最小二乘法在误差分析中的应用
最小二乘法和拉格朗日插值法在数据测试处理中的综合应用
计算方法题目最小二乘法和拉格朗日插值法在数据测试处理中的综合应用学院机电工程学院专业控制工程姓名徐进学号 1504122120最小二乘法和拉格朗日插值法在数据测试处理中的综合应用一、应用背景概述在工程实践和科学研究中，常常需要对系统进行某些性能或现象的测试研究，来探求其中的某些内在规律。
一般而言，采用实验的方法获得实验数据，然后经过处理实验数据来表征出目标变量间的相互关系。
在实际的数据测试处理中，不仅需要利用数值计算方法来探求出最终的表征函数关系，而且对于测试过程中的粗大误差数据，可以通过分析观察被测数据与表征目标函数曲线的吻合情况，可以判断出测试过程中含有粗大误差的数据，并加以剔除，以免对后续系统的研究产生干扰和不必要的麻烦。
数据处理和分析中应用较多的是最小二乘法和拉格朗日插值法，这两种数值分析方法是运算简便且应用广泛的数据测试处理表示方法。
本次应用实践，充分考虑两种方法的优势，通过两种方法得到两种拟合曲线，然后通过对两种拟合曲线函数多项式系数相应进行平均值计算，得到整合后的新的多项式。
二、应用方法原理概述①粗大误差粗大误差又称疏忽误差或过失误差，它是由于技术不成熟，测量时不小心或外界的突然干扰（例如突然振动、仪器电源电压的突然变化）等原因造成的。
含有粗大误差的测量数据，常比正常数据相差较大（过大或过小）。
当对某一量值作多次独立的等精度重复测量，如其中个别或少数数据明显地偏大或偏小时，则可怀疑数据中含有粗大误差。
本次应用中，通过被测数据与拟合函数图形进行对比的方法，剔除偏离较大的粗大误差。
②最小二乘法和拉格朗日插值法综合应用原理关于最小二乘法和拉格朗日插值法各自的详细介绍，在这里就不再赘述。
本次应用，主要通过利用最小二乘法和拉格朗日插值法在数值分析中的优点，对其进行融合，得到一种改进的探求拟合目标函数的方法。
其应用原理如下：例如，利用最小二乘法拟合得到的目标函数的多项式为: y=a0+a1x+a2x2+…+a n x n利用拉格朗日插值法得到的目标函数多项式为Y=b0+b1x+b2x2+…+b n x n则结合方法得到的多项式为:简单来说，就是将最小二乘法得到的拟合多项式各自的系数和拉格朗日插值法得到的拟合多项式各自的系数分别相应进行算术平均值计算，得到的各项新系数，构成新的最终拟合目标函数多项式。
最小二乘法 标准误差
最小二乘法标准误差最小二乘法（Least Squares Method）是一种常见的参数估计方法，它被广泛应用于回归分析和数据拟合中。
在使用最小二乘法进行参数估计时，我们通常会对估计值的准确性进行评估，其中标准误差就是一个重要的指标。
本文将介绍最小二乘法中标准误差的概念、计算方法以及其在实际应用中的意义。
标准误差（Standard Error）是用来衡量估计量的精确度的指标。
在最小二乘法中，标准误差可以帮助我们评估回归系数的可靠性，从而判断模型的拟合程度。
标准误差的计算公式如下：SE = √(Σ(yi ŷi)² / (n k 1))。
其中，SE表示标准误差，yi表示观测值，ŷi表示估计值，n表示样本容量，k 表示模型中的参数个数。
标准误差的计算涉及到观测值和估计值之间的差异，它可以帮助我们衡量估计值与真实值之间的偏差程度。
标准误差越小，说明估计值越精确，模型拟合程度越好；反之，标准误差越大，说明估计值越不精确，模型拟合程度越差。
在实际应用中，标准误差可以帮助我们进行参数估计的显著性检验。
通常情况下，我们会计算参数估计值与其标准误差的比值，即t统计量。
如果t统计量的绝对值越大，说明参数估计值越显著，反之则越不显著。
此外，标准误差还可以用于构建置信区间。
置信区间可以帮助我们对参数估计值进行区间估计，从而更好地了解参数的真实取值范围。
一般来说，我们会以参数估计值为中心，以标准误差为半径构建置信区间，置信水平的选择通常是95%或99%。
最后，需要注意的是，标准误差的计算和应用都建立在一定的假设条件下。
在使用最小二乘法进行参数估计时，我们通常会假设误差项具有独立同分布的性质，且服从正态分布。
如果这些假设条件不满足，标准误差的计算和应用可能会产生偏差，因此在实际应用中需要进行检验和修正。
综上所述，标准误差在最小二乘法中具有重要的意义，它可以帮助我们评估参数估计的精确度、进行显著性检验和构建置信区间。
误差理论实验报告2
；
ｎ（ｍ＋１）
Ｘ Ｙ
Ｔ
F F=
U/ｍ ｓ
２
显著性 0.01 0.05 0.1 或其他
２． 实验内容和结果
1、 程序及流程 用ＭＡＴＬＡＢ编写程序解答下面各题 １．材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。某种材料实验数据 如下表：
正应力ｘ （Ｐａ） 抗剪强度ｙ （Ｐａ） ２６．８ ２６．５ ２５．４ ２７．３ ２８．９ ２４．２ ２３．６ ２７．１ ２７．７ ２３．６ ２３．９ ２５．９ ２４．７ ２６．３ ２８．１ ２２．５ ２６．９ ２１．７ ２７．４ ２１．４ ２２．６ ２５．８ ２５．６ ２４．９
ｂ
Z14=log(y4); Z15=log(y5); Z1pz=(Z11+Z12+Z13+Z14+Z15)/5; x1=1.585; x2=2.512; x3=3.979; x4=6.310; x5=9.988; x6=15.85; Z21=log(x1); Z22=log(x2); Z23=log(x3); Z24=log(x4); Z25=log(x5); Z2pz=(Z21+Z22+Z23+Z24+Z25)/5; A1=(Z11)*(Z21); A2=(Z12)*(Z22); A3=(Z13)*(Z23); A4=(Z14)*(Z24); A5=(Z15)*(Z25); Apz=5*(Z1pz)*(Z2pz); B1=(Z11)*(Z11); B2=(Z12)*(Z12); B3=(Z13)*(Z13); B4=(Z14)*(Z14); B5=(Z15)*(Z15); Bpz=5*(Z1pz)*(Z1pz); b=((A1+A2+A3+A4+A5)-Apz)/((B1+B2+B3+B4+B5)-Bpz) a=10^((Z1pz)/b-Z2pz) y=(y1 y2 y3 y4 y5); x=(x1 x2 x3 x4 x5); y=a*x^b;
