正弦型函数的图像和性质

32
3
当 u=2kπ +3π (k∈ Z) 时 , 即 x=4kπ +3π (k∈ Z) 时 , sin1x取 得 最
2
2
小 值 -1 ，
此 时 函 数 y=4sin1x取 最 小 值 -4.
32
3
(3) 设u = 3x+π. 4
当 u = 2 k π ( k ∈ Z ) 时 , 即 x = 2 k π - π ( k ∈ Z ) 时 , c o s ( 3 x + π ) 取 最 大 值 1 ，
3
6
[1kπ -5π ,1kπ +π ](k∈ Z). 2 242 24
换元转化的思想方法
1. 要得到函数y=cos3x的图像，只需将函数
y=cos(3x- π
6
)的图像（
C
）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A.向左平移 π 个单位长度
6
π
B.向右平移 6 个单位长度
C.向左平移 π 个单位长度 D.向右平移 π 个单位长度
18
3 1 2
4
此 时 函 数 y = 1 c o s ( 3 x + π ) 取 最 大 值 1 .
2
4
2
当 u=2kπ + π (k∈ Z)时 , 即 x=2kπ +π (k∈ Z)时 , cos(3x+π )取 最 小
34
4
值 -1 ，
此 时 函 数 y=1cos(3x+π )取 最 小 值 -1.
2
4
2
换元转化的思想方法
例6: (1)求函数 y 2sin(1 x ) 的递增区间.
23
(2)求函数 y = 1 cos(4x + 5π) 的递减区间.
解:(1) 设u = 1 x-π.3
6
因 为 函 数 s i n u 的 2递 增 3区 间 是 [ 2 k π - π , 2 k π + π ] ( k ∈ Z ) , 由
(1)y sin x 2.(2)y 4 sin 1 x.(3)y 1 co（s 3x ).
32
2
4
解: (1) 当 x=2kπ +π (k∈ Z) 时 ,si nx取 最 大 值 1,
2
此 时 函 数 y=si nx-2取 最 大 值 -1.
当 x=2kπ +3π (k∈ Z) 时 , sinx取 最 小 值 -1, 2
霸祖孤身取二江，子孙多以百城降.豪华 尽出成功后，逸乐安知与祸双？
——王安石
2 k π - π ≤ 1 x - π ≤ 2 k π + π ( k ∈ Z ) , 即 2 2
22 3 4 k ≤ x≤ 4 k
2 5 (k
Z)
3
3
所 以 ,函 数 y=2sin(1x-π )的 递 增 区 间 是 23
[4kπ -π ,4kπ +5π ](k∈ Z).
3
3
(2) 设u=4x+5π. 6
18
2.（2014·陕西高考）函数 f（ x） =cos(2x-π)
6
的最小周期是（ B ）
A. π
B. π C.2 π D.4 π
2
3.把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原 来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再 向下平移1个单位长度,得到的图像是( A )
4.（2013·山东高考）将函数y=sin（2x + ）的
（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
原来的 1 倍（纵坐标不变）
y=sin(x+) 的图像
（3）纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) y=Asin(x+)的图像
到原来的A倍（横坐标不变）
（4）向上（b>0）或向下（b<0）
平移| b |个单位长度
y=Asin(x+)+b的图像
思考1： A,,,b对图像的影响. 决定了函数y Asin(x ) b的周期（周期T 2）;
（3）纵坐标伸长(A>1)或缩短
(0<A<1) 到原来的A倍（横坐标不变）
y=Asin(x+)的图像
（4）沿y轴向上（b>0）或向下（b<0） y=Asin(x+)+b的图像 平移| b |个单位长度
思考：区分先移后缩，先缩后移的区别.
例5：求下列函数的最大值、最小值，以及达到
最大值、最小值时x值的集合.
决定了函数y Asin(x ) b的初相（初相）;
A和b决定了函数y Asin(x ) b的值域和振幅
（振幅A，值域A b,A b）.
