数学分析中的化归法

数学分析中的化归法
目录
摘要 (1)
Abstract (1)
1. 绪论 (2)
1.1 化归法的背景 (2)
2. 详谈化归法 (3)
2.1 化归法的分类 (3)
2.2 常见的化归方法及化归思想 (3)
2.2.1 化归的方法 (3)
2.2.2 化归的思想 (4)
2.3 化归法的原则 (5)
2.3.1 化归的方向与一般模式 (5)
2.3.2 化归法的原则 (5)
3. 数学分析中的化归 (6)
3.1 化归思想在数学分析中的显化 (6)
3.2化归法在数学分析解题中的体现 (12)
3.2.1 在极限中的体现 (12)
3.2.2 在微分中的体现 (15)
3.2.3 在积分中的体现... .. (16)
3.2.4 在级数中的体现 (22)
3.3如何在数学分析的学习中培养化归意识 (24)
4.小结 (25)
参考文献 (26)
致谢 (27)
数学分析中的化归法
摘要：化归法是数学中常用的一种研究和解决数学问题的方法，有着重要的作用和意义。

何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的的意思。

化归法主要是将一些不熟悉和未解觉的问题通过各种转化，变成我们已经熟悉和解决的问题或是容易解决的问题，从而达到证明和求解的目的，它是解决难题的有效途径；数学分析是一门内容复杂的课程，主要研究极限、导数、积分、级数等内容。

化归法自始至终都渗透在数学分析教材中,因为数学分析所研究得对象是函数，而研究函数的方法是极限，在数学分析中所有的概念几乎都离不开极限，而极限是为了使一些实际问题的求解更精确而产生的，在求这些实际问题的过程中都运用到了化归法。

化归法在数学分析中有着广泛的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。

关键词：化归；化归法；数学分析；化归法的应用
中图分类号：O1-0
The reduction method of mathematical analysis
Abstract: Reduction method is a common method of researching and solving the mathematics problems which plays an important role and has big significance. What is “reduction”, it can be literally understood as the transformation and resolution. In order to achieve the purpose of proving and solving, reduction is mainly to transform some unfamiliar and unsolved problems into familiar and solved problems or the problem which is easy to solve, it is an effective approach of solving the difficult problems. Mathematical analysis is a complex course, mainly studies the limit, derivative, integral, series etc. Reduction method always infiltrates in teaching of mathematical analysis, because the research object of mathematical analysis is the function, and studies on the function of the method is the limit, in the mathematical analysis, all the concepts are almost inseparable from the limit, and the existence of limit is to make some resolutions of practical problem more precise, the reduction method is used in the process of solving the practical problem. Reduction has a wide range of applications in mathematical analysis; a lot of problems can be solved by the reduction.
Key words: Reduction; Reduction method; Mathematical analysis; The application of reduction method
1 绪论
数学问题的解决往往有很多的方式、方法，在这些方式、方法中有一个共同的特点，就是化归。

在学术界有一个这样的故事，也许这个故事更能体现化归的思维特点。

有人提出了这样的一个问题：“假设在你的面前有水龙头、火柴、煤气灶、和水壶，你想烧一些水，应该怎么做呢？”对此，有人这样回答：“把水壶里灌上水，点燃煤气灶，然后把水壶放在煤气灶上。

”提问者对这一回答给予肯定。

接着，提问者又问到：“假如现在水壶里盛满了水，其他的条件都没有变化，又该如何做呢？”此时被提问者会很有自信的回答道：“直接点燃煤气灶，然后再把水壶放在煤气灶上即可。

”这个答案会使人比较容易接受，但提问者指出：“这个答案不能使我感到满意，因为只有物理学家才会这样做，而数学家则会把水壶里的水倒掉并说我已经把这个问题转化为第一个已经解决的问题了。

”在这个故事中也包含着这样一层意思：即化归法是数学家们所常用的一种方法。

化归法是数学研究中的一种重要的技能和方法，它就是把有待解决和未解决的问题通过各种转化、归结到一类已经解决的或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题之解的方法。

