因式分解讲解

因式分解是这学期期中考试和期末考试的重点，也是初二学分式，初三学一元二次方程及二次函数的基础，所以一定要掌握好。

因式分解的方法与技巧

一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解 3242

2+++-b a b a

解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），

则32422+++-b a b a =)12()44(14242222+--++=-+++-b b a a b a b a =)3)(1()1()2(22+-++=--+b a b a b a

例2、因式分解 611623+++x x x

解析：根据多项式的特点,把26x 拆成2

242x x +；把x 11拆成x x 38+

则611623+++x x x =)63()84()2(223+++++x x x x x =)3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(22+++=+++=+++++x x x x x x x x x x x

二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解444y x +

解析：根据多项式的特点,在444y x +中添上22224,4y x y x -两项，

则444y x +=2222224224)2()2(4)44(xy y x y x y y x x -+=-++

=)22)(22(2222y xy x y xy x +-++

例4、因式分解 432

3+-x x

解析：根据多项式的特点，将23x -拆成224x x +-，再添上x x 4,4-两项，则 4323+-x x =4444223+-++-x x x x x

=)1)(44()44()44(222++-=+-++-x x x x x x x x

=2)2)(1(-+x x

三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例5、因式分解24)6)(43(2

2+---+x x x x

解析：24)6)(43(22+---+x x x x =24)3)(2)(4)(1(+-++-x x x x

=24)12)(2(24)4)(3)(2)(1(22+-+-+=++-+-x x x x x x x x

设22-+=x x y ，则10122-=-+y x x

于是，原式= )62)(42()6)(4(241024)10(222--+--+=--=+-=+-x x x x y y y y y y =)8)(3)(2()8)(6(222-++-=-+-+x x x x x x x x

例6、因式分解2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x

解析：设n xy m y x ==+,，则

2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x =2)1()2)(2(-+--n m n m

=1)(2)(1222222+---=++-+-n m n m n m n mn m

=[]22222)1()1()1)(1()1()1(--=--=--+=--y x y x xy y x n m

四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

例7、因式分解 )()(2

222n m xy y x mn +++

解析：将多项式展开再重新组合，分组分解

)()(2222n m xy y x mn +++=2222xyn xym mny mnx +++

=))(()()()()(2222ny mx my nx my nx ny my nx mx xyn mny xym mnx ++=+++=+++

例8、因式分解 22)()(my nx ny mx -++

解析：22)()(my nx ny mx -++=2222222222y m mnxy x n y n mnxy x m +-+++

=)()()()(22222222222222n m y n m x y n y m x n x m +++=+++

=))((2222y x n m ++

五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

例9、因式分解xy x y x x x 2232

234-++-

解析：将多项式以y 为主元，进行整理 xy x y x x x 2232234-++-=)23()2(2342x x x y x x +-+-

=))(2()1)(2()2(22y x x x x x x x y x x +--=--+-

例10、因式分解abc bc c b ac c a ab b a 2222222++++++

解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a 为主元进行整理

abc bc c b ac c a ab b a 2222222++++++

=)()2()(222c b bc c bc b a c b a ++++++

=)()()(22c b bc c b a c b a +++++

=))((])()[(22bc ac ab a c b bc c b a a c b ++++=++++

=))()(()]()()[(c b c a b a b a c b a a c b +++=++++

从以上几例可以看出，因式分解题型众多，方法灵活，有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维，有效地激发学生的学习兴趣。

巧用提公因式解题

提公因式法是分解因式的基本方法，借助提公因式法可解决许多有关的题目，一起看看.

一、利用提公因式简化计算

例1 计算：0.23×255+3.65×23-2.3×27.5+0.23×655.

分析：观察算式含有小数，分别计算有效麻烦，如果能将算式适当变形可得到各项都有公因数0.23，可将0.23提出，简化运算.

解：0.23×255+3.65×23-2.3×27.5+0.23×655

=0.23×255+0.23×365-0.23×275+0.23×655

=0.23×（255+365-275+655）

=0.23×1000

=230.

二、利用提公因式变形求值

例2 已知a -b=-1，c-b=1，求a 2+b 2+c 2-a b-bc-a c 的值.

分析：本题若直接求出a ，b ，c 的值比较困难，若将要求值多项式重组，并提公因式，可采用整体代入法求值.

解：因为a -b=-1，c-b=1，所以a -c=-2，

所以a 2+b 2+c 2-a b-bc-a c=(a 2-a b)+(b 2-bc)+(c 2-a c)

=a (a -b)+b(b-c)+c(c-a )

=-a -b+2c

=c-a +c-b