点集拓扑学习体会
点集拓扑课堂教学的几点体会
点集拓扑课堂教学的几点体会作者：姜德烁来源：《教育教学论坛》2013年第42期摘要：根据几年来的教学实践，笔者从激发学生学习兴趣，恰当运用举例法，类比法等方面总结了点集拓扑教学中应注意的一些问题及心得体会.关键词：课堂教学；兴趣；举例法；类比法中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）42-0134-02点集拓扑是大学数学的一门重要的基础课程，其显著特点为高度的抽象性与概括性，这使得它在现代数学的许多分支如泛函分析、微分几何、微分方程等以及理论物理、计算机、电子通讯以至原子核的构造理论等自然科学及工程技术领域的诸多学科都有广泛的应用。
但也正因为此，学生在初次接触时常感到非常抽象，不易于接受。
因此，如何使这门课让学生易于接受，乐于接受是学生能否讲好这门课程的关键。
在此，笔者从以下几方面进行了探讨。
一、增强趣味性，激发学生学习兴趣兴趣是学习的动力。
对于本科阶段的学生来说，兴趣仍然是很重要的。
在这几年的教学中，我们发现学生们普遍存在的一个疑问就是为什么要学数学，学数学到底有什么用。
在很多学生看来，数学不但枯燥乏味，而且不像物理、化学、计算机等专业有用。
因此在学习的时候往往感到很茫然，劲头不足，只是为了学习而学习。
有的学生甚至认为平时听不听课也无所谓，只要考试前突击一下，考试及格就可以了。
时间一长，不但影响学生的成绩，而且使得教学只流于形式，学生的综合素质也不断下降。
因此，有必要为学生解答好这些问题，激发学生对学习的兴趣，使学生能够以饱满的热情投入到学习中去。
数学发展到今天，已经成为自然科学中一门重要的基础性学科，对自然科学诸领域有着深刻而广泛的影响，在培养学生的创新精神和思维能力等方面也起到重要作用[1-3]。
然而，由于课程本身的特点以及一些客观原因，使得我们在教学中对理论知识的讲解相当重视，但对这些知识在实践中的应用或与实际问题的联系则讲解得偏少。
时间一长，使得学生感到所学的东西不但枯燥，而且不知有何作用，似乎只是在为学习而学习。
点集拓扑学学习心得
点集拓扑学学习心得
点集拓扑学心得
点集拓扑学心得
点集拓扑学是由分析，几何，和代数等许多学科的一些大致概念和问题抽象而成的一个数学分支,是理工科有关专业的一门基础课.它的许多概念，理论，方法广泛的应用与泛函分析，微分几何和微分方程等领域中.通过这门课程的可以强化我们对了的数学分析，实变函数，常微分方程等课程的理解.因这我们有必要努力学好这一门课程.
在中我有几点深刻的体会.第
一，这门课程确实很抽象.它不同于我们的其他数学课程,如数学分析，高等代数，常微分方程，实变函数等,点击拓扑几乎没有计算的内容,逻辑性强.在概念后就是一连串的定理，推论,例子也比较少,且多为证明.所以起来就比较枯燥.一开始的掉以轻心使我后悔不已.
第二，抽象的概念也是有它形成的基础.点集拓扑学是一门建立在集合论的基础上的一门学科,因这章的集合论初步是的预备知识.尤其是映射的像和原像的性质,这些性质对刻画拓扑空间中映射的连续性有重要作用.而第二章是全书的理论基础,尤其重要.并且概念和概念之间也是相互联系的.X度量给出以后,度量空间的相应概念由这产生.开集，邻域的概念形成后,导集，闭集，闭包，
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点集拓扑课堂教学的几点体会
点集拓扑课堂教学的几点体会点集拓扑是大学数学的一门重要的基础课程，其显著特点为高度的抽象性与概括性，这使得它在现代数学的许多分支如泛函分析、微分几何、微分方程等以及理论物理、计算机、电子通讯以至原子核的构造理论等自然科学及工程技术领域的诸多学科都有广泛的应用。
但也正因为此，学生在初次接触时常感到非常抽象，不易于接受。
因此，如何使这门课让学生易于接受，乐于接受是学生能否讲好这门课程的关键。
在此，笔者从以下几方面进行了探讨。
一、增强趣味性，激发学生学习兴趣兴趣是学习的动力。
对于本科阶段的学生来说，兴趣仍然是很重要的。
在这几年的教学中，我们发现学生们普遍存在的一个疑问就是为什么要学数学，学数学到底有什么用。
在很多学生看来，数学不但枯燥乏味，而且不像物理、化学、计算机等专业有用。
因此在学习的时候往往感到很茫然，劲头不足，只是为了学习而学习。
有的学生甚至认为平时听不听课也无所谓，只要考试前突击一下，考试及格就可以了。
时间一长，不但影响学生的成绩，而且使得教学只流于形式，学生的综合素质也不断下降。
因此，有必要为学生解答好这些问题，激发学生对学习的兴趣，使学生能够以饱满的热情投入到学习中去。
数学发展到今天，已经成为自然科学中一门重要的基础性学科，对自然科学诸领域有着深刻而广泛的影响，在培养学生的创新精神和思维能力等方面也起到重要作用[1-3]。
然而，由于课程本身的特点以及一些客观原因，使得我们在教学中对理论知识的讲解相当重视，但对这些知识在实践中的应用或与实际问题的联系则讲解得偏少。
时间一长，使得学生感到所学的东西不但枯燥，而且不知有何作用，似乎只是在为学习而学习。
这就要求教师在课堂上或课下有意识地与学生多进行交流活动，同时结合课程本身，向学生讲解数学各分支的背景知识、在实践中的应用及一些趣味性话题等。
下面我们结合点集拓扑的教学谈两点体会。
第一，要重视绪论部分的讲解。
绪论是对课程的整体性概括。
一般来说，绪论中包括了本课程的起源、发展历程、在本课程发展中起到重要作用的典型问题等内容。
《点集拓扑讲义》第一章集合论初步学习笔记
《点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基木知识.从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识.至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述.旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著.即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基木知识，以及其中的四则运算，大小的比较（＜和W）,和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的.此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早己熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理.§1.1集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体.例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等.集合也常称为集，族，类.集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的.例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素.元素也常称为元，点，或成员.集合也可以没有元素.例如平方等于2的有理数的集合，既大于1 又小于2的整数的集合都没有任何元素.这种没有元素的集合我们称之为空集，记作0・此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集.集合的表示法：（1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样）, 是定义集合的一个重要方式.（2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号匕|关于x的一个命题P｝表示使花括号中竖线后而的那个命题P成立的所有元素x构成的集合.例如，集合｛* X为实数，并且0<Xl｝即通常所谓开区间（0, 1）.在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通，例如集合｛戏以是实数｝便是集合｛刃丿=/,其中％是实数｝的简略表示,不难明口这个集合实际上是由全体非负实数构成的.集合表示方式中的竖线“丨”也可用冒号“：”或分号”来代替.（3）列举法：也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合.例如表示由元素 TJ构成的集合.如果确实不至于发生混淆，在用列举的办法表示集合时容许某种省略.例如，有时我们可以用｛1, 2, 3,・・・｝表示全体正整数构成的集合，用｛1, 3, 5,…｝表示全体正奇数相成的集合.但我们并不鼓励这种做法，因为后而的规律不是很清楚，容易产生误解.我们再三提请读者注意：不管你用任何一种方式定义集合，最重要的是不允许产生歧义，也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的.在本书中，我们用：乙表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；Z表示全体整数构成的集合，称为整数集；Q表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；R表示全体实数构成的集合，称为实数集；并且假定读者熟知这些集合.以下是一些常用的记号：e：表示元素与集合的关系，如：xex , xe｛x｝等G表示集合与集合的关系，如：AUB （等价于（这个记号即是通常数学课木中的匚）二：表示与上述相反的含义.表示两个集合相等，女口：A二B （等价于以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也是自明的.定理1.1.1设A, B, C都是集合，贝!J(1)A=A；(2)^A=B,则B=A；(3)^A=B, B=C,则A=C.定理1. 1.2设A, B, C都是集合，则(1)A"；(2)若AuB, BUA,则A=B；(3)若AUB, BUC,则A".证明(1)显然.(2)AUB 意即:若xWA,贝iJxGB；BS意即：若xGB,则xWA.这两者合起来正好就是A=B的意思.(3)xGA.由于AUB,故xGB；又由于B UC,从而x^C.综上所述，如果xeA就有xec.此意即AUC.因为空集0不含任何元素，所以它包含于每一个集合之中.由此我们可以得出结论：空集是惟一的.设A, B是两个集合.如果AUB,我们则称A为B的子集;如果A是B的子集，但A又不等于B,即AUB, AHB,也就是说A 的每一个元素都是B的元素，但B中至少有一个元素不是A的元素，这时，我们称A为B的真子集.我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，并且为了强调这一特点，这类集合常称为集族.例如,缶{⑴，{1,2}, {1,2,3}}是一个集族. 它的三个元素分别为:{1}, {1,2}, {1,2, 3}及d设X是一个集合，我们常用尸（X）表示X的所有子集构成的集族, 称为集合X的幕集.例如，集合{1, 2}的幕集是P{⑴，{1, 2},⑵，0}.木章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论.在这种集合论中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的.正因为如此，历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解朴素的集合己是足够的了，只是要求他们在运用的时候保持适当的谨慎，以免导致逻辑矛盾•例如，我们应当知道一个集合本身不能是这个集合一个元素.即：若A是集合则AWA不成立.这一点是容易理解的.例如，由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学生.因此，我们不能说“所有集合构成的集合”，因为如果有这样一个“集合”的话，它本身既是一个集合，就应当是这个“所有集合构成的集合”的一个元素了.也因此，我们应当能够了解一个元素a和仅含一个元素a的单点集4}是两回事，尽管我们有时为了行文的简便而在记号上忽略这个区别.作业:掌握集合、元素的概念、表示法熟练区分“G”与“U”的意义§1.2集合的基本运算在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种运算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本关联.定义1.2. 1设A与B是两个集合.集合｛x|xeA或xWB｝称为集合A与集合B的并集或并，记作AUB, 读为A并B.集合｛x|x eA且xWB｝称为集合A与集合B的交集或交，记作AAB, 读为A交B.若AQB二0,则称集合A与集合B无交或不相交；反之，若AQBH0,则称集合A与集合B有（非空的）交.集合｛x|xeA且x吃B｝称为集合A与集合B的差集，记作A\B或A -B,读为A差B,或A减B.关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律.定理1.2.1设A, B, C都是集合.则以下等式成立：（1）幕等律AUA=AADA=A（2）交换律AUB=BUA AnB=BnA(3)结合律(AUB) UC=AU (BUC)(AAB) nc=An (BAC)(4)分配律(APB) UC=(AUC) Cl (BUC)(AUB) nc=(Anc)u (Bnc)(5)DeMongan 律A-(BUC)= ( (A-B) A (A-C)A-((BnC) = (A-B)U(A-C)集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联.定理1.2.2设A, B是两个集合.下列三个条件等价：(1)A UB；(2)AnB=A；(3)AUB=B・定义1.2.2设X是一个基础集.对于X的任何一个子集A,我们称X-A 为A (相对于基础集X而言)的补集或余集记作占.我们应当提醒读者，补集占的定义与基础集的选取有关.所以在研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个工作过程中基础集必须保持不变.定理1.2.3设X是一个基础集.若A, B为X的子集，则Au0=A,Ar^0 = 0,AuX = X,Ar^X =AAuA = X,Ar\A r = 0}{AuBy =A r\B，XAr\B')' = A以上证明均只须用到集合的各种定义，此处不证,略去. 作业：熟记这两节的各种公式.掌握证明两个集合A二B与AUB的基本方法KugO冷亡虫,=疋B(/ = E o 且 u R A B u 力)§1.3关系我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系.为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念.定义1.3. 1设X和Y是两个集合.集合{ (x, y) |xex, yey}称为X与Y的笛卡儿积，记作XXY,读为X叉乘Y.其中(x, y)是一个有序偶，x称为(x, y)的第一个坐标，y称为(x, y)的第二个坐标.X称为XXY的第一个坐标集，Y称为XXY的第二个坐标集•集合X与自身的笛卡儿积XXX称为X的2重(笛卡儿)积,通常简单记作胪.有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的，有时容易混淆.因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明，以避免误解.给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合，这个办法对于读者并不陌生.以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合，通过直线构作平面时，用的都是这个办法.我们应当注意，一般说来集合X与集合Y的笛卡儿积XXY完全不同于集合Y与集合X的笛卡儿积YXX.定义1. 3. 3设X,Y是两个集合•如果R是X与Y的笛卡儿积XXY 的一个子集，即RUXXY,则称R是从X到Y的一个关系.定义1. 3.4设R是从集合X到集合Y的一个关系，即RCXXY.如果(x, y) WR,则我们称x与y是R相关的，并且记作xRy・如果AUX, 则Y的子集{yWY|存在xeA使得xRy}称为集合A对于关系R而言的象集，或者简单地称为集合A的象集，或者称为集合A的R象，并且记作R (A) , R (X)称为关系R的值域.关系的概念是十分广泛的.读者很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数(映射)，等价，序，运算等等概念都是关系的特例.这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的关系，一个是XXY 本身，另一个是空集(1).请读者自己对它们进行简单的考查.定义1. 3.5设R是从集合X到集合Y的一个关系，即RCXXY.这时笛卡儿积YXX的子集{ (y, x) eYXX|xRy}是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记作尺一】.如果BUY, X的子集氏"(B)是集合B的氏一】象，我们也常称它为集合B对于关系R而言的原象，或者集合B的R原象.特别，关系氏" 的值域氏"(Y)也称为关系R的定义域.定义1. 3.6设R是从某个X到集合Y的一个关系，即RuXX Y, S 是从集合y到集合Z的一个关系，即SuYX乙集合{ (x, z) exXY 存在yGY使得xRy并且ySz}是笛卡儿积XXZ的一个子集，即从集合X到集合Z的一个关系，此关系称为关系R与关系S的复合或积，记作SoR.定理1.3.1设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y 到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系.贝!J：(1)(L)J 二R证明(略)定理1.3.2设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从某个Y 到集合Z的一个关系.则对于X的任意两个子集A和B,我们有：(1)R (AUB) =R (A) UR (B)；(2)R (AAB) UR (A) AR (B)；(3)(SoR) (A) =S(R(A)).证明(略)在本节的最后我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念，它是两个集合的笛卡儿积的概念的简单推广.定义1. 3. 7 设瓦耳必是n>l个集合.集合I x i e X、® € X2e X x")称为舟‘兀*•••** 的笛卡儿积,并且记作或者［］益其中(心心…石为有次序的n元素组，勺(i=l, 2, —n)称为n 元素组(忑旳…心)的第i个坐标，X i (i = l, 2,…, n)称为笛卡儿积乂\莫2”••召的第i个坐标集.n>l个集合X的笛卡儿积XXXX-XX常简单地记作炉n个集合的笛卡儿积的概念读者必然也不会感到陌生，在线性代数中n维欧氏空间作为集合而言就是n个直线(作为集合而言)的笛卡儿积.需要提醒读者的是，如果你在给定的n个集合中交换了集合的次序，一般说来得到的笛卡儿积会是完全不同的集合.至今我们并未定义“0个集合的笛卡儿积”，此事将来再以某种方式补充・(参见§9.1) 作业：理解“关系”的概念，掌握“关系”与“映射”的异同，“映射” 与“函数”的异同.(映射要求象惟一，关系没要求.函数要求定义域与值域是数域，而映射不一定)掌握运算乘积的概念与性质掌握集合的笛卡儿积中元素的形式§1.4等价关系初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的.这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念.在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间.定义1. 4. 1设X是一个集合.从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系.集合X中的关系｛(x, x) |xex｝称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△ (X)或△・定义1.4.2设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果厶(X) CR,即对于任何xex,有xRx；关系R称为对称的，如果恥L , 即对于任何x, yex,如果xRy则yRx；关系R称为反对称的，如果RnR-1 =0,即对于任何x, yex, xRy和yRx不能同时成立；关系R 称为传递的，如果RoRUR,即对丁-任何x, y, zGX,如果xRy, yRz, 则有xRz.集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系.容易验证集合X中的恒同关系△ (X)是自反、对称、传递的，因此是X中的一个等价关系.集合X的幕集尸(X)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“相等关系”可以理解为集合尸(X) X尸(X)的子集{ (A, B) |A, B"(X), A=B}从定理1.1.1中可见，它是自反、对称、传递的，因此是尸(X) 中的一个等价关系.集合X的幕集尸(X)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“包含关系”可以理解为集合尸(X) X尸(X)的子集{ (A, B) |A, B" (X), AuB}根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是尸(X)中的一个等价关系.集合X的幕集尸(X)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“真子集关系”可以理解为集合尸(X) X尸(X)的子集{(A, B) |A, BW尸(X), A U B,AHB}根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的, 因而不是尸(X)中的一个等价关系.实数集合R中有一个通常的小于关系＜,即RXR的子集{ (x, y) |x, yGR, x＜y}容易验证关系＜是反对称的，传递的，但不是自反的.设p是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系三p如下：=?-{ (x, y) WZXZ］存在nGZ 使得x —y 二np}关系J常称为模P等价关系，容易验证模P等价关系J是自反的, 对称的，传递的，因此是z中的一个等价关系.定义1. 4.3设R是集合X中的一个等价关系.集合X中的两个点x, y,如果满足条件：xRy,则称x与y是R等价的，或简称为等价的; 对于每一个xeX,集合X的子集：｛yWXlxRy｝称为x的R等价类或等价类，常记作【心或[x],并且任何一个yG【心都称为R等价类【心的一个代表元素；集族｛t^l xeX｝称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记作X/R.我们考虑整数集合Z中的模2等价关系勺，易见，1巳3和2巳8.因此1与3是勺等价的，2和8也是三2等价的.整数2所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素.此外易见，商集Z/三2有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合.下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.定理1.4.1设R是非空集合X中的一个等价关系.贝!(1)如果xex,则xW【心，因而【刃宀；(2)对于任意x, yGX,或者MlwAL,或者证明(1)设xex,由于R是自反的，所以xRx,因此*丘闪匚・・・【刃上工0・（3）对于任意x, yWX,如果，设zW[x]C[y].此时有zRx,且zRy.由于R是对称的，所以xRz・又由于R是传递的，所以xRy・对于任何一个t e【刃丘，有t Rx,由上述xRy和R的传递性可见tRy, 即tel-xh.这证明MbuAL同理可证【刃上ukk.因此【刃2【词上（注意：要证或者…或者…，应从以下入手：否定掉一个，去证另一个）在初等数论中我们早就知道整数模（素数）P的等价关系J将整数集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作[刘去，称为整数X的模P同余类.让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将固定向量定义为平面（或n维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合（暂时记为X）中定义一个关系〜，使得两个固定向量x和y 〜相关（即x〜y）当且仅当x能通过平而（或n维欧氏空间）的一个平移与y重合.容易验证这个关系〜是X中的一个等价关系.每一个~等价类便称为一个自由向量.作业：熟练掌握等价关系，等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成§1.5映射数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线性代数中的线性变换概念等等都是读者所熟知的概念.这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的映射概念.定义1. 5. 1设F是从集合X到集合Y的一个关系.如果对于每一个x WX存在惟一的一个y丘Y使得xFy,则称F是从X到Y的一个映射, 并且记作F： X-Y.换言之，F是一个映射，如果对于每一个xex：（1）存在yWY,使得xFy；（2）如果对于H必GY有^^和入绥，则HT2.定义1. 5.2设X和Y是两个集合，F： X-Y（读做F是从X到Y的一个映射）.对于每一个xex,使得xFy的唯一的那个yGY称为x的象或值，记作F （x）；对于每一个yGY,如果xex使得xFy （即y是x的象），则称x是y的一个原象（注意：yeY可以没有原象，也可以有不止一个原象）.由于映射本身便是关系，因此，如果F是从集合X到集合Y的一个映射，那么：（1）对于任何AUX,象F （A）有定义，并且F（A） = {F（x） xeA}（2）对于任何BUY,原象F- （B）有定义，并且厂】（B） ={xex F（x）eB} （y±意：厂匕）与严（g）的异同，前者不一定有意义，而后者总存在；前者表示元素，后者表示集合）（3）如果Z也是一个集合并且G： Y-Z,则关系的复合GoF作为一个从X到Z的关系有定义；（4）尺一】作为从Y到X的一个关系有定义，但一般说来应"不是一个从Y到X的映射（这要看F是否是一一映射）；（5） F的定义域有定义，并且它就是X；（意味着X中的每个元素都必须有象）（6） F的值域有定义，并且它就是F （X）・（F（X）不一定充满Y）定理1.5.1设X, Y和Z都是集合.如果F： X-Y和G： Y-乙则SF： X-Z；并且对于任何xGX,有GoF（X）=G（F（x））（这实际上是映射的积的本质）证明（略）（但要理解上式等号左右两边的不同含义,前者是两个映射的积（也是一个映射）作用在x上,后者是F先作用在x上，然后G 再作用在F （x）±）.今后我们常用小写字母f, g, h,……表示映射.定理1. 5.2设X和Y是两个集合，f:X~Y・如果A, BUY 则(1)r1(AUB)=广" (A)U厂(B)；(2)(AAB)=广" (A)nr1(B)；(3)(A-B)=厂(A)-了' (B)・简言之，映射的原象保持集合的并，交，差运算.证明（略）・定义1. 5.3设X和Y是两个集合，X-Y.如果Y中的每一个点都有原象（即f的值域为Y,亦即f （X）二Y）,则称f是一个满射，或者称f为一个从X到Y上的映射；如果X中不同的点的象是Y中不同的点（即对于任何如果心工乃，则有八1"了（心），则称f 是一个单射；如果f既是一个单射又是一个满射，则称f为一个既单且满的映射，或者一一映射.如果f （X）是一个单点集，则称f是一个常值映射，并且当f（X）二｛y｝时，我们也说f是一个取常值y的映射.易见，集合X中的恒同关系△ （X）是从X到X的一个一一映射，我们也常称之为（集合X上的）恒同映射或恒同，有时也称之为单位映射，并且也常用记号“或i： X-X来表示它.根据定义易见，对于任何xex,有i （x）=x.概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射.由于下面的这个定理，一一映射也称为可逆映射.定理1. 5.3设X和Y是两个集合.又设f:X-Y.如果f是一个一一映射，则厂便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写广:Y-X）,并且是既单且满的.此外我们还有：广'n和"厂=妆证明（略）定理1. 5.4设X, Y和Z都是集合，f:XfY, g： Y-Z.如果f 和g都是单射，则gof:X~Z也是单射；如果f和g都是满射，则g。
关于点集拓扑的心得
关于点集拓扑的心得对点集拓扑的理解:设X是一个集合,P(X)为X的幂集,设T为P(X)的一个子集,若T 满足如下性质:(1)全集X∈T 且空集∈T(2)若集合U∈T,集合V∈T,则U∩V∈T(3)若有一族Ui,i∈I,Ui∈T,则∪Ui∈T则称T是X上的一个拓扑,(X,T)则称为一个拓扑空间,T中的集合称为开集这是拓扑空间的定义,为什么这么定义?他要表达什么?19年初次接触这个定义的时候一头雾水...当时硬着头皮把点集拓扑看完,但是看完之后感觉空空如也,只知道定义了几个概念,比如连通性,紧性,分离性等等,以及几种构造拓扑的方法,乘积拓扑,子空间拓扑,商拓扑,还有就是用开集的原像是开集来描述连续函数等等,当时看的时候真的就是感觉在玩儿概念,感觉凭空定义了一堆抽象概念然后进行逻辑推导,形成一个闭环。
看到最后都快看自闭了也不清楚点集拓扑在干嘛?想干嘛?定义了那么多概念有什么“用”?以前看科普视频时候感觉拓扑挺有意思的,一个图形进行拉扯变成另一个图形,很形象很有画面感,“一个图形在连续变化下图形上哪些东西没变”,这是每个科普拓扑的视频都要说的一句话,可是,当我大致看完了一本点集拓扑的教材,也没明白书上的那些抽象的概念以及定理和这句话有什么关系...直到今天...点集拓扑的中心想法是想看一个图形如果忽略长度,角度,大小,形状等等这些“图形属性”之后,一个图形还剩什么,也就是说我们能不能不考虑这些“图形属性”之后把所有的图形(几何)进行分类?比如如果我们不考虑圆和椭圆的形状差别(一个比较圆,一个比较扁),那么他们是一样的,甚至比如圆和正方形以及长方形,如果不考虑正方形,长方形的形状(尖角)的话,圆,正方形,长方形也是一样的,这是一个很直观的想法。
为什么,因为你可以凭感觉想象正方形,长方形,椭圆都可以“形变成”圆,都可以经过连续变化变成圆,想象一根封闭铁丝,一开始你可以把它捏成一个正方形,把它两边向外拉一拉,他就可以在不撕裂的情况下连续的变成一个长方形,之后你可以把这个长方形四周都向外拉就可以把四个角“拉圆”,最终把长方形变成圆形,并且这个过程感觉起来都是连续进行的,没有发生断裂,接着从圆形到椭圆也是......等等,什么是连续我们怎么从数学上表达连续的概念?......说到连续,第一时间想到了微积分中连续函数的定义,那就是按照epsilon-delta语言来进行描述连续函数,注意这里用epsilon-delta语言描述的连续和我们想象的从长方形变成球形的连续性是一致的,因为函数的连续性变化实质上是把自变量所在的直线段变成了曲线,而这种变化是一点一点“连续”进行的,而且变化后的曲线还能连续的变回直线。
点集拓扑学教学之见
点集拓扑学教学之见
点集拓扑学是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中点的集合以及它们之间的关系。
在点集拓扑学中，我们不考虑空间的具体形状和度量，而是关注点集之间的拓扑性质，如连通性、紧致性、同伦等。
点集拓扑学可以应用于各种领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
在教学点集拓扑学时，首先需要学生熟悉基本概念，如开集、闭集、连通性、紧致性等。
接着，需要介绍拓扑空间的一些基本性质，如Hausdorff性、第二可数性等。
在教学过程中，可以通过举例子、练习题等方式，帮助学生加深理解和掌握知识点。
此外，点集拓扑学的教学也可以与其他学科结合起来，如微积分、代数学等。
通过将点集拓扑学与其他学科相融合，可以更好地帮助学生理解和应用点集拓扑学的知识。
总之，点集拓扑学是一门重要的数学学科，在教学过程中需要注重基本概念和性质的讲解，并通过实例和练习题等方式帮助学生加深理解。
同时，将点集拓扑学与其他学科相融合也是一种有效的教学方法。
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点集拓扑小结
点集拓扑小结点集拓扑学是数学中一个重要的分支，主要研究的是集合上的开集、闭集等概念，以及集合与其子集之间的关系。
本文将对点集拓扑学的相关概念进行概括和归纳。
点集拓扑学的起点是集合的拓扑结构及其性质的研究。
在点集拓扑学中，首先要讨论的是拓扑空间的定义。
拓扑空间是在给定一个非空集合X的基础上，对集合X的所有子集进行了一个选择性的分类，即选取了有某些性质的子集来进行研究。
拓扑空间的定义包括两个方面：一是确定了哪些是开集，二是确定了那些开集构成的集合再称为拓扑。
在拓扑空间中，开集有一系列重要性质，如开集的并、交仍然是开集等。
拓扑结构是拓扑空间中的基础概念，包括开集的概念和集合之间的关系。
在拓扑结构中，有开集、闭集、邻域等一系列概念。
开集是指集合X的一个子集有X的某函数的和它的所有单个值的和为一个不大于X的点之交。
闭集是补集开集的集合，即集合X的一个子集是指X的一个函数的和它的某些单个值的和为一个不大于X的点之交。
邻域是指集合X中某个元素a附近的一个子集，该子集包含了a自身。
点集拓扑学除了研究拓扑结构之外，还研究了集合与其子集之间的关系。
包括子集的封闭性、紧致性、完备性等。
子集的封闭性是指对于一个拓扑空间X中的一个子集，如果它的闭包等于它本身，则称该子集是闭的。
紧致性是指对于一个拓扑空间X中的一个子集，如果它的任意开覆盖都有一个有限子覆盖，则称该子集是紧致的。
完备性是指对于一个拓扑空间X中的一个子集，如果它是完备的，则对于X中的任意柯西列，该列的极限点也在该子集内。
点集拓扑学的研究内容非常广泛，涉及到很多重要的概念和定理。
例如，拓扑空间的连续性、同胚性、分离性等定理都是起到了重要的作用。
拓扑的连续性是指对于两个拓扑空间，如果它们之间存在一个连续的映射，则称这两个拓扑空间是连续的。
同胚性是指对于两个拓扑空间，如果它们之间存在一个双射映射，且该映射和其逆映射都是连续的，则称这两个拓扑空间是同胚的。
分离性是指对于一个拓扑空间X，如果它满足某种分离性质，则称X是满足该分离性的。
拓扑讲座的心得体会范文
一、讲座背景近日，我有幸参加了一场关于拓扑学的讲座。
拓扑学作为数学的一个重要分支，研究的是物体形状和结构的变化，而不考虑物体的大小和形状的变化。
这场讲座由我国著名拓扑学家主讲，深入浅出地介绍了拓扑学的基本概念、发展历程以及在实际应用中的重要性。
通过这次讲座，我对拓扑学有了更深刻的认识，以下是我的一些心得体会。
二、拓扑学的魅力1. 拓扑学的定义拓扑学是一门研究空间性质和结构的学科，它关注的是空间在连续变形下的不变性质。
拓扑学的基本研究对象是拓扑空间，即具有某些特定性质的空间。
2. 拓扑学的魅力（1）抽象与具体相结合：拓扑学是一门高度抽象的学科，但同时它又具有丰富的具体内容。
通过学习拓扑学，我们可以了解空间结构的本质，以及各种空间之间的关系。
（2）广泛应用：拓扑学在物理学、生物学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，拓扑学可以用来研究物质的拓扑性质；在生物学中，拓扑学可以用来研究生物结构的稳定性。
（3）激发创新思维：拓扑学的抽象性质可以激发我们的创新思维，使我们从不同的角度看待问题，从而发现新的解决方案。
三、拓扑学的发展历程1. 拓扑学的起源拓扑学的起源可以追溯到古希腊时期，当时的人们开始研究几何图形的性质。
然而，拓扑学作为一门独立的学科，是在19世纪由德国数学家黎曼和德国物理学家里奇等人创立的。
2. 拓扑学的发展（1）19世纪末至20世纪初：拓扑学开始形成体系，德国数学家豪斯多夫提出了拓扑空间的概念，奠定了拓扑学的基础。
（2）20世纪20年代至50年代：拓扑学得到了快速发展，许多重要的拓扑学理论相继诞生，如同伦论、同调论、范畴论等。
（3）20世纪60年代至今：拓扑学与其他学科的交叉研究不断深入，拓扑学在数学、物理学、生物学等领域取得了重要成果。
四、拓扑学在实际应用中的重要性1. 物理学中的应用（1）拓扑绝缘体：拓扑绝缘体是一种具有特殊电学性质的新型材料，拓扑学在研究拓扑绝缘体的物理性质中发挥了重要作用。
拓扑学中的点集拓扑理论
拓扑学中的点集拓扑理论拓扑学是数学中研究空间的性质和结构的学科，而点集拓扑理论则是拓扑学的一个重要分支。
在点集拓扑理论中，我们研究的是点集及其子集之间的联系和性质，并通过定义拓扑空间，引入拓扑结构来研究这些问题。
本文将介绍拓扑学中的基本概念、基本性质以及一些相关应用。
一、基本概念1. 点集在拓扑学中，点集是指由一些点组成的集合。
这些点可以是实数、复数、向量等数学对象，也可以是一般的集合。
我们研究的对象主要是点集及其子集之间的关系。
2. 拓扑空间拓扑空间是指一个集合X以及X上的一个拓扑结构T的有序对(X, T)。
其中，X是点集，T是X上的一些子集构成的集合，满足以下性质：（a）X和空集∅都属于T；（b）任意多个集合的并集属于T；（c）有限个集合的交集属于T。
3. 开集与闭集在拓扑空间中，如果一个集合属于拓扑结构T，则称其为开集；如果一个集合的补集属于拓扑结构T，则称其为闭集。
4. 连通性连通性是指拓扑空间中无法拆分为两个非空、不相交开集的性质。
若一个空间既非空也不是整个空间，则称其为连通的；否则称其为不连通的。
二、基本性质1. 连通性的等价性对于拓扑空间X，以下三个命题是等价的：（a）X是连通的；（b）X中任意两点之间存在连通子集；（c）X中任意两点之间的道路连续子集。
2. 拓扑空间的同胚两个拓扑空间(X, T)和(Y, U)如果存在一个双射f：X→Y，使得f和f的逆映射都是连续映射，则称(X, T)与(Y, U)同胚。
同胚的概念可以理解为两个空间在拓扑结构上完全相同。
三、相关应用1. 图论中的拓扑排序拓扑排序是指对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)的所有顶点进行线性排序，使得若存在一条从顶点u到顶点v的路径，则在排序中u一定在v之前。
拓扑排序在任务调度、编译顺序以及依赖关系分析等领域有广泛应用。
2. 数据分析中的聚类与分类在数据分析中，将样本点抽象成点集，并通过拓扑结构来描述样本之间的关系。
(完整word版)《点集拓扑讲义》第二章 学习笔记
第2章度量空间与连续映射从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等．§2.1度量空间与连续映射本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．注意，在本节的证明中,应细细体会证明的方法．首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数f：R→R 称为在点∈R处是连续的，如果对于任意实数ε＞0，存在实数δ＞0，使得对于任何x∈R，当|x-|<δ时,有|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1 设X是一个集合，ρ：X×X→R．如果对于任何x，y，z∈X，有（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y；（2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X的一个度量．如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1 实数空间R．对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．）例2.1.2 n维欧氏空间．对于实数集合R的n重笛卡儿积＝R×R×…×R定义ρ：×→R如下：对于任意x=（）,y=，令ρ（x，y）＝容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ是的一个度量，因此偶对(，ρ)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量ρ，称为的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3 Hilbert空间H．记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H＝{x=()|<∞}定义ρ如下：对于任意x＝（），y＝（）∈H令ρ(x,y)=说明这个定义是合理的（即验证<∞）以及验证ρ是H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录．偶对（H，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为Hilbert空间．这里定义的度量ρ称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert空间．例2.1.4 离散的度量空间．设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ）是离散的，或者称ρ是X 的一个离散度量，如果对于每一个x∈X，存在一个实数＞0使得ρ（x，y）＞对于任何y∈X，x≠y，成立．例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使得对于任何x，y∈X，有ρ(x,y)=容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，ρ）是离散的．通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数．离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．定义 2.1.2 设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合{y∈X|ρ（x，y）<ε}记作B（x，ε），或，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1 度量空间（X，ρ）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点x∈X,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；(3) 如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0，B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域．(2)如果B（x，）和B（x，）是x∈X的两个球形邻域，任意选取实数ε＞0，使得ε＜min{ }，则易见有B（x，ε）B（x，）∩B（x，）即B（x，ε）满足要求．（3）设y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y）．显然．＞0．如果z∈B （y，），则ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x）＜+ρ（y，x）=ε所以z∈B（x，ε）．这证明B（y，）B（x，ε）．定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．注意：此处的开集仅是度量空间的开集．例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．设a，b∈R，a＜b．我们说开区间（a，b）={x∈R|a＜x＜b}是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令ε＝min{x-a，b-x}，则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明无限的开区间（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}（-∞,∞）＝R都是R中的开集．然而闭区间[a，b]={x∈R|a≤x≤b}却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}无限的闭区问[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}都不是R中的开集．定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质：（1）集合X本身和空集都是开集；（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 中，所以X满足开集的条件；空集中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．（2）设U和V是X中的两个开集．如果x∈U∩V，则存在x的一个球形邻域B（x，）包含于U，也存在x的一个球形邻域B（x，）包含于V．根据定理2.1.1（2），x有一个球形邻域B（x，ε）同时包含于B（x，）和B （x，），因此B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．（3）设*Α是一个由X中的开集构成的子集族．如果，则存在∈*A使得x∈由于是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于，显然这个球形邻域也包含于．这证明是X中的一个开集．此外，根据定理2.1.1（3）可见，每一个球形邻域都是开集．球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广．定义2.1.4 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈V U，则称U是点x的一个邻域．下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点．则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U．证明如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得x∈V U，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U．这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．定义2.1.5 设X和Y是两个度量空间，f:X→Y，以及∈X如果对于f()的任何一个球形邻域B（f(),ε），存在的某一个球形邻域B（，δ），使得f(B（，δ）)B（f（），ε），则称映射在点处是连续的．如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广．因为如果设ρ和分别是度量空间X和Y中的度量，则f在点处连续，可以说成：对于任意给定的实数ε＞0，存在实数δ＞0使得对于任何x∈X只要ρ（x，）＜δ（即x∈B（,δ）便有(f(x),f())＜ε.（即f(x)∈B（f()，ε））．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点．定理2.1.4 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以及∈X．则下述条件（1）和（2）分别等价于条件（1）*和（2）*：（1）f在点处是连续的；（1）*f()的每一个邻域的原象是的一个邻域；（2）f是连续的；（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．证明条件（1）蕴涵（1）*：设（1）成立．令U为f（）的一个邻域．根据定理2.1.3，f（）有一个球形邻域B（f（），ε）包含于U．由于f 在点处是连续的，所以有一个球形邻域B（，δ）使得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f（），ε）（U），所以B（，δ）（U），这证明（U）是的一个邻域．条件（1）*蕴涵（1）．设条件（1）*成立．任意给定f（）的一个邻域B（f(),ε），则（B（f()，ε）是的一个邻域．根据定理2.1.3，有一个球形邻域B（，δ）包含于（B（f（），ε）．因此f（B（，δ））B（f（），ε）．这证明f在点处连续．条件（2）蕴涵（2）*．设条件（2）成立．令V为Y中的一个开集，U＝（V）．对于每一个x∈U，我们有f（x）∈V．由于V是一个开集，所以V是f（x）的一个邻域．由于f在每一点处都连续，故根据（1）*，U是x 的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得Ux U．易见U＝∪x∈UUx．由于每一个Ux都是开集，根据定理2.1.2，U是一个开集．条件（2）*蕴涵（2）．设（2）*成立，对于任意x∈X，设U是f（x）的一个邻域，即存在包含f（x）的一个开集V U．从而x∈（V）（U）．根据条件（2）*，（V）是一个开集，所以（U）是x的一个邻域，对于x 而言，条件（1）*成立，于是f在点x处连续．由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射．从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理2.1.2）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念作业：P47 1.2.3.4.§2.2拓扑空间与连续映射本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．定义2.2.1 设X是一个集合，τ是X的一个子集族．如果τ满足如下条件：（l）X，∈τ；（2）若A，B∈T，则A∩B∈τ；（3）若则称τ是X的一个拓扑．如果τ是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，τ）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑τ而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，τ）或（X）中的一个开集．即：A∈τA是开集.（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，）因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．例2.2.1 平庸空间．设X是一个集合．令T={X，}．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．设X是一个集合．令T=P（X），即由X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个离散空间.在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集．例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}．容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．例2.2.4 有限补空间．设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令T ={U X|是X的一个有限子集}∪{}先验证T是X的一个拓扑：（1）X∈T (因为=)；另外，根据定义便有∈T．（2）设A，B∈T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这时是X的一个有限子集，所以A∩B∈T ．（3）设．令,显然有如果，则设任意选取．这时是X 的一个有限子集，所以根据上述（1），（2）和（3），P是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间（X，P）称为一个有限补空间．例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T ={U X|是X的一个可数子集}∪{}通过与例2.2.4中完全类似的做法容易验证（请读者自证）T 是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间（X，T ）称为一个可数补空间．一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3 设（X，P）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称（X，P）是一个可度量化空间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？从§2．1中的习题2和3可以看出，每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的；例2.2.3中给出的那个空间只含有三个点，但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，拓扑空间是比可度量空间的范围要广泛．进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．定义2.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．如果Y中每一个开集U 的原象（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y 是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．定理2.2.1 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：:X→X是一个连续映射；（2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z也是连续映射．证明（l），所以连续．（2）设f:X→Y,g:Y→Z都是连续映射这证明gof连续．在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．定义2.2.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个—一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．定理2.2.2 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X是一个同胚；（2）如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；（3）如果f ：X→Y 和g ：Y→Z 都是同胚，则gof ：X→Z 也是一个同胚． 证明 以下证明中所涉及的根据，可参见定理2.2.1，定理l ．5．3和定理1．5．4．（l ）是一个—一映射，并且，都是连续的，从而是同胚．（2）设f ：X→Y 是一个同胚．因此f 是一个—一映射，并且f 和都是连续的．于是也是一个—一映射并且和也都是连续的，所以也是一个同胚．（3）设f ：X→Y 和g ：Y→Z 都是同胚．因此f 和g 都是—一映射，并且f ，，g 和都是连续的．因此gof 也是—一映射，并且gof 和都是连续的．所以gof 是一个同胚．定义2.2.6 设X 和Y 是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f ：X→Y，则称拓扑空间X 与拓扑空间Y 是同胚的，或称X 与Y 同胚，或称X 同胚于Y ．粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．定理2.2.3 设X ，Y 和Z 都是拓扑空间．则（1）X 与X 同胚；（2）如来X 与Y 同胚，则Y 与X 同胚；（3）如果X 与Y 同胚，Y 与Z 同胚，则X 与Z 同胚．证明从定理2.2.2直接得到．根据定理2.2.3，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程．也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容．拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10§2.3邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）．我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了．