2018考研数学一参考答案

本科院校 目标院校 目标专业 姓名 .....................................装.......................................订.......................................线.......................................
A. M > N > K
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A. 若显著性水平 α = 0.05 时拒绝 H0 , 则 α = 0.01 时必拒绝 H0 B. 若显著性水平 α = 0.05 时接受 H0 , 则 α = 0.01 时必拒绝 H0 C. 若显著性水平 α = 0.05 时拒绝 H0 , 则 α = 0.01 时必接受 H0 D. 若显著性水平 α = 0.05 时接受 H0 , 则 α = 0.01 时必接受 H0 【解析】α 越小, 显著性差异越小, 越容易接受 H0 , 若 α = 0.05 时接受 H0 , 则 α = 0.051 时显著性变弱, 更加容易接受 H0 , 选 D. 评卷人 二、 ( 得分 填空题（每题 4 分, 共 24 分）
−2 tan x = 1, k = − 2. (1 + tan x ) sin (kx )
∫ 1
0
所以 lim
x →0
10. 设函数 f ( x ) 具有二阶连续导数, 若曲线 y = f ( x ) 的过点 (0, 0), 且与曲线 y = 2x 在点 (1, 2) 处相切, 则 . 【解析】由题意知 f (0) = 0, f (1) = 2, f (1) = 2 ln 2 | x=1 = 2 ln 2. 由分部积分公式, 原积分等于 x f ( x )
0
f ( x )dx = 0.3, 于是
P { X < 0} =
∫ 1
f ( x )d x =
−∞
f ( x )d x −
f ( x )dx = 0.5 − 0.3 = 0.2
选 A. 8. 给定总体 X ∼ N (µ, σ2 ), σ2 已知, 给定样本 X1 , X2 , · · · , Xn , 对总体均值 µ 进行检验, 令 H0 : µ = µ0 , H1 : µ ̸= µ0 , 则 ( )
∫ 2
0
f ( x )dx = 0.6, 则 P( X < 0) =
∫ 2
1
(
)
【解析】由 f (1 + x ) = f (1 − x ) 知 f ( x ) 关于 x = 1 对称, 则
∫ 0
−∞
∫ 1
0
C. 0.4 f ( x )d x =
∫ 1
0
D. 0.6 f ( x )d x = 1 2
∫ 2
1 2
∫
arctan
√
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【解析】易知题中矩阵均为 3 重特征值 1. 若矩阵相似, 则不同特征值对应矩阵 λ E − A 的秩相等, 即 E − A 秩相等. 显然为 A. 6. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩, ( X Y ) 表示分块矩阵, 则 A. r ( A AB) = r ( A) C. r ( A B) = max{r ( A), r ( B)} B. r ( A BA) = r ( A) D. r ( A B) = r ( AT BT ) ( )
.
【解析】由 α1 , α2 是 A 的线性无关的特征向量, 则 α1 , α2 是 A2 的线性无关的特征向量. 又 A2 (α1 + α2 ) = α1 + α2 , α1 + α2 也是 A2 的特征向量, 则 A2 有二重特征值 1. 又 A 有两个不同的特征值, 则其特征值为 −1, 1, , 故 | A| = −1. 14. 设随机事件 A 与 B 相互独立, A 与 C 相互独立, BC = ∅. 若 P( A) = P( B) = 【解析】因为 BC = ∅, P( BC ) = 0, 故 P( ABC ) = 0. P ( AC | AB ∪ C ) = 1 . 4 得分 解答题（共 94 分） P [( ABC ) ∪ ( AC )] P ( AC ) P ( A) P (C ) 1 = = = P ( AB ∪ C ) P ( AB) + P (C ) − P ( ABC ) P ( A) P ( B) + P (C ) 4 1 1 , P ( AC | AB ∪ C ) = , 则 P(C ) = 2 4 .
2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学一试题
整理人：中博考研向禹老师xy123@mail.ustc.edu.cn
题号 分数 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分
评卷人 一、
得分 选择题（每题 4 分, 共 32 分）
1. 下列函数不可导的是 C. f ( x ) = cos | x | ′ 1 ′ 1 【解析】A, B, C 可导, D 根据导数的定义可得 f + (0) = − , f − (0) = . 2 2 2. 过点 (1, 0, 0) 与 (0, 1, 0) 且与 z = x2 + y2 相切的平面方程为 A. z = 0 与 x + y − z = 1 B. z = 0 与 2x + 2y − z = 0 C. y = x 与 x + y − z = 1 A. f ( x ) = | x | sin | x | B. f ( x ) = | x | sin √
x
x f ′′ ( x ) dx =
∫ 1
0
′
′
|1 0
−
f ′ ( x) dx
= 2 ln 2 − 2.
11. 设 F ( x, y, z) = xy⃗ i − yz⃗ j + xz⃗ k, 求 rot ⃗ F (1, 1, 0) = .
