大学物理-机械振动

82
A 6 2 cm
§12.2 简谐振动的实例分析
主要内容：
1. 单摆 2. 复摆 3. 扭摆 4. 双原子分子内原子的振动
12.2.1 单摆
以小球为研究对象，作受力分析.
P 重力, T 绳的拉力.
l
设 角沿P逆时T针 方ma向（为牛顿正第.二定律）
T
m
沿切向方向的分量方程为
P sin m dv
Acos
Asin
x Acos cost Asin sin t Acos( t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) ➢ 结论：合振动 x 仍是简谐振动
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
2. 旋转矢量法
分振动
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
例 设有 n 个同方向、同频率、振幅 a 相同、初相差依次为一 常量ε的谐振动，它们的振动分别为
x1 a cost x2 a cos(t ) x3 a cos(t 2 )
…… ……
xn a cos[(t (n 1) ]
求 合振动的振动方程。
解 x xn Acos(t )
C nε
b a
a4 b3
F
(dF dr
) r r0
x
a4 b3
x
kx
其中
k
a4 b3
，为等效劲度系数.
➢ 结论: 原子在平衡位置附近的微振动是谐振动.
周期为：
T 2
m 2π k
b3 a4
m
角频率为：
a4 b3m
§12.3 谐振动的合成
主要内容：
1. 同方向同频率谐振动的合成 2. 同方向不同频率谐振动的合成 拍 3. 相互垂直谐振动的合成
第12章 机械振动
“喷水鱼洗”实质上是一个盆边带有双耳的铜盆. 当用手 摩擦盆边的双耳时，盆内的水会浪花飞溅.
§12.1 简谐振动
主要内容：
1. 什么是简谐振动？ 2. 简谐振动振动的特点？ 3. 用牛顿运动定理分析谐振子的运动规律。 4. 简谐振动振动的旋转矢量表述 5. 谐振动振动的能量
12.1.1 简谐振动
34
李萨如曲线
§12.4 阻尼振动和受迫振动简介
主要内容：
1. 阻尼振动 2. 受迫振动
12.4.1 阻尼振动
阻尼力 f μ x
振动的微分方程
mx kx μ x
k
f
v
m
l0
Ox
x
x 2nx ω2x 0
式中，ω2=k/m , n = /(2 m) (阻尼系数)
几种阻尼振动模式
❖小阻尼
❖临界阻尼
定义: x(t) Acos(ω t )
x 是描述位置的物理量,如 y , z 或 等.
特点: (1)等幅振动
(2)周期振动 x(t) x(t T )
研究简谐振动的意义:
x Ⅰ Ⅱ
O
T
m m Ox
2T t
谐振子 1. 受力特点 机械振动的力学特点
线性恢复力 F kx
2. 动力学方程
F kx ma
分振动 :
x1 Acos1t x2 Acos2t
合振动 :
x x1 x2 Acos1t Acos2t
2Acos( 2 1)t cos( 2 1)t
2
2
当 2 1 时 , 2 - 1 2 + 1 ，令 x A(t)cos t
其中 A(t) 2Acos( 2 1 t)
2
随 t 缓变
12.3.1 同方向同频率谐振动的合成
1. 解析法
分振动 : 合振动 :
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )
( A1 cos1 A2 cos2)cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2)sin t
求 质点运动的周期和振幅。
AO B
x
解 由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为
T = 42 = 8 (s)
设平衡位置为坐标原点，则 xA 6cm xB 6cm
设 t = 0 时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为
x Acos(t ) Acos( 2π t π)
2
82
t = 1 时, 质点位于B点, 所以 6 Acos( 2 )
(1)若两分振动同相,即 2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强， 当 A1=A2 时 , A=2A1
(2)若两分振动反相,即 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…)
则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱， 当 A1=A2 时, A=0
3. n 个同方向同频率谐振动的合成
12.1.3 谐振动旋转矢量表示法 特点:直观方便.
x(t) Acos(t )
t
A
a v
o·
t=0
x· x
v Asin(t )
Acos( t )
2
Av cos( t v )
a 2 Acos( t ) Aa cos( t a )
12.1.4 谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)
合振动
x x1 x2 Acos( t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
A2 A 2 1
2 A1
O
1
x2 x
x1x1
x2
x
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
➢ 结论：与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷.
➢ 讨论:
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
cos t cos( 2 1 t)
2
随 t 快变
➢ 结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。
❖ 拍的现象 x1
O x2
O x
O
拍频 : 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数
即: v (ω2 ω1)/ (2π) v2 v1
t t t
拍原理的应用
12.3.3 两个相互垂直谐振动的合成 李萨如图
x(t) Acos(ω t )
l0
x
m
kO
x
d2x 2x 0
dt2
其中 为 固有角频率 ω k m
运动微分方程
3. 速度和加速度
v ω Asin(ω t ) ω Acos(ω t )
2
a 2 Acos( t ) 2 Acos( t π)
12.1.2 描述谐振动的特征量 1. 振幅 A 2. 周期T 和频率 v v = 1/T (Hz)
证明:
平衡位置
F
a r02
b r03
0
r0
b a
设原子偏离平衡位置的位移为 x r - r0
F
(F )rr0
(
dF dr
)
r
r0
x
1 2
(
d2F dr 2
)
r
r0
x2
（在平衡位处置幂级数展开）
F
(dF dr
) r r0
x
（对于微小振动，高阶小量可略去）
(
dF dr
)
r
r0
(
2a r3
3rb4 )r
1. 两个同频率相互垂直的谐振动的合成
y
分振动 x A1 cos( t 1) y A2 cos( t 2 )
x
合运动
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
cos( 2
1)
sin 2 (2
1)
讨论 当 = 2 − 1= k (k为整数)时:
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
m Ox
3. 相位 (1) ( t + ) 是 t 时刻的相位
(2) 是 t =0 时刻的相位 —— 初相
相位的意义: x(t) Acos(ω t )
v Asin(t ) a 2 Acos( t )
❖ 相位确定了振动的状态.