目前，随着数学科学发展至今，化归法逐渐走向成熟，渗入到数学的各个领域中，化归法也有着广泛的应用。

本篇论文将主要阐述化归法在数学分析中的应用，在数学分析中有很多的问题都可以用化归的思想来解决。

1.1 化归法的背景
对化归法的研究有着漫长的经历，这要从费尔玛大定理的证明谈起。

1637年费尔玛留下了著名的费尔玛猜想，在此后的几百年时间里，众多著名的数学家对此进行了漫长的证明求解过程，主要分为三次重大的突破；第一次重大突破是1857年，德国数学接库麦尔引入分圆数和理想数，开创了分圆数和理想数的数学分支；第二次重大突破是1983年，德国29岁的青年数学家G.法尔廷斯利用法国数学家A.格罗腾迪克建立的概型理论证明了莫德尔猜想，还解决了泰特猜想和沙发列维奇猜想；第三次重大突破是费尔玛大定理的完全获证，即1993年英国青年数学家A.怀尔斯通过证明谷山-韦恩-志村猜想而获得费尔玛大定理的全证；从上面的论述可以看出，费尔玛大定理的完全获证，是数学家们前赴后继，艰苦卓绝地运用了各种转化方法和转化思想才得到的，而这种转化的方法就是化归法在数学研究中的具体运用。

2 详谈化归法
化归思想是数学中最重要、最基本的一种思想方法，是数学思想方法的灵魂。

何谓“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的意思；具体来说就是将实际中解决问题的一些复杂的方法转化为简单方法，是将我们有待解决或未能解决的问题通过各种转化，最终变成我们容易解决和已经的问题和方法，从而达到证明和求解的目的。

在学习中化归思想无处不在，它是分析问题和解决问题的有效途径。

2.1 化归法的分类
1.按照化归方法应用范围来分，可以分为外部的化归方法和内部的化归方法。

外部的化归方法是指把实际的问题转化为数学中的问题；内部的化归方法则是指将某一类数学问题转化为另外一类数学问题。

2.按照化归方法解决问题性质来分，可以分为计算中的化归方法和论证中的化归方法以及建立新的学科体系中的化归方法等等。

3.按照化归方法应用广度来分，可以分为多维的化归方法和二维的化归方法以及广义的化归方法。

多维的化归方法是指跨越多种数学分支，广泛的适用于各种学科系统的化归方法，例如变量代换法、坐标变换法、参数变换法、映射法、待定系数法、分解与组合法、反证法都属于多维的化归方法；二维的化归方法是指联接两个不同的数学分支的化归方法，例如解析法、坐标法、代数法等；广义的化归方法是指超出数学范围的化归方法，例如数学模型方法、反证法等。

2.2常见的化归方法及化归思想
1. 化归的方法
化归的方法也就是规范化的手段、措施以及技术。

化归方法包含三个基本要素：化归的对象、目标、途径。

化归的对象就是把什么问题进行化归，化归的目标就是把问题化归到何处去，化归的途径就是如何对问题进行化归（也就是化归的方法）。

例如在求解有理函数的积分时一般的方法是先化为部分的分式求解。

在这里被积的有理函数就是化归的对象，部分的分式就是化归的目标，而把有理函数表示成部分分式之和时所用的待定系数法就是化归的方法。

在化归的三个要素中，化归途径是实现化归的关键，这是很显然的。

常见的化归方法主要有分割法、求变法、映射法、极端化法。

分割法就是把一个要解决的问题分割为若干个有逻辑关系、较简单、较熟悉的小问题，然后对这些小问题进行逐一求解的方法。

求变法是化归方法的重要方法之一，包括恒等变形法、放缩变形法、参数变形法、换元变形法。

恒等变形法是把一个解析式变换成另一个与它恒等的式子，通过求得恒等式子的解来得到原问题的解的方法；放缩变形法是指在解决某些数学题时，例如在不等式的证明中，往往会通过放大或缩小的形式从而达到化归目的的方法；参数变形法是指利用参数和题中各个量之间的联系，因而通过讨论参数的变化来求得原问题的解的方法；换元变形法是指通过把题目中某些量用另一个形式相对简单的量来代替，使之更容易发现关系，是一种用处十分广泛的方法。

