【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练55 抛物线 理 北师大版
2017届高考数学一轮复习课件：第8章 平面解析几何8-8
第十二页，编辑于星期六：一点 二十一分。
命题角度2 定义法求轨迹方程
典例2
[2013·课标全国卷Ⅰ改编]已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M
外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为 P(x，y)，半径为R.
第七页，编辑于星期六：一点 二十一分。
→→ 2．已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足|OP＋AP|＝2，则P点的轨迹方程是( )
A．4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0
B．4x2＋4y2－4x－8y－1＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
→
→
→→
解析 设P点的坐标为(x，y)，则OP＝(x，y)，AP＝(x－1，y－2)，OP＋AP＝(2x－1,2y－2)．所以(2x
考点 轨迹方程
回扣教材 1.曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与 一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解满足如下关系： (1)曲线上点的坐标都是_这__个__方__程__的__解__．_____ (2)以这个方程的解为坐标的点都是_曲__线__上__的__点__．__ 那么这个方程叫做__曲__线__的__方__程___，这条曲线叫做_方__程__的__曲__线__．__
将y＝18x2－15代入c＝x－ 16 3x
33y，
得c＝101x62＋x 5>0.
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16 3xy－15＝0(x>0)．
第二十三页，编辑于星期六：一点 二十一分。
2017届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双基练51两条直线的位置关系理北师大版
计时双基练五十一 两条直线的位置关系A 组 基础必做1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析 由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0。
答案 A2．不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B ．(－2,0)C ．(2,3)D ．(9，－4)解析 由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0得定点坐标为(9，－4)。
答案 D3．(2016·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析 ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5。
∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)。
∴m ＋n ＝0。
答案 A4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限。
答案 B5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0与x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析 由两直线互相垂直，得－1a·2＝－1，解得a ＝2，所以中点P 的坐标为(0,5)，则OP ＝5，在直角三角形OAB 中，斜边AB ＝2OP ＝2×5＝10，所以线段AB 的长为10。
2017届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双基练56双曲线理北师大版
计时双基练五十六 双曲线A 组 基础必做1．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等。
答案 D2．(2016·河北省高三年级三市第二次联考)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的离心率等于33b ，则该双曲线的焦距为( ) A ．2 5 B ．2 6 C ．6D ．8解析 设双曲线的焦距为2c ，由已知得c 2＝33b ，又c 2＝4＋b 2，解得c ＝4，则焦距为8。
答案 D3．(2015·四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析 双曲线x 2－y 23＝1的两条渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点为F (2,0)如图所示。
根据题意，由⎩⎨⎧y ＝3x ，x ＝2，得A (2,23)。
同理可得B (2，－23)。
所以|AB |＝43，故选D 。
答案 D4．已知双曲线x 2a －y 2b＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a >2，∴e ＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝5。
答案 C5．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析 设双曲线的右顶点为B ，则B (a,0)。
2017届高考数学一轮复习课件：第8章 平面解析几何8-3
第三页，编辑于星期六：一点 二十一分。
考点多维探究
第四页，编辑于星期六：一点 二十一分。
考点 1 求圆的方程回扣源自材1.圆的定义及方程 定义
平面内到_定__点____的距离等于_定__长____的点的轨迹叫 做圆
标准 方程
(x－a)2＋(y－b)2＝ r2(r>0)
第八页，编辑于星期六：一点 二十一分。
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析 根据圆的一般方程可求－D2 ，－E2.
第九页，编辑于星期六：一点 二十一分。
3．[教材改编]圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－1＝0，圆心坐标是(_1_，__－__2_)_，半径是___6_____．
解得 a＝1，b＝－4，r＝2 2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 解法二：过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线为 y＋2＝x－3.与 y＝－4x 联立可得圆心为(1，－4)， 所以半径 r＝ 1－32＋－4＋22＝2 2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
第十七页，编辑于星期六：一点 二十一分。
圆心 C：(_a_，__b_)__ 半径：___r ____
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
方程
(D2＋E2－4F>0)
圆心：－D2 ，－E2
半径：r＝
D2＋E2－4F 2
第五页，编辑于星期六：一点 二十一分。
2．点与圆的位置关系 (1)理论依据：__点__与__圆__心_____的距离与半径的大小关系． (2)三种情况 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)， ①(x0－a)2＋(y0－b)2__＝___r2⇔点在圆上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2__>___r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0－b)2__<___r2⇔点在圆内．
2017高考理科数学一轮复习课件：第8章 平面解析几何 第1讲
倾斜角为 α(0≤α＜π)，则 sin α＝ 1100，从而 cos α＝± 31010，则 k＝tan α＝±13.
栏目 导引
第十六页，编辑于星期六：二十二点 五分。
第八章 平面解析几何
考点一 直线的倾斜角与斜率 (1)(2016·苏州调研)设直线 l 过坐标原点，它的倾 斜角为 α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°，得 到直线 l1，那么 l1 的倾斜角为_α_＋__4_5_°__或__α_－_1_3_5_°______．
α2，α3，其中 l1：x－y＝0，l2：x＋2y＝0，l3：x＋3y＝0， 则 α1，α2，α3 从小到大的排列顺序为__α_1_＜__α_2＜__α_3________． 解析: 由 tan α1＝k1＝1>0，所以 α1∈0，π2 . tan α2＝k2＝－12<0，所以 α2∈π2 ，π，α2>α1，
栏目 导引
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 五分。
第八章 平面解析几何
法二：设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－3)(k<0)， 令 x＝0，得 y＝2－3k>0； 令 y＝0，得 x＝3－2k>0. 所以 S△OAB＝12(2－3k)3－2k＝12， 解得 k＝－23， 故所求直线方程为 y－2＝－23(x－3)， 即 2x＋3y－12＝0.
栏目 导引
第十四页，编辑于星期六：二十二点 五分。
第八章 平面解析几何
2．△ABC 的三个顶点为 A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)， 求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程． 解: (1)因为直线 BC 经过 B(2，1)和 C(－2，3)两点，由两点 式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝0.
2017届高考数学一轮复习课件：第8章 平面解析几何8-6
顶点坐标： _A__1(_0_，__－__a_)_，__A_2(_0_，__a)
__y_＝__±_ab_x_____
e＝ac，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝__2_a___；
线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝__2_b___；
对称性 顶点
性质 渐近线 离心率
轴
xa22－yb22＝1(a>0，b>0)
ya22－xb22＝1(a>0，b>0)
x≥a 或 x≤－a，y∈R
x∈R，y≥a 或 y≤－a
对称轴：_坐__标__轴__ 对称中心：_原__点___
顶点坐标： ___A_1_(－__a_,_0_)_，__A_2(_a_,_0_)
考点 1 双曲线的定义及标准方程
回扣教材 1.双曲线的定义 (1)定义：平面上，到两定点的距离之差的__绝__对__值__为__常__数______ (小于两定点间的距离)的动点的轨迹．两 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)符号语言：||PF1|－|PF2||＝__2_a___ (2a<|F1F2|)． (3)当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点__F_2___所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a 时， 曲线仅表示焦点__F_1___所对应的双曲线的一支；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以 F1，F2 为端点的两条_射__线_____； 当 2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
第十八页，编辑于星期六：一点 二十一分。
2017届高考数学一轮总复习课件：第八章 平面解析几何 8.6.1
2
4
,r23=
2
,所25以圆
4
第十七页，编辑于星期六：一点 五十一分。
5.(2016·三明模拟)已知椭圆
x 2=1(ya2>b>0)的两焦点为 a2 b2
F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另
两条边,则椭圆的离心率为
.
第十八页，编辑于星期六：一点 五十一分。
【解析】设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于点A,
第六节 椭 圆 第一课时 椭圆的概念及其性质
第一页，编辑于星期六：一点 五十一分。
第二页，编辑于星期六：一点 五十一分。
第三页，编辑于星期六：一点 五十一分。
【知识梳理】
1.椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离___之__等和于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做 椭圆的_焦__点__,两焦点间的距离叫做椭圆的___焦_距_.
对称轴:_坐__标__轴__ 对称中心:_原__点__
质
顶点
A1(_-_a_,_0_)_,A2_(_a_,_0_)_ A1_(_0_,_-_a_)_,A2_(0_,_a_)_ B1_(_0_,_-_b_),B2_(_0_,_b_)_ B1_(_-_b_,_0_)_,B2(_b_,_0_)_
轴
长轴A1A2的长为_2_a_
因为|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2a=2,
两式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,
所以|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)
=4-|AB|.
第三十二页，编辑于星期六：一点 五十一分。
高考数学大一轮复习第八章平面解析几何单元质量检测理
【红对勾】（新课标） 高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何单元质量检测 理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1或3D ．－1或－3解析：因为直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，所以－(a ＋2)≠0，所以3x －(a ＋2)y ＋1＝0的斜截式方程为y ＝3a ＋2x ＋1a ＋2，由两直线平行，得3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或a ＝－3.答案：A2．双曲线x 22－y 21＝1的焦点坐标是( )A ．(1,0)，(－1,0)B ．(0,1)，(0，－1)C ．(3，0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)解析：c 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，所以c ＝ 3.由焦点在x 轴上．所以焦点坐标为(3，0)，(－3，0)．答案：C3．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3D ．1解析：圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，弦AB 的长l ＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.答案：B4．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝13 B ．(x ＋2)2＋y 2＝17 C ．(x ＋1)2＋y 2＝40D ．(x －1)2＋y 2＝20解析：设圆心坐标为C (a,0)，则|AC |＝|BC |，即a －52＋22＝a ＋12＋42，解得a ＝1，所以半径r ＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C 的方程是(x －1)2＋y 2＝20.答案：D5．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由题意a 2－b 2a ＝32，所以a 2＝4b 2.故双曲线的方程可化为x 24b 2－y 2b2＝1，故其渐近线方程为y ＝±12x .答案：A6．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1B ．y 2－x 24＝1C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 解析：由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0，∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，∴2aa 2＋b 2＝455，∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5， ∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1. ∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C.答案：C7．过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 则x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．答案：D8．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：D9．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率相等解析：对于双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1，a 21＝cos 2θ，b 21＝sin 2θ，c 21＝1；对于双曲线C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1，a 22＝sin 2θ，b 22＝sin 2θtan 2θ，c 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2θcos 2θ＝sin 2θcos 2θ＝tan 2θ.∵只有当θ＝k π＋π4(k ∈Z )时，a 21＝a 22或b 21＝b 22或c 21＝c 22，而0<θ<π4，∴A ，B ，C 均错；设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＝1cos 2θ，e 22＝tan 2θsin 2θ＝1cos 2θ. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等． 答案：D10．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：椭圆C 1中，|AF 1|＋|AF 2|＝4，① |F 1F 2|＝2 3.又因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以∠F 1AF 2＝90°. 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，②由①②联立解得，|AF 1|＝2－2，|AF 2|＝2＋ 2.在双曲线C 2中，2c ＝23，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝22，故e ＝c a＝32＝62，故选D. 答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝012．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.答案：x ＋y －1＝013．已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为________．解析：椭圆的左焦点为F (－1,0)，右焦点为E (1,0)，根据椭圆的定义，|PF |＝2a －|PE |，∴|PF |＋|PQ |＝|PQ |＋2a －|PE |＝2a ＋(|PQ |－|PE |)，由三角形的性质，知|PQ |－|PE |≤|QE |，当P 是QE 延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a ＋|QE |＝22＋32＝5 2.答案：(0，－1)14．已知曲线x 2a －y 2b＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ→＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析：将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2.答案：2三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，原点到过点A (a,0)，B (0，－b )的直线的距离为455.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．解：(1)因为ca ＝32，a 2－b 2＝c 2，故a ＝2b ，因为原点到直线AB ：x a －y b ＝1的距离d ＝ab a 2＋b 2＝455，解得a ＝4，b ＝2，故所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y24＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kx －12＝0，易得Δ>0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，EF 的中点是M (x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝－4k 1＋4k 2，y M ＝kx M ＋1＝11＋4k2， 所以k BM ＝y M ＋2x M ＝－1k， 又因为k ≠0，所以k 2＝18，所以k ＝±24.16．(10分)过点Q (－2，21)作圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的切线，切点为D ，且|QD |＝4. (1)求r 的值；(2)设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM →＝OA →＋OB →，求|OM →|的最小值(O 为坐标原点)．解：(1)圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为O (0,0)， 于是|QO |2＝(－2)2＋(21)2＝25，由题设知，△QDO 是以D 为直角顶点的直角三角形， 故有r ＝|OD |＝|QO |2－|QD |2＝25－42＝3.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0，则A (a,0)，B (0，b )，∴OM →＝(a ，b )，∴|OM →|＝a 2＋b 2. ∵直线l 与圆O 相切，∴|－ab |a 2＋b2＝3⇒a 2b 2＝9(a 2＋b 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，∴a 2＋b 2≥36，∴|OM →|≥6，当且仅当a ＝b ＝32时取到“＝”． ∴|OM →|取得最小值为6.17．(12分)如图，已知点E (m,0)(m >0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4.(2)设直线AB的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2，∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(12分)(2014·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明：存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值；②求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a5， 因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2.因此b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)． 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1. 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立．②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)， 令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1,0)，可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1.当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.。
2017届高考数学一轮复习必考部分第八篇平面解析几何第
第6节双曲线【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( B )(A)1 (B)17(C)1或17 (D)以上答案均不对解析:由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.2.若k∈R,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是( A )(A)(-3,-2) (B)(-∞,-3)(C)(-∞,-3)∪(-2,+∞) (D)(-2,+∞)解析:由题意得解得-3<k<-2.3.若ab≠0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是如图中的( C )解析:方程可化为y=ax+b和+=1.从B,D中的两椭圆看a,b∈(0,+∞),但B中直线有a<0,b<0矛盾,应排除;D中直线有a<0,b>0矛盾,应排除;再看A中双曲线得a<0,b>0,但直线有a>0,b>0,也矛盾,应排除;C中双曲线的a>0,b<0和直线中a,b一致.故选C.4.(2015甘肃酒泉实验中学月考)已知A,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积k PA·k PB=,则该双曲线的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:根据双曲线的对称性可知A,B关于原点对称,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y),则-=1,k PA·k PB=·====,e==.5.(2015甘肃张掖4月模拟)已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上且·=0,则点M到x轴的距离为( D )(A)(B)(C)(D)解析:双曲线x2-=1的焦点为F1(-,0),F2(,0).因为MF1⊥MF2,所以点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上,故由解得|y|=,所以点M到x轴的距离为.6.设F1,F2是双曲线C的两焦点,点M在双曲线上,且∠MF2F1=,若|F1F2|=8,|F2M|=,则双曲线C的实轴长为( D )(A)2(B)4(C)2(D)4解析:由余弦定理得|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2-2|MF2|·|F1F2|·cos∠MF2F1=()2+82-2××8×cos=50.所以|MF1|=5.由双曲线定义可知,实轴长2a=||MF1|-|MF2||=4.7.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( C )(A)3x±4y=0 (B)3x±5y=0(C)4x±3y=0 (D)5x±4y=0解析: 如图,由条件|F2A|=2a,|F1F2|=2c,又|PF2|=|F1F2|,所以A为PF1的中点,由a2+b2=c2,得|PF1|=4b,由双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,则4b-2c=2a,所以2b=c+a,因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,所以4b2-4ab+a2=a2+b23b2=4ab,所以=,所以渐近线方程为y=±x.8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为5,则m的值为.解析:因为c2=m+m+4=2m+4,所以e2===5,所以3m-4=0,所以m=.答案:9.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.解析:由消去y得x2-2mx-m2-2=0.Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以5m2=5,所以m=±1.答案:±110.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为.解析:双曲线的左焦点为F1(-2,0),将直线AB方程:y=(x+2)代入双曲线方程,得8x2-4x-13=0.显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=·=×=3.答案:3能力提升练(时间:15分钟)11.F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析: 如图,由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,所以|AB|=|BF1|-|AF1|=|BF1|-|AF1|+|AF2|-|BF2|=(|BF1|-|BF2|)+(|AF2|-|AF1|)=4a,所以|BF2|=4a,|BF1|=6a,在△BF1F2中,∠F1BF2=60°,由余弦定理得,|BF1|2+|BF2|2-|F1F2|2=2|BF1|·|BF2|·cos 60°,所以36a2+16a2-4c2=24a2,所以7a2=c2,因为e>1,所以e==.12.