❖ 相相位每改变 2 振动重复一次,相位 2 范围内变化,状态不重复.
ω2
A2
A ω1
(ω2 ω1) t
ω2t
O
ω1t
A1
x2 x
x1x1
x2
x
当 (ω2 ω1) t (2k 1) π 时， A有最小值: A A1 A2
➢ 结论：合振动 x 不再是简谐振动, 合振动振幅的频率为
(ω2 ω1) T 2π
v
2 1 2
v2
v1
振幅相同不同频率的简谐振动的合成
- A2 - A1
t
-
AA12
x2
T
t
两振动步调相同,称同相。
两振动步调相反 , 称反相。
4. 振幅和初相位的确定
x(t) Acos(ω t ) v ω Asin(ω t )
x0 Acos v0 ω Asin
A
x02
v
2 0
2
arctan( v0 ) x0
注意: 如何确定最后的 .
h
Cm
小角度时
mgh 0
JZ
令 2 mgh
JZ
P
2 0
➢ 结论: 小角度摆动时，复摆的运动是谐振动.
周期和角频率为：T 2 JZ
mgh
mgh
JZ
12.2.3 扭摆
z
以圆盘为研究对象
在 （扭转角）不太大时，圆盘受到的力矩为
金属丝
M z D （D为金属丝的扭转系数）
J Z D （刚体绕定轴转动定律）
❖大阻尼
1. 小阻尼 ( n2 < 2 )
X
x Aent cos( ω02 n2t )
Aent
T ' 2 T
O
t
2 n2
2. 临界阻尼( n2 = 2 ) 3. 大阻尼( n2 > 2 )
X
大阻尼
在过阻尼和临界阻尼时无振动.
O
临界阻尼
t
阻尼的应用
12.4.2 受迫振动
x
受力分析
弹性力 阻尼力
kx
x
周期性驱动力
F F0 cost
受迫振动的微分方程
l0
x
F kx FN
F ' μx
P
F0 cost
mx kx μ x F0 cos t (令： 0
k ； n ；
m
2m
f F0 ） m
x 2nx 2x f cost 0
其解为 x x1(通解) x2 (特解)
C nε
n
Rε
A ε
A0
次极大: … …
π n 22
Oa
ε
ε ε
Px
12.3.2 同方向不同频率谐振动的合成 拍
分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
合振动 : x x1 x2
合振动的振幅
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)t
当 (ω2 ω1) t 2kπ 时, A 有最大值: A A1 A2
分振动 ➢ 结论：
x A1 cos1t y A2 cos(2t )
(1)ω1、ω2 之比为整数时: 合成运动仍是周期运动, 轨迹是稳定的闭合曲线(李萨如图)。
(2)ω1、ω2 之比不为整数时: 合成运动为非周期运动; 运动的轨迹为永不闭合的。
A2 A1
2 1
0
4
2
4
11
12
1:3 2:3
1. 动能
Ek
1 mv 2 2
1 kA2 sin 2 ( t
2
)
Ek
1 T
t T t
Ek dt
1 4
kA2
2. 势能
Ep
1 kx2 2
1 kA2 2
cos2 ( t
)
3. 机械能
EP
E
Ek
Ep
1 kA2 2
Ek
−A
（简谐振动系统机械能守恒）
m Ox E
O Ax
例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距 离为12cm的两点A和B，历时2s，并且在A，B两点处具有 相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点。
dt
g 0
令
l
P
v l
sin 1 3 （小角度时）
6
2 g
l
2 0
➢ 结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.
周期和角频率为：T 2 l
g
g
l
12.2.2 复摆（物理摆）
以物体为研究对象
设 角沿逆时针方向为正 mghsin JZ
（刚体绕定轴转动定律）
O(z)
x
A
= 2
O
t
-A
❖ 相位差
x1 A1 cos(1t 1) x2 A2 cos(2t 2 )
(2t 2 ) (1t 1) 2 1（当2 1时）
k1
m1
k2 m2
x1
O
x2
若 2 1 2kπ
若 2 1 (2k 1)π
A1 x
x1
A2
o
x2
T
A1 x
A2
x1
o
0
x y 0 A1 A2
当 = ( 2k +1 ) /2 (k为整数)时：
x2 A12
y2 A22
1
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
cos( 2
1)
sin 2 (2
1)
= 0
(第一象限) = /2
(第二象限)
=
(第三象限) = 3/2
2 1
(第四象限)
2. 两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成
Rε
π n 22
Oa
A ε
ε
ε ε
Px
a 2R sin
2
A a sin n / 2 sin / 2
A 2R sin n
2
1 (π ) 1 (π n ) n 1
2
2
2
x
A cos(t
)
a
sin n
2
sin
cos[t
(n
1)
2
]
2
➢ 讨论:
极大值: 2k π
A na
极小值: 2k ' π，k ' nk
yБайду номын сангаас
x
D 0
JZ
令 2 D
JZ
2 0
➢ 结论: 在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动.
周期和角频率为： T 2 JZ
D
D
JZ
双原子分子 某些双原子分子中，原子间的相互作用力可以用为
F
a r2
b r3
（其中，r
为原子间的距离，a
和b
均为正的常数）
证明原子在平衡位置附近的微振动是谐振动,并确定其周期.