,以 (任 心意)为 的半 正径 数 的圆内部 zz0 点 称 的 z0 为 的 集 邻合 .域
注意
设R0, 满足 zR的所有点 (包的 括集 无合 穷 远点自),身 称在 为内 无穷远 . 点的邻域
18
(2) 去心邻域
称由不 0z等 z0式 所确定的点
x(t) t2
y(t)
t
表示抛物线y2=x
10
设复平面上曲线 C 的参数方程
复变函数-柯西定理
数学物理方法（I）高飞2014-2015年秋季大连理工大学物理与光电工程学院sxwlff_gf@Password：sxwlff2014§1.4 解析函数解析函数的定义解析函数与函数可导、C-R条件之间的关系；以及解析函数的充分必要条件调和函数-满足二维拉普拉斯方程已知解析函数的实部（或虚部）求解析函数；§1.5 几种简单的解析函数幂函数 指数函数 三角函数()nf z z=()zf z e= 双曲函数§1.6 多值函数第二章复变函数的积分§2.1 复变函数的积分§2.2 柯西定理§2.3 柯西公式§2.4 泊松积分公式一般：曲线C 的正方向总是指从起点到终点的方向。
那么终点到起点的方向就是曲线C 的负向，写为C -曲线方向的说明闭曲线：正方向和边界线的正方向一致——左侧A(起点)B(终点)CC1.定义设l 为复平面上的一条分段光滑的曲线c （A →B ），复变函数f(z)在该曲线上有定义。
()111()()nnkkk k kk k f zz f z ττ-==-=∆∑∑a)任意分割n 段b) 求和曲线积分012111,,,...,,,...,k k k n nz z z z z z z z -+-τkAB1lim ()()nk k cn k S f z f z dzτ→∞==∆≡∑⎰由于[][]()(,)(,)(,)(,)cccS f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ==-++⎰⎰⎰c) 取极限,0n z →∞∆→,()(,)(,)dz dx idy f z u x y iv x y =+=+极限值S 为函数f(z)沿曲线c 的积分1lim ()nk kn k S f z τ→∞==∆∑则τkAB被积函数积分路径()CS f z dz=⎰复变积分存在的条件： c 是分段光滑曲线 若曲线C 是闭曲线，记为 如果存在，一般不能写成。
大连理工大学《工科数学分析基础》第二章复习.docx
第二章复习X.l 各类导数的求法复合函数微分法 包=空更dx du dx=arcsin 3 兀-2丫 3x + 2 丿 12 (3兀+ 2尸d 3y _ d (d 2y\ _ dtydx 1) _ /^(r) dx It 隐函数微分法1对方程两边求导，要记住y 是兀的函数，则y 的函数是兀的复合函数。
2利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出芈dx例 3 设方程 xy 2+ e y= cos(x + y 2),求 y'解法一：y 2+ 2xyy + e yy = -sin(% + >,2)(1 + 2y/),‘3兀-2、<3x + 2 >,/\x) = arcsin x 2,求空dx A=()于是dy dx3=(arcsin 1)・ 3 =—龙 x=o 2参数方程微分法fdx dy d y - dt _ /(O d ~y _ x ，(0/(0 一 y\t)x (r) dx _/(/) dx 1dt[V(0]3,英屮f ⑴的三阶导数存在，且f”⑴H 0 ,求乞，ax dx~ dx解 dy 二血）二厂⑴+（T （/） -广⑴二£ dxx\t ） f\t ） d(dyd 2y d■■Idx~ dxdt\dx) _1dtdx‘ dxIdx 1]r （t ）r 3（oy 2 +sin(x+ b) 〉2xy 4- e y + 2j ,sin(x+ y 2)解法二：d (xy 2+ e y) = d (cos(x + y~))y 2dx + 2xydy + e ydy = -sin(x + y 2)(clx^2ydy)[(2xy + e y+2ysin(x+ y 2)]dy = -[y 2+sin(x+ y 2)]dx,_y 2+sin (兀 + y 2)2xy + R + 2ysin(x+)，)幕指函数的微分法 设 y = w(x)v(x) (w(x) > O,w(x) H1) => y = e v(x,,nM(J)y 二 /讪“(彳/(x)lnw(%) + y (x)也 |_心)」=u(x)v(x)v\x) In u(x) + 咻)""_ U(x)」例 4 设 y = x a' + a x+ x v ,求 y‘解尸/皿+口严+/呎Xy = e(,x ,n\a xln^zlnx + —) +”夕,nx (1 + In x)In a + /,n”(心心 i n% + 齐)X=x°x a x(In d In 兀 + —) + a e(1 + In x)x x• In a + x x°+</_, (alnx +1)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法：采用对数微分法（即先对式子的两边取口然对数，然后在等式的两端再对x 求导）解先将表达式写成分式指数幕的形式2 4 £y =(兀 一 2尸(兀 + 3)^(3 - 2 兀$ )*1 + x 2 )刁(5 一 3x 3)'5 In y 二 2 ln(x-2) + | ln(x + 3) + 彳 ln(3-2x 2)-|ln(l + x 2)-| ln(5 一 3x 3)上式两边对x 求导，得2L = _2_ + _? -------- -- --------- - -- +—y x-23(兀 + 3) 3(3-2x 2)3(1+ 〒)5-3x 3(X + 3)2(3-2X 2)4(1 + X 2)(5-3X 3)2 (兀+ 3)2(3-2 兀2 )4例5设尸（“后EU-2)2s2216x 2x 3x 2 + — — +兀一 2 3(x + 3) 3(3-2x 2) 3(1+ x 2) 5-3x 3_分段函数微分法：各区间内的导数求法与一般所讲的导数求法无界，要特別注意的是分界点处的导数一定要用导数的定义求°例如使用公式/©)=lim "兀)_/(和 及左右 XTXo X- X (} 导数来求是否可导。
复变函数第二章-2 (1)
ew z ( z 0) 的函数 w f (z )，称为对数函数。 定义 满足方程 记作 w Lnz 。
令
所以 即
z rei ， w u iv ，则 u iv i e re
eu r， v 2k （k 0, 1, 2, ）。
是一个n值函数；
4) 当 a 0 时，
z 0 e0Lnz e0 1
18
幂函数的性质： p q ）时， 5) 当a为有理数 （ p 与 q 为互质的整数， 0 q
z e
e
p q
p Lnz q
e
p p lnz i 2 k q q ，k为整数。
由于p 与q互质，当k取0，1，…，q-1时，
1 4
e cos i sin 4 4
5
1 1 e 4 1 i 2
2i 3 ( ) 。 【例 2.16】利用复数的指数表示计算 1 2i
1
解 因为
1 i ( arctan ) 2 2 i 5e 5ei arctan 2 1 2i 1 3
a
由于Lnz的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解 a 析的，因而不难知道 w z 的相应分支在除去原点和负实轴 的复平面内也是解析的。
20
【例2.21】 求1)
3
i
, 2)
1 i
i
的值.