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:设双曲线的右焦点为F,则F(c,0)(其中c=),且c=|OF|=r=4,不妨将直线x=a代入双曲线的一条渐近线方程y=x,得y=b,则A(a,b).由|FA|=r=4,得=4,即a2-8a+16+b2=16,所以c2-8a=0,所以8a=c2=42,解得a=2,所以b2=c2-a2=16-4=12,所以所求双曲线C的方程为-=1.13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,左、右顶点分别为A1,A2,P为双曲线上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2为直径的两个圆的位置关系为( B )(A)相交 (B)相切(C)相离 (D)以上情况都有可能解析:若P在双曲线左支上,设双曲线右焦点为F2,PF1的中点为O1,连接OO1,PF2.所以|OO1|===+a,是以PF1为直径的圆的半径,a是以A1A2为直径的圆的半径,故两圆外切,同理,若P在双曲线右支上,则可得两圆内切.综上,两圆相切.14.已知动圆与☉C1:(x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切,则动圆圆心M的轨迹方程为.解析:设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,则|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,所以|MC1|-|MC2|=r+3-r+1=4<|C1C2|=6,由双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,且2a=4,a=2,所以b2=c2-a2=5,所以双曲线的方程为-=1(x≥2).答案:-=1(x≥2)15. 如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A,B为椭圆的顶点,当FB⊥AB时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于.解析:设中心在坐标原点的双曲线左焦点为F,实轴右端点为A,虚轴端点为B,FB⊥AB,则|AF|2=|AB|2+|BF|2,因为|AF|2=(a+c)2,|AB|2=a2+b2,|BF|2=b2+c2,所以c2-a2-ac=0,因为e=,所以e2-e-1=0,因为e>1,所以e=.答案:16.从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=9的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|= .解析: 设F2为双曲线右焦点,则|OM|=|PF2|,|PF|-|PF2|=6.因为FT是☉O的切线,所以|FT|=4,所以|MT|=|MF|-|FT|=|PF|-4,所以|MO|-|MT|=|PF2|-|PF|+4=4-(|PF|-|PF2|)=1.答案:1精彩5分钟1.已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( C )(A)6 (B)8 (C)10 (D)12解题关键:关键把问题转化为到圆心的距离.解析:依题意知P在曲线C1的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1,则|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.2.(2015河北沧州4月质检)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为120°,直线bx-2ay=0与双曲线C交于A,B两点,若点A(x1,y1),B(x2,y2)满足|x1-x2|=4,则弦长|AB|= .解题关键:关键是弦长公式的应用.解析:因为双曲线C的一条渐近线的倾斜角为120°,所以-=tan 120°=-,得=.由弦长公式得|AB|=|x1-x2|=|x1-x2|=2.答案:2。
2017届高考数学大一轮复习第八章平面解析几何8.6抛物线课时规范训练理北师大版
【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第八章平面解析几何8.6抛物线课时规范训练理北师大版[A级基础演练]2 2X y1. (2016 •重庆渝中区一模)双曲线C：云一器=1(a>0, b>0)的离心率为2，双曲线C 的渐近线与抛物线y2= 2px(p>0)交于A, B两点，△ OABO为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )2 2A. y = 8xB. y = 4xC. y2= 2xD. y2= 4 3x2 2x y解析：•••双曲线C：孑一b^= 1(a>0, b>0)的离心率为.2,.・.双曲线C为等轴双曲线，即a= b, •••双曲线的渐近线方程为y=± x.又•••双曲线C的渐近线与抛物线y2= 2px交于A,B两点，如图所示，设点A(x, y),.・.|Oiyi= x, |AM = y.又•••△ OAB的面积为xy = 4,「. x =2, y = 2.又•••点A在抛物线上，• 22= 2p • 2.解得p= 1，•抛物线的方程为y2= 2x.故选 C.答案：C12. (2015 •高考课标卷I )已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C: y2= 8x的焦点重合，A, B是C的准线与E的两个交点，贝U | AB =( )A. 3B. 6C. 9D. 12解析：抛物线y2= 8x的焦点为(2,0)，•椭圆中c= 2,_ C 1 2 2 2又=;;,••• a= 4, b = a -c = 12,a 22 2x y从而椭圆方程为16+1.•••抛物线y2= 8x的准线为x=- 2,• - X A=X B=— 2,将X A=— 2代入椭圆方程可得|『A| = 3, 由椭圆性质可知| AB = 2|y A| = 6.故选B.答案：B22 X 23. (2016 •武汉质检)已知抛物线y = 4x的准线与双曲线-2- y = 1( a>0)交于A B两点,F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是()A. 3B. 6C. 2D. 3解析：依题意可知抛物线的准线为x=- 1,焦点为F(1,0),由题意得(一1,2)在双曲线1 2 1 5 「，上，即——4= 1，解得a = 5,所以e=- . 1 =〔;6.故选B.-5答案：B2 22 x y4. (2014 •高考上海卷)若抛物线y= 2px的焦点与椭圆-+鲁=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为____________________ .2 22 x y p解析：T c = 9—5= 4,「. c = 2. •••椭圆—+ 石=1 的右焦点为(2,0) ,••• 2= 2，即p= 4.•••抛物线的准线方程为x =— 2.答案：x =—25. _____________________________________________________________________ 动圆过点(1,0)，且与直线x=—1相切，则动圆圆心的轨迹方程为_____________________________ .解析：设动圆的圆心坐标为(x, y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=—1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2= 4x.答案：y2= 4x6. (2014 •高考湖南卷)如图，正方形ABCD和正方形DEFG勺边长分别为a, b( a< b),2 b原点O为AD的中点，抛物线y2= 2px(p>0)经过C, F两点，则-= _____________ab, O为AD的中点, 解析:•••正方形ABCD^正方形答案：•. 2 + 1 7.已知抛物线y 2= 2px (p >0)的焦点为F, A 是抛物线上横坐标为 4,且位于x 轴上方 的点，A 到抛物线准线的距离等于 5,过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，0B 的中点为 M(1) 求抛物线的方程；(2) 若过M 作MN L FA,垂足为N,求点N 的坐标；解：⑴ 抛物线y 2= 2px 的准线为x =- p于是4+ P= 5，二p = 2,二抛物线方程为y 2=4x .(2) T 点A 的坐标是(4,4), 由题意得 B (0,4)、M 0,2). 4又 F(1,0) ,.•• k AF = 3.3•/ MNL FA4故FA 的方程为y = 3(x — 1)，①3 3MN 的方程为y — 2=— 4X ,② 8 4联立方程①②，解得 x = ,, y =.55)已知抛物线 C ： y 2= 2px (p >0)的焦点为F ,直线y = 4与y5轴的交点为P,与C 的交点为Q 且|QF= 4网(1) 求C 的方程；(2) 过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线I '与C 相交于M N 两点, 且A 、MB N 四点在同一圆上，求I 的方程.2 8 解：（1）设 Qx o,4），代入 y = 2px 得 x o = -. p所以 | PQ = 8, | QF = p + X o = p + 8.p 2 2 pp 8 5 8.2a = pa ,b 2= 2p'|+ b ,解得b 卡+1.& (2014 •高考大纲全国卷 /• N 的坐标为由题设得2+ - = -X p,解得p=—2（舍去）或p= 2.P *T P所以C的方程为y2= 4x.(2)依题意知I与坐标轴不垂直，故可设I的方程为x= my+ 1(m^0).代入y2= 4x,得y2—4my-4= 0.设A(x i, y i) , B(X2, y2), 则y i + y2= 4m y i y2= — 4.故AB的中点为D(2 n i+ 1,2 n) , I AB =^n i+ 1| y i —y2| = 4( n i+ 1).1 2又I '的斜率为—m所以I '的方程为x = —m/+ 2m+ 3.2 2 4 2将上式代入y = 4x,并整理得y + my —4(2 m+ 3) = 0.4 2设M(X3, y s) , N(X4, y4)，贝U y s+ y4=— , y s y4= —4(2 m+ 3)./2 2 2 \故MN的中点为E「+ 2m+ 3,—, \m m;/ i 4 m+］叮2m+1丨MW = 1+m1 y3—w = mi 由于MN垂直平分AB,故A, MB, N四点在同一圆上等价于|AE = | BE =別MN，从而1| AB|2+ |DE2= 1| MN2,即4(m+ 1)2+ 护m「+ 幕 + 2)= m+l m El，化简得m—1 = 0，解得m= 1或m=—1.所求直线I的方程为x —y—1 = 0或x+ y —1 = 0.［B级能力突破］1. (2015 •高考四川卷)设直线I与抛物线y2= 4x相交于A B两点，与圆(x—5)2+ y2 =r2(r > 0)相切于点M且M为线段AB的中点.若这样的直线I恰有4条，则r的取值范围是()A. (1,3)B. (1,4)C. (2,3)D. (2,4)解析：如图，y2= 4x i, 设A(x i, y i) , B(X2, y2), Mx。
2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.8 平面解析几何课件 理
段，因此只有C正确。
答案 C
2．已知曲线C的方程为x2－xy＋y－5＝0，则下列各点中，在曲线C上
的点是( ) B．(1，－2) A．(－1,2)
C．(2，－3)
解析
D．(3,6)
将四个点的坐标一一代入曲线 C的方程，只有A选项成立，
因此(－1,2)在曲线C上。
答案 A
3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线 段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( A．2x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0 解析 B．2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0 )
【解】 设 M(x0,0)， P(0， y0)，N(x，y)。 → ⊥PF → ，PM → ＝ (x ，－y )，PF → ＝(1，－ y )， ∵PM 0 0 0 ∴ (x0，－y0)· (1，－y0)＝ 0。 ∴ x0＋ y2 0＝0。
→ ＝2MP → ，得(x－x ，y)＝2(－ x ， y )， 由MN 0 0 0
[练一练] 1．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的， 则下列命题中正确的是( ) A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上 B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程 C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C D．以上说法都正确 解析 因为曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小
2 2 2
4x2 4y2 3 所以点 M 的轨迹方程为 － ＝1x≤－ 。 9 7 2
【规律方法】 定义法求轨迹方程及其注意点
(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆
锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程； (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双
2017届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双
计时双基练五十二 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 基础必做1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)。
答案 C2．(2015²石家庄二检)已知F 是双曲线x 23a 2－y 2a2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°解析 ∵两条渐近线y ＝±33x 的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°，故选C 。
答案 C3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105 解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0。
则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4 t 2－15。
所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2² x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4³4 t 2－1 5＝4255－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105。
答案 C4．(2015²四川雅安月考)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)，∴|AK |＝4，∴S △AKF ＝12³4³23＝43。
2017高考数学一轮复习课件：第8章 平面解析几何 第2讲
设曲线 C1 上的点(x0，y0)到直线 l：y＝x 的距离最短为 d，则 过(x0，y0)的切线平行于直线 y＝x. 已知函数 y＝x2＋a，则 y′|x＝x0＝2x0＝1，即 x0＝12，y0＝14＋a，
点(x0，y0)到直线
l：y＝x
的距离
d＝12－14＋a＝14－a，
因为 l∥l3，所以直线 l 的斜率 k＝34，
所以直线 l 的方程为 y－2＝34x，即 3x－4y＋8＝0.
