概率论第二讲等可能概型

? 概率论中“实际推断原理” :一个小概率事件在 一次试验中实际上是不会发生的．
? 因此按“实际推断原理”事件Ａ实际不会发生， 这与实际试验结果相矛盾，因此假设“女士纯粹 是猜测”不成立，有理由断言该女士的说法是可 信的．
? 例7 （抽奖券问题）某超市有奖销售，投 放n张奖券只有一张有奖。每位顾客可抽一 张。求第k位顾客中奖的概率。（无放回抽 样）（1≤k≤n）
P(B)=4/42=1/4
? 在古典概型中显然有 P(ā)=(n -nA)/n=1-p(A)
例4，掷两颗骰子，试求出现的点 数之和小于10的概率。
解：样本空间共含36个样本点，点数之 和大于等于10含样本点(5，5），（4，6）， （6，4），（5，6），（6，5），（6，6） 共6个。
P=1-6/36=5/6
? 自然地规定 P（Ω）=1， P（φ）=0。 0≤p(A) ≤1
?
在现实问题中，有很大一类随机现象具有一些
共同的特征，可以直接计算出事件的概率。比如：
? （1）一盒灯泡 100个，任取一个检查其质量， 则100个灯泡被抽取的机会相同。
（2）抛一枚匀称的硬币，出现正面和反面的可 能性相同。
这两个试验的共同特点是：
? 例5，某城市的电话号码升为 6位数，且第一位为 6或8。求（1）随机抽取的一个电话号码为不重 复的六位数的概率；（ 2）随机抽取的电话号码 末尾数是 8的概率。
?
6
8
8
8
? 解（1） P ? 2 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 0.1512
2 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10
?
（2）
P
?
2 ? 104 2? 105
?
0.1
? 例6 （女士品茶问题）一位常喝奶茶的女士声称她能辨别 出冲好的奶茶是先放茶还是先放奶，并且她在10次试验中 都正确地辨别了出来，问她的说法是否可信？
? 每次试验只有两个结果，或者先放茶后放奶，或者先放奶
后放茶，十次试验共有 2 ? 2 ? L ? 2 ? 210 不同结果。
P（A）=m（A）/m（Ω）
这里m（·）分别表示长度、面积或体积。
例8，在半圆区域0≤y≤ 2ax ? 内x2 随机地投 入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角
不超过 ? /的4 概率.
0
2a
例9 ． 在单位圆O的一条直径MN上随机 地取一点Q，试求过Q且与MN垂直的弦的 长度超过1的概率。
例10 ． 甲、乙两艘轮船都要在某个泊 位停靠6h，假定它们在一昼夜时间段中 随机到达。试求这两艘船中至少有一艘在 停靠泊位时必须等待的概率。
P（A）= nA/nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1. 盒中装有5个球，三白两红，从中 任取一个，问：取到白球的概率是多少？ 若从中任取两个，问两个球全是白球的概 率是多少？（考虑50个球的情形：计数原 理和排列组合）
解：
P =3/5
P2=3*2/(5*4)=3/10
? 1. 从n个元素中任取 k个，有
Cnk
?
n ?n ? 1??n ? 2?L k ?k ? 1?L
二. 几何概率
例：在一个匀称陀螺的圆周上均匀的刻上 区间[0，3）上的各数字，旋转该陀螺，考 察陀螺停下时接触地面的点的刻度恰好为2 的概率。
以等可能性为基础，借助于几何上的度量 来合理地规定的概率，称为几何概率。 一般地，设样本空间是某个区域Ω（直线、 平面或空间）每个样本点等可能地出现， 规定事件A的概率为
①每次试验只有有限种可能的试验结果， 即样本点总数有限。
②每次试验中各基本事件出现的可能性是 相同的，即等可能性。
? 在概率论中，把具有上述两个特点 的试验叫做古典型试验，它的数学模 型称为古典概型。
? 在古典概型中，记n为样本点总个数， 如果事件A中包含nA个样本点，（或 称有利于A的样本点个数为nA ）那么 规定
第二讲 等可能概型
一 等可能概型的概述 二 古典概率 三 几何概率
等可能概型的概述
一、定义：样本空间中的每个样本点在一次 试验后以相等的可能性出现，即等可能性。
二、注意：搞清楚样本空间，事件，基本事 件的关系。
一. 古典概率
? 随机事件发生的可能性大小常用区间 [0，1]中的 一个数值来刻划，这个数值称为概率，记为 p （A）。
注意抽样的区别：有放回抽样和无放回 抽样。
有放回的情况下 p=(7×3+3×7)/102=0.42
在无放回的情况下 p=(7×3+3×7)/(10×9)=0.47
例3. 两封信随机地向四个邮筒投寄，求 A∶第二个邮筒恰好被投入一封信的概率， B∶两封信在同一邮筒的概率。
解：
P(A)=(3+3)/42=3/8
? 而10次都正确的结果只有 1? 1? L ? 1 ? 110 ? 1
一种！
? 解：假设该女士的说法不可信，即该女士纯粹是 猜测，则每次试验的两个可能结果：茶＋牛奶或 牛奶＋茶是等可能的．
? Ａ＝｛该女士在１０次试验中都正确的辨别出 来｝，则
?
p（Ａ）=1/210=0.0009766
? 这是一个小概率事件．
?n ? k ? 1??
2 ?1
n!
k!?n ? k?!
种不同的结果；
? 2. 一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法， 一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加 法，这就是所谓的计数原理。
例2. 一个盒子中装有10个晶体管，其中 3个是不合格品。从这个盒子中依次随机地 取2个，在有放回与无放回抽样的二种情况 下求2个中恰有1个是不合格品的概率。