最小二乘法的原理及其在测量工程中的应用
最小二乘法的原理及其在测量工程中的应用作者：曹白金王兵张健来源：《城市建设理论研究》2013年第24期摘要:在测量工程中，只有在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。
测量平差和最小二乘法是测量工程中重要的数学模型。
本文主要介绍了最小二乘法的原理及其用来进行间接平差的一般方法和其在测量工程中的应用。
关键词：最小二乘原理、测量平差、间接平差中图分类号：O353.5文献标识码： A 文章编号：Abstract: In the surveying engineering,adjustment problems will only be generated in the case which have redundant observations. Measuring adjustment and least squares method are the two important mathematical models in the surveying engineering.This paper has mainly introduced the least squares method and its general approach used for the indirect adjustment and the surveying engineering.Key words:least squares method、measuring adjustment、indirect adjustment1 最小二乘法的原理在测量工程中，若只对几何模型中的必要元素进行测定，则在观测值之间不可能产生任何函数关系式，模型中的其他各量可唯一确定，也不存在平差问题。
只有在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。
例如要确定一个三角形的大小和形状，必要观测数为，若实际观测了一条边三个角（），则存在一个多余观测（）。
测量误差分析与精度评定中的最小二乘法原理与应用
测量误差分析与精度评定中的最小二乘法原理与应用引言：在科学研究和工程实践中，准确测量和评定误差的大小是至关重要的。
而最小二乘法则是一种常用的数据处理方法，用于识别和分析测量误差，并对测量精度进行评定。
本文将介绍最小二乘法的原理和应用，以期帮助读者更好地理解和运用该方法。
一、最小二乘法原理最小二乘法是一种通过最小化测量残差平方和来确定最优拟合曲线或其他模型参数的方法。
其基本原理是找到一组参数，使得模型预测值与实际观测值之间的误差平方和最小化。
这样做的目的是尽量减小误差的影响，提高测量结果的精度。
二、最小二乘法应用最小二乘法广泛应用于各种领域，例如物理学、工程学、经济学等。
以下是几个常见的应用案例：1. 直线拟合最小二乘法可以用于拟合一条直线，以确定直线的斜率和截距。
通过将观测点到拟合直线的垂直距离的平方和最小化，可以获得最佳拟合直线。
2. 曲线拟合最小二乘法也可以用于拟合曲线，以确定曲线的方程和参数。
通过最小化观测点到拟合曲线的垂直距离的平方和，可以找到最佳拟合曲线。
3. 数据平滑有时，测量数据中包含一些噪声或随机误差，这可能会影响对数据的分析。
最小二乘法可以用于数据平滑，通过拟合一个平滑曲线来消除噪声或误差的影响，从而得到更可靠的结果。
4. 变量选择在一些实验设计和数据分析中，为了简化模型和减少计算量，需要选择最为重要的变量。
最小二乘法可以通过评估变量的贡献程度来选择最相关的变量，从而建立一个更简化的模型。
三、最小二乘法误差分析最小二乘法不仅可以用于拟合和参数估计，还可以用于误差分析。
通过对残差进行统计分析，可以获得有关测量误差的重要信息。
以下是几种常见的误差分析方法：1. 观测误差分布分析最小二乘法可以通过统计方法来分析观测误差的分布特性，比如均值、方差等。
这有助于确定测量误差的大小和分布情况。
2. 置信区间估计最小二乘法可以根据残差的分布情况，进一步估计参数的置信区间。
这有助于评估参数估计的精度和可靠性。
最小二乘法实验报告
最小二乘法实验报告最小二乘法实验报告引言最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和估计模型参数。
它通过最小化观测值与理论值之间的误差平方和，寻找最优解。
本实验旨在通过实际数据拟合的方式，探索最小二乘法的原理和应用。
实验步骤1. 数据采集在实验开始前，我们选择了一个简单的线性回归模型进行拟合。
为了收集数据，我们在实验室里设置了一个简单的装置，用于测量物体的运动距离和所需时间。
通过多次重复实验，我们得到了一组数据，包括物体运动距离和所需时间的测量值。
2. 数据处理在进行最小二乘法拟合之前，我们需要对数据进行处理。
首先，我们计算每次实验的平均速度，通过将运动距离除以所需时间得到。
然后，我们将平均速度作为自变量，所需时间作为因变量，得到一组有序的数据点。
3. 拟合模型接下来，我们使用最小二乘法来拟合线性回归模型。
线性回归模型可以表示为：y = a + bx，其中y是因变量（所需时间），x是自变量（平均速度），a和b是待估计的模型参数。
通过最小化残差平方和，我们可以得到最优的a和b的估计值。
4. 拟合结果分析通过最小二乘法拟合得到的模型参数估计值，我们可以进一步分析拟合结果的准确性和可靠性。
首先，我们计算拟合优度，即拟合值与观测值之间的相关系数。
较高的拟合优度表明模型拟合效果较好。
此外，我们还可以计算参数估计的标准误差，用于评估参数估计值的可靠性。
结果与讨论在本实验中，我们使用最小二乘法对一组实际测量数据进行了线性回归拟合。
通过计算拟合优度，我们发现拟合效果较好，相关系数接近1。
这表明我们选择的线性回归模型较为合适，并且可以用于预测因变量（所需时间）。