在定理2.1.4中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然．定义2.3.1 设（X，P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈P使得x∈V U，则称U是点x的一个邻域．点x 的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x 的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．证明定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性．如果U是空集，当然U是一个开集．下设U≠．根据定理中的条件，使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集．定理2.3.2概括了邻域系的基本性质．定理2.3.2 设X是一个拓扑空间．记为点x∈X的邻域系．则：（1）对于任何x∈X，≠；并且如果U∈，则x∈U；（2）如果U，V∈，则U∩V∈；（3）如果U∈并且U V，则V∈；（4）如果U∈，则存在V∈满足条件：(a)V U和(b)对于任何y∈V，有V∈．证明（1）X,X∈P,∴X∈,∴≠且由定义,如果U∈，则x∈U（2）设U，V∈．则存在U．∈P和∈P使得和成立．从而我们有,T,∴U∩V∈（3）设U∈，并且（4）设U∈．令V∈P满足条件．V已经满足条件（a），根据定理2.3.1，它也满足条件（b）．以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．定理2.3.3 设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）～（4）．则x有惟一的一个拓扑T使得对于每一点x∈X，子集族恰是点x在拓扑空间（X，P)中的邻域系．(证明略)现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．如果f（x）∈Y的每一个邻域U的原象（U）是x∈X的一个邻域，则称映射f 是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续．与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发．并且该定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y 的一个映射，它在某一点x∈X处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y 的一个在点x处连续的映射；反之亦然．这里我们也有与定理2.2.l类似的定理．定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X在每一点x∈X处连续；（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f（x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．证明请读者自己补上．以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．证明必要性：设映射f连续，这证明f在点X处连续．充分性：设对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．这就证明了f连续．作业:掌握证明一个子集是邻域的方法,掌握证明一个映射是否连续的方法．§2.4导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U 中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．即:(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝．例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．）第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：。
点集拓扑学(1)(10)(7)(1)
《点集拓扑》～畅想系列本文作者：鲍祥平注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。
本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张祖景，熊金城。
由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。
点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。
其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。
这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。
拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。
由于点集拓扑学发展较晚，里面很多理论，观点都不是很成熟，本文遵循客观规律，对点集拓扑学做部分更改，水平有限。
第一章：关系与映射第一节集合及其运算集合论的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。
朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在数学理论中得到了广泛的运用。
集合的定义：① 公认定义：具有共同归属的对象的全体称为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。
（集合的归属性指的是元素满足该集合的要求），我把该定义中的属性改成了归属，一个定义必须文字表达要准确，属性和归属性是两个完全不同的概念，这里用归属性比较恰当。
例如：三个没有共同属性的正交向量,,组成的集合{},,，很显然只能用归属性定义集合，否者就会有矛盾，产生悖论。
② 个人（本人）定义：我们在各种或者所有对象中按照某种要求进行抽样，把抽出的对象集中起来作为一个群体来研究，因此把所有符合或者满足要求的具有相同归属性的个体称为集合。
学习拓扑学的心得体会
学习拓扑学的心得体会第一篇：学习拓扑学的心得体会学习《拓扑学》的心得体会摘要：拓扑学是一门综合性比较强的数学学科，是我们大学生学习必不可少的学科。
我们之前学习了的物理学、高等代数、数学分析、初等几何等多门学科都有关联，是我们之前学习的延伸，接触了比之前更高深的问题，同时加深了与其他学科的联系。
在学习集合相关概念时，引发了我对于现实生活中的一些思考，进一步感受到了数学的严谨性。
在学习拓扑中的基，由此想到了之前在初等数论中学习的鸽巢原理。
在学习连续函数的不同定义时，与之前学习的数学分析中的相关类容作出了比较，并进一步理解了函数的连续性。
关键词：数学学科；延伸；联系；严谨性一、什么是拓扑学？我们所谓的拓扑学，是在数学学科当中比较抽象的一门学科。
它的英文名是T opology，直译是地质学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关的学科。
我国早期有人曾经把它翻译成为“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名无论对于老师还是学生来说都不大好理解，于是在1956年最终用统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。
拓扑学是数学当中一个重要的、基础性的学科分支。
它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。
然而，这种几何学又和通常的平面几何、立体几何又有所不同。
通常的平面几何或立体几何所研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们能够完全重合，那么这两个图形叫做全等图形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数，这些就是拓扑学思考问题的出发点。
拓扑学中的点集拓扑理论
拓扑学中的点集拓扑理论拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间和其性质的结构。
在拓扑学中，点集拓扑理论是其基础和核心部分。
本文将介绍点集拓扑理论的基本概念、性质以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念：1. 点集：在拓扑学中，点集是指一组点的集合。
可以是有限的或者无限的，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
2. 拓扑空间：拓扑空间是指一个点集，以及其上定义的一个拓扑结构。
拓扑结构由开集构成，满足一定的公理，用T表示。
3. 开集与闭集：在拓扑空间中，开集是指任意给定的点x，都存在一个包含x的开集。
闭集是指开集的补集。
4. 连通性：一个拓扑空间是连通的，如果它不能被分解为两个非空且不相交的开集。
否则，它是非连通的。
二、性质：1. Hausdorff性：一个拓扑空间满足Hausdorff性，如果任意两点都存在不相交的开集分别包含这两点。
2. 紧性：一个拓扑空间是紧的，如果它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
3. 完备性：一个拓扑空间是完备的，如果其中的任意Cauchy序列都收敛于其中的一个点。
三、应用：1. 基础数学研究：点集拓扑理论作为纯数学的一个分支，对于基础数学的研究有着重要的意义。
它与集合论、代数学等学科有着密切的联系，为数学的发展提供了坚实的基础。
2. 物理学应用：点集拓扑理论在物理学领域中有广泛的应用。
比如在凝聚态物理学中，拓扑序在材料的性质研究中起到了关键作用。
拓扑能带理论在凝聚态物理学中的应用也越来越受到关注。
3. 计算机科学应用：点集拓扑理论在计算机科学中也有着重要的应用。
在计算机图形学中，拓扑性质的研究与计算机模型的建立密切相关。
此外，在网络拓扑结构的分析和设计中，拓扑学也发挥着重要的作用。
四、结论：点集拓扑理论作为拓扑学的基础和核心部分，对于基础数学研究以及其在物理学、计算机科学等领域的应用具有重要意义。
通过对点集、拓扑空间、连通性等基本概念的理解，并且熟悉其性质与应用，我们可以更好地掌握和应用拓扑学中的点集拓扑理论。
《点集拓扑》课程教学的新认识与实践
１３ 关于课 程 “ 习难” 的新 认识 ． 学 由于教学 内容的基础性和抽象性程度很高，大 部分学生都认同一个观点： 点集拓扑 太难学 了！ 大部 分教 师也 认为 这 门课程难 教 。 除 了上面 提 到的 学生学习特点的原 因外，课程本身也有许多原因： （）（ １ （ 点集拓扑 课程 中介绍的新概念非常 多，每一章每一节都有新概念 出现 ，而且这些新概 念都环环相扣，一些基础性概念如果掌握不好，理 解不透，将影响后续所有概念的理解。比如：拓扑 和拓扑空间、开集、邻域 、连续映射、子空间等等 都是最基础的概念，有一些学生在教学初始 ，没引 起对这些基本概念的重视 （ 这些概念在先修课程中 都提到过，但都不是基础概念 ），导致后期学习如 听天书，不知所云。因此课程 中概念的教学详略和 教 学方 法是 否得 当显得 尤 为重 要。 （ ） 点集拓扑 课程 以一个崭新的视角去 ２ 研究几何 图 ，加上其高度的抽象性 ，对于本科生 形 来说，接受起来有点难度 ，需要一点适应期 。 （ ）大部分 点集拓扑 教材讲理论多 ，实 ３ 例少，与其他数学分支，比如数学分析、实变函数、 微 分 几何 等联 系少 ，使 得 学生 学起 来 空洞 ，乏 味 ， 与 已经形成的知识体系的同化与融入过程不通畅。 ２ 关于 《 点集 拓扑 》课 程 的教学 实践 ２ １ 教材 、 习题 的处理 ． ２ １ １ 教 材 的处理 ．． 许多高校现在该课程的教学时数相对教学 内容 来说是 比较少 的，特别是对一般本科院校来说 ，学 生的基础相对薄弱，教师不可能完成所有经典 内容 的教学，所 以一个好的办法就是讲授课程的主要 内 容和主要方法，使 学生理解 点集拓扑》的核心 内 容，掌握核心的思想和方法，否则贪多嚼不烂也是 很正常的事。 我校选用 的教材是 熊金城编著 的 点集拓扑讲 义 （ 第三版 ），高等教育 出版社出版 。教学中对 教材的内容加 以选择分类，分精选内容、非重点内 容和选讲 内容三部分 ，不同内容分别采用不同的方 法教 学。 精选 内容：作详尽的论述和证明，并精选精讲 练 习题 、作业题 ，加 以巩固和提高，主要采用传统 的讲授 练 习法 。 非重点内容：讲解主要概念、定理，并用例子
《点集拓扑学学习心得》
《点集拓扑学学习心得》点集拓扑学是由分析、几何、和代数等许多学科的一些基本概念和问题抽象而成的一个数学分支，是理工科相关专业的一门基础课。
它的许多概念、理论、方法广泛的应用与泛函分析、微分几何和微分方程等领域中。
通过这门课程的学习可以加强我们对学习了的数学分析、实变函数、常微分方程等课程的理解。
因此我们有必要努力学好这一门课程。
在学习中我有几点深刻的体会。
第一、这门课程确实很抽象。
它不同于我们学习的其他数学课程，如数学分析、高等代数、常微分方程、实变函数等，点击拓扑几乎没有计算的内容，逻辑性强。
在学习概念后就是一连串的定理、推论，例子也比较少，且多为证明。
所以学习起来就比较枯燥。
一开始学习的掉以轻心让我后悔不已。
第二、抽象的概念也是有它形成的基础。
点集拓扑学是一门建立在集合论的基础上的一门学科，因此第一章的集合论初步是学习的预备知识。
尤其是映射的像和原像的性质，这些性质对刻画拓扑空间中映射的连续性有重要作用。
而第二章是全书的理论基础，尤其重要。
并且概念和概念之间也是相互联系的。
比如度量给出以后，度量空间的相应概念由此产生。
开集、邻域的概念形成后，导集、闭集、闭包、内部、边界及其性质大都是借助它们来说明的。
因此学习的时候每一个概念都要弄懂。
第三、点集拓扑学中涉及到很多我们已经在其他学科中学习到的知识，因此我们要注意对比分析。
序列的极限、函数的连续性是数学分析的基础，其中涉及两个实数的距离。
数学分析中绝大多数问题都离不开距离。
而点集拓扑学中建立了以距离为出发点的距离空间。
