高中数学-离散型随机变量的分布列
教师版第五单元第4讲 离散型随机变量的分布列（6课时） 一.基本理论
(一)基本概念
(1) 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示, 随机变量常用希腊字母ηξ,等表示. (2) 离散型随机变量:
如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.例如,射击命中环数ξ是一个离散型随机变量.
(3) 连续型随机变量
如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量. （二）离散型随机变量的分布列
1.设离散型随机变量ξ可能取的值为 ,,,21n x x x ,ξ取每一个值)4,3,2,1( =i x i 的概率
i i p x P ==)(ξ,则称下表
为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列.
分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式; (B)一组等式 (C)压缩为一个帶i 的形式.
2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质:
(A),3,2,1,0 =≥i p i (B)121=++ p p 3. 求分布列三种方法
(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；
(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列．
4..离散型随机变量的期望与方差
一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为
则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数.或均值.
+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的均方差.简称方
差.ξD 叫标准差.
性质: (1)22)()(ξξξE E D -= (2)b aE b a E +=+ξξ)( (3)ξξD a b a D 2)(=+
（三）几种常见的随机变量的分布 1.两点分布
如果随机变量X 的分布列为
其中0
2.二项分布
在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.若在一次试验中某事件发生的概率是P,则在n 次独立重复试验中
这个事件恰好发生k 次的概率是,,2,1,0,1,)(n k p q q p C k P k
n k k n
=-===-ξ 得到随机变量ξ的概率分布如下
称随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p),并记k
n k k n
q p C -=b(k;n,p) 3. 超几何分布
一般地,在含有M 件次品中的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{}X k =发
生的概率为(),0,1,2,3,,,k n k
M N M
n
N
C C P x k k m C --===
其中{}min ,,,,,,m M n n N
M N n M N N *=≤≤∈ (1)若ξ～(,
)g k p ，则1E p
ξ=
(2) 若ξ～(,)g k p ，则2
1p D p ξ-=
二.题型分析
题型1.由统计数据求离散型随机变量的分布列
题1. (2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数
分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数y 的分布列；
(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．
[审题视点] 本题解题的关键是求出Y 的取值及取每一个值的概率，注意用分布列的性质进行检验．
解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为 17,18,19,20,21，
P (Y ＝17)＝216＝18 P (Y ＝18)＝416＝14 P (Y ＝19)＝416＝14 P (Y ＝20)＝416＝14 P (Y ＝21)＝216＝1
8
则随机变量Y 的分布列是：
(2)由(1)知E (Y )＝178＋184＋194＋204＋21
8＝19， 设这名同学获得钱数为X 元，则X ＝10Y ， 则E (X )＝10E (Y )＝190.
题2. 【2012高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]． （1）求图中x 的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的
人数记为ξ，求ξ得数学期望．
【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。
【解析】
题型2 由古典概型求离散型随机变量的分布列 题3. （20XX 年韶关二模）有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望. （１）60
个
1×1×1
的小正方体中，没有涂上颜色的有
6
个，
61
(0)6010
P ξ==
= … （3分） （２）由（1）可知
1(0)10P ξ==
；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2
(3)15P ξ== … （7分）
分布列
10分）
E ξ=0×
110+1×1130+2×25+3×215=4730
…（12分） 题4. 【2012高考真题浙江理19】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ)求X 的分布列； (Ⅱ)求X 的数学期望E (X )．
【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有：3，4，5，6．
35395(3)42C P X C ===； 21
543920
(4)42C C P X C ===；
12543915(5)42C C P X C ===； 3
43
9
2
(6)42C P X C ===． 故，所求X 的分布列为
(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为： E (X )＝6
45105191()34564221142121
i i P X i =⋅==⨯
+⨯+⨯+⨯+=∑．
题型3. 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列
题5. 【2012高考真题重庆理17】
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为1
2
，且各次投篮互不影响.
（Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望 【答案】
题6.【2012高考真题全国卷理19】
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.