此外，我们还计算了参数估计的标准误差。
标准误差是对参数估计值的精度进行评估的指标。
较小的标准误差表示参数估计值较可靠。
通过计算，我们发现参数估计值的标准误差较小，说明我们得到的模型参数估计值较为准确。
结论通过本实验，我们深入了解了最小二乘法的原理和应用。
基于最小二乘法的误差分析与误差修正
基于最小二乘法的误差分析与误差修正作者：陈林斌孙赐恩来源：《中国新通信》 2018年第7期一、引言电机作为天线测量系统转台控制系统的主要驱动，对于转台控制系统的正常运行，准确的电机参数辨识是天线研制的关键技术之一，随着国防、航空、航天、通信技术等迅速发展，对天线的精度和性能指标的要求越来越高，远场测试手段越来越无法满足现代天线测试需求，近场测量逐渐成为研究热点。
近场测量所产生的误差需要进行分析，并提出相应的补偿措施。
因此，近场天线测量误差分析与补偿技术的研究具有十分重要的实用价值。
对近场测量而言，这些误差源大致分为四类，即探头误差、测试仪表误差、环境误差以及计算误差。
这些误差源所产生的误差对大多数常规天线测量的影响几乎可以忽略不记，但对超低副瓣天线等一系列高性能天线的测量，这些误差源所产生的误差几乎每项都必须予以补偿或修正。
这些补偿与修正也不断促进着近场扫描法的推广及应用。
二、天线测试中电机辨识参数误差分析天线测量系统是一套在中心计算机控制下进行天线扫描、数据采集、测试数据处理及测试结果显示与输出的自动化测量系统，转台通过电机控制天线扫描速度与方位，天线测试过程中电机会将参数返回到计算机控制中心从而确定测量位置。
电机作为天线测量系统转台控制系统的主要驱动，对于转台控制系统的正常运行，准确的电机参数辨识是一个重要的前提条件，能够保证电机稳定高效的运行。
电机返回的参数如果不够精确，计算机控制中心获取的参数也就不精确了，这样测量天线的辐射性能就会有误差，目前国内外学者针对不同情况，在辨识的优化算法方面做了许多工作。
三、最小二乘法最小二乘法(Least Squares Method, 简记为LSE) 是一个比较古老的方法，源于天文学和测地学上的应用需要。
现行的最小二乘法是勒让德( A. M. Legendre) 于1805 年在其著作《计算慧星轨道的新方法》中提出的。
它的主要思想就是选择未知参数，使得理论值与观测值之差的平方和达到最小：最小二乘法能将从实验中得出的一大堆看上去杂乱无章的数据中找出一定规律，拟合成一条曲线来反映所给数据点总趋势，以消除其局部波动。
最小二乘法在误差分析中的应用
最小二乘法在误差分析中的应用最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的数学优化方法，其在误差分析中有广泛的应用。
最小二乘法的核心思想是通过找到最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和来确定模型的参数值。
在误差分析领域，最小二乘法可以用于拟合数据、估计测量误差、确定模型的准确性等方面。
一、数据拟合最小二乘法在数据拟合中起到了很重要的作用。
在实际测量中，我们经常需要通过一组数据来拟合一个函数模型。
然而，由于观测数据通常存在一定的误差，因此完全匹配所有数据点是不可能的。
最小二乘法通过最小化残差平方和，找到了一个最佳拟合曲线，使得拟合曲线与数据点的残差最小。
二、测量误差估计在许多实际问题中，我们需要估计测量误差的大小，以便评估实验数据的可靠性。
最小二乘法可以通过计算残差的标准差来估计测量误差。
具体方法是将观测数据代入拟合曲线，计算其残差，并根据残差的平方和和自由度计算均方根误差或标准差。
通过对残差的分析，我们可以估计测量系统的精度、稳定性以及实验数据的可靠性。
三、参数估计在许多科学和工程问题中，我们经常需要估计模型的未知参数。
最小二乘法提供了一种有效的方法来估计参数的值。
通过最小化残差平方和，最小二乘法可以用于确定参数的最佳估计。
例如，在线性回归问题中，最小二乘法可以用来估计线性方程的斜率和截距。
此外，最小二乘法还可以用于非线性模型的参数估计，如指数衰减模型和多项式曲线拟合等。
四、模型评估最小二乘法在误差分析中还可以用于评估模型的准确性。
一般来说，通过最小二乘法拟合得到的模型并不一定就是真实的模型。
因此，我们需要对拟合曲线的质量进行评估。
最小二乘法提供了一种有效的评估方法，即通过残差分析、F检验、相关系数等指标来评估模型的拟合程度和统计显著性。
这样可以帮助我们判断模型是否具有较好的可用性，以及是否需要对模型进行改进。
五、加权最小二乘法在一些情况下，观测数据的误差方差可能是不均匀的，即不同数据点的测量精度可能不同。
线性方程组的最小二乘解
线性方程组的最小二乘解在数学中，线性方程组是一个或多个线性方程的集合。
解决线性方程组的问题在科学和工程领域中具有广泛的应用。
然而，在现实世界的许多情况下，由于数据存在误差或方程组不完全满足，我们无法找到一个精确的解。
因此，在这种情况下，我们借助最小二乘法来寻找一个近似解。
最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来估计未知参数的统计方法。
它的基本思想是将线性方程组的解转化为一个优化问题，使误差最小化。
这样做的原因是测量误差在实际问题中是不可避免的，而最小二乘法能够有效地减小误差对解的影响。
现在，我们考虑一个具体的线性方程组：\[Ax = b\]其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的向量，b是一个m×1的向量。
通常情况下，该方程组无法找到一个完全满足的解。
我们将通过最小二乘法来确定一个最接近的解。
为了得到最小二乘解，我们需要定义一个误差函数，即残差：\[r = Ax - b\]我们的目标是使残差的范数最小化。
这里我们选择残差的欧几里得范数：\[||r||_2 = \sqrt{r^Tr}\]最小二乘解x可以通过求解下面的优化问题得到：\[x_{LS} = \arg\min_x ||Ax - b||_2^2\]为了求解上述优化问题，我们可以使用求导的方法。