解：根据幂函数定义计算
3i e iLn 3 e i ln3i 0 2 k 1) e 2 k cos ln 3 i sin ln 3
§ 2.3
初等函数
复变函数第二章课件
例 判断下列函数的解析性.
1) w z ;2) f ( z ) e x (cos y i sin y );3)w z Re( z )
例 设函数
f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ).
问：常数 a, b, c, d 取何值时， ( z ) 在复平面 f 内处处解析？
注
Lnz n nLnz n 1 Ln z n Lnz
不成立！！
18
对数函数的解析性 y z
z e
w
v
i
O
w
O
x
w ln z
u
i
arg z v
ln z 在除去原点和负实轴的平面内解析，且有
d ln z 1 1 w de dz z dw (Lnz )k (k Z) 在除去原点和负实轴的平面内解析.
19
3.3 幂函数
对 z 0, ; C
w z e Lnz e (ln z 2k i ) w0e2k i (k Z), 其中 w0 e ln z 是 z 的一个主值.
(sin z )' cos z, (cos z )' sin z
iz
（3）遵从通常的三角恒等式；
22
（4）周期为 2 ; （5） sin z 0 z n , n Z; ； 1 ; ; cos z 0 z (n ) , n Z; ； 2 (6) sin z 1 和 cos z 1不成立； (7) cos( z ) cos z , sin( z ) sin z ; (8) e cos z i sin z.
[大连理工大学]20春《复变函数与积分变换》在线作业3-复习资料答案
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3.题面见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
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--本题参考答案：C
4.题面见图片
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A.A
B.B
C.C
D.D
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--本题参考答案：D
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科目名称：大工20春《复变函数与积分变换》在线作业3
学校名称：奥鹏-大连理工大学
一、单选题 (共 10 道试题,共 60 分)
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B.B
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A.A
B.B
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A.正确
B.错误
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大连理工大学线性代数第二章习题答案
习题2-11. =6.32A 2. 用行列式的定义计算下面的行列式.(1)35;(2)256;(3)8;(4)29.−−思考题 2-21.若对方阵A 进行一次对调变换得到,则B =−A B ；若对方阵A 进行一次倍乘变换（假设第i 行或第i 列乘以数）得到,则k B k =B A ；若对方阵A 进行一次倍加变换得到,则B .=A B2.0.=A3.(1)不正确。
例如，设则 1112111221222122,,a a b b a a b b ⎡⎤⎡==⎢⎥⎢⎣⎦⎣A B ⎤⎥⎦1111121211121211121221212222212222212222a b a b a a b b a b a b a b a a b b a b +++++==+++++A B111211121112111211121112212221222122212221222122a a ab b a b b a b b aa a ab b a b b a b b a =+++=+++A B（2）不正确。
设A 的阶数为，则n (1)n−=−A A （3）不正确。
例如，设，则1200⎡⎤=⎢⎣⎦A ⎥0,=A 但.≠A O 4. ,,1,(),()1i j i i j k k k =−==E E E5. 性质2-2讲的是方阵A 的第行（列）的数与第i 行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于i A 的行列式；性质2-7讲的是方阵A 的第i 行（列）的数与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于0.习题2-21. 2111231123123det()3,,39,,9,,18.c c a a a a a a a a a a a −=+−=−+=−=−A 2. 131223123233122312312323,2,3,,3,,3,,c c c c c c −+−−++=−===a a a a a a a a a a a a a a a a 63.321123211321212311223,,,,,,,,,,,,,,,n m +=+=−+=−a a a b b a a a b a a a b a a a b a a b a4.证：（1）将第2列和第3列都加到第1列，得0000a b b c c a b c c ab c c a a b c a a b c a a b b ca b b c−−−−−−−−=−−=−−−−−. （2）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++ 1111111111111111122222222222222222333333333333333332a b c c b c c a a b c b c a a b c a b c c b c c a a b c b c a a b c a b c c b c c a a b c b c a a b c ++=+++=+=++ （3）设A 的阶数为，则为奇数.由n n A 是反称矩阵,得T=−A A .两边取行列式，得 ,(1),Tn=−=−=−,A A A A A A 故0.=A 5. 先按行提公因式，在按列提公因式，得2111121211221212222221122n n n n n n n n nn na b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b11112212112222121122n n n nn n n nn a b a b a b a ba b a b b b b a b a b a b =n1112121222222222121212n nnn n n nna a a a a ab b bb b bc a a a ==6．（1）解：先按行提公因式，在按列提公因式，得1111114111ab ac ae bd cd de abcdef abcdef bfcfef −−−=−=−−(2)103100204310043141992003951200510012520301300600130013=−−=−−=提高题2-21.,,,,,,+=++++=+−++A B ξηαββγαγξηαγβγαγ,,,,,,22,,,=+−++=+−+=+ξηαγβγαγξηαγβγγξηαβγ2(,,,,,,)2()6=+=+ξαβγηαβγA B =2.1231231231232323,24,36,3,25=++++++=++++B a a a a a a a a a a a a a a a a 1232331223123,3,,,,,=+++−=−+=−=−a a a a a a a a a a a a a 103.