概率论与数理统计作业(二)答案

1、设事件,A B 满足：11(|)(|),()33

P B A P B A P A ===,则()P B = . 解 ()1111(|),()()()()3339

P AB P B A P A P AB P A P A ===⇒== ()112(|)()()()339

P AB P B A P AB P A P A ==⇒== []()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=-+-⇒ 1125()1()()()13999

P B P A P A B P A B =-+-=-+-= 2、设()()()221,,532

P A P A B P B A ===,则()P A B = . 解 ()1211(|),()()()()2525

P AB P B A P A P AB P A P A ===⇒== ()23()3(|)()()3210

P AB P AB P A B P B P B ==⇒== 2311()()()()51052

P A B P A P B P A B =+-=+-= 3、设随机事件,A B 满足()0.6,()0.9,(|)0.5P A P A B P B A ===,则()P B = .

解 ()0.6()0.6()0.9()()()0.9()0.6(|)0.5()0.5()

P A P A P A B P A P B P AB P B P B A P AB P A ⎧⎪==⎧⎪⎪⎪=⇒+-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩

4、设事件,,A B C 两两独立,且1,()()()2

ABC P A P B P C =∅==<,()9/16P A B C =,则 ()P A =__________.

解 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+

2()()()()()()()()()

93()3()16

P A P B P C P A P B P B P C P A P C P A P A =++---=-

= 22119323()3()()()0()16162P A P A P A P A P A ±-=⇒-+=⇒== 11()42P A ⇒=<或31()42P A =>1()4

P A ⇒=. 5、设在一次试验中,事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为 ,而事件A 至多发生一次的概率为 .

解A 至少发生一次的概率为:001(0)1(1)1(1)n n n n p C p p p -=-⋅-=--

A 至多发生一次的概率为001111(0)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n p p C p p C p p p np p --+=⋅-+⋅-=-+-.

二、计算题

打破的概率为7/10,若前两次落下还未打破,第三次落下被打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.

解 设i A 表示第i 次落下时透镜被打破,(i ＝1,2,3),B 表示透镜三次落下而未破,则123B A A A =,故

()()()()123121312

()1791-1-1-210100.015P B P P P A A P A A A ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

=

2、将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2:1.问

(1) 接收站收到信息A 的概率是多少?

(2) 若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少？

解 (1) 设A ={原发信息是A },则A ={原发信息是B },又设C ={收到信息是A },则 C ={收到信息是B },则

21(),(),(|)0.98,(|)0.0133

P A P A P C A P C A ==== 于是由全概率公式得 21()()(|)()(|)0.980.010.656733

P C P A P C A P A P C A =+=⨯+⨯≈ (2) 若接收站收到的信息是A ,由贝叶斯公式,原发信息是A 的概率是

20.98

()()3()0.9949()0.6566

P A P C A P A C P C ⨯==≈ 3、加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.

解 设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).则

()

412341234111()()()()i i P A P A A A A P A P A P A P A =⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭

10.980.970.950.970.124

=-⨯⨯⨯= 4、掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

(1)问正好在第6次停止的概率;

(2)问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.

解 (1)设A =”正好在第6次停止”,事件A 发生说明第6次出现正面且前五次中出现2次正面,3次反面”,于是所求的概率为 23

251115()22232

P A C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2) 设B =”第5次出现正面”,则事件AB 表示前四次中出现1次正面,3次反面,而第5,6次

出现正面这一事件,于是31411111()222216

P AB C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,由条件概率计算公式得 ()2(|)()5P AB P B A P A ==.