令误差函数对x的导数为零，可以得到如下的正规方程：\[A^TAx = A^Tb\]解这个正规方程可以得到最小二乘解x的闭式表达式。
然而，这种方法在矩阵A的条件数较高时可能会导致数值不稳定的结果。
为了解决这个问题，我们可以使用QR分解方法。
QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的方法。
通过QR分解，我们可以将正规方程重新表示为：\[Rx = Q^Tb\]然后，通过反向代入法，可以求解最小二乘解x。
除了使用QR分解法，其他方法，如SVD分解、正交投影等，也可以用于求解线性方程组的最小二乘解。
最后，应该注意的是，最小二乘解不一定是唯一的。
实验数据分析方法_误差理论与最小二乘法
实验数据分析方法_误差理论与最小二乘法在实际实验中，由于各种原因，测量结果会存在各种误差，如人为误差、仪器误差等。
误差理论的目的就是通过建立误差模型来分析和描述这些误差，并以此为基础进行数据处理和结果分析。
误差理论的基本思想是将测量结果看作是真实值与误差的和，即：测量结果=真实值+误差误差一般包括系统误差和随机误差。
系统误差是由于实验设计、仪器校准不准确等原因引起的误差，其大小和方向是固定的，可以通过校正或其他方法减小；随机误差是由于无法完全控制的因素引起的误差，其大小和方向是随机的，可以通过多次实验取平均等方法减小。
误差理论中的重要概念包括误差的平均值、方差、标准差等。
平均值是一组数据的加权平均，方差是各个数据偏离平均值的平方的平均值，标准差是方差的平方根。
这些概念可以用来评估实验数据的精确度和可靠度。
误差理论中还提出了误差传递规则，即当一组测量结果通过其中一种数学运算得到另一组结果时，两组结果的误差之间的关系。
常用的误差传递规则有加减法规则、乘除法规则和函数求导法则等。
最小二乘法是一种常用的数据处理方法，它的基本思想是通过最小化实验测量结果和理论模型之间的差异来估计真实值。
最小二乘法的核心问题是构建最小二乘函数，并通过最小化该函数来求解。
在实际应用中，最小二乘法可以用来处理线性回归问题和非线性回归问题。
线性回归是指实验数据能够用线性函数描述的情况，非线性回归是指实验数据无法用线性函数描述的情况。
最小二乘法的基本步骤包括建立数学模型、确定误差函数、求解最小二乘问题和对结果进行验证。
建立数学模型时，需要确定自变量和因变量之间的关系，可以采用线性模型、指数模型、对数模型等。
确定误差函数时，常用的误差函数有平方误差和绝对误差等。
求解最小二乘问题时，可以采用解析解法、迭代法、优化算法等。
对结果进行验证时，可以通过检验拟合优度、残差分析等指标来评估拟合效果。
【文献综述】最小二乘法的原理和应用
文献综述数学与应用数学最小二乘法的原理和应用一、国内外状况天文学自古代至18世纪是应用数学中最发达的领域。
观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子，在此种意义下，天文学家就是最初的数理统计学家。
天文学的问题逐渐引导到算术平均，以及参数模型中的种种估计方法，以最小二乘法为顶峰。
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
勒让德是法国军事学校的教授，曾任多界政府委员，后来成了多科工艺学校的总监，直至1833年逝世。
有记载最小二乘法最早出现在勒让德1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中。
他在该书中描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点。
勒让德的成功在于它从一个新的角度来看待这个问题，不像其前辈那样致力于找出几个方程（个数等于未知数的个数）再去求解，而是考虑误差在整体上的平衡。
从某种意义讲，最小二乘法是一个处理观测值的纯粹代数方法。
要将其应用于统计推断问题就需要考虑观测值的误差，确定误差分布的函数形式。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y=a+dx,对其进行n（n>2）次观测而获得n对数据，若将这n对数据代入方程求解a 、b 之值则无确定解。
最小二乘法的原理与应用
最小二乘法的原理与应用原理介绍最小二乘法是一种常见的数学优化方法，广泛应用于各个领域，特别是在统计学和机器学习中。
它的原理是通过最小化误差平方和来拟合观测数据和数学模型之间的差距，从而找到数据背后的真实模型。
最小二乘法的核心思想是，通过找到一个数学模型，使得该模型下的预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
为了达到这个目标，需要建立一个关于模型参数的误差函数，并对该函数进行求解。
最终，通过最小化这个误差函数，找到最佳的模型参数。
应用场景最小二乘法在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.线性回归分析：最小二乘法用于分析两个或多个变量之间的线性关系，并用线性模型进行预测。
例如，通过身高和体重之间的线性关系，预测一个人的理想体重。
2.时间序列分析：最小二乘法用于预测时间序列数据的未来趋势。
通过对历史数据进行回归分析，可以建立一个时间序列模型，并利用该模型进行未来的预测。
3.信号处理：最小二乘法用于滤波器设计和频谱估计。
通过最小化残差平方和，可以得到一个最佳的滤波器或频谱估计。
4.数据拟合：最小二乘法用于拟合数据到数学模型。
例如，在曲线拟合中，可以通过最小二乘法来找到一个最佳拟合曲线，使得该曲线与实际数据之间的残差最小。
5.优化问题：最小二乘法可用于求解各种优化问题，例如最小化成本、最大化收益等。
通过建立一个优化目标函数，并将其转化为最小二乘法问题，可以找到一个最佳的方案。
最小二乘法的实现步骤最小二乘法的实现包括以下步骤：1.确定数学模型：首先需要确定一个数学模型，用于描述观测数据和待拟合模型之间的关系。
2.建立误差函数：通过数学模型和观测数据，建立一个关于模型参数的误差函数。
通常，误差函数是观测值与模型预测值之间的差异度量。