【答案】
题型4. 两点分布
题7. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
解析设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，则随机变量X的取值分别为50 000×12%＝6 000(元)，－50 000×50%＝－25 000(元)．由已知条件随机变量X的概率分布列是
因此E (X )＝6 000×2425＋(－25 000)×25＝4 760
答案 4 760 题型4.二项分布
题8. （广东省惠州市20XX 届高三第三次调研理科）
在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。
（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X 的数学期望EX 。
解：（1）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A , “蜜蜂落入第二实验区”为事件B .…1分 依题意，
()1111
342183S h V P A V S h ⋅⋅⋅===⋅圆锥底面圆锥小椎体圆椎体圆锥底面圆锥 ……………3分
∴ ()7()18P B P A =-= ∴ 蜜蜂落入第二实验区的概率为7
8
。 ……………4分
（2）记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C ，则 ………………5分
30109
1
102
708708187)(==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=C C P
∴ 恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率
30
70
2. …………………8分 （3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影
响的，所以变量X 满足二项分布，即X ～140,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
………………………10分 ∴随机变量X 的数学期望EX =40×
1
8
=5 ………………………12分 题9. （20XX 年茂名二模）在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植,,,A B C D 四棵风景树，受本地地理环境的影响，,A B
两棵树的成活的概率均为
1
2
，另外两棵树,C D 为进口树种，其成活概率都为(01)a a <<，设ξ表示最终成活的树的数量.
（1）若出现,A B 有且只有一颗成活的概率与,C D 都成活的概率相等，求a 的值； （2）求ξ的分布列（用a 表示）；
（3）若出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求a 的取值范围.
解：（1）由题意，得21
12(1)22a ⨯⨯-=，∴2
a =
. ………2分 （2）ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. ……3分
020
222211(0)(1)(1)(1)24p C C a a ξ==--=- …… …………4分
102021
22221111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2222
p C C a C C a a a ξ==--+--=- …………5分
2202110222
222222211111(2)()(1)(1)(1)(1)(122)22224
p C C a C C a a C C a a a ξ==-+--+-=+-
…………6分
2211222222111(3)()(1)(1)2222
a p C C a a C C a ξ==-+-= …………………………………………7分
2
22222
21(4)()24
a p C C a ξ===
…………………………………………8分 得ξ的分布列为： …………………………9分
ξ 0 1 2 3 4
p
21
(1)4a - 1
(1)2a - 21
(122)4a a +- 2a 2
4
a （3）由01a <<，显然2
1(1)4a -1(1)2a <-, 24a 2
a < ……………10分
∴(2)(1)p p ξξ=-==
21(122)4a a +-211
(1)(241)024a a a --=--+≥ …11分 (2)(3)p p ξξ=-==21(122)4a a +-21
(21)024
a a -=--≥ ……12分
由上述不等式解得a
a ≤≤……………………13分
题型5.超几何分布
题10. 某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了
活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X 名男同学.
（1）求X 的概率分布；
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率. 解 （1）X 的可能取值为0，1，2，3. 根据公式P （X =m ）=n M
m
n M
N m M C C C --算出其相应的概率，
即X 的概率分布为
（2）去执行任务的同学中有男有女的概率为 P （X =1）+P （X =2）=
5615+2815=56
45.
题型6. 离散型随机变量的均值和方差
题11. (2011·北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．
(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．
(注：方差s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2
]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均
数)
解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝35
4
；
方差为：s 2
＝14×[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116
.
(2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14；P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝1
8
.所以随机变量Y 的分布列为：
EY ＝17×P (Y ＝17)＋18×P (Y ＝18)＋19×P (Y ＝19)＋20×P (Y ＝20)＋21×P (Y ＝21)＝17×
18
＋18×14＋19×14＋20×14＋21×1
8
＝19.
题12. (2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：
且X 1的数学期望E (X 1)＝6(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3
4 6 3 4 7
5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5
6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：(1)产品的“性价比”＝
产品的等级系数的数学期望
产品的零售价
；
(2)“性价比”大的产品更具可购买性．
[审题视点] (1)利用分布列的性质P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1及E (X 1)＝6求a ，b 值．
(2)先求X 2的分布列，再求E (X 2)，(3)利用提示信息判断．
解 (1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2. 又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0.3，
b ＝0.2.
(2)由已知得，样本的频率分布表如下：
X 2的概率分布列如下：
所以
E (X 2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为6
6＝1.
