六年级奥数数列求和

专题二 数列求和

指点迷津

在等差数列中，相邻两个数的差称为公差，用字母d 表示，首项（第一个数）用字母a 1表示，末项用字母a n 表示，项数用字母n 表示，和用S 表示。则等差数列求和公式为S =（a 1＋a n ）×n ÷2:；通项公式a n = a 1＋（n －1）×d ；项数n =（a n －a 1）÷d ＋1。

范例点拨

例1 一堆相同的立方体堆积为右图所示的图形，

第1层1个，第2层3个，第3层6个，…。那么第

100层有多少个立方体？

思路提示：第1层有1个，第2层有（1+2）个，第

3层有（1+2+3）个，…依次类推即可求出第100层有多少个。

尝试解答：

例2 试求所有三位数中，7的倍数的和。

思路提示：在所有三位数中，7的最小倍数是105，最大倍数是994，公差是7只要找出从105到994共有多少项，就可求出它们的和。

尝试解答：

例3 求100以内不能被3整除或5整除的所有自然数的和是多少。 思路提示：从1到100的自然数的和中减去能被3整除的数（等差数列）的和与能被5整除的数（等差数列）的和（注意重复），就是题目所要求的结果。 尝试解答：

例4 求下面这个数列的前20项的和。

101,203，,105,207,109,211, …，137,239，…

思路提示：从各个数的相同数位上寻找解题规律。

尝试解答：

例5求数列1×2、2×3、3×4、4×5、…前99项的和。 思路提示：所求倒数之和就是：

211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋100

991⨯，显然可以采取拆项的方法求和。

尝试解答：

触类旁通

1.求100与500之间能被9整除的所有自然数之和。

2.如下图，三角形每边2等分时，顶点向下的小三角形有1个；每边4等分时，顶点向下的三角形有6个；每边10等分时，顶点向下的小三角形有几个？30等分呢？

3.自然数1、2、3…按下图排列成6列，1991在第 行第 列。

4.数列1、1991、1990、1、1989、1988、1、…从第3个数起每个数是前两个数的差，这个数列中第1个“0”出现在第 项。

5. 已知数列、、、、63

135115131…，求 ⑴第10个数是 ；

⑵前20个数的和是 。