3.最小化误差函数：利用最小二乘法的原理，对误差函数进行求解，找到使误差函数最小化的模型参数。
4.验证拟合效果：使用找到的最佳模型参数，通过拟合数据，并与实际观测值进行比较，验证拟合效果。
最小二乘法及其应用
n
n
n
ˆ ˆ， 以 0 1 为变量，把它们看作是Q的函数，就变成 了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求 Q对两个待估参数的偏导数：
n Q ˆ ˆ )( 1) 0 2 (Yi 0 1 i ˆ i 1 0 n Q ˆ ˆ )( ) 0 2 (Yi 0 1 i i ˆ 1 i1
样本回归模型：
ˆ ˆ e Yi 0 1 i i
ˆ ˆ ei Yi 0 1 i
其中
ei
为样本（ i ， Y ）的误差平方损失函数：
i
ˆ ˆ )2 ˆ ) (Y Q ei2 (Yi Y i i 0 1 i
i 1 i 1 i 1
选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最 小。有以下三个标准可以选择： （1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存 在相互抵消的问题。 （2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较 麻烦。 （3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除 了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏 感。
1
5个步骤
3
5
2
2.这些关系是否可以近 似用函数模型来描述
4
4.用最小二乘法模型中 的参数进行估计
简单地说，最小二乘的原理就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达 到最小.这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近（在古汉语 中“平方”称为“二乘”），“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点 与估计点的距离的平方和达到最小。
这就是最小二乘法的解法，是求得平方损失函数 的极值点。
圆度误差的最小二乘法_最小包容区域法和最优函数法评定精度之比较
圆度误差的最小二乘法、最小包容区域法和最优函数法评定精度之比较田树耀(福建华侨大学机电学院,泉州362021)摘 要 目的在于寻找符合最小条件的圆度误差评定方法。
首先详细介绍圆度误差评定的最小二乘法、最小包容区域法和最优函数法的算法模型与实现方法;然后,在三坐标测量机上对被测圆进行采样点坐标数据提取,分别用最小二乘法、最小包容区域法和最优函数法对给定圆进行误差评定。
结果表明,最小包容区域法评定精度最高,最优函数法评定精度次之,最小二乘法评定精度较低。
关键词 圆度误差;最小二乘法;区域搜索;M TALAB;评定精度0 引言圆度公差是评价回转体零件的一项重要精度指标,它用于控制被测圆柱面任一正截面上的实际圆相对于理想圆的变动量[1]。
圆度误差的大小将直接影响到零件的回转精度、配合面的接触状况及耐磨性等,因此圆度误差的精确测量与评定无论对零件合格性的判定,还是对圆度误差产生原因的判断与消除都是十分重要的。
随着三坐标测量机、圆度仪等自动数据采集仪器日益广泛的应用,坐标测量值原则越来越有取代测量特征参数原则和控制实效边界原则之势成为圆度误差的主要测量原则[2]。
基于测量坐标值原则下圆度误差的测量一般在圆度仪或三坐标测量机上实现。
G B/T7235-2004规定了圆度误差的4种评定方法:最小区域法、最小二乘法、最小外接圆法和最大内接圆法[3]。
其中,最小二乘法因其理论成熟、算法简便易行等优点应用最为普遍,甚至被列为欧美国家的标准。
但最小二乘法并不能提供满足最小条件的圆度误差评定结果。
研究人员研究了多种方法以获得最小区域的圆度误差评定结果,但这些方法大都由于算法复杂,不易被工程实际人员掌握。
本文提出最优函数法评定圆度误差的数学模型,深入探讨了最小二乘法、最小包容区域法和最优函数法的算法模型与实现方法。
1 圆度误差评定的最小二乘法设(x i,y i),i=1,2,…,n,n>3为被测实际圆周上的测量采样点。
误差理论线性参数的最小二乘法处理实验报告
误差理论线性参数的最小二乘法处理实验报告一、实验目的1.掌握误差理论线性参数的最小二乘法处理原理；2.熟悉误差理论线性参数的最小二乘法处理过程；3.进一步理解误差源与观测量之间的关系。
二、实验原理1.误差理论线性参数的最小二乘法处理原理：最小二乘法是一种常见的数据处理方法，通过最小化观测值与估计值之间的残差，来求取未知参数的最优估计值。
对于误差理论线性参数的最小二乘法处理，可以根据观测值和其对应的误差，通过建立含有未知参数的线性方程组，然后通过最小化残差平方和的方法求解最优估计值。
2.误差理论线性参数的最小二乘法处理步骤：(1)确定线性关系的函数模型；(2)建立观测值与理论值之间的代数关系；(3)建立每个观测值与误差之间的代数关系；(4)构建误差方程；(5)求解未知参数的最优估计值；(6)分析残差，并进行精度评定。
三、实验内容及步骤1.实验准备：(1)阅读实验教材，了解实验原理；(2)确定实验使用的观测仪器和测量对象；(3)清洗、校准测量仪器。
2.实验步骤：(1)根据实验要求，确定需要测量的多个观测值，并为每个观测值确定一个相应的误差；(2)建立观测值与理论值之间的线性关系；(3)构造观测值和误差的方程，并对方程进行变换和简化；(4)解线性方程组，求解未知参数；(5)计算观测值的残差，并分析精度。