根据性质2-7，得41424344414243441111A A A A A A A A +++=⋅+⋅+⋅+⋅=4.(1).132343(1)(1)52(1)301(1)415D +++=−⋅−+⋅−++⋅−=− (2) 1424449(1)(1)52(1)01(1)40,2a a +++−⋅−+⋅−++⋅−==−.5.（1）对第2行和第4行分别应用性质2-2和性质2-7，得212223242521222324254()3()4,2()()0A A A A A A A A A A ++++=⎧⎨++++=⎩ 解得.2122232A A A ++=−（2）对第2行和第4行分别应用性质2-7，得313233343531323334354()3()0,2()()0A A A A A A A A A A ++++=⎧⎨++++=⎩解得=0.313233A A A ++思考题 2-31.表示第二行先乘以2，再用第二行减去第一行，22r r −12122323112012r r −=.2.对行列式进行对调变换和倍乘变换时，需要在得出的行列式的前面添加负号和系数，对行列式进行初等变换时，关心的是最后的数值；对矩阵进行初等变换时不需要添加负号和系数，对矩阵进行初等变换时，关心的是用何种变换进行化简，最后化成何种形式。
复变函数第2章
记z = x+iy, 则z+z=(x+iy)+(x+iy)=(x+x)+i(y+y),
w = f(z+z) - f(z) = [u(x+x, y+y)+iv(x+x, y+y)] - [u(x, y)+iv(x, y)] = [u(x+x, y+y)-u(x, y)] + i[v(x+x, y+y)-v(x, y)] = u(x, y) + iv(x, y)
1
§1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
1.复变函数的导数与微分 定义2.1 （导数的定义）设函数w=f(z)定义在z平面上 区域D内，点z0、z0+z D, Δw=f(z0+ z) - f(z0), 若极限
f ( z0 Δz ) f ( z0 ) Δw lim lim Δz 0 Δz Δz 0 Δz
b) x=0, y0, 即平行于虚轴的方向
f ( z ) lim [u ( x, y y) u ( x, y )] i[v( x, y y ) v( x, y )] y 0 iy u ( x, y y) u ( x, y) v( x, y y ) v( x, y ) i lim lim y 0 y 0 y y u ( x, y) v( x, y) i iu y ( x, y) v y ( x, y). y y
且h'(w)≠0,则有
1 f ( z ) . h( w)
7
2. 解 析 函 数 的 ●f(z)在点z0(处)解析：f(z)在z0的某邻域内处处可导； 概 念 ●f(z)在区域D内解析 (或称f(z)是D内的解析函数)： f(z)在D内每一点都解析，即f(z)在D内处处可导. ●f(z)在闭区域 D 上解析 (或称f(z)是D 上的解析函数)： f(z)在包含 D 的某区域内解析. ▲z0为f(z)的奇点：若f(z)在点z0处不解析，但在z0的 任一邻域内总有f(z)的解析点.
复变函数第二章第一讲
n f ( z ) = z 例2 证明：函数 在 z 平面上可导，
n n−1 ′ ( z ) nz = 且 （
n 为正整数）．
证明 任取一点 z ∈ ^ ，因为
f (z +Δz) − f (z) (z +Δz)n − zn ， n−1 n(n−1) n−2 = = nz + z Δz +"+Δzn−1 Δz Δz 2
2由定理21的证明过程及c?r条件知如果fzuxyivxy在点zxiy可微则?u?v?v?ufzi?i?x?x?y?y在数学分析中我们知道二元实函数具有一阶连续的偏导数二元实函数一定可微由此可得推论可微的充分条件设fzuxyivxy定义在区域d内则fz在点zxiyd可微的充分条件是
第二章
解析函数
第一节 解析函数的概念与柯西—黎曼条件 一、函数解析的基本概念 （一）复变函数的导数 解析函数是复变函数论的主要研究对象， 它是一类具有某种特性的可微函数. 首先，我 们类似于实函数的导数引进复变函数的导数.
注意：在讨论具体函数的可导性和解析性时， 可先找出实部和虚部二元实函数，再验证定理 2.2或者定理2.3的条件（1）和（2）得出可导 性．但在回答解析性时一定要慎重，必须再考 虑函数在可导点的邻域内的可导性后才能给出 正确的回答．
例6 讨论函数 f (z) = x2 − iy 的可微性与解析性． 解 记 u(x, y) = x ，v(x, y) = −y ．
∂x
∂y
∂x
∂y
显然，它们都在 z 平面上连续且满足 C − R条件， x f ( z ) = e (cos y +isin y)在 z 平面上解析， 所以由定理3， 并且 ∂u ∂v x f ′(z) = +i = e (cos y +i sin y) = f (z) ．
39390大连理工大学大工20秋《复变函数与积分变换》在线作业2答案
大工20秋《复变函数与积分变换》在线作业2单选题1.题面见图片A.AB.BC.CD.D答案：A2.题面见图片A.AB.BC.CD.D答案：C3.函数w=1/z的奇点是A.1B.-1C.0D.2答案：C4.题面见图片A.AB.BC.CD.D答案：B5.题面见图片A.AB.BC.CD.D答案：A6.题面见图片A.AB.BC.CD.D答案：C7.A.AB.BC.CD.D答案：B8.题面见图片A.AB.BC.CD.D答案：B9.z=0是f(z)=sinz/z的A.可去奇点B.本性奇点C.二阶极点D.都不正确答案：A10.题目见图片A.AB.BC.CD.D答案：A判断题1.题面见图片A.错误B.正确答案：B2.z=0是f(z)=sinz/z的可去奇点A.错误B.正确答案：B3.一个集合的元素满足加法运算的交换律和结合律，有0元和负元，就是环。
A.错误B.正确答案：A4.拉普拉斯变换中卷积运算满足交换律和结合律，但不满足分配律。
A.错误B.正确答案：A5.题面见图片A.错误B.正确答案：A6.题面见图片A.错误B.正确答案：A7.分式线性映射ω=z+b是一个旋转与伸缩映射A.错误B.正确答案：A8.题面见图片A.错误B.正确答案：B9.A.错误B.正确答案：A10.题面见图片A.错误B.正确答案：B。
复变答案第二章
3. 奇点的定义 若函数 f ( z ) 在 z 0 处不解析，则称 z 0是 f ( z ) 的奇点. 若 z 0 是 f ( z ) 的奇点, 但在 z 0 的某邻域内, 除 z 0 外, 没有其他的奇点，则称 z 0 是函数 f ( z ) 的孤立奇点.
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
z0
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导, 那么称 f ( z ) 在 z0 解析. 如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 Ｇ 个解析函数(全纯函数或正则函数).
u u v v 2 x, 0, y, x. x y x y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程,
故函数 w z Re z 仅在 z 0 处可导, 且 f ( z ) 0．
在复平面内处处不解析 .