法二：因为直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点， 所以可设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
因为 l 与 l3 平行， 所以 3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，
否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，
若直线无斜率，要单独考虑．
(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化
为一般式．
(3)在运用两平行直线间的距离公式
d＝
|C1－C2| 时，一定要注 A2＋B2
意将两方程中 x，y 的系数化为相同的形式．
第五页，编辑于星期六：二十点 三十七分。
所以 λ＝27，
所以直线 l 的方程为 3x－4y＋8＝0.
第十五页，编辑于星期六：二十点 三十七分。
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程 l1 与 l2 垂直的充要条件
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
A1A2＋B1B2＝0
另一个不存在
第二页，编辑于星期六：二十点 三十七分。
2017届高考数学一轮复习课件：第8章 平面解析几何8-7
方程 范围 焦点
准线
焦半径 对称轴
顶点 离心率
y2＝2px(p>0) __x_≥__0_，y∈R
y2＝－2px(p>0) x≤0，y∈R
x2＝2py(p>0) ___y_≥__0，x∈R
x2＝－ 2py(p>0) y≤0，x∈R
2p，0
x＝－p2
－p2，0
x＝p2
|PF|＝x0＋p2
第二十七页，编辑于星期六：一点 二十一分。
解析 如图，分别过 A、B 作 AA1⊥l 于 A1，BB1⊥l 于 B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接 A1F，则△AA1F 为等边三角形，过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1，则 F1 为 AA1 的中点，设 l 交 x 轴于 K，则|KF|＝|A1F1|＝12|AA1|＝12|AF|，即 p＝32，∴抛物 线方程为 y2＝3x，故选 C.
第八页，编辑于星期六：一点 二十一分。
3．若点 P 到直线 y＝－1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2，则点 P 的轨迹方程是x_2_＝__1_2_y__． 解析 根据抛物线的定义可得 P 的轨迹方程为 x2＝12y.
第九页，编辑于星期六：一点 二十一分。
典例1 (1)[2014·课标全国卷Ⅰ]已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|＝54x0， 则 x0＝( )
第十四页，编辑于星期六：一点 二十一分。
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系得 x1＋x2＝2k2k＋2 4＝2＋k42. 又|AF|＝3＝x1＋p2＝x1＋1， 所以 x1＝2， 代入 k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，得 k2＝8， 所以 x1＋x2＝52，x2＝12， 故|BF|＝x2＋1＝12＋1＝32.
2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练53 最值、范围、证明问题 文
计时双基练五十三 最值、范围、证明问题A 组 基础必做1．设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为椭圆上一点，椭圆的长半轴长等于焦距。
(1)求椭圆的方程；(2)设点P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角。
解 (1)依题意得，a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，则椭圆的方程为x 24c ＋y 23c ＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，得c 2＝1，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1。
(2)证明：由(1)知，A (－2,0)，B (2,0)，设M (x 0，y 0)，则－2<x 0<2，y 20＝34(4－x 20)，由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0x 0＋2。
又BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2，则BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)>0，即∠MBP 为锐角，则 ∠MBN 为钝角。
2.(2015·重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1。
(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围。
解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2。
设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝ 2＋2 2＋ 2－2 2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1。
【名师一号】届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双基练椭圆理北师大版-精
计时双基练五十四 椭圆A 组 基础必做1．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4。
当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8。
答案 C2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 解析 由题意知2a ＝12，c a ＝13，即a ＝6，c ＝2，故b 2＝36－4＝32。
答案 D3．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2)D ．(0,1]解析 由x 2＋ky 2＝2，得x 22＋y 22k＝1。
∵椭圆的焦点在y 轴上，∴2k >2，即1k－1>0，∴1－kk>0⇔k (k －1)<0。
∴0<k <1。
答案 A4．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．40解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝14，又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6。
∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2。
∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24。
答案 C5．(2015·浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由题意得a ＝3，c ＝7，则|PF 2|＝2。
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练60 定点、定值、探索性问题 理 北师大版
计时双基练六十 定点、定值、探索性问题A 组 基础必做1．(2015·课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点。
(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由。
解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )。
又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0。
y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a(x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0。
故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0。
(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2。
将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0。
故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a 。
从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋ba。
当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意。
2．(2015·四川卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1。
(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点。
【名师金典】(教师用书)高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何
第八章 平面解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程[考情展望] 1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等.2.考查不同条件下求直线的方程(点斜式、两点式及一般式等).3.题型多为客观题，多与两直线的位置关系、直线与圆的位置关系及圆锥曲线结合交汇命题．一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 二、直线方程的五种形式1．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 【答案】 B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1【答案】 D3．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝ . 【答案】 －34．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是 ，斜截式方程是 ．【答案】3x －y －23－3＝0 y ＝3x －23－35．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0【答案】 D6．(2013·辽宁高考)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0【答案】 C考向一 [132] 直线的倾斜角和斜率(1) 若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 (2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6【答案】 (1)B (2)B规律方法1 1.解答本例(2)时极易错选D ，出错的原因是忽视了正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的变化情况．2．已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k ＝tan α的值域问题；已知斜率k 的范围求倾斜角的范围，实质上是在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上解关于正切函数的三角不等式问题．由于函数k ＝tan α在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上不单调，故一般运用数形结合思想解决此类问题．对点训练 若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是 ．【答案】 [－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 考向二 [133] 求直线的方程已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【尝试解答】 (1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4) ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，则设所求直线的方程为x a ＋y a＝1， 又点(3,4)在直线上， ∴3a ＋4a＝1，∴a ＝7，∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1， 又过点(3,4)．由点斜式得y －4＝±(x －3)， 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.规律方法2 1.截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．对点训练 △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线DE 的方程．【解】 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2.考向三 [134] 直线方程的综合应用已知直线方程为(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0.(1)证明：直线恒过定点M ；(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．【尝试解答】 (1)(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0可化为(x －2y －3)m ＝－2x －y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，－2x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线必过定点M (－1，－2)．(2)设直线的斜率为k (k ＜0)，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)， ∴|OA |＝1－2k，|OB |＝2－k ，S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k (2－k )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －2－k. ∵k ＜0，∴－k ＞0， ∴S △AOB ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －2－k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋－k ≥4.当且仅当－4k＝－k ，即k ＝－2时取等号，∴△AOB 的面积最小值是4，此时直线的方程为y ＋2＝－2(x ＋1)，即y ＋2x ＋4＝0.规律方法3 1.解答本题的关键是面积最小值的求法，解法中使用了均值不等式，仔细体会此解法．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．对点训练 直线l 经过点P (3,2)且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程．【解】 法一 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，∴A (a,0)，B (0，b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝24，3a ＋2b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得直线l 在x 轴的正半轴上的截距a ＝3－2k，令x ＝0，得直线l 在y 轴的正半轴上的截距b ＝2－3k ，∴⎝⎛⎭⎪⎫3－2k (2－3k )＝24， 解得k ＝－23，∴直线l 的方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.易错易误之十五 求直线方程忽视零截距 —————————— [1个示范例] ——————设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.此处易忽视在x 轴与y 轴上的截距为零的情形． 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋＝0，a －2≤0，∴a ≤－1综上可知a 的取值范围是a ≤－1.【防范措施】 1.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．2．常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形．注意分类讨论思想的运用．————————— [1个防错练] ———————求经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【解】 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.课时限时检测(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线方程(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1【答案】 D2．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是( )A ．－π7 B.π7 C.5π7 D.6π7【答案】 D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【答案】 B4．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(2,1) C ．(1，－2) D ．(1,2)【答案】 A5．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )【答案】 C6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)，(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b的值为 ．【答案】 －128．如图8－1－1，点A 、B 在函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象上，则直线AB 的方程为 ．图8－1－1【答案】 x －y －2＝09．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于 ． 【答案】 3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)过点P (－1，－1)的直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角．【解】 设A (a,0)，B (0，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝－1，0＋b 2＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.即A (－2,0)，B (0，－2)，∴k AB ＝－2－00－－＝－1，故直线l 的倾斜角为135°.11．(12分)(1)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程．(2)求经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程． 【解】 (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ， 将(－5,2)代入y ＝kx 中， 得k ＝－25时，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0. (2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，∴倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， ∴所求直线的斜率为 3. 