四、实验数据处理1.实验数据：假设有三个观测值，测量结果如下：观测值1：4，误差：0.1观测值2：7，误差：0.2观测值3：10，误差：0.32.实验数据处理：(1) 建立观测值与理论值之间的线性关系模型：y = ax + b；(2)构造观测值和误差的方程：观测值1：4=a*1+b+ε1观测值2：7=a*2+b+ε2观测值3：10=a*3+b+ε3(3)对方程进行变换和简化，得到：4=a+b+ε17=2a+b+ε210=3a+b+ε3(4)构建误差方程：ε1=4-a-bε2=7-2a-bε3=10-3a-b(5)将误差方程代入原方程组，并最小化残差平方和，得到最优解：2a+b=35a+b=6(6)解得未知参数的最优估计值为：a=1,b=1(7)计算观测值的残差：观测值1的残差：ε1=4-1-1=2观测值2的残差：ε2=7-2-1=4观测值3的残差：ε3=10-3-1=6五、结果分析1.通过最小二乘法处理，我们得到未知参数的最优估计值为：a=1,b=12.通过计算观测值的残差，我们可以评定估计结果的精度，其中残差ε1=2,ε2=4,ε3=6实验结果表明，通过误差理论线性参数的最小二乘法处理，我们可以准确地估计未知参数的值，并评价估计结果的精度。
最小二乘法在误差分析中的应用
误差理论综述与最小二乘法讨论摘要：本文对误差理论和有关数据处理的方法进展综述。
并且针对最小二乘法〔LS〕的创立、开展、思想方法等相关方面进展了研究和总结。
同时，将近年开展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进展了比照。
1.误差的有关概念对科学而言，各种物理量都需要经过测量才能得出结果。
许多物理量的发现，物理常数确实定，都是通过精细测量得到的。
任何测试结果，都含有误差，因此，必须研究，估计和判断测量结果是否可靠，给出正确评定。
对测量结果的分析、研究、判断，必须采用误差理论，它是我们客观分析的有力工具1.1测量根本概念一个物理量的测量值应由数值和单位两局部组成。
按实验数据处理的方式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。
直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。
间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与假设干直接测量量的函数关系求出。
组合测量:如有假设干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进展测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。
1.2误差根本概念误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。
假设*物理量的测量值为y，真值为Y，则测量误差dy=y-Y。
虽然真值是客观存在的，但实际应用时它一般无从得知。
按照误差的性质，可分为随机误差，系统误差和粗大误差三类。
随机误差:是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。
系统误差:是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。
粗大误差:指超出在规定条件下预期的误差。
1.3等精度测量的随机误差当对同一量值进展屡次等精度的重复测量，得到一系列的测量值，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有特定的规律，但就误差的总体而言，却有统计规律。
正态分布通过对大量的测量数据的观察，人们发现测量列的随机误差有以下几个特征：（1）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，即误差的对称性；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即误差的单峰性；（3）在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，即误差的有界性；（4）随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零，即误差的抵偿性。
最小二乘中的误差项的方差齐性
最⼩⼆乘中的误差项的⽅差齐性今天我们就来继续讨论⼀下，如果残差不满⾜⽅差齐性时，应该如何解决？⼀、残差⽅差齐性判断1. 残差⽅差齐性回顾⼀下前⾯介绍过的残差⽅差齐性，即残差ei的⼤⼩不随预测值⽔平的变化⽽变化。
我们在进⾏时，可以通过绘制标准化残差和标准化预测值的散点图来进⾏判断。
若残差满⾜⽅差齐性，则标准化残差的散点会在⼀定区域内，围绕标准化残差ei=0这条直线的上下两侧均匀分布，不随标准化预测值的变化⽽变化，如图1所⽰。
图1. 标准化残差散点图（⽅差齐性）2. 残差⽅差不齐但有时残差不满⾜⽅差齐性的假设，其标准化残差散点图显⽰，残差的变异程度随着变量取值⽔平的变化⽽发⽣变化，如图2(a)显⽰标准化残差的分布随变量取值的增⼤⽽呈现扩散趋势，图2(b)显⽰标准化残差的分布随变量取值的增⼤⽽呈现收敛趋势，说明残差不满⾜⽅差齐性的条件。
图2. 标准化残差散点图（⽅差不齐）⼆、加权最⼩⼆乘法在多重线性回归模型中，我们采⽤的是普通最⼩⼆乘法（Ordinary Least Square，OLS）来对参数进⾏估计，即要求每个观测点的实际值与预测值之间的残差平⽅和最⼩，对于模型中的每个观测点是同等看待的，残差满⾜⽅差齐性的假设。
但是在有些研究问题中，例如调查某种疾病的发病率，以地区为观测单位，很显然地区⼈数越多，所得到的率就越稳定，变异程度越⼩，⽽地区⼈数越少，所得到的率的变异就越⼤。
在这种情况下，因变量的变异程度会随着⾃⾝数值或其他变量的变化⽽变化，残差不满⾜⽅差齐性的条件。
此时如果继续采⽤OLS⽅法进⾏模型估计，则拟合结果就会受到变异程度较⼤的数据的影响，在这种情况下构建的回归模型就会发⽣偏差，预测精度降低，甚⾄预测功能失效。
为了解决这⼀问题，我们可以采⽤加权最⼩⼆乘法（Weighted Least Squares，WLS）的⽅法来进⾏模型估计，即在模型拟合时，根据数据变异程度的⼤⼩赋予不同的权重，对于变异程度较⼩、测量更精确的数据赋予较⼤的权重，对于变异程度较⼤、测量不稳定的数据赋予较⼩的权重，从⽽使得加权后回归直线的残差平⽅和最⼩，保证拟合的模型具有更好的预测价值。