例7 证明 f ( z ) x 2 iy在复平面上不解析 .
2z z 3 的解析性区域及该区 例3 求函数 f ( z ) 2 z 1 域上的导数.
5
解
函数 f ( z )不解析． 当z 2 1 0 ，即z 2 i 时， 所以 f ( z )在复平面内除 z i 外处处解析,
z i 为它的奇点.
(10z 4 1)( z 2 1) ( 2 z 5 z 3) 2 z f ( z ) ( z 2 1)2 6 z 6 10z 4 z 2 6 z 1 . 2 2 ( z 1)
例6 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:
复变函数第二章
第二章全纯函数§2.1习题1.研究下列函数的可微性： （i ）();f z z = 解： 0z ≠时00000()()limlim z z z z z z f z f z z z z z →→--=--不存在 这是因为当0z x iy =+时，000limlimy y y y →→=当0z x iy =+时，000limlimx x x x →→==故0z ≠时，()f z 不可导.当0z =时，有()(0)i i z f z f r e z z reθθ-∆∆-∆===∆∆∆ 即知()f z z =在0z =也不可导. 从而()f z z =处处不可导. (ii) 2();f z z = 解：0z ≠时00220000()()lim lim z z z z z z f z f z z z z z →→--=--显然不存在. 这是因为当0z x iy =+时0022220000000000()()lim lim 2x x x x x y x y x x x x x x iy x iy x x →→+---+==+--- 当0z x iy =+时，0022220000000000()()2lim lim ()y y y y x y x y y y y y y x iy x iy y y i i→→+---+==+--- 0z =时可导，(0)0f '=.（iii ）()Re ;f z z =00000()()Re Re limlimz z z z f z f z z z z z z z →→--=--显然不存在. 这是因为当0z x iy =+时，000lim1x x x x x iy x iy →-=+--.当0z x iy =+时，00000lim0y y x x x iy x iy →-=+--从而()Re f z z =处处不可导 (v) ()f z 为常数不妨设(),f z C =显然'()0f z = 故()f z C =在处处可导.2.设f 和g 都在0z 处可微，且'000()()0,()0f z g z g z ==≠证明：0'0'0()()lim()()z z f z f z g z g z →= 提示：0000()()()limlim ()()()z z z z f z f z f z g z g z g z →→-=- 0000000()()()lim()()()z z f z f z z z f z z z g z g z g z →'--=⋅='--4．设域G 和域D 关于实轴对称，证明：如果()f z 是D 上的全纯函数，那么()f z 是G 上的全纯函数. 提示：00()()()()limlim (),z z f z z f z f z z f z f z z G z z →→⎡⎤+-+-'==∈⎢⎥⎣⎦§2.2习题1.设D 是域,).(D H f ∈如果对每个,D z ∈都有'()0f z =,证明f 是一常数. 证明:因为'()0f z =,而'()f z =u vi x x∂∂+∂∂=0(定理2.2.4) 所以u x ∂∂=0, v x ∂∂=0,而u x ∂∂=v y ∂∂,u y ∂∂=vx∂-∂.故u y ∂∂=0, v y ∂∂=0.因此f 是一个常数.3.设iy x z +=,证明xy z f =)(在z=0处满足Cauchy-Reimann 方程,但f 在z=0处不可微.提示: u =,0v =.直接算偏导.8.设D 是域, ()f H D ∈,f 在D 中不取零值,证明: 对于任意p>0,有2222()p f z x y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭=2p 2()p f z -2'()f z . 提示:∆=2222x y ∂∂+∂∂= 42z z∂∂∂,将()f z 写成12()()f z f z ⎡⎤⎣⎦,利用f z∂∂=0, f z ∂∂=0, fz ∂∂='f , f z ∂∂='f ,计算.11.设D 是域,(]:D \ ,0f →-∞ 是非常数的全纯函数,则log ()f z 和Arg ()f z 是D 上的调和函数,而()f z 不是D 上的调和函数.提示: 2221log ()log ()2log |()|2f z f z f z z z∂∆=∆=∂∂ 21()()2|()|f z f z z f z z ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂⎝⎭2()()2|()|f z f z z f z ⎛⎫'∂= ⎪∂⎝⎭ ()20()f z z f z ⎛⎫'∂== ⎪∂⎝⎭2a r g ()()()i f z f z e f z =对z 求偏导(a r g ())f z z ∂∂=12i '()()f z f z 2z z∂∂∂(a r g ())f z =0 42z z∂∂∂(())f z =12()'()f z f z - 如果()f z 调和,则'()f z ≡0,从而f 是常数,矛盾.12.设D,G 是域, :f D G →是全纯函数,证明:若u 是G 上的调和函数,则u f 是D 上的调和函数.证明: 因为u 是G 上的调和函数,局部存在全纯函数g ，s.t. Re u g =, 则g f 局部全纯,于是局部有Re()u f g f = ，从而u f 调和.15.举例说明:存在B(0,1)\{0}上的调和函数,它不是B(0,1)\{0}上全纯函数的实部. 解: ()log ||u z z =是B(0,1)\{0}上的调和函数,它不是B(0,1)\{0}上全纯函数的实部. (反证) 假设存在B(0,1)\{0}上的全纯函数()f z ,使得Re ()log f z z =, 设()log ||()f z z iv z =+,()v z 是实值函数.则()()||f z iv z ez e =⋅,从而()()1,(0,1)\{0}f z iv z e e z B z==∀∈. 由题2.(iv) 可知()f z e z≡常数, 故存在θ∈ s.t. ()f z i e ze θ= 即()||iv z i z e ze θ⋅=()(arg )iv z i z e e θ+⇒=()2v z argz k θπ⇒=++.由()v z 的连续性可知k 是常数.于是()2argz v z k θπ=--在B(0,1)\{0}连续,不可能.16.设f u iv =+, 000z x iy =+.