数学分析中我们熟知的欧式空间和欧式空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间的连续映射，抽象到拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。
数学分析中数列涉及敛散性、连续性、以及极限存在的条件等，而点集拓扑学中序列也涉及到这些内容，但是它们之间存在着异同之处。
在拓扑空间中一般不能用点列的收敛来刻画聚点，进而拓扑空间之间的连续映射不能用极限来刻画。
《点集拓扑学》期末复习
期末复习学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当有了更多的了解，更深刻的认识．大家掩卷回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？沿着什么思路研究？研究手法是什么？下面把这几个方面的内容理一下，仅供参考．一、点集拓扑学的主要内容：1．一般拓扑空间：（1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？）（2）常见的拓扑空间有：度量空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间等．任何集合均可通过指定开集而构成上述空间．因此一个集合与不同的拓扑（开集族）配对，可以构成不同的拓扑空间．（实数集合可能成为上述空间吗？）（注意：实数集合与实数空间不同．）（3）一般拓扑空间均可以有子空间，任意有限个拓扑空间均可以构成乘积空间．任一拓扑空间中的一个等价关系均可以造出商空间．（这些空间的拓扑是怎样的？或基是怎样的？）2．有个性的拓扑空间：与连通性有关的空间、各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致性有关的空间、完备度量空间．（1）并不是任何空间都可以成为上述空间的．只有符合上述空间定义的空间才可以成为上述空间．（各类空间之间没有必然的联系）（2）R及是上述空间吗？（3）若有两个空间，之间通过连续映射联系起来，则原象空间的哪些性质可以传递到象空间？（4）上述空间的哪些性质可以遗传给子空间？（或闭遗传？）（5）上述空间的哪些性质可以是有限可积的？3．连通性：（1）§4.1的所有定义,定理均要掌握.以应对判断一个空间的连通性.(2)两种分支的性质.(3)三种连通性之间的关系．（4）R及的连通性．4．可数性：（1）P．149 图表5.1（2）各空间的性质．（特别，空间中序列的性质及如何构造序列？）（3）哪些常见空间是的？是可分的？Lindeloff的？5．分离性：（1）P．171 图表6.1（2）各分离性空间的定义及等价命题．（3）常见空间及的分离性．（4）中序列的极限点，中点集的凝聚点，正规、完全正则空间与连续映射的关系．（5）遗传性、有限可积性、连续映射的保持性等．6．紧致性：（1）P．191、201、204、208、210、212的图表．（2）各空间的定义及等价命题．（3）紧致性与分离性的关系．（4）紧致、可数紧致的等价命题．（5）中的紧致子集．（6）局部紧致、仿紧致只要求定义与联系图．二、思路：不断剖析，将中的性质作为公理搬到一般拓扑空间中来．考察具备怎样的性质的拓扑空间才能具有与相应的性质．及研究各拓扑空间的性质及这些性质的遗传性、有限可积性、连续映射的保持性、拓扑不变性．三、研究手法：集合的运算与逻辑推理．四、收获收获：复习了这些内容后，对点集拓扑学有何了解？研究目的：研究各拓扑空间的性质及这些性质的遗传性、有限可积性、连续映射的保持性、拓扑不变性．感受：原来具有……性质．提高：对逻辑推理性的证明能力有提高？证明的书写能力有提高？五、几个注意点:1．首先，要熟悉所有的定义、定理的内容．2．涉及度量空间，常利用球形邻域．3.有限个开集的交是开集,任意个开集的并是开集.有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭集.4.一个集合的任意个拓扑的交是拓扑,即使有限个拓扑的并也可能不是拓扑.5.拓扑空间中任意个紧致闭子集的交还是紧致子集.有限个紧致子集的并还是紧致子集.6.拓扑空间与它的子集的连通性各自独立.7.不是连续映射所保持的性质,而是拓扑不变的.但是可遗传的,有限可积的.可分空间不可遗传,但是连续映射所保持的,有限可积的.8.Lindeloff空间闭遗传,不可积,但是连续映射所能保持的.紧致空间闭遗传,但是连续映射所能保持的,有限可积的.9.分离性公理空间不是连续映射所保持的,但是拓扑不变的.除正规空间, 是闭遗传外,其余均可遗传. 除正规空间,不可积外,其余均有限可积.均不可商.10．在中构造序列，可利用在x处的邻域基套，在每个中取一点，.就构成序列11.若涉及到连续映射f：X→Y，总是将X中的子集映到Y，或将Y中的子集反射到X．12.常对一个等式或包含关系式两边同取f或或闭包，并注意利用P.23的习题1,2或P.28的定理1.6.3或P.20的定理1.5.213.要对集族构造一个单调上升或单调下降序列,可令:则分别为单调上升或单调下降序列.14．注意拓扑空间{X*，T*}，其中X*=X∪{∞}，但T*有两种构造法：P.55的习题9与P.142的例5.2.115.注意定义中的措辞：是任给还是存在（有一个）．它的反面是什么？（互为反面）16.注意反证法．。
点集拓扑学教学心得
点集拓扑学教学之我见摘要：点集拓扑学是一门抽象的学科，学生学起来比较困难，因此教师在讲授的过程中应该多联系大学中的一些基础课程，多举一些简单易懂且具有代表性的例子，使得学生深刻理解有关概念和理论。
关键词：点集拓扑学；教学；线性空间；数学分析拓扑学是研究几何图形在连续变形下保持不变的性质。
拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学、自然科学以及社会科学的许多领域，并且有了日益重要的应用，因此学习拓扑学的基本知识，不仅是为了学习现代数学提供必要的基础知识，而且能从较高观点去观察、分析数学各科的内容，加深对这些内容的认识和理解。
由于拓扑的一些基本概念对于初学者来说是比较抽象的，因此有必要结合线性空间及数学分析的一些原理进行区别与联系，从而起到事半功倍的效果。
一、区别线性结构与同构映射，讲解拓扑结构与同胚映射。
线性结构和拓扑结构是空间的两大结构。
在数学专业的教学和学习中，分清两者的关系和区别对于初学者来说并不是很容易的一件事情，因此在教学中，教师应根据学生的实际情况，讲清两者的关系，这样可以使学生更深刻的理解拓扑空间及其连续映射的相关概念。
在讲解拓扑空间的概念时，我们指出拓扑空间是一个集合装备上拓扑结构后的空间，拓扑空间中的元素就是集合中的元素，拓扑是一些满足某些性质的开集族，但如果装备不同的拓扑则有不同的拓扑空间。
而线性空间是一个满足加法和数量乘法封闭的集合。
例如：我们经常用到的实数空间R它既可以看作一个线性空间，它的线性结构就是我们通常定义的加法和数乘运算，也可以看作一个拓扑空间，它的拓扑就是实轴上的所有开集所构成的开集族，它满足拓扑的三条性质，实质它是一个特殊的拓扑线性空间。
又如我们定义集合A={1,2,3}，定义拓扑T={ ，{1，2，3}}，它是我们平1常所说的平庸拓扑，拓扑中开集是空集与它本身，这是最小拓扑，如果定义拓扑T={φ，{1，2，3}，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}}，则它满足拓2扑的三条性质，因此（A,T）是拓扑空间。
《点集拓扑讲义》第四章-连通性-学习笔记
本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用.这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间.本节重点：掌握连通与不连通的定义;掌握如何证明一个集合的连通与否;掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性.我们先通过直观的方式考察一个例子. 在实数空间R中的两个区间（0,1 ）和］1, 2）,尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U［I , 2） = （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1 ）和（1, 2）,它们的并（0, 1）U（1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, I ）有一个凝聚点1在］1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中.我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形.定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果则称子集A和B是隔离的.明显地，定义中的条件等价于「二 J和- - - J同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1 ）和（1, 2）是隔离的，而子集（0，l ）和［1，2）不是隔离的.又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的.定义4.1.2 设X是一个拓扑空间•如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=AJ B,则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间.定理4.1.1 设X是一个拓扑空间.则下列条件等价：（I ）X是一个不连通空间；（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A H 和A J B= X成立；（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A H 和A J B= X成立；（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集.证明条件（I ）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A J B= X,显然A H ，并且这时我们有B =Br\X =Br\（AuB） = （B nZ）u（5 = B因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求.条件（2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A=_和B=「，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求.条件（3）蕴涵（4）.如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A B是开集，则由和B二匸易见A和B都是X中的闭集，因此A、B 是X中既开又闭的真（：A B M0, A U B=X ••• A B M X）子集，所以条件（4）成立.条件（4）蕴涵（I ）.设X中有一个既开又闭的非空真子集 A.令•则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A U B=X易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）.因此（I ）成立.例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.这是因为对于任何一个无理数r €R-Q，集合（-X，r ）n Q=（-^，r] HQ是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间.证明我们用反证法来证明这个定理.假设实数空间R是不连通空间.则根据定理4.1.1 ,在R中有两个非空闭集A 和B使得A H 和A U B= R成立.任意选取a€A和b€ B,不失一般性可设a v b.令」=A H [a,b]，和J =B H [a,b].于是」和J是R中的两个非空闭集分别包含a和b,并且使得」n J =二和」U J =[a，b]成立.集合」有上界b,故有上确界，设为=.由于」是一个闭集，所以匚€」，并且因此可见匚v b，因为]二b将导致b€」nF,而这与」nF =二矛盾.因此（1 , b] — F .由于J 疋一个闭集，所以「€ 一 .这又导致]€」n 一，也与」n 一 =二矛盾.定义4.1.3 设丫是拓扑空间X的一个子集.如果丫作为X的子空间是一个连通空间，则称丫是X的一个连通子集；否则，称丫是X的一个不连通子集.拓扑空间X的子集丫是否是连通的，按照定义只与子空间丫的拓扑有关(即丫的连通与否与X的连通与否没有关系.)•因此，如果/ --—丄，则丫是X 的连通子集当且仅当丫是Z的连通子集•这一点后面要经常用到.定理4.1.3 设丫是拓扑空间X的一个子集，A, B_Y.贝U A和B是子空间丫中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.因此，丫是X的一个不连通子集，当且仅当存在丫中的两个非空隔离子集A和B使得A U B= Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A U B= Y.证明用分别表示A在丫，X中的闭包.因为(P J(A)nfl)u(C Y(S) n& = ((C£(A)nK)n^)u(©(B)nY)nA)=(6 ⑷n(?n fl)) u © (B) n(?n 血)=(C x⑷冲)u (0 (5)n &因此根据隔离子集的定义可见定理成立.定理4.1.4 设丫是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A和B使得YCAUB贝U或者YCA,或者丫匚B.证明如果A和B是X中的隔离子集使得丫CAUB则((占cK) c £ eV) u ((占 c?) c / eV) c (_AnYnB)u(Br\YnA)F 0((.4 n5)u(^nl) = 0这说明A AY和B AY也是隔离子集.然而(A A Y)U( B A Y) = ( A U B)A Y= Y因此根据定理4.1.3，集合A AY和B AY中必有一个是空集.如果A A 丫二二，据上式立即可见Y —B,如果B A 丫=二，同理可见Y—A.定理4.1.5 设丫是拓扑空间X的一个连通子集，Z_X满足条件二二.