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.8
4
＝1.2. 据此，乙厂的产品更具可购买性．
《离散型随机变量的分布列》作业 班次 姓名
1.一袋中装有编号为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出的最大号码. （1）求X 的概率分布； （2）求X ＞4的概率.
解 （1）X 的可能取值为3，4，5，6，从而有： P （X =3）=
36
33C C =
20
1
，
P （X =4）=
36
23
11C C C ⋅=
20
3
， P （X =5）=
36
24
11C C C ⋅=
10
3
， P （X =6）=
36
25
11C C C ⋅=2
1
.
故X
（2）P （X ＞4）=P （X =5）+P （X =6）=105103+=5
4
.
2.(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2
3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司
是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1
12，则随
机变量X 的数学期望E (X )＝________.
[审题视点] 分别求出随机变量X 取每一个值的概率，然后求其期望． 解析 由已知条件P (X ＝0)＝1
12
即(1－P )2
×13＝112，解得P ＝12，
随机变量X 的取值分别为0,1,2,3.
P (X ＝0)＝112
，
P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1－122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫
122＝1
3
，
P (X ＝2)＝2×2
3×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－12＋⎝
⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12
2＝
512
，
P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
2＝16
.
因此随机变量X 的分布列为
E (X )＝0×112
＋1×13
＋2×512
＋3×6＝3
.
答案 53
3. （广东省江门市20XX 届高三数学理科3月质量检测试题） 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
21
，乙每次击中目标的概率3
2， （I ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ； （II ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
4. 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数
学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数，求X 的概率分布. 解 依题意随机变量X 服从超几何分布， 所以P （X =k ）=
410
446C C C k k （k =0，1，2，3，4）.
4分
∴P （X =0）=
410
4406C C C =
210
1,P (X =1)= 410
3416C C C =
35
4,
P (X =2)= 4102426C C C =7
3,P (X =3)=
410
1436C C C =
21
8, P (X =4)=
410
04
46C C C =14
1, 9分
∴X
14分
5.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为1
7.现有甲、乙两人从袋中
轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X 表示取球终止时所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的分布列；(3)求甲取到白球的概率． [审题视点] 对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确． 解 (1)设袋中白球共有x 个，根据已知条件C 2
x C 27＝17，
即x 2
－x －6＝0，
解得x ＝3，或x ＝－2(舍去)．
(2)X 表示取球终止时所需要的次数，则X 的取值分别为：1,2，3,4,5. 因此，P (X ＝1)＝A 1
3A 17＝37，P (X ＝2)＝A 14A 1
3A 27＝2
7，
P (X ＝3)＝A 24A 1
3A 37＝635，P (X ＝4)＝A 34A 1
3A 47＝3
35，
P (X ＝5)＝A 44A 13A 57＝1
35.
则随机变量X 的分布列为：
(3)甲取到白球的概率为P ＝3A 17＋43A 37＋43A 57＝7＋35＋35＝35
.
6. (2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工
资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令
X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望．
解 (1)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4， P (X ＝i )＝C i 4C 4－i
4
C 48(i ＝0,1,2,3,4)，
则
(2)令Y 500，则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170
，
P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835
， P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370
，
E (Y )＝3 500×170＋2 800×1670＋2 100×5370
＝2 280，
所以此员工月工资的期望为2 280元．
7. （2008·湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号. （1）求ξ的概率分布、期望和方差；
（2）若η=a ξ +b ,E (η)=1,D (η)=11,试求a ,b 的值. 解 （1）ξ的概率分布为
∴E (ξ)=0×2
1+1×
201+2×101+3×203+4×5
1
=1.5. D (ξ)=(0-1.5)2
×21+(1-1.5)2
×
201+(2-1.5)2×101+(3-1.5)2×20
3+(4-1.5)2
×51=2.75. (2)由D (η)=a 2
V (ξ),得a 2
×2.75=11,即a =±2.
又E (η)=aE (ξ)+b ,
所以当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2. 当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4. ∴⎩⎨
⎧-==,2,2b a 或⎩⎨⎧=-=4
2
b a 即为所求.