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误差理论综述与最小二乘法讨论摘要：本文对误差理论和有关数据处理的方法进行综述。
并且针对最小二乘法（LS）的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究和总结。
同时，将近年发展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进行了对比。
1.误差的有关概念对科学而言，各种物理量都需要经过测量才能得出结果。
许多物理量的发现，物理常数的确定，都是通过精密测量得到的。
任何测试结果，都含有误差，因此，必须研究，估计和判断测量结果是否可靠，给出正确评定。
对测量结果的分析、研究、判断，必须采用误差理论，它是我们客观分析的有力工具1.1测量基本概念一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成。
按实验数据处理的方式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。
直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。
间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。
组合测量:如有若干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进行测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。
1.2误差基本概念误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。
若某物理量的测量值为y，真值为Y，则测量误差dy=y-Y。
虽然真值是客观存在的，但实际应用时它一般无从得知。
按照误差的性质，可分为随机误差，系统误差和粗大误差三类。
随机误差:是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。
系统误差:是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。
粗大误差:指超出在规定条件下预期的误差。
1.3等精度测量的随机误差当对同一量值进行多次等精度的重复测量，得到一系列的测量值，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有特定的规律，但就误差的总体而言，却有统计规律。
1.3.1正态分布通过对大量的测量数据的观察，人们发现测量列的随机误差有以下几个特征：（1）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，即误差的对称性；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即误差的单峰性；（3）在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，即误差的有界性；（4）随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零，即误差的抵偿性。
正态分布曲线如下图1-1所示。
正态分布时区间(μ-σ，μ+σ)的面积占总面积的68.27%; (μ-1.96σ，μ+1.96σ)的面积占总面积的95%;区间(μ-2.58σ，μ+2.58σ)的面积占总面积的99%。
图1-1.正态分布曲线1.3.2t分布t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n<30。
t分布适用于当总体标准差σ未知时用实验标准差s代替总体标准差σ，由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。
关于t分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉·西利·戈塞特 (wiliamsealy Gosset)在1900年进行的。
1.4系统误差系统误差是由固定不变的或按某种规律变化的因素造成的，这些误差因素可能是由于：（1）测量装置的原因：仪器设计上的缺欠，仪器零件制造和安装的不正确，仪器附件的制造偏差。
（2）测量环境的原因：测量过程中温度、湿度等按一定的规律变化。
（3）测量方法的原因：采用近似的测量方法或近似的计算公式引起的误差。
（4）测量人员的原因：由于测量人的个人特点导致的测量误差。
系统误差具有确定的规律性，这与随机误差有根本区别。
对于测量中存在的较为显著的系统误差，可以通过一些检验方法和手段发现。
如：1. 通过实验对比检验系统误差；2.通过理论分析判断系统误差；3. 对测量数据进行直接判断；4. 用统计方法进行检验。
1.5粗大误差测量数据中包含随机误差和系统误差是正常的，只要测量误差在一定的范围内，测量结果就是正确的。
但当测量者在测量时由于疏忽造成错误读取示值，错误纪录测量值，错误操作以及使用有缺欠的计量器具时，会出现粗大误差，此数据的误差分量明显偏大，即明显歪曲测量结果。
对于粗大误差，有以下几种判别方法：（1）莱依特准则(3σ准则)：若对某一物理量等精度重复测量n 次，得测量值123,,......n x x x x ，如果某测得值的残差大于3倍的标准差，即|v|>3σ，该数据为异常数据，应剔除。
莱依特准则的合理性是显然的，对服从正态分布的随机误差，其残差落在（-3σ，3σ）以外的概率仅为0.27%，当在有限次测量中发生的可能性很小，认为是不可能发生的。
（2）肖维勒准则：若对某一物理量等精度重复测量n 次，得测量值123,,......n x x x x ，若认为j x 为可疑数据，若此数据的残差|v|>Zσ，则此数据为异常数，应剔除。
