数学归纳法(理)

数学归纳法（理）

【学习目标】

1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;

2.数学归纳法中递推思想的理解.

【重点难点】

能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;

【知识链接】

〔预习教材P107~ P108，找出疑惑之处〕

复习1：数学归纳法的基本步骤？

复习2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.

【学习过程】

※ 学习探究 探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：数列

1111,,,,1447710(32)(31)

n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明. 新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题. 试试：数列

1111,,,,,1223314(1)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯+L ,计算123,,S S S ,由此推测计算n S 的公式.

反思：用数学归纳法证明时,要注意从n k =时的情形到1n k =+的情形是怎样过渡的.

※ 典型例题

例1平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分

变式：证明凸n 边形的对角线的条数1()(3)(4)2

f n n n n =-≥ 小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项,即几何元素从k 到1k +所证的几何量增加多少.

例2 证明:3*5()n n n N +∈能被6整除.

变式：证明:2121n n x y --+能被x y +整除.

小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出n k =的情形，从而利用归纳假设使问题获证.

※ 动手试试

练1.

111()123f n n

=+

+++L ,求证: 练2. 证明不等式*|sin ||sin |()n n n N θθ≤∈ 【学习反思】

※ 学习小结

1. 数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题;

2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

※ 知识拓展

不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明*1(1)()n n N n

+∈的单调性就难以实现.

【基础达标】

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为〔 〕.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测〔时量：5分钟 总分值：10分〕计分：

1. 使不等式122+>n n 对任意k n ≥的自然数都成立的最小k 值为〔 〕

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

2. 假设命题)(n p 对n=k 成立，那么它对2+=k n 也成立，又命题)2(p 成立，那么以下结论正确的选项是

A. )(n p 对所有自然数n 都成立

B. )(n p 对所有正偶数n 成立

C. )(n p 对所有正奇数n 都成立

D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立 3. 用数学归纳法证明不等式1111127124264

n -++++>L 成立，起始值至少应取为

A.7

B. 8

C. 9

D. 10

4. 对任意*4221,3n n n N a ++∈+都能被14整除,那么最小的自然数a = .

5. 用数学归纳法证明等式

123(21)(1)(21)n n n +++++=++L 时,当1n =时左边表达式是 ;从1k k →+需增添的项的是 .

【拓展提升】

1. 给出四个等式: 1=1

1-4=-(1+2)

1-4+9=1+2+3

1-4+9-16=-(1+2+3+4) 猜测第n 个等式，并用数学归纳法证明.

2. 用数学归纳法证明: