第一章1.2.2空间中的平行关系3教案教师版

1.2.2空间中的平行关系(三)
【学习要求】
1．掌握平面与平面的位置关系，会判断平面与平面的位置关系．
2．学会用图形语言、符号语言表示平面间的位置关系．
3．掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用这两个定理解决问题．
【学法指导】
通过观察空间中平面与平面平行所用到的实物及模型，归纳抽象出两平面平行的判定定理，进一步得到面面平行的性质定理，培养空间问题平面化的思想及数学中化归与转化的思想方法.
填一填：知识要点、记下疑难点
1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α∥β.
2．面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3．判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
4．面面平行的性质定理：(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面．(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境]
通过前面的学习，对直线与平面的平行的判定有了一个明确的认识，那么空间中两个平面的平行如何判定呢？若两平面平行又有怎样的性质哪？本节我们就来研究这些问题．
探究点一平面与平面之间的位置关系
问题1拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
答：从实验中可以看出，两个平面之间的位置关系只有平行或相交．
问题2两个平面平行是如何定义的？
答：平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α∥β.
问题3如何画两个平行平面？
答：在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线．
小结：两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
(1)两个平面平行——没有公共点；
(2)两个平面相交——有一条公共直线．
问题4平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达？
答：平面与平面平行的符号语言是α∥β；图形语言是：
问题5已知α，β，直线a，b，且α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
答：平行或异面
探究点二平面与平面平行的判定
问题1生活中有没有平面与平面平行的例子呢？
答：教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的．
问题2三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？
答：通过试验得出不一定平行．
问题3因为两条相交直线确定唯一一个平面，这启示我们尝试用两条相交直线来讨论平面的平行问题．当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？
答：当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行时，这个三角板或课本所在平面与桌面平行．
小结：面面平行的判定定理：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α∥β.
这个定理可简单记为线面平行，则面面平行．
问题4如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？
答：符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝A，a∥α，b∥α⇒α∥β. 图形表示：
问题5如何证明面面平行的判定定理？
已知：a，b⊂α，a∩b＝A，a，b∥β.求证：α∥β.
证明：假设α∩β＝c.
∵a∥β，a⊂α，∴a∥c.同理b∥c.
于是在平面内过点A有两条直线与c平行，这与平行公理矛盾，假设不成立．
∴α∥β.
问题6如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？为什么？答：平行．因相交直线中的一条平行于另一个平面内的一条直线，由直线与平面平行的判定定理知，这条直线平行于另一个平面，同理相交直线中的另一条直线也平行于另一个平面，即一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所以由平面与平面平行的判定定理知，这两个平面平行．
小结：判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
例1 如图，已知三棱锥P —ABC 中，D ，E ，F 分别是PA ，PB ，PC 的中点，求证：平面DEF ∥平面ABC. 证明： 在△PAB 中，因为D ，E 分别是PA ，PB 的中点，所以DE ∥AB ，
又知DE ⊄平面ABC ，因此DE ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ，又因为DE∩EF ＝E ，
所以平面DEF ∥平面ABC.
小结：证明面面平行常用面面平行的判定定理及其推论，面面平行的定义也可以判定面
面平行，但不常用．
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD —A′B′C′D′中，求证：平面C′DB ∥平面AB′D′.
证明： ∵AB ∥DC ∥D′C′，
∴ABC′D′是平行四边形，
∴BC′∥AD′.
又∵BC′⊄平面AB′D′，
AD′⊂平面AB′D′，
∴BC′∥平面AB′D′.
同理：C′D ∥平面AB′D′，
∵BC′∩C′D ＝C′，
∴平面C′DB ∥平面AB′D′.
探究点三 平面与平面平行的性质
问题1 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
答： 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行．
问题2 如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？
答：借助长方体模型，如右图，
B′D′所在的平面A′C′与平面AC 平行，所以B′D′与平面AC 没有公共点．
因此，直线B′D′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线．
问题3 在长方体ABCD —A′B′C′D′中，平面AC 内哪些直线与直线B′D′平行呢？如何找到它们呢？
答： 平面AC 内的直线只要与直线B′D′共面就平行．在平面AC 中，与BD 平行的直线也平行直线B′D′. 问题4 当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？
答： 两条交线平行．
小结： 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
问题5 你能写出面面平行的性质定理的已知与求证，并给出证明吗？
答：已知 如下图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b.求证 a ∥b.
证明： ∵α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ⊂α，b ⊂β.
因α∥β，∴a ，b 没有公共点．
又因为a ，b 同在平面γ内，所以a ∥b.
问题6 如何用符号语言表示面面平行的性质定理？这个定理的作用是什么？
答： ⎭
⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ； 定理的作用是由面面平行证明线线平行．
例2 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.
求证：AB BC ＝DE EF
. 证明：连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α，β分别相交于直
线AD ，BG .平面DCF 与平面β，γ分别相交于直线GE ，CF.
因为α∥β，β∥γ.
所以BG ∥AD ，GE ∥CF.
于是，得AB BC ＝DG GC ，DG GC ＝DE EF
. 所以AB BC ＝DE EF
. 小结：由本例题可以得出一个重要结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
跟踪训练2 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．已知：如图所示，α∥β，
AB ∥CD ，且A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β.求证：AB ＝CD.
证明：因为AB ∥CD ，所以过AB ，CD 可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相
交于AC 和BD.
因为α∥β，所以BD ∥AC. 因此，四边形ABDC 是平行四边形． 所以AB ＝CD.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1．下列说法正确的是(C)
A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
解析：由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C.
2．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是(B) A．相交B．平行
C．异面D．不确定
解析：因l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β. 又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.
3．已知A、B是平面α外的两点，则过A、B与α平行的平面有__0或1____个．
解析：当直线AB与平面α相交时，不存在过A、B与平面α平行的平面；当直线AB∥α时，有且只有一个平面过A、B与平面α平行．
课堂小结：
1．证明平面与平面平行的一般思路为：要证面面平行，只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行．在立体几何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得到解决．
2．两个平面平行具有如下的一些性质：
(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行；
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；
(3)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交；
(4)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．
3．证明面面平行，常用平行公理、三角形中位线定理、构造平行四边形等来证明．。