证明: (i) 如果极限000()()lim Rez z f z f z z z →--存在,那么()00,ux y x ∂∂和()00,v x y y ∂∂存在,并且相等. (ii) 如果极限000()()l i m Imz z f z f z z z →--存在,那么()00,u x y y ∂∂和()00,vx y x∂∂存在,而且()00,u x y y ∂∂=-()00,vx y x∂∂.证明:(i)()00,ux y x∂∂=00000(,)(,)limx x u x y u x y x x →-- ()0z x i y =+ ()()000,z x y = =00000(,)(,)lim Rex x f x y f x y x x →--=000()()lim Rez z f z f z z z →--()00,vx y y∂∂=00000(,)(,)lim y y v x y v x y y y →-- =00000(,)(,)lim Imy y f x y f x y y y →-- ()0z x iy =+=()000()()lim Imz z f z f z i z z →---=()00()()lim Im z z f z f z iz z →--=000()()lim Rez z f z f z z z →--(ii)利用[]Im ()Re ()f z if z =-,由(i)即得.1．求映射i z iz w +-=在11-=z 和i z =2处的转动角和伸缩率. 解：因为 z if z i-=+222()()f z i z i iz z i z i ∂+-+==∂++ 122'()(1)if z i =-+=1 1arg '()f z =arg(1)-=π 2221'()(2)22i i f z i ===- 2a r g '()2f z π=-2．设f 是域D 上的全纯函数，且'()f z 在D 上不取零值，试证：（i ）对每一个00()u iv f D +∈，曲线0Re ()f z u =和曲线0Im ()f z v =正交； 证明：（i ）0u u =和0v v =是uv 平面中的正交直线.因为()0f z '≠,故f 是保角的. 从而曲线0Re ()f z u =和曲线0Im ()f z v =的夹角等于直线0u u =和0v v =的夹角,等于2π1.验证zze e =证明：令z x iy =+,则z x iy =-(cos sin )z x e e y i y =+(cos sin )z x e e y i y ⇒=- (cos sin )z x e e y i y =-所以z ze e =.3.证明：若1ze =，则必有2,0,1,.z k i k π==±… 证明：1ze =||1xze e ⇔==,20zArge y k π=+=0,2,x y k k π⇔==∈Z2z k i π⇔=，k ∈Z .4.设f 是整函数，()0 1.f =证明：(i)若'()(),();zf z f z z f z e =∈≡ 对每个成立则(ii) 若对每个,z ω∈ ,有()()()f z f z f ωω+=,且'(0)1f =,则()zf z e ≡. 证明（i ）''(())()()()()0.z zz z z f z e f z ef z e f z e f z e -----=-=-=()z f z e c -=,11,1c c ⨯==，故()z f z e ≡(ii) ()()()f z f z f ωω''+=,令0()()z f f ωω'=⇒=7.设f 在\(,0]-∞ 中全纯，(1)0.f =证明： （i ）若(]'()(),\,0,()log f z f z ez f z z -=∈-∞≡ 则；(ii)若()()()f z f z f ωω=+,(]\,0z ∈-∞ ,()0,ω∈∞,且'(1)1f =,则()log f z z ≡.证明：（i ）令()()f z F z ez =-,则'()'()()10f z F z e f z =⋅-=()F z c ⇒=(常数)令z=1,则(1)0110f e c -=-==F(1)=e.故()()log (1)1f z e z f z z f ⎫=⇒=⎬=⎭(ii)提示()()f z f z ωω''=,令1z =得1()f ωω'=.8．证明：32)(2++=z z z f 在()1,0B 中单叶.证明： 取()12120,1,z z B z z ∀∈≠，12()()f z f z -=1212()(2)z z z z -++()12121212,0,1()()0()()z z z z B f z f z f z f z ≠∈⇒-≠⇒≠，故)(z f 在()0,1B 中单叶.12．设f 在(]\,0-∞ 上全纯，(1)1,0.f μ=>证明：)(i 若(]'()(),\,0f z f z z zμ=∈-∞C ，则arg ();i z f z z e μμ≡ )(ii 若()()()f z f z f ωω=，(]\,0z ∈-∞C ,()0,ω∈∞,且'(1),f μ=则arg ()i z f z z e μμ≡证明：(i) 要证arg ()i zf z z eμμ=，即证log ()z f z e μ=()log ()0zf z eμ'=,及(1)1f =log ()||z i Argz f z e z e μμμ⇒==⋅.(ii) ()()()zf z f z f ωω'=令1ω=得()()zf z f z μ= 即()()f z f z zμ'= 14.证明:)(i cos()cos cos sin sin ;z z z ωωω+=⋅-⋅ )(ii sin()sin cos cos sin ;z z z ωωω+=⋅+⋅证明:(i) cos()sin()z i z ωω+++()i z e ω+=()cos cos sin sin sin cos cos sin z z i z z ωωωω=-++ (1 ) 在上式中以z -，ω-代入，得cos()sin()z i z ωω+-+()cos cos sin sin sin cos cos sin z z i z z ωωωω=--+ （2）(1)+(2)得 cos()cos cos sin sin z z z ωωω+=-(1)(2)得 sin()sin cos cos sin z z z ωωω+=+19.证明:sin z ω=将半条形域:Re ,Im 022z z z ππ⎧⎫∈-<<>⎨⎬⎩⎭一一地映为上半平面. 证明: sin cos()cos()22z z z ππω==-=-令2u z π=-,则cos w u =是由指数,(Re 0,Im 0),iuz e u u π=-<<>与Rokovsky 函数{}11(),((0,1)\0,0),2zz z B argz ωπ=+∈-<<的复合.故sin w z =将半条形区域{:Re ,Im 0}22z z z ππ∈-<<> 一一映成上半平面.20.证明(0,1)B 是2()(1)zf z z =-的单叶性域,并求出((0,1))f B . 证明: []1212122121()()()(1)(1)z z f z f z z z z z --=--- 给出f 的单叶性0z ≠时,112()z f z z=+-由Rokovsky 函数的性质易得 1((0,1))\(,]4f B =-∞-21.