8.【2012高考真题湖南理17某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工
（Ⅰ）确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）
【答案】（1）由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得
153303251
(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X ==
======= 201101
( 2.5),(3).100510010
p X p X ======
X 的分布为
X 的数学期望为 33111
()1 1.52 2.53 1.920104510
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则
121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且. 由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以
121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=( 333333920202010102080
=
⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980
.
高中数学--离散型随机变量及其分布列
高中数学--离散型随机变量及其分布列 1．若随机变量X 的概率分布列为 且p 1＝1 2p 2，则p 1等于( ) A.1 2 B.1 3 C.14 D.16 【解析】 由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝1 3. 【答案】 B 2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i 2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( ) A.19 .16 C.13 D.14 【解析】 ∵12a ＋22a ＋3 2a ＝1，∴a ＝3， P (X ＝2)＝22×3＝1 3. 【答案】 C 3．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( ) A ．25 B ．10 C ．7 D ．6 【解析】 X 的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9. 【答案】 C 4．随机变量X 的分布列如下： 其中a ，b ，c
【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝1 3，∴P (|X |＝1) ＝a ＋c ＝2 3 . 【答案】 2 3 5．(2012·安徽高考)某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类试题的数量． (1)求X ＝n ＋2的概率； (2)设m ＝n ，求X 的分布列． 【解】 (1)X ＝n ＋2表示两次调题均为A 类型试题，概率为n m ＋n ×n ＋1m ＋n ＋2 ＝n (n ＋1) (m ＋n )(m ＋n ＋2) . (2)m ＝n 时，每次调用的是A 类型试题的概率为P ＝1 2，随机变量X 可取n ，n ＋1，n ＋ 2. P (X ＝n )＝(1－p )2＝1 4， P (X ＝n ＋1)＝2p (1－p )＝1 2 ， P (X ＝n ＋2)＝p 2＝1 4，所以X 的分布列为 课时作业 【考点排查表】
高中数学知识点总结及公式：离散型随机变量的分布列
高中数学知识点总结及公式：离散型随机变量的分布列>常用公式 1.离敢型随机变量的分布列的性质土 (O Pi > Or 0. 4.如果事件眉一生，…「山就互相独立"那么讴个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 卩(久门彼门…PM』=P(A) P(4Q ? P(A n) “ N如果在一次试验中事件4发生的概率是戸那么在加吹独立重复试 验中事件?1恰好发生花次的概率： P n (fc) = C^p ft (1 - p)n-ft (fc = Q7 1, 2,…，n). 6?离散型随机变量X的均值或数学期 EQO =扫巧 + x 佃+ …+ x rt p n(p i+ 宀+ …+ % = 1). 特别地二 Q)若*服从两点分布，贝fjE(X)-p (2)^X-B(n f p),则E(X} = xp (3)E(aX ± b) = aE(X) ± b 7.离散型随机变量X的方差！
D(X)=站一EC?)]% + [x2一E(Z)hi + …+ 必一E(Z)]%?
特别地2 (1)若X服从两点分布，则D(JQ = p(l - p) (2)若X~B(m p),则D(X) = np(l-p) (3)D(aX + &) = a2D(X) 8.正态变量概率密度曲线的函数表达式， i _d)2 fM = V^e 2ff2 , %GR, 其中“，CT是参数，且CT > 0, —OO < fl <十8,式中“和CT分别是正态变量的数学期望和标准差.期望为如标准差为(J的正态分布通常记作N(/l，。2). 当“ =0,(7=1时，正态总体称为标准正态分布：记作N(0, 1). 标准正态分布的函数表示式是 /(x) = -7= e~T, r e R.