又过点A (－3，3)，∴所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)， 即3x －y ＋6＝0.12．(13分)已知定点P (6,4)与直线l 1：y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M .求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．【解】 ∵Q 点在l 1：y ＝4x 上，可设Q (x 0,4x 0)，则PQ 的方程为y －44x 0－4＝x －6x 0－6.令y ＝0，得x ＝5x 0x 0－1(x 0＞1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 0x 0－1，0.∴S △OQM ＝12×5x 0x 0－1×4x 0＝10×x 2x 0－1＝10×⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－＋1x 0－1＋2≥40. 当且仅当x 0－1＝1x 0－1即x 0＝2时取等号，∴Q (2,8)．PQ 的方程为：y －48－4＝x －62－6，∴x ＋y －10＝0.第二节 两条直线的位置关系[考情展望] 1.考查由已知两条直线平行与垂直求参数.2.考查距离的计算及对称问题.3.本节内容客观题主要考查基础知识和基本能力，主观题主要在知识交汇处命题注重考查分类讨论与数形结合思想．一、两条直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.二、几种距离1．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0【答案】 A2．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1【答案】 C3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7 D.133 【答案】 A4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝ . 【答案】 15．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是 ．【答案】 －36．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是 ．【答案】 5考向一 [135] 两条直线的平行与垂直已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？【尝试解答】 (1)3≠m ·(m －2)即m 2－2m －3≠0， 所以m ≠3且m ≠－1.当m ≠3且m ≠－1时，l 1与l 2相交． (2)要使l 1⊥l 2，只要1·(m －2)＋m ·3＝0即m ＝12.∴当m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)要使l 1∥l 2，只要⎩⎪⎨⎪⎧3＝m m －m －m⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3.∴当m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)由(3)知，当m ＝3时，l 1与l 2重合．规律方法 1 在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)；(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根． 对点训练 (1)(2015·威海模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直(2)已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( ) A ．0或3或－1B ．0或3C ．3或－1D ．0或－1【答案】 (1)B (2)D考向二 [136] 两直线的交点与距离(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．【尝试解答】 (1)法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2满足条件． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.②作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由点斜式得y ＋1＝2(x －2)，2x －y －5＝0.∴直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.规律方法2 求点到直线距离的最值问题的方法：(1)直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k 的代数关系式求解；(2)从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解．在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解．对点训练 直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．【解】 当直线l 与x 轴垂直时，此时l 的方程为x ＝2，A 到l 的距离为d 1＝1，B 到l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．∵直线l 过点P (2，－5)，∴设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)， 即kx －y －2k －5＝0. ∴A (3，－2)到直线l 的距离d 1＝|3k －－－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，B (－1,6)到直线l 的距离 d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1.∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12，∴k 2＋18k ＋17＝0，∴k 1＝－1，k 2＝－17. ∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.考向三 [137] 对称问题光线由点P (－1,3)射出，遇直线l ：x ＋y ＋1＝0反射，反射光线经过点Q (4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．【尝试解答】 设P (－1,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为P ′(x 1，y 1)，点Q (4，－2)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为Q ′(x 2，y 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－3x 1＋1－＝－1x 1－12＋y 1＋32＋1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝0，所以P ′(－4,0)．同理有Q ′(1，－5)．这样，反射光线所在直线为P ′Q ，斜率k 1＝－2－04－－＝－14.直线方程为x ＋4y ＋4＝0.入射光线所在直线为PQ ′，斜率k 2＝－5－31－－＝－4，直线方程为4x ＋y ＋1＝0.∴入射光线直线方程为4x ＋y ＋1＝0，反射光线直线方程为x ＋4y ＋4＝0. 规律方法3 (1)求点M (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)的对称点N 的方法： 设N (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y －b x －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－垂直关系A·a ＋x 2＋B ·b ＋y2＋C ＝中点在直线上求出x ，y ，即得点N 的坐标．(2)两点关于点对称，两点关于直线对称的常见结论有：点(x ，y )关于x 轴、y 轴、直线x －y ＝0、直线x ＋y ＝0及原点的对称点分别为(x ，－y )、(－x ，y )、(y ，x )、(－y ，－x )和(－x ，－y )．对点训练 已知点A 的坐标为(－4,4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程． 【解】 (1)设点A ′的坐标为(x ，y )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧y －4x ＋4＝13，3×x －42＋y ＋42－2＝0，解得x ＝2，y ＝6，∴A ′点的坐标为(2,6)．(2)法一 在直线l ′上任取一点P ′(x ，y )，其关于点A (－4,4)的对称点(－8－x,8－y )必在直线l 上，∴即3(－8－x )＋(8－y )－2＝0，即3x ＋y ＋18＝0， 所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.法二 由题意可知l ′∥l ，设l ′的方程为3x ＋y ＋c ＝0， 由题意可知|－12＋4＋c |9＋1＝|－12＋4－2|9＋1，解得c ＝18或c ＝－2(舍)，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.易错易误之十六 小视斜率不存在—————————— [1个示范例] ——————已知l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0.求使l 1∥l 2的a 的值．【解】 法一 当直线斜率不存在，即a ＝0时，有l 1：3x －5＝0，l 2：－x －2＝0，符合l 1∥l 2.此处易误认为直线l 1与l 2的斜率一定存在，漏掉讨论直线斜率不存在的情形 当直线斜率存在时，l 1∥l 2，－32a ＝3a －1a ＝a ＝－16，经检验，a ＝－16符合题意．故使l 1∥l 2的a 的值为0或－16.法二 由l 1∥l 2⇔3·(－a )－(3a －1)·2a ＝0，得a ＝0或a ＝－16，经检验，a ＝0或a＝－16均符合题意，故使l 1∥l 2的a 的值为0或－16.【防范措施】 在讨论含参数的两条直线的位置关系时，一定不要忘记两条直线的斜率是否存在的情况，否则会出现漏解．————————— [1个防错练] ———————已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则实数a 的值是 ．【解析】 因为直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，故有a (2a －1)＋a (－1)＝0，可知a 的值为0或1.【答案】 0或1课时限时检测(四十六) 两条直线的位置关系 (时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 【答案】 A2．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10【答案】 A3．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A ．0 B ．2 C.13 D ．4【答案】 B4．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B5．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个【答案】 C6．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722 B.922 C.1122D.91010【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 1：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是 ．【答案】 －18．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ． 【答案】 x －y ＋1＝09．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为 ．【答案】 ±1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 【解】 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0. 又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等． ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.11．(12分)已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．【解】 (1)证明 直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.12．(13分)过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．【解】 当k 不存在时B (3,0)，C (3,6)， 此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |. ∴直线l 的斜率存在．∴设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)．令y ＝0，得B ⎝⎛⎭⎪⎫3＋1k，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＋1＝kx －，得C 点横坐标x C ＝1＋3kk －2.若|BC |＝2|AB |，则|x B －x C |＝2|x A －x B |. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3k k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k .∴1＋3k k －2－1k －3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.第三节 圆的方程[考情展望] 1.结合直线方程，考查运用待定系数法求圆的方程.2.考查运用圆的几何性质求动点的轨迹方程.3.多以选择题、填空题形式考查．一、圆的定义及方程确定圆的方程时，常用到的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在任一弦的中垂线上(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．二、点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系1．若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.2．若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.3．若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.从位置看d，r的关系判定点与圆的位置关系还可利用点到圆心的距离d与r的关系：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．1．圆的方程为x2＋y2＋2by－2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为( )A．(0，b)，3b B．(0，b)，3|b|C．(0，－b)，3b D．(0，－b)，3|b| 【答案】 D2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜23【答案】 D3．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±1【答案】 A4.已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 ． 【答案】 (x －2)2＋y 2＝105．(2013·重庆高考)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 【答案】 B6．(2014·课标全国卷Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是 ．【答案】 [－1,1]考向一 [138] 求圆的方程求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A (5,2)和点B (3，－2)的圆的方程．【尝试解答】 法一 ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．设所求圆的圆心坐标为C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，b ＝－12a －，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴C (2,1)，r ＝|CA |＝－2＋－2＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，－a 2＋－b 2＝r 2，－a 2＋－2－b 2＝r 2.解得⎩⎨⎧a＝2，b ＝1，r ＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0. 规律方法1 求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．对点训练 (2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为 ．【答案】 (x －2)2＋(y －1)2＝4考向二 [139] 与圆有关的最值问题已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【尝试解答】 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率． 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.规律方法2 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1)形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和(x ，y )的直线的斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． 对点训练 已知圆Q ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆上任一点． (1)求y －2x －1的最大、最小值；(2)求x －2y 的最大、最小值． 【解】 (1)设y －2x －1＝k ，则kx －y －k ＋2＝0.由于P (x ，y )是圆上任一点，当直线与圆有交点时，如图所示：两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由d ＝|－2k －k ＋2|1＋k 2＝1，得k ＝3±34. ∴y －2x －1的最大值为3＋34，最小值为3－34.(2)令x －2y ＝m ，同理，两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值． 由d ＝|－2－m |5＝1，得m ＝－2± 5.∴x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－ 5.考向三 [140] 与圆有关的轨迹问题设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，点O 是坐标原点，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．【尝试解答】 ∵四边形MONP 为平行四边形， ∴OP →＝OM →＋ON →，设点P (x ，y )，点N (x 0，y 0)，则 ON →＝OP →－OM →＝(x ，y )－(－3,4)＝(x ＋3，y －4)． 又点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动， ∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.又当OM 与ON 共线时，O 、M 、N 、P 构不成平行四边形．故动点P 的轨迹是圆且除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285. 规律方法3 1.本例中点P 是平行四边形MONP 的一个顶点，因此在点M 、O 、N 三点共线时，点P 是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点．