当z 按逆时针方向沿圆周{:2}z z =}旋转一圈后,计算下列函数辐角的增量:(iii) 124(23);z z +- (iv) 1211z z -⎛⎫⎪+⎝⎭. 解:(iii) 124(23)z z +-14[(3)(1)]z z =+⋅- 3-在圆周||2z =外,1在圆周||z =内所以当z 按逆时针方向沿圆周旋转一圈后, 辐角的增量为2π(iv) 11122221(1)(1)1(1)(1)1|1||1|z z z z z z z z ⎡⎤⎡⎤--+⎛⎫==-+⎢⎥⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦1z =±均在圆周||2z =内,所以辐角的增量为0.22.设1(),0 1.(1)p p z f z p z -=<<-证明:f 能在域[]\0,1D = 上选出单值的全纯分支.证明: 11()(1)1pp i p i z z f z e z e z z ππ-⎛⎫== ⎪+-⎝⎭只需考虑()1pz g z z ⎛⎫= ⎪-⎝⎭设γ是D 中的简单闭曲线,则当z 沿γ逆时针绕行一周时, 若γ内部不含[0,1],则辐角增量为0, 若[0,1]位于γ内部,则辐角增量为22()0p p ππ+-=. 故g 从而f 能在域[]\0,1D = 上选出单值的全纯分支.23.证明: 21()z f z Log z ⎛⎫-= ⎪⎝⎭能在域(][]()\,10,1D =-∞-⋃ 上选出单值的全纯分支.证明: 21z z-将(][]()\,10,1-∞-⋃ 映入(]\,0-∞ ，而对数函数在(]\,0-∞ 上能选出全纯分支.24.设单叶全纯映射f 将域D 一一地映为G,证明:G 的面积为2'().f z dxdy ⎰⎰证明:令iy x z +=,),(),()(y x iv y x u z f +=变换行列式(,)(,)uu v xvx y x∂∂∂=∂∂∂ u y v y∂∂∂∂= u v v u x y x y ∂∂∂∂⋅-⋅∂∂∂∂ = 22()()u v x x∂∂+∂∂= 2u v i x x ∂∂+∂∂ = 2'()f z∴ 2'(,)||()(,)G D Du v S dxdy f z dxdy x y ∂==∂⎰⎰⎰⎰.25.设f 是域D 上的单叶全纯映射,)(),(βαγ≤≤=t t z 是D 中的光滑曲线, 证明:(())f t ωγ=的长度为''(())()f t t dt βαγγ⎰证明:''(())()d f t t dtωγγ= 故(())w f t γ=的长度为''(())()f t t dt βαγγ⎰26.设D 是z 平面上去掉线段[][]1,,1,i i -和射线z it = ()1t ≤<∞后得到的域,证明函数2(1)Log z -能在D 上分出单值的全纯分支.设f 是满足0)0(=f 的那个分支,试计算)2(f 的值.解: 取D 中任一简单闭曲线γ,则1±都不在γ内部,从而z 沿γ逆时针绕行一周时,21(1)(1)z z z -=-+辐角的增量为0,故能选出全纯分支.设22()log |1|(1)2f z z iarg z k π=-+-+. 由(0)00f k =⇒=, 故(2)log3(3)log3f iarg i π=+-=+.§2.5习题1. 试求把上半平面映为上半平面的分式线性变换,使得∞,0,1分别映为0,1,∞.解: 1()1T z z ω-==-2. 证明: 分式线性变换az b cz dω+=+把上半平面映为上半平面的充要条件是d c b a ,,,都是 实数,而且0>-bc ad .证明: 必要性：因为线性变换把实轴映为实轴, 故az b cz dω+=+中d c b a ,,,都是实数； 因为2()()ac bd ad bc i i cω++-=属于上半平面，故0>-bc ad . 充分性：对0,1,,z =∞都有()z ω∈R ,从而ω将实轴映为实轴,又Im ()0i ad bc ω=->,故将上半平面映为上半平面.4.试求把单位圆盘的外部{}1:>z z 映为右半平面{}:Re 0ωω>的分式线性变换,使得 (i)1,-i,-1分别变为i,0,-i;(ii)-i,i,1分别变为i,0,-i.解:(i)()z i T z z i ω+==- (ii)()(2)21z i T z i z i ω-==-+- 10.设()az b T z cz d +=+是一个分式线性变换,如果记a c ⎛ ⎝ 1b d -⎫⎪⎭=αγ⎛ ⎝ βδ⎫⎪⎭,那么1()z T z z αβγδ-+=+. 证明:a c ⎛ ⎝ 1b d -⎫⎪⎭=dc ⎛ -⎝ b a -⎫⎪⎭=αλ⎛ ⎝ βδ⎫⎪⎭ ()az b T z cz d+=+()()czT z dT z az b ⇒+=+ 1()b dz z T z cz a z αβγδ--+⇒==-+ 从而证得1()z T z z αβγδ-+=+.11.设11111)(d c b a z T ++=,=)(2z T 2222d c b a ++是两个分式线性变换,如果记11a c ⎛ ⎝ 11b d ⎫⎪⎭22a c ⎛ ⎝ 22b d ⎫⎪⎭=a c ⎛ ⎝ b d ⎫⎪⎭那么12()()az b T T z cz d +=+ . 证明: 12()()T T z =1212121212121212a a z ab bc z bd c a z c b d c z d d ++++++ 又 11a c ⎛ ⎝ 11b d ⎫⎪⎭22a c ⎛ ⎝ 22b d ⎫⎪⎭=a c ⎛ ⎝ b d ⎫⎪⎭∴121212121212a a b c a a b b d c c b d d d +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩⇒1212121212121212a a z a b b c z b d az b c a z c b d c z d d cz d ++++=++++ 从而12()()az b T T z cz d +=+ .12.设Γ是过-1和1的圆周,z 和w 都不在圆周上.如果,1=zw 那么z 和w 必分别于Γ的内部或外部.证明:由圆的对称性知Γ的圆心必然在虚轴上，设圆周与虚轴交个交点为12z z ，. 又由平面几何知识知12||||1z z ⋅=,从而211z z =. 设z 在Γ内部，则z 位于走向1，1z ,-1的左边,因此分式线性变换1(x)T x =，将1()z T z =映为走向1(1)()(1)T T z T -，，，即1，2z ，-1的左边.注意()T Γ=Γ，走向1，2z ，-1的左边即Γ的外部，故1z 在Γ外部.15.求一单叶全纯映射,把除去线段[]i +1,0的第一象限映为上半平面.提示: 先作变换41z z =,再作412+=z z ,最后作变换23z z =可得.16. 求一单叶全纯映射,把半条形域:Re ,Im 022z z z ππ⎧⎫-<<>⎨⎬⎩⎭映为上半平面,且把2π,0,2π-分别映为1,-1,0. 提示: 先作变换1z iz = ,再作12z e z =,)1(21,33423z z z iz z +=-=.即11()2iz iz w ie ie=-+- 17.求一单叶全纯映射,把除去线段[]hi a a +,的条形域{}:0Im1z z <<映为条形域{}:0Im 1w w <<,其中,a 是实数, 01h <<提示:先作变换1z z e π=,再作变换ππa a e z e z z +-=112便可得结论.19.求一单叶全纯映射,把除去线段[]2,1的单位圆盘的外部映为上半平面.提示:先作变换111z z z -=+,再作变换221324351,,,9z iz z z z z z ===+=即w =.。