映射法也就是关系映射反演方法，简称RMI方法。

所谓映射就是在两个数学集合的元素之间去建立某种对应关系。

使用映射法解题的过程是：首先通过映射把原来的问题转化为问题1，然后求得问题1的解，再通过逆映射去求原问题的解。

极端化法在解决某些数学问题时可以以极端的情况去考察，从而获得更好的启示以得到新的容易解决的问题，再通过一定的教学手段得到原问题的解的方法。

极端化的情况往往是多种形式的，并不存在于原问题中，需要充分发挥个人的数学想象力从而把它构造来。

2. 化归的思想
化归思想是指在分析处理问题时，把需要解决或者难以解决的问题，通过各种转化使之化为已经解决或者比较容易解决的问题，从而得到原问题的解的一种思维方法。

化归思想是解决数学问题的基本思想，而解题的过程实际上就是转化的过程，化归思想的实质就是一种转化的思想。

常见的化归转化思想有等价转化的思想、反证法的转化思想、数形结合的转化思想、函数与方程的转化思想、换元的转化思想、一般与特殊的转化思想等。

另外，多元向一元的转化、高次向低次的转化、高维向低维的转化等都是转化思想的体现。

总的来说化归的思想具有多样性和灵活性的特点，并没有统一的模式可以遵循。

在解题时，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，来寻找利于问题解决的转化途径和方法，因此要学习和熟悉化归的转化思想，有意识的运用化归转化的方法，灵活解决有关的数学问题。

2.3 化归法的原则
1. 化归的方向与一般模式
问题是数学的心脏，数学问题的解决是数学教学中一个重要的组成部分，几乎所有数学问题的解决均离不开化归，只是运用的化归形式不同而已。

化归的方向就是把未知的化为已知的、困难的化为容易的、繁琐的化为简洁的、暗处的化为明处的。

尽管化归的方法有很多，但是所有利用化归方法解决问题的过程，都可以简单的概括为：将所要解决的问题先通过某种方式转化为一个已经解决或较容易解决的问题1，然后通过对问题1的解决来得到原问题的解答，这就是化归的一般模式，其模式的图形如下：
2. 化归法的原则
为了有效的实施化归与转化，就必须遵循相应的原则，不能随心所欲，盲目的进行。

一般来说，化归过程应该遵循以下一些基本原则：
1）熟悉化原则：将原问题中的陌生的内容和形式转化为较熟悉的内容和形式，使之符合人们的思维习惯，以便于用已有的知识和经验使原问题获得解决。

2）简单化原则：将复杂的问题化归为相对简单的问题，把复杂的形式转化为较简单的形式，从而让问题变得更加容易解决，使问题的空间形式和数量关系更加明朗和具体。

以便于更加容易的找到问题的突破口。

3）和谐化原则：和谐化是数学的内在美的重要内容之一。

因此，我们在解题的过程中，可以根据数学问题的条件、结论以及表现形式将其变成更加符合数学内部结构固有的和谐统一的特点，这
样有利于使推演运用某种符合人们思维规律的数学方法。

4）直观化原则：在解决问题的过程中，把抽象的、含糊的、深奥的的问题转化为比较直观的、具体的、浅显的问题,以便于使题中的数量关系更容易把握，问题更容易解决。

5)正难则反的原则：在研究问题的过程中，当问题从正面不知从何着手，可以从问题的反面考虑，探究问题的反面；当问题直接解决遇到困难可以考虑间接解决；当问题顺着推导觉得困难可以考虑逆着推导。