2．求与圆有关的轨迹问题的常用方法．(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可用Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．对点训练 (2014·课标全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解】 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.规范解答之十三 破解圆的方程综合问题 —————————— [1个示范例] ——————(12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．【规范解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0) ，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.6分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －2＋y －2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ① 8分由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0. ② 10分 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.12分【名师寄语】 (1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．————————— [1个规范练] ———————在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切． (1)求圆的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围．【解】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则r ＝|－4|12＋－32＝2.∴圆的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)，设P (x 0，y 0)， 则|PA |＝x 0＋2＋y 20，|PO |＝x 20＋y 20， |PB |＝x 0－22＋y 20.又|PA |，|PO |，|PB |成等比数列， ∴|PO |2＝|PA |·|PB |， 即x 20＋y 20 ＝x 0＋2＋y 2x 0－2＋y 20]，整理得y 20＝x 20－2.∴PA →·PB →＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝(x 20－4)＋y 20＝2x 20－6. 又点P 在圆内，∴x 20＋y 20＜4. ∴2≤x 20＜3，∴－2≤PA →·PB →＜0.课时限时检测(四十七) 圆的方程(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)【答案】 A2．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x ＋2的倾斜角α＝( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π4【答案】 A3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )A．3－ 2 B．3＋ 2C．3－22D.3－22【答案】 A4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 【答案】 A5．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径为( )A ．2 2 B. 2 C ．3 D ．1【答案】 C6．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的范围是 ．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎪⎫35，＋∞ 8．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是 ．【答案】 (x －1)2＋(y ＋1)2＝99．已知圆C 过点A (1,0)和B (3,0)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为 ． 【答案】 (x －2)2＋(y －2)2＝5 三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知圆的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2. (1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)． 【解】 (1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x .∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直， ∴直线OC 的方程为x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2.即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2. 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.11．(12分)已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点． (1)求P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值； (2)求x －2y 的最大值和最小值； (3)求y －2x －1的最大值和最小值． 【解】 (1)圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝－＋4×0＋12|32＋42＝65. ∴P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝115，最小值为d －r ＝65－1＝15.(2)设t ＝x －2y ，则直线x －2y －t ＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点． ∴|－2－t |12＋－2≤1.∴－5－2≤t ≤5－2. ∴t max ＝5－2，t min ＝－2－ 5. 即x －2y 的最大值为5－2. 最小值为－2－ 5. (3)设k ＝y －2x －1， 则直线kx －y －k ＋2＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点， ∴|－3k ＋2|k 2＋1≤1. ∴3－34≤k ≤3＋34. ∴k max ＝3＋34，k min ＝3－34.即y －2x －1的最大值为3＋34，最小值为3－34. 12．(13分)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．【解】 (1)直线PQ 的方程为：x ＋y －2＝0，设圆心O (a ，b )，半径为r ， 由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.① 又由在y 轴上截得的线段长为43， 知(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2.② 由①②得：a ＝1.b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13满足题意 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37不满足题意， 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)，由题意可知OA ⊥OB ，即k OA ·k OB ＝－1， ∴m －x 1x 1·m －x 2x 2＝－1. 整理得m 2－m (x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0 将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13 可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，即m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0.∴m ＝4或m ＝－3，∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系[考情展望] 1.考查根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.考查通过数形结合思想，充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长问题.3.从考查形式上看，以选择题、填空题为主，属中档题．一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法1．几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离．2．代数法：――→ 判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧＞0⇔相交＝0⇔相切＜0⇔相离圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.二、圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0).常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④。
2017届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 文 北师大版
【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 文 北师大版第1课时 直线及其方程1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角和斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0°.通常倾斜角用α表示，倾斜角的取值范围为0°≤α＜180°.(2)当直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)时，直线斜率可以表示为k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其中x 1≠x 2. 2．直线的方程3.过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线方程(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 4．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[基础自测]1．(教材改编题)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( ) A.23 B ．32 C ．－23D ．－32解析：k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝0－23－0＝－23. 答案：C2．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α<120°，则直线l 的斜率k 的范围是( ) A ．－3＜k ≤0 B ．k ＞－ 3 C ．k ≥0或k ＜－ 3D ．k ≥0或k ＜－33解析：0°≤α＜90°时，k ≥0；90°＜α＜180°时，k ＜0；90°＜α＜120°时，k ＜－ 3. 答案：C3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：直线的两点式方程为y －31－3＝x －02－0，即x ＋y －3＝0. 答案：B4．(2016·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AC ＝k AB ，即a －35－4＝5－36－4.解得a ＝4.答案：45．(2016·广东佛山模拟)在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成45°角的直线方程是________． 解析：如图，满足条件的直线有l 1与l 2两种情况，其中l 1的倾斜角为45°，l 2的倾斜角为135°，所以，它们的方程分别为y ＝x －6，y ＝－x －6.答案：y ＝x －6或y ＝－x －6大一轮复习 BSD 数学(文)第八章 平面解析几何考点一 直线的倾斜角与斜率[例1] 直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3审题视点 先求斜率的范围，再求倾斜角的范围．解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.故选B.答案 B求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．1．(2016·开封调研)设A (－1,2)，B (3,1)，若直线y ＝kx 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2解析：如图所示，直线y ＝kx 过定点O (0,0)，k OA ＝－2，k OB ＝13.若直线y ＝kx 与线段AB 没有公共点，则直线OA 逆时针旋转(斜率增大)到OB 都是满足条件的直线．数形结合得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13. 答案：C2．(2016·成都七中模拟)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4 B ．π3C.2π3 D ．3π4解析：由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，又倾角范围为[0，π)，故其倾斜角为3π4，选D.答案：D考点二 求直线方程[例2] (1)求经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程；(2)过点A (8,6)引三条直线l 1，l 2，l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y ＝34x ，求直线l 1，l 3的方程；(3)若一直线被直线4x ＋y ＋6＝0和3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程． 审题视点 根据已知条件，选择合适的直线方程的形式，(1)题采用待定系数法求解，(2)(3)题可采用直接法求解． 解 (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ， 将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0. (2)设直线l 2的倾斜角为α，则tan α＝34.于是tan α＝2tana21－tan2α2＝34.令tan α2＝m ，则8m ＝3(1－m 2)，即3m 2＋8m －3＝0， 解得m ＝13或m ＝－3(舍)，∴tan α2＝13，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247， 所以所求直线l 1的方程为y －6＝13(x －8)，即x －3y ＋10＝0，l 3的方程为y －6＝247(x －8)，即24x －7y －150＝0.(3)设所求直线与直线4x ＋y ＋6＝0相交于A ，与直线3x －5y －6＝0相交于B ， 设A (a ，－4a －6)，则由中点坐标公式知B (－a,4a ＋6)， 将B (－a,4a ＋6)代入3x －5y －6＝0得． 3(－a )－5(4a ＋6)－6＝0，得a ＝－3623，从而求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3623，623，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3623，－623，所以所求直线方程为y ＝－16x.求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．1．(2016·合肥调研)过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：(1)若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.(2)若直线不过原点，设x a ＋ya＝1，即x ＋y ＝a .∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或4x ＋3y ＝0 2．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14倍；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5； 解：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，即l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求． 设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2，(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.∴⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.考点三 直线方程的应用[例3] 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程． 审题视点 先设出AB 所在的直线方程，再求A 、B 两点的坐标，写出表示△ABO 的面积的表达式，最后利用相关的数学知识求出最值．解 法一：由题可设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程x a ＋y b＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1，b ＝2a a －3且a ＞3，b ＞2. 从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a2a －3.故有S △ABO ＝a －2＋a －＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2a －9a －3＋6＝12， 当且仅当a －3＝9a －3， 即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4，∴此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：由题可设直线方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，代入P (3,2)，得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b时，等号成立，S △ABO 取最小值12，此时k ＝－b a ＝－23，∴此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法三：依题意知，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，则有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，S △ABO 取最小值12. 此时，直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法四：如图所示，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别为M ，N . 设θ＝∠PAM ＝∠BPN 显然θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 则S △ABO ＝S △PBN ＋S 四边形NPMO ＋S △PMA＝12×3×3×tan θ＋6＋12×2×2×1tan θ ＝6＋92tan θ＋2tan θ≥6＋292tan θ·2tan θ＝12， 当且仅当92tan θ＝2tan θ，即tan θ＝23时，S △ABO 取最小值12，此时直线l 的斜率为－23，其方程为2x ＋3y －12＝0.