数学物理方法chapter-1
不妨让引用科学家柯朗在《数学物理方法》一书
（德文版 序言）中的一段话加以描述，柯朗写道：
“从17世纪以来，物理的直观，对于数学问题和方法
是富有生命力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已
将数学与物理间的联系减弱了，数学家离开了数学的 直观根源，而集中推理精致和着重于数学的公设方面,
甚至有时忽视数学与物理学以及其他科学领域的整体 性.而且在许多情况下,物理学家也不再体会数学家的 观点,这种分裂,无疑地对于整个科学界是一个严重的 威胁,科学发展的洪流, 可能逐渐分裂成为细小而又细 小的溪渠,以至于干涸,因此,有必要引导我们的努力转
z r(cos i sin )
称为复数的三角表示式. 即为
z r cos ir sin r(cos isin) z cosArgz isinArgz
定义 1.2.6 复数的指数表示 利用欧拉(Euler) 公式
ei cos i sin 我们可以把任意非零复数 z x iy r cos i sin 表示
第一章 复数与复变函数
要求掌握：
1. 复数：复数运算和复数的各种表示方法； 模与幅角； 2. 曲线和区域的判断：简单曲线、简单闭曲 线；单、复（或多）连通区域；有、无界区 域；区域（开、闭区域）；映射的概念； 3. 复变函数的极限和连续； 4. 复球面与无穷远点概念；
重点：复数的运算和各种表示法； 复变函数极限的概念；
《数学物理方法》
参考资料：
第一部分 复变函数论 （含积分变换）
第二部分 数学物理方程 第三部分 特殊函数
参考资料（教材）
第四部分 计算机仿真
数学物理思想
数学思想是人类创造性思维最具活力的体现
爱因斯坦相对论的建立便是最有力的佐证。将数学思 想方法应用于现代高科技各专业技术领域，并构建成典 型的（物理）模型和解决问题的方法是数学思维和现代 专业技术领域的结晶，从而形成科学研究中实用性很强 的数学物理方法。它既利用精妙的数学思想，又联系具 体的研究任务和研究目标, 建立数学物理模型，给出解决 方法，是思维和研究任务、数学和物理模型有机结合的 方法，是统一数学思想和物理模型的系统化理论。脱离 了数学思维，具体研究任务失去了理论指导方法；脱离 了所研究的物理模型，作为最具生命力根源的数学思维 没有发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想， 也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结 合才能形成推动人类科学技术赖以发展的最有成效的动 力之源。
复变函数第四版-第二章_2.3 矢量场的通量及散度
D dS V lim
Ω M
Φ e V
lim
Q V
Ω M
=
(3 .1 3)
其中ρ 为电荷分布的体密度。
（3）散度运算的基本公式。 1 ) div ( cA ) =c div A （c 为常数）
2) div ( A ± B ) = div A ± div B
3 ) div ( uA ) =u div A + A⋅grad u （u 为数性函数）
在磁感应强度矢量B 分布的磁场中，穿过曲面S 的磁通量
Φm =
B
s
n
dS
B d S
s
(3 .5)
第二章 场论
5
（1）通量的定义：设有矢量场A (M) ，沿其中某一方向曲面S
的曲面积分
Φ =
A
s
n
dS
A d S
s
(3 .6 )
叫做矢量场A (M) 向正侧穿过曲面S 的通量。
第二章 场论
11
例2.在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为
D = q 4 r
2
r
0
其中r 是点电荷q 到点M 的距离，r°是从点电荷q 指向点M 的 单位矢量。设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内 穿出S的电通量 Φe。 解：如图（2 − 15），在球面S 上恒有r = R，且法矢n 与r°的 方向一致。所以
(3 .1 4 )
叫做矢量场A (M) 沿法矢n 的方向穿 过曲线l 的通量（图 2 − 17）
第二章 场论
15
当 ΔΩ 缩向M 点时，M﹡就趋于点M 。所以
d ivA = P x Q y R z
复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：
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2
w z 0 (z 0) f (0) 0 z 0: z w zz z 0 : 取z x 0 z w zz 取z iy 0 z
x
让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有
x 0 ( y kx )
lim u ( x, y ) lim
x (1 k ) x
2 2
x 0 ( y kx )
x y
2
2
故极限不存在.
lim
x 0
1 1 k
2
.
2.2 复变函数的连续性
定义:
若 lim f ( z ) f ( z0 )则称函数 f ( z)在z0处连续。
（ 1 ）u( x, y), v( x, y)在点( x, y)可微； u v x y （ 2 ）在点 ( x, y )满足柯西 黎曼方程 u v x y
注： （1）关于柯西-黎曼方程的记忆
f ( z) u( x, y) iv( x, y)
所以 w f ( z ) z 在复平面上除原点外处处不可导。
2
( z z )(z z ) z z z z z z z z
注: (1) f ( z ) z x y i0, u( x, y) x 2 y 2 , v( x, y) 0具有各阶连续偏导，
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim lim z 0 z 0 z z
极限值称为 w f ( z)在z0处的导数，记作 f ' ( z0 ).
复变函数 w f ( z )的导数在形式上和实变 函数y f ( x) 的导数定义是一样的。
从实质上讲，复变函数在一点可导，要比实变函数在一 点可导要求要高的多，复杂的多。
计算：判定f ( z )在哪些点处可导？ a. 确定u( x, y), v( x, y); u u v v b. 计算偏导数 , , , 判定它们在哪些点处连 续？ x y x y u u v v c. 判定偏导数 , , , 在哪些点处满足 x y x y
柯西 黎曼方程？
2 2
2
但f ( z)在非零处不可导。
f ( z)可导 u( x, y), v( x, y)具有偏导数
(2)函数f ( z ) z 处处连续，但不处处可 导。
2
连续 可导 可导 连续 2.3.2 导数的运算规则
PP38-39 定理2.5,2Fra bibliotek6,2.7 给出了结论.与实变函数的导 数计算规则相同.