思考2：还有其他的变换方法吗？
方法2:先伸缩后平移
1
函数
（1）横坐标缩短到原来的 y=sinx
2
倍
y=sin2x的图像
纵坐标不变
（2）向左平移 12 个单位长度
因 为 函 数 c o s u 的 递 减 区 间 是 [ 2 k π , 2 k π + π ] ( k ∈ Z ) , 由
2 k π ≤ 4 x + 5 π ≤ 2 k π + π ( k ∈ Z ) , 即 6
1 2
kπ-
5π≤ 24
x
≤
1 2
kπ+
π 24
(k
∈Z),
所 以 ,函 数 y=1cos(4x+5π )的 递 减 区 间 是
思考交流：如何利用y=sinx来研究 y=Asin(ωx+φ)的图像和性质.
可利用平移变换法与整 体代入思想研究.
例4：画出函数y 3sin(2x ) 1的简图. 6
分析：本题可以利用“五点法”来作函数图像， 也可以利用图像变换法作图.
方法1:先平移后伸缩
函数 y=sinx （1）向左平移 6
y=3sin(2x+ )+1④ 方法1:先移后缩演示
6
y=3sin(2x+ )③ 6
y=sinx
5
11
11
6
2
x
12
12
y=sin(x+ )① y=sin(2x + )② 6
6
方法1:先平移后伸缩一般规律
（1）向左( >0)或向右( <0)
函数 y=sinx
y=sin(x+)的图像
平移| |个单位长度
此 时 函 数 y=sinx-2 取 最 小 值 -3.
(2) 设 u = 1 x .
当 u = 2 k π + π ( k 2∈ Z ) 时 , 即 x = 4 k π + π ( k ∈ Z ) 时 , s i n 1 x 取 得 最 大 值 1 ，
2
2
此 时 函 数 y = 4 s i n 1 x 取 最 大 值 4 .
4
2
k , k Z .
4
5.已知函数y=Asin(x+)(其中A>0,ω>0,||≤
2
)
一个周期的图像如下图所示,则函数的解析式为
y 2sin( 2 x )
32
.
1.会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法， 作函数y=Asin(ωx+φ)的图像. 2.能区分先移后缩，先缩后移的区别. 3.会借助正弦函数、余弦函数研究函数 y=Asin(ωx+φ)的单调性及最值.
图像沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数
8
的图像，则 的一个可能取值为（
B
）
A. 3
B.
C.0
D.
4
4
4
【解析】将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左
平移 个单位后，得到 y sin[2(x ) ], sin(2x )
8
因为此时函数为偶函数，所以
8
4
k , k Z ，即
6
y=sinx
5
11
12
12
11
6
2
x
y=sin2x①
y=sin(2x + )② 6
方法2:先伸缩后平移一般规律
（1）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
函数y=sinx
原来的 1 倍（纵坐标不变）
y=sinx的图像
（2）向左( >0)或向右( <0) 平移| |个单位长度
y=sin(x+)的图像
y=sin(2x+ 6 ) 的图像
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin(2x+
6
)的图像
（4）沿y轴方向 向上平移1个单位长度
y=3sin(2x+
6
)+1的图像
y 4
3
2
1
o
6 12
-１
-2 -3
y=3sin(2x+ )+1④ 方法2:先缩后移演
6
示
y=3sin(2x+ )③
（2）横坐标缩短到原来的
1 2
倍
纵坐标不变
y=sin(x+ ) 的图像 6
y=sin(2x+ ) 的图像 6
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin(2x+ )的图像 6
（4）沿y轴方向 向上平移1个单位长度
y=3sin(2x+ )+1的图像 6
y 4
3
2
1
o
6 12
-１
-2 -3
§8 函数y=Asin(ωx＋ ) 的
图像与性质（二）
振幅变换 y=sinx 相位变换 y=sinx
横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍
向左或向右
平移| |个单位
y=Asinx y=sin(x± )
周期变换 y=sinx
y=sinωx
1.会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法， 作函数y=Asin(ωx+ )的图像.（重点） 2.会借助正弦函数、余弦函数研究函数y＝ Asin(ωx+ )的单调性及最值.（难点）