(1)利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．(2)以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、不等式的知识或利用对称性解决．1．(2016·福州模拟)已知直线l 1的倾斜角为3π4，直线l 2经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 2垂直，则a 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：依题意知：直线l 1的斜率k 1＝tan 3π4＝－1，又因为直线l 1与直线l 2垂直，直线l 2的斜率k 2＝2＋13－a ，所以k 2＝2＋13－a ＝1，解得a ＝0.答案：C 2.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E (30,0)、F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又m30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m . ∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大.与直线方程有关的创新命题[典例] 在平面直角坐标系中，若x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．解题指南存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形．解析①正确．例如y＝3x＋2，当x是整数时，y是无理数，(x，y)不是整点；②不正确，如y＝2x－2过整点(1,0)；③设y＝kx(k≠0)是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减得y1－y2＝k(x1－x2)，则点(x1－x2，y1－y2)也在直线y＝kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y＝kx知对于y＝kx＋b也成立，所以③正确；④不正确，如y＝1 3x＋12，当x为整数时，y不是整数，此直线不经过无穷多个整点；⑤正确，如直线y＝3x，只经过整点(0,0)．答案①③⑤阅卷点评本题呈现形式比较新颖，以斜截式方程为载体，但实质上还是考查了整点的概念．此类新概念题目经常会从几个不同的角度考查学生对知识或新信息的理解和把握，进而考查学生学习和应用新知识并结合原有知识解题的能力．创新点评本题有三处创新点：(1)本题为新定义问题，题目的结构形式、设问方式都有创新；(2)考查内容的创新，在考查直线的斜率、倾斜角、充要条件等知识的基础上，还考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维不同；(3)考查方式的创新，对直线方程的考查，由常规方式转换为以整点为载体考查直线方程的确定方式．备考建议解决与直线方程有关的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义；(2)掌握确定直线的两个条件；(3)注意数形结合的运用，在平时的学习和解题中，多思考一些题目的几何意义；(4)注意逆向思维、发散思维的训练．◆一条规律求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．◆两个注意(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率，则应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2016·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6. 答案：D2．(2016·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知A ·B ·C ≠0， 直线方程变为y ＝－AB x －C B. ∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0， ∴其斜率k ＝－A B＜0， 又y 轴上的截距b ＝－C B＞0， ∴直线过第一、二、四象限． 答案：C3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1) 解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．答案：D4．不论k 为何实数，直线(k －1)x ＋y －k ＋1＝0恒过定点________． 解析：将直线方程整理得k (x －1)＋y －x ＋1＝0∵k ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y －x ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.答案：(1,0)5．(2014·高考广东卷)曲线y ＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝e－5x(－5x )′＝－5e－5x，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.答案：5x ＋y －3＝06．(2016·常州模拟)若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝a b ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π7．(2016·孝感模拟)在△ABC 中，已知点A (5，－2)，B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程． 解：(1)设C (x ，y )． ∵AC 的中点M 在y 轴上，∴x ＋52＝0得x ＝－5， 又∵BC 的中点N 在x 轴上，∴y ＋32＝0得y ＝－3.∴C (－5，－3)．(2)由(1)知C (－5，－3)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)．由截距式得MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.8. (2016·青岛模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1， 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)， (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(]0，3， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.[B 级 能力突破]1．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：取特殊值法或排除法，可知A 正确． 答案：A2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.答案：B3．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3 B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝α＋2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B4．若过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的倾斜角的取值范围为π3≤α≤2π3，则实数a 的取值范围是________．解析：过点P (－3，1)和Q (0，a )的直线的斜率k ＝a －10＋3＝a －13，又直线的倾斜角的取值范围是π3≤α≤2π3，所以k ＝a －13≥3或k ＝a －13≤－3，解得：a ≥4或a ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪[4，＋∞)5．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是____________． 解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)，∴直线方程为y ＝13(x －2)即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝06．(2016·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析：由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图像，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π，故直线的倾斜角的范围是：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π7．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第2课时 两条直线的位置关系1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)设两条直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2时，α1＝α2，从而有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.这是对于不重合的直线l 1，l 2而言的．如果l 1与l 2是否重合不能确定时，k 1＝k 2时，可以得到l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(2)若两条直线都有斜率，且l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若l 1的斜率为0，当l 1⊥l 2时，l 2的斜率不存在，其倾斜角为90°.2．两条直线的交点坐标已知两条直线：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，当满足条件A 1B 2－A 2B 1≠0时，l 1与l 2相交，其交点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求得，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数解，则两直线重合．3．距离公式 (1)两点间距离公式两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式是|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离①点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.②点P (x 0，y 0)到x 轴的距离为d ＝|y 0|；点P (x 0，y 0)到y 轴的距离为d ＝|x 0|；点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝a 的距离是d ＝|y 0－a |；点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝b 的距离是d ＝|x 0－b |.(3)两条平行线间的距离两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0和l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[基础自测]1．(教材改编题)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－3B ．－43C ．2D ．3解析：由2a ＋2×(－3)＝0，得a ＝3. 答案：D2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B ． 3 C ．2D ． 5解析：d ＝|－5|12＋22＝ 5.答案：D3．(2016·铜川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将(1,0)点代入得1＋m ＝0解得m ＝－1.故所求直线方程为x －2y －1＝0. 答案：A4．平行线：l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________． 解：6x －4y ＋3＝0⇔3x －2y ＋32＝0，∴d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝13213＝132.答案：1325．(2016·合肥调研)斜率为2，且与直线2x ＋y －4＝0的交点恰好在x 轴上的直线方程是________． 解析：∵2x ＋y －4＝0与x 轴的交点坐标为(2,0)． ∴所求直线的方程为y ＝2(x －2)即2x －y －4＝0. 答案：2x －y －4＝0考点一 两条直线的平行与垂直[例1] 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 审题视点 根据两条直线的位置关系列方程(组)求解． 解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在，∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1，∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0，即b ＝3a －4(与上述结论矛盾)．∴此种情况不存在，即k 2≠0.若k 2≠0，即k 1、k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.在运用直线的斜截式y ＝kx ＋b 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax ＋By ＋C ＝0时，要特别注意A 、B 为零时的特殊情况．求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．1．(2015·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：∵所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行， ∴设所求的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0. 又所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切， ∴|m |1＋4＝5， 解得m ＝±5.即所求的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.答案：A2．(2016·河南天一联考)已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( ) A ．0 B ．2 C ．4D ． 2解析：若b ＝2，两直线方程为y ＝－a 4x －1和x ＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，此时，两直线方程为y ＝－ab ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－ab ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －2＝－1得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，即ab 的最大值是2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．所以选B. 答案：B考点二 两条直线的交点与距离问题[例2] 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)，l 2：－4x ＋2y ＋1＝0和l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2的距离是710 5.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求P 点坐标；若不能，说明理由．审题视点 (1)由l 1与l 2的距离及两平行线之间的距离公式，可得关于a 的方程，解方程即可得出a 的值；(2)由点P (x 0，y 0)满足②③条件可得出关于x 0、y 0的方程组，解方程组，即可求出点P 的坐标，注意验证是否适合条件①. 解 (1)l 2即2x －y －12＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－2＝7510， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. ∵a ＞0，∴a ＝3.(2)设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y ＋C ＝0上，且|C －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪C ＋125，即C ＝132或C ＝116，∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，∴3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，应舍去；由⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718即为同时满足三个条件的点．(1)挖掘题目的隐含条件，题目隐含l 1∥l 2，故第(2)问中满足②的条件转化为“P 点在直线l ′：2x －y ＋C ＝0”上；(2)第(2)问属存在型开放问题，解决的方法可概括为“假设——推理——否定(肯定)假设——得出结论”，即假设存在型开放问题的结论成立，以此为基础进行演绎推理，若出现矛盾，则否定假设，得出相反结论；若推出合理结果，说明假设正确．1．(2016·湖南衡阳模拟)若a ，b ，p (a ≠0，b ≠0，p >0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )A.1a 2＋1b 2＝1p 2B ．1a 2－1b 2＝1p2C.1a2＋1p2＝1b2D ．1a 2p2＝1b2解析：由题意设直线方程为x a ＋y b＝1，则p 2＝11a2＋1b2，∴1a 2＋1b 2＝1p2，故选A.答案：A2．(2016·山西忻州检测)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b a －＝0，4a 2＋b 2＝|b |a －2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83.答案：0或83考点三 对称问题[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 审题视点 借助平面几何知识找出代数关系．解 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32， 解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.求直线m 关于l 的对称直线m ′时，因m 与l 相交，先求交点，除了交点之外，我们可以再在m 上任选一点，求出其关于l 的对称点，利用两点式求出直线m ′的方程；若m 与l 平行，我们必须在m 上任取两点，求出其关于直线l 的对称点，用两点式求出直线m ′的方程，也可利用m ∥l ∥m ′这一性质，求出一个对称点的坐标，用点斜式求出m ′的方程．1．(2016·秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得 |k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝02．(2016·北京东城期末)如图所示，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC 反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围是________．解析：如图所示，从特殊位置考虑．∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴直线A1F的斜率kA1F＝4.∵点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2,1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F<k FD，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)新定义下的直线方程问题[典例] 在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义[OP]＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP]＝1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；②设P为直线5x＋2y－2＝0上任意一点，则[OP]的最小值为1；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．