则 f ( z )在点z0连续 u ( x, y), v( x, y)在点( x0 , y0 )连续。
证明:结合复变函数极限定理,连续的定义.
例3
多项式函数，三角函数 ，指数函数在整个复平 面上处处连续。 (见例2.7,2.8)
例4 讨论函数 w arg z的连续性
2
2
arg z在区域 arg z 内连续，
讨论两种特殊情况，
（ 1 ）z 沿实轴 0
z x
lim
x 0
{u ( x x, y ) iv( x x, y )} {u ( x, y ) iv( x, y )} x
lim
x 0
u ( x x, y ) u ( x, y ) v( x x, y ) v( x, y ) i lim x x x 0
的充要条件
(4)实际应用：直接利用定理结论有一定难度。
[1] u( x, y), v( x, y)在区域 D内处处可微； u v x y [2] 在区域 D内处处满足柯西 黎曼方程 u v x y
若u ( x, y ), v( x, y )在区域D内具有一阶连续偏导数， 则在区域D内可微。
u 6 xy y v 3x2 3 y 2 y
都是初等函数，在复平 面内处处连续； u v x y 针对柯西 黎曼方程 在复平面内处处成立 u v x y
f ( z)在复平面内处处可导
u v 导数： f ' ( z ) i (3x 2 3 y 2 ) i6xy x x （ 2 ）f ( z) z Re(z)
(2) lim f ( z ) g ( z ) lim f ( z ) lim g ( z )
z z0
z z0
z z0
z z0
f ( z) z z0 (3) lim lim g ( z ) 0 zz z z0 g ( z ) 0 lim g ( z )
对于复变函数的极限,连续,导数的概念可以 按照(1)给出. 重点分析: (一)与实变函数中对应概念的不同之处.
(二）与u( x, y), v( x, y)对应性质间的关系。
2.1 复变函数的极限 2.1.1 复变函数极限的概念
定义: 设函数w f ( z)定义在0 z z0 内，如果 有复数 A存在，对任意小的 0, 有正数 0, 使得当 0 z z0 时，有 f ( z) A
d. 判定b, c中的共同点为 f ( z)的可导点.
例1 判定函数的可导点,并求导数.
（ 1 ）f ( z) x 3x yi 3xy y i
3 2 2 3
解： u( x, y) x3 3xy2
v( x, y) 3x2 y y 3
u 3x2 3 y 2 x v 6 xy x
复合而成的函数
指数函数 w eh在整个复平面上处处连 续；
对数函数 h Ln z在除原点及负实轴外的 点连续；
幂函数z 在除去原点和负实轴的复平面上连续。
2.3 导数 2.3.1 导数的概念（实变函数导数概念的推广）
定义 设f ( z)在包含z0的某区域 D内有定义，如果
存在,则称函数 f ( z)在z0可导；
u v |( x , y ) i | ( x , y ) x x
（ 2 ）z 0
沿虚轴
z iy
lim
y 0
{u ( x, y y) iv( x, y y)} {u ( x, y) iv( x, y)} iy 1 u ( x, y y) u ( x, y) v( x, y y) v( x, y) lim lim i y 0 y y y 0
解：
令z x iy,
f ( z) ( x iy) x x2 ixy
z z0
lim f ( z )
z z0
z z0
Re( z ) 例2 证明函数 f ( z ) 当 z0 时的极限不存在 |z| x [证 ] 令 z = x + i y, 则 f ( z ) x2 y 2
由此得 u ( x, y )
x x2 y 2
, v( x, y ) 0.
主要原因就是 z 0是任意方式的（沿任意 方向）。
第三章，我们将看到，若一个复变函数在一点的邻域 内具有一阶导数，就有任意阶的导数。对于实变函数这是 不具有的性质。 另外，在高等数学中，要举出一个处处连续但处处不可 导的函数是十分困难的。在复变函数中，这样的例子很多。
例如： f ( z) Re( z); f ( z) z ; 都是在整个复平面上处处连续，但在任何一点都不可导。
u v 1 u v i ( i ) x x i y y
f x
f (iy )
实部,虚部对应相等得到 柯西-黎曼方程
u v v u （2）导数公式： f ' ( z ) i i x x y y
（3）将结论推广至区域D
函数f ( z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内处处可导
若f ( z )在区域 D内处处连续，则称函数 f ( z )在 区域D上连续。
z z0
性质： (1)连续函数的四则运算仍然连续(定理2.3)； (2)连续函数的复合函数仍然连续(定理2.4)； (3) 设f ( z) u( x, y) iv( x, y), z0 x0 iy0 ,
第二章
导数
一.复变函数极限的概念,极限定理 二.复变函数连续的概念 三.复变函数导数的概念,可导的判定 四.解析函数的定义,判定 五.调和函数的概念,相关的计算
复变函数 w f ( z)的理解角度：
(1)复变函数是实变函数在复数范围内的推广.
(2)复变函数对应一对二元 实变函数 u( x, y), v( x, y).
例如： ( z 2z)' 3z 2
3 2
1 ( Ln z )' z
2.3.3 函数可导的必要与充分条件(可导点的判定)
若已知 f ( z) u( x, y) iv( x, y)在z x iy处可导，则
f ( z z ) f ( z ) 存在 z
lim
z 0
1 z
1 x
2.1.2 复变函数极限定理 复变函数 w f ( z) 二元实变函数对 u( x, y), v( x, y) u( x, y), v( x, y)的极限 复变函数的极限 ?
定理2.1 设f ( z) u( x, y) iv( x, y), z0 x0 iy0 , A a ib lim u ( x, y ) a 则 x x0 y y0 lim f ( z ) A z z0 v ( x, y ) b xlim x0 y y0 证明:结合复变函数及实变函数极限的定义. z x y, x z, y z 运算性质: (1) lim ( f ( z ) g ( z )) lim f ( z ) lim g ( z )