高三数学考点-离散型随机变量及其分布列
10．6离散型随机变量及其分布列 1．离散型随机变量的概念 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量 所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 (1)分布列 设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i)＝p i，则称表 为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性质 ①________________________； ②________________________. 3．常用的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布) 随机变量X的分布列为(0 机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________． 自查自纠 1．(1)随机变量(2)一一列出 2．(1)概率分布列 (2)①p i≥0，i＝1，2，3，…，n② i＝1 n p i＝1 3．(1)1－p(2)C k n p k q n－k C k n p k q n－k X～B(n，p) (3) C k M C n－k N－M C n N超几何分布 某射手射击所得环数X的分布列为 X45678910 P0.020.040.060.090.280.290.22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为() A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51 解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.故选C. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于 C47C68 C1015的是() A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解：X服从超几何分布P(X＝k)＝ C k7C10－k 8 C1015，故k＝4.故选C. 随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为() A. 1 110 B. 1 55C．110 D．55 解：因为随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，所以a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，则55a＝1，即a＝ 1 55.故选B. 已知X的分布列为 X－101 P 1 2 1 6a 设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________． 学而思高中完整讲义：随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量 及其分布列1.学生版 1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值 x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示： X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布． 两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --== (0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ， n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 知识内容 第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 【学习目标】 1．了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布． 2．会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题． 3．理解超几何分布、二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变量的分布列、期望与方差转化化归为二项分布求解． 【知识要点】 1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示． (2)离散型随机变量 对于随机变量可能取到的值，可以按一定顺序一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量． (3)分布列 设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，而每一个值的概率为P(X＝x i)＝p i (i＝1，2，…，n)． 则称表 为随机变量X的概率分布列． (4)分布列的两个性质 ①0≤p i≤1，i＝1，2，…，n. ②p1＋p2＋…＋p n＝1． 2．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 (其中0 离散型随机变量的分布列 一、基本知识概要： 1. 随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作ηξ,； 说明：若ξ是随机变量，b a +=ξη，其中b a ,是常数，则η也是随机变量。 2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出 连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。 说明：①分类依据：按离散取值还是连续取值。 ②离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、稳定性等。 3. 离散型随机变量的分布列： 设离散型随机变量ξ可能取的值为??????,,,,21i x x x ，且i i p x P ==)(ξ，则 称为随机变量ξ的分布列。 离散型随机变量的分布列的两个性质： ①0)(≥==i i p x P ξ；②121=???++p p 求解离散型随机变量的分布列的两个步骤： ①确定该随机变量所有可能的取值；②分别计算相应的概率。 4. 二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0，1， 2，3，…，n ，并且k n k k n q p C k P -==)(ξ（其中k=0,1,2,…,n ，p+q=1）,称这样的随机变量ξ服从参数 为n 和p 的二项分布，记作：),(~p n B ξ。 注意：要理解二项分布的实质，善于在实际问题中看出随机变量服从二项分布。 二、例题： 例1：在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1） 不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2） 放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列。 剖析：随机变量ξ可以0，1，2，η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析。 解：（1）,151 )2(,157)1(,157)0(3 10 2218310281231038=========C C C P C C C P C C P ξξξ 所以ξ的分布列为 （2）)3,2,1,0(2.08.0)(38=??==-k C k P k k k η，所以η的分布列为 第六节 离散型随机变量及其分布列 一、基础知识 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列.有时也用等式P X ＝x i ＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1n p i ＝1. 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 X 0 1 P 1－p p 若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称X 服从两点分布❸，并称p ＝P X ＝1 为成功概率. (2)超几何分布列 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ， k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. X 0 1 … m P C 0M C n － N －M C n N C 1M C n － 1 N －M C n N … C m M C n － m N －M C n N . 若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量． 表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率． 两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1. 离散型随机变量及其分布列 [考纲传真]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 【知识通关】 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下： P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性质 ①p i≥0，i＝1,2,3，…，n； ②∑ n i＝1 p i＝1. 3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次 品，则P(X＝k)＝C k M C n－k N－M C n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布． 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.() (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．