解题指南①根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图像，即可求出该图形的面积；②认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1是假命题．解析①由[OP]＝1，根据新定义得：|x|＋|y|＝1，上式可化为：y＝－x＋1(0≤x≤1)，y＝－x－1(－1≤x≤0)，y＝x＋1(－1≤x≤0)，y ＝x－1(0≤x≤1)，画出图像如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0＜1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误； 所以正确的结论有：①. 答案 ①创新点评 (1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查．(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维有所不同． 备考建议 解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点： (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值； (3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何．◆一条规律在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接做出结论． 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2＝A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1.(2)l 1与l 2相交⇔A 1B 2≠A 2B 1.(3)l 1与l 2重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2＝A 2B 1，A 1C 2＝A 2C 1.(4)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. ◆三种对称(1)点关于点的对称．点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2016·株洲模拟)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.22解析：由点到直线的距离公式得距离为|1＋1＋1|1＋－2＝322. 答案：C2．(2016·枣庄三中月考)若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．6个解析：三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．答案：C3．(2016·宁夏银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．－1D ．3或－1解析：由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a，即a ＝－1.故选C. 答案：C4．(2016·黄石模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0) B ．(－3,0) C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：∵点P 在y 轴上，∴设P (0，y )，又∵kl 1＝2，l 1∥l 2，∴kl 2＝y －10－－＝y －1＝2，∴y ＝3，∴P (0,3)．答案：D5．(2016·武汉模拟)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，当l 1与l 2相交于点P (m ，－1)时，m ，n 的值分别为________、________.解析：∵m 2－8＋n ＝0,2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7.答案：1 76．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，|PA |·|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形，∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|PA |＝|PB |时，上式等号成立．答案：57．已知直线l 1经过点A (2，a )，B (a －1,3)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－3，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．解：设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，若a ＝3，则k 1不存在，k 2＝－34，则l 1与l 2既不平行，也不垂直．因此a ≠3，k 1＝a －33－a ＝－1，k 2＝a ＋2－2－3－1＝－a4.(1)∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2.∴－1＝－a4.∴a ＝4.(2)∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1. ∴(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1.∴a ＝－4.8．过点P (－1,2)引一直线，两点A (2,3)，B (－4,5)到该直线的距离相等，求这条直线的方程．解：法一：当斜率不存在时，过点P (－1,2)的直线方程为：x ＝－1，A (2,3)到x ＝－1的距离等于3，且B (－4,5)到x ＝－1的距离也等于3，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k ，过点P (－1,2)的直线方程为：y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0， 依题设知：|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解上式得：k ＝－13，所以，所求直线方程为：x ＋3y －5＝0；综上可知，所求直线方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点P (－1,2)与AB 平行的直线，另一条是过点P 及AB 中点的直线． 因为A (2,3)，B (－4,5)，所以k AB ＝3－52＋4＝－13，因此，过点P 与AB 平行的直线的方程为：y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0；又因为A (2,3)，B (－4,5)的中点坐标D (－1,4)， 所以过点P 及AB 中点的直线方程为x ＝－1； 综上可知，所求直线方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.[B 级 能力突破]1．(2016·浙江台州中学质检)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．2 2D ．2 3解析：由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .由基本不等式，得b ＋1b≥2b ·1b＝2当且仅当b ＝1时等号成立，故选B.答案：B2．(2016·泉州模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：法一：数形结合法(1)m 2＋n 2＝(m －0)2＋(n －0)2表示点(m ，n )与(0,0)距离的平方，∴m 2＋n 2表示点(m ，n )与(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为d ＝|－10|42＋32＝2，∴m 2＋n 2的最小值为4.(2)由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，103，直角三角形OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，斜边AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1032＝256，斜边上的高h 即为所求m 2＋n 2的算术平方根， ∴S △OAB ＝12·OA ·OB ＝12AB ·h ，。
2017高考数学一轮复习课件：第8章 平面解析几何 习题课
将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到(2＋k2)·x2＋4kx－4＝
0，
则 x1＋x2＝2－＋4kk2，x1x2＝2－＋4k2，
所
以
→ OE
·
→ OF
＝
x1x2
＋
y1y2
＝
(1
＋
k2)x1x2
＋
2k·(x1
＋
x2)
＋
4
＝
－24＋－k42k2＋－2＋8kk22＋4＝2＋20k2－8，
到直线
AB
的距离为
d＝
t2＋12 t2＋1.
第二十二页，编辑于星期六：二十点 三十七分。
设△AOB 的面积为 S(t)，所以
S(t)＝12|AB|·d
＝12
－2t2－122＋2≤ 22，
当且仅当 t2＝12时，等号成立．
故△AOB
面积的最大值为
2 2.
第二十三页，编辑于星期六：二十点 三十七分。
范围、最值问题的求解策略 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义， 则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代 数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关 键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的 取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
第十六页，编辑于星期六：二十点 三十七分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计时双基练五十五 抛物线A 组 基础必做1．(2016²淮北模拟)两个正数a ，b 的等差中项是92，等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，0 解析 由两个正数a ，b 的等差中项是92，等比中项是25，且a >b 可得⎩⎨⎧a ＋b ＝9，ab ＝ 25 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4。
抛物线的方程为y 2＝－45x ，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0。
答案 C2．(2015²辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32D.52解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32。
答案 C3.(2015²浙江卷)如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，则S △BCF S △ACF＝|BC ||AC |＝x 2x 1＝|BF |－1|AF |－1，故选A 。
答案 A4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析 抛物线的准线方程为y ＝－2，焦点F 的坐标为(0,2)。
∵以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交， ∴|FM |>4。
据抛物线的定义知：|FM |＝2＋y 0， ∴2＋y 0>4，∴y 0>2。
答案 C5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D ．2解析 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3。
故选C 。
答案 C6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43解析 由题意可知准线方程x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x 。
由已知易得过点A 与抛物线y 2＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k >0，则可得切线方程为y －3＝k (x ＋2)。
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k x ＋2 ，y 2＝8x ，消去x 得ky 2－8y ＋24＋16k ＝0。
(*)由相切得Δ＝64－4k (24＋16k )＝0，解得k ＝12或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，把y ＝8代入y 2＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为43。
答案 D7．(2016²厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点________。
解析 因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)。
答案 (1,0)8．(2016²郑州模拟)设斜率为1的直线l 过抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为8，则a 的值为________。
解析 依题意，有F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，直线l 为y ＝x －a 4，所以A 0，－a 4，△OAF 的面积为12³a 4³a 4＝8。
解得a ＝±16，依题意，只能取a ＝16。
答案 169．(2015²陕西质检)已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是________。
解析 抛物线的准线方程为x ＝－12，当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时点Q 的纵坐标y ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x 得Q 的横坐标x ＝2，则|QM |－|QF |＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋12＝52。
答案 5210.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上。
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率。
解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)。
∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ³1，解得p ＝2。
故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1。
(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB ， 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)。
∴y 1＋y 2＝－4。
由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)。
11．(2015²浙江卷)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)，(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点。
(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积。
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点。
解 (1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －t ，y ＝14x 2消去y ，整理得：x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t 。
因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)。
设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t21＋t 2。
因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2。
(2)由(1)知|AP |＝t ²1＋t 2和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0。
点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t2。
设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |²d ＝t32。
B 组 培优演练1．(2015²吉林省实验中学高三模拟考试)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9x C ．y 2＝92xD ．y 2＝3x解析 过A 、B 作准线的垂线，垂足分别为A 1、B 1，∵|BC |＝2|BF |，又由抛物线定义知，|BF |＝|BB 1|， ∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°， 又∵|AF |＝3，∴|AA 1|＝3， 在Rt △CA 1A 中，|AC |＝2|AA 1|＝6， ∴|FC |＝|AC |－|AF |＝3， 在Rt △CDF 中，|FD |＝12|CF |＝32，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x 。
答案 D2．已知A ，B ，C ，D 是抛物线y 2＝8x 上的点，F 是抛物线的焦点，且FA →＋FB →＋FC →＋FD →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →|的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析 取特殊位置，AB ，CD 为抛物线的通径，显然FA →＋FB →＋FC →＋FD →＝0， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →|＝4p ＝16。
答案 D3．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →²OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10解析 解法一：设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t 。
由⎩⎪⎨⎪⎧my ＋t ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－my －t ＝0。
设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)， 故y 21＋y 22＝m ，y 1y 2＝－t 。
而OA →²OB →＝y 21y 22＋y 1y 2＝2。
解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)。
所以－t ＝－2，即t ＝2。
所以直线AB 过定点M (2,0)。
而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |³y 1＝12³14y 1＝18y 1，故S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1－y 2。
由98y 1－y 2＝98y 1＋(－y 2)≥2 98y 1³ －y 2 ＝2 98³2＝3， 当98y 1＝－y 2，即当y 1＝43时，得S △ABO ＋S △AFO 的最小值为3，故选B 。