则Z也是X的一个连通子集.证明假设Z是X中的一个不连通子集•根据定理 4.1.3，在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A U B,因此Y_AUB由于丫是连通的，根据定理4.1.4 ,或者Y_A. 丄二二’I 匚」二口二二匸J或者Y_B,同理，二一门.这两种情形都与假设矛盾.定理4.1.6 设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果"匚贝U -■-是X的一个连通子集.证明设A和B是X中的两个隔离子集，使得- ■ J - , = AU B.任意选取x€…汀：「，不失一般性，设x€ A.对于每一个丫€ r ,由于连通，根据定理4.1.4 ,或者二-」或者;由于x€「AA ,所以；一一―.根据定理4.1.3，这就证明了「是连通的.定理4.1.7 设丫是拓扑空间X中的一个子集.如果对于任意x, y€Y存Y Y在X中的一个连通子集 r使得x, y€：-Y,则丫是X中的一个连通子集.证明如果丫=二，显然丫是连通的.下设丫工二,任意选取a€ Y,容易验证丫=七；「I并且a€ 冷‘二.应用定理4.1.6，可见丫是连通的.我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§ 2. 2）.所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质.事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质.因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质•拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质.因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质.以下定理4.1.8指出，连通性(即一个拓扑空间是连通的这一性质)是一个在连续映射下保持不变的性质•因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质.定理4.1.8 设f:X -Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则 f (X)是Y的一个连通子集.证明如果f (X)是丫的一个不连通子集，则存在丫的非空隔离子集A 和B使得f (X)= A U B.于是「' (A)和」(B)是X的非空子集，并且(厂(& n 7^)c旷S n广1@)) u屮(Q门厂(劝三于"((He 牙)u(£c7)) = 0所以「' (A)和「•(B)是X的非空隔离子集.此外，1 (A)U「(B)^ 1 (A U B) = 1 (f(X))=X这说明X不连通.与定理假设矛盾.拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n>0个拓扑空间X屁•益都具有性质P，蕴涵着积空间心严XX:也具有性质p.例如，容易直接证明，如果拓扑空间丄丄「-為都是离散空间（平庸空间），则积空间紅吟心X•:也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质.根据定理3. 2. 9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质.为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间.定理 4.1.9 -J--'是n个连通空间. 则积空间亠二I；也是连通空间.证明根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明.首先我们指出：如果'■" 1 ‘1两个点有一个坐标相同，则■'〕二有一个连通子集同时包含x和y不失一般性，设定义映射k:「‘一使得对于任何有一"1 < .由于X吐是取常值；的映射,为恒同映射，它们都是连续映射，其中-.Jl j分别是到第1和第2个坐标空间的投射•因此，k是一个连续映射•根据定理 4.1.8 , k（'；Q是连通的•此外易见，上（為）屮JX為,因此它同时包含x和y.现在来证明：中任何两个点"mybwJEXixx：同时属于二的某一个连通子集.这是因为这时若令-. ■•_：,则根据前段结论，可见有二■ j的一个连通子集4同时包含x和z, 也有二■- j 的一个连通子集I同时包含y和z.由于z€，因此根据定理4.1.6，是连通的，它同时包含x 和y.于是应用定理4.1.7可见「•、是一个连通空间.因为n维欧氏空间丁是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间J是一个连通空间.作业:P116 3. 5. 6. 8. 14.本节重点：掌握实数空间R中的连通子集的“形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集掌握常见的几种空间的同胚与否的事实让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b€ E, a v b,则有［a , b］={x € R|a<x< b} - E读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：（-x，x），（a，x），［a，7，（-车a），（- ^，a］（a，b），（a，b］，［a，b），［a，b］因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果E_ R 是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E,而将E归入以上9类之一在定理4. 1. 2中我们证明了实数空间R是一个连通空间•因为区间（a， %），（—X，&）和（a，b）都同胚于R （请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于血 8）=血8）,（-8,a）C［a.b） c［a9bl（a^ C @上］U［爲切c 丽根据定理4. 1. 5可见区间［a，^），（— ^，a］，［a，b），（a，b］和［a，b］都是连通的.另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点•如果E 不是一个区间，则----- -‘ ? -■■■ ■■--,也就是说，存在a<c<b,使得m ；从而，若令A= （— X， c） A E, B=（c，x）PE则可见A和B都是E的非空开集，并且有A U B=E和A A B=J ,因此E不连通.综合以上两个方面，我们已经证明了:定理421 设E是实数空间R的一个子集.E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间.定理422 设X是一个连通空间，f:X -R是一个连续映射.则f(X)是R 中的一个区间.因此，如果x, y€ X,则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t (即当f(x) < f(y)时，f(x) < t < f(y);当f(y) < f(x)时，f(y) < t < f(x)),存在z €X 使得f(z)=t .证明这个定理的第一段是定理4. 1. 8和定理421的明显推论.以下证明第二段.设x，y€ X.如果f (x )= f (y)，则没有什么要证明的.现在设f (x)工f (y)，并且不失一般性，设f (x) v f (y).由于f (X)是一个区间，所以［f (x)，f (y) ］_ f (X).因此对于任何t，f(x) < t < f(y)，有t € f(X)，所以存在z€ X,使得f (z) =t.根据定理4.2.2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理.定理4.2.3 ［介值定理］设f:［a，b］-R是从闭区间［a，b］到实数空间R的一个连续映射.则对于f (a)与f (b)之间的任何一个实数r，存在z€ ［a，b］使得f(z)=r .定理4.2.4［不动点定理］设f:［0，1］0，1 ］是一个连续映射.则存在z€ ［0，1］使得f(z)=z证明如同数学分析中的证法那样，只需构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得.容易证明欧氏平面卅中的单位圆周是连通的. 这是因为如果定义映射f:R —f使得对于任意t €尺有f(t)=(cos2 n t,si n2 n t) €「，则易于验证f 是一个连续映射，并且f(R) =〕•因此〕是连通空间R在一个连续映射下的象，所以它是连通的.设点…八厂；.1「称为点x的对径点•映射r f使得任何x€「',有r(x)=-x，称为对径映射•对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面丁到自身的反射I :口一在单位圆周上的限制•其中，映射I 定义为对于任何"产卞，有I (x)= -x，容易验证(请读者自行验证)是一个连续映射.定理4.2.5[Borsuk-Ulam 定理] 设f:「—R是一个连续映射.则在二中存在一对对径点x和-x，使得f(x)=f(-x).证明(略)我们已经知道n维欧氏空间T是连通空间，下面进一步指出：定理426 n> 1维欧氏空间〔的子集丁-{0}是一个连通子集，其中0= (0，0,…，0)€ 7 .证明我们只证明n = 2的情形.根据定理4. 1. 9, 丁中的子集(-%, 0) 乂尺和(0,x)XR都是连通的.由于C[0L®)X5-{0} c [0®)xR =(O p®)xfi 所以根据定理4. 1. 5, Rn中的子集A=[0, ^) XR-{0}是连通的；同理，子集B=(- %, 0]XR-{0}是连通的.由于A H 以及A U B=T -{0}，因此根据定理4.1 . 6可见，「-{0}是连通的.一般情形的证明类似，请读者自行补证.定理426可以得到进一步的改善(参见习题第4题)定理427 欧氏平面】和实数空间R不同胚.证明假设丁与R同胚，并且设f:〔-R是一个同胚•因此对于连续映射我们有J ■'•但根据定理426 , ? -{0}是连通的,而根据定理421 , R-{f(0)}是不连通的•这与定理4. 1. 8矛盾.定理427给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例.定理424，定理425和定理427尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下：定理4.2.8[Brouwer不动点定理] 设f :丄.-'是一个连续映射，其中「是n维球体.则存在z€丄■使得f (z) =z.定理4.2.9[Borsuk —Ulam定理] 设f：」一厂是一个连续映射，其中n》m 则存在x€『使得f (x) =f (-x ).定理4210 如果n^ m则欧氏空间T和不同胚.这些定理的证明 (除去我们已经证明过的情形)一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书籍.作业：P121 4.本节重点:掌握连通分支的定义（即连通”类”的分法）;掌握连通分支的性质（定理431）.从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理- 些问题带来很大的方便.这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）.定义431 设X是一个拓扑空间，x, y€ X.如果X中有一个连通子集同时包含x和y，我们则称点x和y是连通的.（注意：是点连通）根据定义可见，如果x, y, z都是拓扑空间X中的点，贝U（1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）；（2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通.（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x，y€A和y，z€ B.从而由于y€ A PB 可见A UB连通，并且x，z€ A U B.因此x和z连通.）以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系.定义432 设X是一个拓扑空间.对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支.如果丫是拓扑空间X的一个子集.丫作为X的子空间的每一个连通分支称为X 的子集丫的一个连通分支.拓扑空间X M二的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；以及X的所有连通分支之并便是X本身•此外，x, y€X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通.拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A 有一个连通子集同时包含点x和y.定理431 设X是一个拓扑空间，C是拓扑空间X的一个连通分支.则（1）如果Y是X的一个连通子集，并且Y G C M乳【一f ;（2）C是一 -个连通子集；（3）C是一一个闭集.本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集.证明（1）任意选取x € Y G C•对于任何y €Y由于x和y连通，故y € C•这证明Y_C.Y （2）对于任何x，y€ C,根据定义可见，存在X的一个连通子集「匸使得x，y€ r- .显然「匸G C M二，故根据（1）,匚—C.应用定理4. 1. 7可知, C 是连通的.（3）因为C连通，根据定理4. 1. 5，「连通.显然，一I 一■'.所以根据（1），•「二 = .从而C是一个闭集.但是，一般说来连通分支可以不是开集.例如考虑有理数集Q （作为实数空间R的子空间）.设x，y€ Q x M y.不失一般性，设x v y.如果Q的一个子集E同时包含x和y，令A=（- X，r）GE和B=（r，）G E,其中r是任何一个无理数，x v r v y .此时易见A和B都是Q的非空开集，并且E= A U B.因此E不连通.