() (3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．() 布．() [答案](1)×(2)√(3)×(4)√ 2．投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是() A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 D．以上答案都不对 C 3．设随机变量X的分布列如下： A.1 6B. 1 3 C.1 4D. 1 12 C 4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 10 5．在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X的分布列为________． P(X＝k)＝C k3·C4－k 7 C410，k＝0,1,2,3 离散型随机变量的分布列 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示. 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量. 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出. 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量. 并且不改变其属性（离散型、连续型） . 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 . 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0 ≤≤A P ，并且不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 .即 ⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ . 3.两点分布列: 例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 ⎧⎨ ⎩1，针尖向上； X =0,针尖向下. 如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列． 解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是 ． 两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率． 两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布． ()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ， 10< 高三数学第三册第一章知识点：离散型随机变量 的分布列 随机取值的变量确实是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量。小编预备了高三数学第三册第一章知识点，具体请看以下内容。 一、离散型随机变量的分布列汇总 1.离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 假如随机试验的结果能够用一个变量来表示，那么如此的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，等表示. (2)离散型随机变量 关于随机变量可能取的值，能够按一定次序一一列出，如此的随机变量叫做离散型随机变量. (3)分布列 设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，，xi，xn，X取每一个值x i(i=1,2，，n)的概率为P(X=xi)=pi，则称表 Xx1x2?xi?xnPp1p2?pi?pn 为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列. (4)分布列的两个性质 ①pi0，i=1,2，，n;②p1+p2++pn=_1_. 2.两点分布 假如随机变量X的分布列为 X10Ppq 其中01，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．注意： 一类表格 统计确实是通过采集数据，用图表或其他方法去处理数据，利用一些重要的特点数信息进行评估并做出决策，而离散型随机变量的分布列确实是进行数据处理的一种表格.第一行数据是随机变量的取值，把试验的所有 结果进行分类，分为若干个事件，随机变量的取值，确实是这些事件的代码;第二行数据是第一行数据代表事件的概率，利用离散型随机变量的分布列，专门容易求出其期望和方差等特点值. 两条性质 (1)第二行数据中的数都在(0,1)内; (2)第二行所有数的和等于1. 三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列; (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列; (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列. 二、例题解析 1.抛掷平均硬币一次，随机变量为(). A.显现正面的次数 B.显现正面或反面的次数 C.掷硬币的次数 D.显现正、反面次数之和 解析抛掷平均硬币一次显现正面的次数为0或1. 答案A 2.假如X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是(). A.X取每个可能值的概率是非负实数 B.X取所有可能值的概率之和为1 C.X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 D.X在某一范畴内取值的概率大于它取那个范畴内各个值的概率之和 答案D 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。现在体会，“教师”的含义比之“老 理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列 知识点一 1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,x h g g g 表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。 2、离散型随机变量的分布列及其性质： （1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x g g g g g g X 取每一个值(1,2,,)i x i n =g g g 的概率为()i i P X x p ==，则表 称为离散型随机变量离散型随机变量X ，简称X 的分布列。 （2）分布列的性质：①0,1,2,,i p i n ?g g g ；②11n i i p ==å （3）常见离散型随机变量的分布列： ①两点分布：若随机变量X 的分布列为, 则称X 服从两点分布，并称(1)p P x ==为成功概率 ②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()(0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --===g g g g 其中m i n {,m M n =，且* ,,,,)n N M N n M N N ＃?,称分布列为超几何分布列。如果随机变量X 的分布列 题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列 【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( ) A. 5 【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是________． 题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布） 【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1) 该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列． 2.1.2 离散型随机变量的分布列 知识点 离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列的概念 一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值 x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格形式表示为： X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 称上表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．用等式可表示为□01P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n ，离散型随机变量分布列还可以用□ 02图象法表示． 2．离散型随机变量的性质 (1)□03p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；(2)□ 04∑n i ＝1 p i ＝1. 知识点 两点分布 (1)形式与定义 X 0 1 P 1－p p 如果随机变量X 的分布列为上述形式，就称X 服从两点分布． (2)称p ＝P (X ＝1)为□ 01成功概率． (3)两点分布又称□020－1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为□ 03伯努利分布． 知识点 超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰好有X 件次品，则P (X ＝k ) ＝□01C k M C n －k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，此时称 分布列： X 0 1 … m P C 0M C n －0 N －M C n N C 1M C n －1 N －M C n N … □02C m M C n －m N －M C n N 离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值 x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 的概率分布列，简称为的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ； （1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P （X ＝x i ）＝p i ，i ＝1，2，…，n 和图象表示. （2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况. 2．