⃗ i
【解析】由旋度的定义 rot⃗ F=
∂ ∂x
⃗ j
∂ ∂y
−2 tan x = exp lim x →0 (1 + tan x ) sin ( kx )
(
)
=e
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n =0
∑ ( −1) n (2n + 1) !
B. 2 sin 1 + cos 1 C. 2 sin 1 + 2 cos 1 D. 3 sin 1 + 2 cos 1
∞
2n + 3
(
)
A. sin 1 + cos 1
【解析】利用 sin x 与 cos x 的麦克劳林级数可得
n =0
∑
∞
( −1) n
∞ 2n + 3 (2n + 1) + 2 = ∑ ( −1) n (2 n + 1 ) ! n =0 (2n + 1) !
=
n =0
∑ (−1)n (2n)! + ∑ (−1)n (2n + 1)! = 2 sin 1 + cos 1
n =0
∞
1
பைடு நூலகம்
∞
2
因此选 B.
∫
4. 设 M =
π 2
−π 2
(1 + x )2 d x, N = 1 + x2
【解析】对于 A, 有 r ( A AB) = r (A , 且 ( E B) 为行满秩的矩阵, 则 r ( A AB) = r ( A), 即选 A. ( E B)) 1 0 1 0 1 0 0 0 B 错误, 反例如 A = , B = .C 错误, r ( A B) ⩾ max{r ( A), r ( B)}, 反例如 A = , B = .D 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 错误, 反例如 A = , B = . 0 0 1 0 7. 设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) 满足 f (1 + x ) = f (1 − x ), 且 A. 0.2 B. 0.3

1 1 −1 A. 0 1 1 0 0 1
1 0 −1 B. 0 1 1 0 0 1
1 1 −1 C. 0 1 0 0 0 1
1 0 −1 D. 0 1 0 0 0 1
解得 P(C ) = 评卷人 三、
15. (本题满分 10 分)
∫
求不定积分
e2x arctan
√
e x − 1d x .
【解析】利用分部积分法
∫
e2x arctan
√
e x − 1d x =
∫ √ ( ) e2x ex 1 1 √ dx ex − 1d e2x = e2x arctan ex − 1 − 2 2 1 + ex − 1 2 ex − 1 ∫ ∫ √ √ 1 1 e2x 1 1 ex √ √ = e2x arctan ex − 1 − dx = e2x arctan ex − 1 − d (e x ) 2 4 2 4 ex − 1 ex − 1
∫
π 2
−π 2
1+x d x, K = ex
∫
π 2
(
−π 2
1+
√
) cos x dx, 则 ( )
B. M > K > N C. K > M > N D. N > M > K ) ∫ π ( ∫ π 2 2 (1 + x ) 2 2x d x = dx = π , 另外比较被积函数与 1 的大小关系易 【解析】利用对称性可以计算 M = 1 + 2 1+x 1 + x2 −π −π 2 2 见 K > π = M > N. 1 1 0 5. 下列矩阵中, 与矩阵 0 1 1 相似的为 0 0 1 ( 第1页 共8页 )
⃗ k
∂ ∂z
= y⃗ i − z⃗ j − x⃗ k, 于是 rot ⃗ F (1, 1, 0) = ⃗ i −⃗ k.
xy −yz xz 12. 设 L 为球面 x2 + y2 + z2 = 1 与平面 x + y + z = 0 的交线, 则 【解析】由对称性得 1 3 1 6 [
L
L
xyds =
.
L
xyds =
L
( xy + yz + xz) ds =
)] ( 1 ( x + y + z )2 − x 2 + y2 + z2 ds = 6
L
( −1) ds = −
π 3
13. 设二阶矩阵 A 有两个不同的特征值, α1 , α2 是 A 的线性无关的特征向量, A2 (α1 + α2 ) = α1 + α2 , 则 | A| =
) 1 1 − tan x sin(kx) = e, 则 k = 9. lim x →0 1 + tan x 【解析】原极限为 1∞ 型, 故恒等变形为
.
−2 tan x lim 1 + x →0 1 + tan x
(
1+tan x )− 2 tan x
−2 tan x (1+tan x ) sin(kx )
(
)
|x|
D. f ( x ) = cos
√
|x|
( D. y = x 与 2x + 2y − z = 2
)
【解析】过点 (1, 0, 0) 与 (0, 1, 0) 且与已知曲面相切的平面只有两个, 显然 z = 0 与曲面 z = x2 + y2 相切, 故排除 C, D. 1 1 曲面 z = x2 + y2 的法向量为 (2x, 2y, − 1), 对于 A 选项, x + y − z = 1 的法向量为 (1, 1, − 1), 可得 x = , y = . 代入 2 2 2 2 z = x + y 和 x + y − z = 1 中 z 不相等, 排除 A, 故选 B. 3.