以上论述说明E中任何一个包含着多于两个点的集合都是不连通的，也就是说，Q的连通分支都是单点集•然而易见Q中的每一个单点集都不是开集.记住这个事实：任一个集合A都可以由含于它内部的所有连通分支的并而成(且这些连通分支互不相交).即使是离散空间，它的每一个点自成连通分支这个结论也成立.作业：P123 1 . 3. 4. 8.本节重点：掌握局部连通的定义与性质(定理441-443);掌握连通与局部连通的关系引进新的概念之前，我们先来考察一个例子.例 4.4.1 在欧氏平面丄中令S={(x,sin(1/x))|x € (0,1]}.T={0} X[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间(0, 1]在一个连续映射下的象，因此是连通的.此外，也容易验证J S U T,因此S UT也是连通的.尽管如此，倘若我们查看〕中的点，容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的. 我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来.定义441 设X是一个拓扑空间，x€ X.如果x的每一个邻域U中都包含着x 的某一个连通的邻域V,则称拓扑空间X在点x处是局部连通的.如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间.回到例441中所定义的拓扑空间1.容易证明，［在其属于S的每一个点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的.也因此，尽管〔是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间.局部连通的拓扑空间也不必是连通的.例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间.又例如，n维欧氏空间丁的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间厂，因而是连通的），特别，欧氏空间J本身是局部连通的.另一方面，欧氏空间丁中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）.此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点x€X处是局部连通的当且仅当x 的所有连通邻域构成点x处的一个邻域基，定理4.4.1 设X是一个拓扑空间.则以下条件等价：（1）X是一个局部连通空间；（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；（3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的.证明（1）蕴涵（2）.设C是X的一个连通分支，「-- -「.如果x€ C, 由于U是x的一个邻域，所以当（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U•又由于V GC包含着点x,所以不是空集，根据定理4. 3. 1可见-/ .因此C€二.这证明C 是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是一个开集.条件(2)蕴涵(3).若(2)成立，则X的所有开集的所有连通分支(它们都是开集)构成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X 的一个基.条件(3)蕴涵⑴.显然.我们常用到定理441的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集.定理442 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的.又设f:X -Y 是一个连续开映射.则f (X)是一个局部连通空间.证明根据定理4.4.1，可设B是X的一个基，其中的每一个元素都是连通的.对于每一个B€ B，集合f(B)是连通的，并且由于f是一个开映射，f (B) 是丫中的一个开集，因此也是f(X)的一个开集.这证明集族B1={f (B)|B € B}} 是一个由f (X)的连通开集构成的族.我们指出B1是f(X)的一个基，这是因为，如果U是f(X)中的一个开集，贝U ' ( U)是X中的一个开集，因此码匚肌厂⑺“戶/(广如))=如他是B1中某些元素之并.于是根据定理441可知f (X)是局部连通的.根据定理442易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质.定理443 设是n》l个局部连通空间.则积空间免-二二'：也是局部连通空间.证明(略)应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多.例如，实数空间R由于所有的开区间构成它的一个基，所以它是局部连通的；n维欧氏空间J是n个R 的积空间，所以它也是局部连通的.当然这些事情我们早就知道了.作业：P127 123.较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些•我们先定义“道路”.定义4.5.1 设X是一个拓扑空间•从单位闭区间[0,1] -X的每一个连续映射f:[0 , 1] -X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点•当x = f (0)和y = f (1)时，称f是X中从x到y的一条道路•起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点(也是它的终点)称为闭路的基点.如果f是X中的一条道路，则道路f的象集f([0 ,1])称为X中的一条曲线或弧，并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终占八、、・或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念.定义4.5.2 设X是一个拓扑空间•如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路(或曲线)，我们则称X是一个道路连通空间.X中的一个子集丫称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间.(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系)实数空间R是道路连通的.这是因为如果x ,y€ R,则连续映射f:[0 ,1] -R 定义为对于任何t € [0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的.定理4.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间.证明对于任何x, y€ X,由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f：[0，I] -X这时曲线f ([0,1])，作为连通空间[0,1]在连续映射下的象，是X中的一个连通子集，并且我们有x，y€ f ([0，1]) •因此根据定理4.1.7 可见X是一个连通空间.连通空间可以不是道路连通的•我们已经指出例4. 4. I中的〕是一个连通空间•不难证明(留作习题，见习题第3题)它不是道路连通的.道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了.定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X -Y是一个连续映射.则f (X)是道路连通的.证明设'r| " . . ' I 1 .… 由于X是道路连通的,故X中有从二到二的一条道路g: [0，1] -X.易见，映射h: [0，1] -f(X)，定义为对于任意t € [0，1]有h (t) =f ：g (t)，是f (X)中从「到l的一条道路•这证明f (X )是道路连通的.根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个 可商性质.定理4.5.3 设-、一_•-=是n 》l 个道路连通空间.则积空间证明 我们只需要对n = 2的情形加以证明.设■ ■'： ' ■- - - 对于i=l , 2,由于…是道路连通空间,故在…中有从［到I 的一条道路，：：［0 , 1］ 一…•定义映射f : ［0 , 1］— X 皿，使得对于任何t € ［0 , l ］有f (t )=(.容易验证 (应用定理327 )f 是连续的，并且有f(0)=x,f(1)=y •这也就是说f 是■: ■ j 中从x 到y 的一条道路.这证明二「X 是一个道路连通空间.作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：n 维欧氏空间T 是一个道路 连通空间.(这个结论也容易直接验证.)为了今后的需要我们证明以下引理，定理4.5.4［粘结引理］设A 和B 是拓扑空间X 中的两个开集(闭集)， 并且有X = A U B.又设Y 是一个拓扑空间，< :A —Y 和I : B —Y 是两个连续映射，满足条件： /1 Zi Li定义映射f:X —Y 使得对于任何x € X ,MW xeZf (x 「J-二也是道路连通空间.则f是一个连续映射.证明首先注意，由于-3 ，映射f的定义是确切的.因为当x€A PB 时, 有加心⑴.其次，我们有：对于丫的任何一个子集Z有厂⑵忧(Z)皿(Z)这是由于厂c厂「「门-现在设U是Y的一个开集•由于】「1都连续，所以1—1 I分别是A和B的开集•然而A和B都是X的开集，所以仙啟) 也都是X的开集•因此厂二「亠-：是X的一个开集•这便证明了f是一个连续映射.当A和B都是X的闭集时，证明是完全类似的.我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念.定义4.5.3 设X是一个拓扑空间，x, y€ X.如果X中有一条从x到y 的道路，我们则称点x和y是道路连通的.(注意：是“点”道路连通)根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，贝U(1)x和x道路连通；(因为取常值的映射f: [0 ，1] -X(它必然是连续的)便是一条从x到x的道路•)(2)如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:[0 ，1] -X是X中从x到y的一条道路•定义映射j : [0,1] -X,使得对于任何t € [0,1]有j (t )= f (1 -1) •容易验证j是一条从y到x的道路.)(3)如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通.(设】：：[0，1] -X分别是X中从x到y和从y到z的道路•定义映射f:[0，1] -X使得对于任何t € [0，l]，fE fe[0,l/2]恥T)£E[H2」]。
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点集拓扑学习体会
拓扑学是把那些很朴素但又很基本的图形的集和直观性质，进行数学化的结果。
在漫长的历史过程中，人们用很多种数学方法来表达这种几何图形的直观性质，直到康托提出了集合论之后，以集合论为基础，配之以映射概念，拓扑学有了根本性的发展。
从欧拉的七桥问题，地图着色问题，Jordan曲线定理：平面上简单闭曲线将平面分成两部分。
高斯研究扭结和二重积分的联系等是当时研究的一些孤立问题，而后成为拓扑学的有关问题。
再到黎曼发现了多值函数解析函数可转化为闭曲面上的单值函数，并得出闭曲面的拓扑分类。
拓扑学都有着很深刻的发展。
拓扑学是几何学的分支,且是与欧氏几何不同的分支。
研究对象是一般的几何图形（拓扑空间），即研究几何图形的拓扑性质，而且对应的欧氏几何图形在正交变换下的不变性和不变量。
拓扑学研究更一般的图形在弹性变形下的不变性和不变量，在而在近代拓扑学发展为几个重要的分支：点集拓扑；代数拓扑；微分拓扑；几何拓扑。
当然我们所学的是点集拓扑学。
何为点集拓扑？既是数学的拓扑学的一个分支，它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质（这些是在学习点集拓扑的第一次课的内容）。
这些内容充分的给我们这些学生一个整体结构，让我们对于拓扑学产生深刻的印象和兴趣，因此我们虽然还未深入拓扑学就已经被它的、吸引住了。
然后，对于拓扑学的更深入学习，发现其中里面有很多内容在以前的学习都已经学习过，里面的很多定义定理在以前学习的课程中都有，虽然叙述方式不一样，但其中内容是一致的，而且有些内容会在学习《实变函数》中有着具体的应用和阐述证明。
这充分的说明点集拓扑在对于高等数学的融入和镶嵌有着很深的影响。
点集拓扑学不同于数学专业的其他课程，如数学分析、高等代数、微分方程等课程，几乎没有计算之类的内容，逻辑性强，内容抽象；而且基本概念是比较多的，对于学习者是比较困难的，在教材里，介绍了一些概念之后，接着是一连串的定理及冗长的证明，例子少，教材中出现的例子也比较抽象。
不过老师在课上把基本概念和以前学过的基本概念和实例相联系区别。
在教学中渗透一些具体的实例，这样激发我们的学习兴趣，有利于学生对基本概念方法和原理的理解，使得基本的概念不显得空洞，有声有色。
点集拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学、自然科学以及社会科学的许多领域，并且有了日益重要的应用，因此学习点集拓扑学的基本知识，不仅是为了学习现代数学提供必要的基础知识，而且能从较高观点去观察、分析数学各科的内容，加深对这些内容的认识和理解。
由于拓扑的一些基本概念对于初学者来说是比较抽象的，因此有必要结合线性空间及数学分析的一些原理进行区别与联系，从而起到事半功倍的效果。
另外把，点集拓扑学实用性更明显的一些，微积分，方程，图论等等联系起来的话，学习者感到更踏实一些。
还有数学这种东西数学这种东西也是分流派，用不同的方法来学习数学，所形成的“气场”也是完全不同的，如果你被动的陷入无尽的题海中，而且工作之后，毕业不了几年，大部分的数学知识都会遗忘，并且会被你定义为一无是处，毫无用途。
总之，虽然点集拓扑学作为本科阶段的一门专业课程，由于它的高度抽象性，学习起来比较困难，但还是应该努力学习。