两个特殊分布 (1)两点分布 X 0 1 P 1－p p 若随机变量X p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N ， k ＝0，1，2，…，m ， 即 X 01…m P C0M C n－0 N－M C n N C1M C n－1 N－M C n N … C m M C n－m N－M C n N 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M，N，n. (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( ) (3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( ) (4)超几何分布的模型是放回抽样．( ) 答案：(1)×(2)×(3)√(4)× 下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( ) A. ξ－10 1 P 0.30.40.4 B. ξ12 3 P 0.40.7－0.1 C. ξ－10 1 P 0.30.40.3 D. ξ12 3 P 0.30.10.4 答案：C 离散型随机变量及其分布列 一随机变量的概念及分类 1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 注意点： 离散型随机变量的特征： (1)可以用数值表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； (3)试验结果能一一列出． 二离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1x2…x n P p1p2…p n 离散型随机变量的分布列的性质： (1)p i≥0，i＝1,2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋p n＝1. 2．对于只有两个可能结果的随机试验，用A 表示“成功”，A 表示“失败”，定义X ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，A 发生，0，A 发生. 如果P(A)＝p ，则P(A )＝1－p ，那么X 的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X 服从两点分布或0－1分布． 注意点： 随机变量X 只取0和1，才是两点分布，否则不是． 三 分布列的性质及应用 分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 随机变量的分布列 一、【考点系统归纳】 1.离散型随机变量——如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的概率分布（离散型随机变量的分布列） X 1x 2x ⋯ i x ⋯ n x P 1p 2p ⋯ i p ⋯ n p 离散型随机变量的分布列的性质： （1）；，，，，n i p i ⋯=≥321,0 （2）121=⋯++n p p p . 3.离散型随机变量的期望与方差： (1)期望: =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ 的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有 =1p =2p …n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 (2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝12 1)(p E x ⋅-ξ＋22 2)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 4.几种分布列： （1）二点分布： 其中p q p -=<<1,10，则称离散型随机变量的X 服从参数为p 的二点分布. 举例：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得一分，不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中得概率为0.8，则他罚球一次的得分的分布列为随机变量X 服从参数p 的二项分布. 二点分布的期望与方差：期望p X E = )(,方差)1()(p q pq X D -==. (2).超几何分布： 设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率P (X ＝m )＝ C M m C N －M n －m C N n (0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小 的一个)，称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．超 X 1 0 P p q 教师版第五单元第4讲 离散型随机变量的分布列（6课时） 一.基本理论 (一)基本概念 (1) 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示, 随机变量常用希腊字母ηξ,等表示. (2) 离散型随机变量: 如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.例如,射击命中环数ξ是一个离散型随机变量. (3) 连续型随机变量 如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量. （二）离散型随机变量的分布列 1.设离散型随机变量ξ可能取的值为 ,,,21n x x x ,ξ取每一个值)4,3,2,1( =i x i 的概率 i i p x P ==)(ξ,则称下表 为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列. 分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式; (B)一组等式 (C)压缩为一个帶i 的形式. 2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质: (A),3,2,1,0 =≥i p i (B)121=++ p p 3. 求分布列三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列． 4..离散型随机变量的期望与方差 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为 则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数.或均值. +-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的均方差.简称方 差.ξD 叫标准差. 性质: (1)22)()(ξξξE E D -= (2)b aE b a E +=+ξξ)( (3)ξξD a b a D 2)(=+ （三）几种常见的随机变量的分布 1.两点分布 如果随机变量X 的分布列为 其中0 2021届高考数学（理）考点复习 离散型随机变量的分布列、均值与方差 1．离散型随机变量的分布列 (1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量． (2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② i ＝1n p i ＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0 取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝∑i ＝1n (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度， 并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 4．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 5．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N (k ＝0,1,2，…，m )，即 X 0 1 … m P C 0M C n － N －M C n N C 1M C n － 1 N －M C n N … C m M C n － m N －M C n N 其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. 如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 1．（2019•浙江）设0＜a ＜1．随机变量X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当a 在（0，1）内增大时，（ ） A ．D （X ）增大 B ．D （X ）减小 C ． D （X ）先增大后减小 D ．D （X ）先减小后增大 【答案】D 【解析】E （X ）＝0a 1， D （X ）＝（ ）2 （a ）2 （1 ）2高中数学 随机变量及其分布列 版块一 离散型随机变量及其分布列1完整讲义(学生版)
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高中数学知识点总结(第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第六节 离散型随机变量及其分布列)
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高中数学 4离散型随机变量的分布列(带答案)
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