实用中Z<3，这在一定程度上弥补了3σ准则的不足。
Z 是与测量次数n 有关的系数。
其（3）t 检验准则(罗曼诺夫斯基准则)： 罗曼诺夫斯基准则又称t 检验准则，其特点是首先剔除一个可疑的测得值，然后按t 分布检验被剔除的测量值是否为异常值。
（4）格罗布斯准则。
（5）狄克逊准则。
2.测量的不确定度测量数据或经数据处理给出的最终结果都不可能是客观真值，只是被测量的近似值(或估计量)。
因此，只给出被测量的估计值是不够的，还必须对估计值做出精度估计。
测量或结果的精度估计用“不确定度”这一参数表征。
它表征被测量的真值所处的量值散布范围的评定，反映了由于误差存在而对被测量值不能确定的程度。
测量不确定度涉及到测量误差的性质、分布及测量方法等。
不确定度的表述是数据处理的基本要求。
2.1不确定度的定义与分类测量不确定度是指测量结果的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。
这种测量不确定度的定义表明，一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两个部分。
如被测量Y的测量结果为y士U，其中y是被测量的估计，它具有的测量不确定度为U。
不确定度从评定方法上可分为两类:A类分量和B类分量。
用统计分析法来评定的不确定度称为A类不确定度评定，当测量误差服从正态分布时，以标准差表示称为标准不确定度，用符号u表示，u=s。
不能由统计分析法评定的不确定度称为B类不确定度评定，A类以外的不确定度均属于B 类不确定度。
测量误差和测量不确定度是误差理论中两个重要的概念，它们具有相同点，都是评价测量结果质量好坏的重要指标，但它们又有明显的区别。
2.2提高测量精度的途径在拟定或设计测量方法时，需要确定测量的不确定度。
测量的总不确定度应根据被测量的精度要求恰当的给以规定。
反过来，要想提高测量的精度，就应尽可能的减小最后结果的总不确定度。
根据不确定度的合成关系，可从下面几方面着手。
（1）控制测量的误差因素；（2）选择有利的测量方案；（3）控制误差的最大分盘。
3.测量数据的处理无论哪个学科，在做实验的过程中，测得实验数据之后，都必须对数据进行一系列的加工和运算，这就是数据处理过程。
因此，针对数据处理，这里介绍作图法、逐差法、最小二乘法和回归分析方法。
3.1用作图法处理数据作图法处理数据是指在实验中，进行测量以后，把相关数据做成曲线图，然后通过曲线来求未知量的方法。
作图法能直观形象的表达两个或两个以上变量间的变化关系。
利用图线特别是直线，可以方便地求出斜率，截距以及包含在斜率和截距中的未知量。
通过作图法处理数据可以减小随机误差影响，发现粗大误差，并能消除某些系统误差。
作图法简单易行，被广泛采用。
3.2逐差法处理数据为了在数据测量中，尽量减少误差，通常采用多次测量。
但是在等间隔线性变化测量中，若仍采用一般的求平均值的方法，可以发现只有最后一次测量和第一次测量起作用，所有的中间测量值全部抵消。
因此，这样的数据处理方法无法反映多次测量的特点，损失掉很多信息。
逐差法可弥补这种不足，逐差法的数据处理原则是:所有数据都要用上，但每个数据不能重复使用。
一般情况下，用逐差法处理数据需具备两个条件:1.函数具有线性关系；2.自变量是等间距的，且测量次数为偶数次。
逐差法处理数据就是把所测得的偶数组数据按自变量由大到小或由小到大的顺序依次排列，然后等分为前后两大组，再将每大组的对应项依次相减。
3.3最小二乘法处理数据最小二乘法原理可以表述：在21n i v =∑=最小的前提下求得的未知量值，是未知量的最佳值(最可信赖值)。
下面给出一般情况的证明:为了求得t 个不可直接测量的未知量123,,......n y y y y ，可利用直接测量量123,,......l x x x x 与未知测量量的函数关系，11123(,,......)l y f x x x x =22123(,,......)l y f x x x x =...123(,,......)n n l y f x x x x =通过对直接测量量123,,......l x x x x 进行测量,得到测量数据123,,......n l l l l ，若n=l ，则可由上式直接解方程组得未知量。
由于测量数据不可避免地包含测量误差，所以所得结果123,,......l x x x x 也包含测量误差。
为了提高测量结果的精度，应增加测量次数，以便利用随机误差的抵偿性减小误差对测里结果的影响。
故可能有n>l ，当等精度测量时，测量数据与直接测量量i Y 的最佳估值i y 的残差应满足最小，即：2211()min n n i i ii i v l y ===-=∑∑3.4回归分析回归分析（Regression Analysis ）是英国生物学家兼统计学家高尔顿（Galton ）在1889年出版的《自然遗传》一书中首先提出，是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法。
由于相关变量之间不存在确定性关系，因此，在生产实践和科学实验所记录的这些变量的数据中，存在不同程度的差异。
回归分析就是应用数学方法，对大量观测数据进行处理，从而得到比较符合事物内部规律的数学表达式。
4.最小二乘法的创立、发展及其思想最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一,它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y=a+bx ,对其进行n(n>2)次观测而获得n 对数据。
若将这n 对数据代入方程求解a,b 之值则无确定解。
最小二乘法提供了一个求解方法,其基本思想就是寻找“最接近”这n 个观测点的直线。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策,不少近现代的数理统计学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。