不能前进时则考虑后退，也就是转变思维的角度从问题的对立面来进行思考、探求，从而使问题得到解决。

3 数学分析中的化归
数学的发展过程是在社会实践中不断的提出问题和不断的解决问题的过程，数学解题是数学研究以及数学教学的重要的组成部分，化归法是数学问题解决中的一种重要的方法，它渗透到数学的各个领域中，具有极其广泛的应用，用化归的思想来解决数学问题具有重要的价值。

3.1化归思想在数学分析中的显化
数学分析是一门内容复杂、具有严谨而系统的理论体系的课程，主要研究的是极限、导数、积分、级数等内容。

当我们仔细分析这门课程的知识结构和内容的相互关系时，容易发现，数学分析课程中蕴含着丰富的化归思想，在数学分析中有很多的具体的问题都渗透着化归这思想，下面做一些简单的总结：
一、在变元个数上的化归
极限最先是在一元函数和数列上定义的（数列也一样是只有一个变量），然后在多元函数中定义，而多元函数求极限是可以通过坐标变换的形式转化为一元函数求极限的，把多重的极限化为累次极限的过程也就是将多元函数求极限化归为一元函数求极限的过程。

导数的概念首先也是在一元函数中定义的，然后再定义多元函数求偏导、求微分，在解决问题的过程中多元函数求偏导就是将其中一个变元看成变量，而其它的变元暂时先看成常量，再对变量求导数，可以看出多元函数求导的所有问题都可以化归为一元函数的求导问题。

在积分中，首先是在一元函数上定义了不定积分和定积分，而后在多元函数中定义了重积分、累次积分、曲线积分、曲面积分，在解决积分问题的时候，在求累次积分的题时，是先求一个变量的定积分，再依次下去求剩余变量的定积分，其实就是把累
次积分转化为求定积分，就是把多元函数求积分转化为求一元函数定积分的过程，而求重积分、曲线积分、曲面积分则是通过变量替换等方式化成累次积分，实际上就是转化成了求一元函数定积分的过程。

二、导数在阶数上的化归
导数概念首先是定义一阶导数，然后在一阶导数的基础上定义了高阶导数，求高阶导数的过程就是一阶一阶的求一阶导数的过程，也就是把求高阶导数的计算问题化归为求一阶导数的计算问题。

公式()(1)()(())n n f x f x -'=充分体现了化高阶为低阶的化归思想。

许多高阶导数的应用中都能在一阶阶导数中找到其“影子”，例如泰勒公式：
()()()()()()()()()2000000''2!!n
n o f x f x f x f x f x x x x x x x n '=+-+-+⋅⋅⋅+-+余项，泰勒公式就是高阶导数的一个应用，而将泰勒公式化归为一阶导数就是微分中值定理，微分中值定理是帮我们讨论怎么由导数()f x '的已知性质来推断出函数()f x 具有的性质，把高阶导数中的泰勒公式化归为微分中值定理，理解起来就容易多了；函数的增减性和凸凹性也包含了高阶导数化归为一阶导数的应用。

三、微分和积分观点之间的互相化归
微分和积分都是数学分析中的主要内容，积分可以看成是微分的逆运算
()()f x dx f x '=⎰。

原
则上来说，微分中的计算在积分中都有着相应的逆运算，例如 ()()()()()g d kf x l x kdf x ldg x +=+与()()()()()g kf x l x dx k f x dx l g x dx +=+⎰⎰⎰ ()()()()()()()d f x g x f x dg x g x df x =+与()()()()()()f x g x f x dg x g x df x =+⎰⎰ ()()()()f b f a f b a ξ'-=-与()()()b
a f x dx f
b a ξ=-⎰ 等公式都是成对的出现的，由于在数学分析中的这一性质，使得对积分中公式定理的证明都可以转化为基于微分中相应的公式的证明，如积分中分部积分法的公式就是通过两个函数的乘积的导数的公式来证明的，因此只要掌握微分中的公式及证明就能记住相应的积分中的公式，并可以证明其正确性。

四、在讨论对象上的化归
在数学分析中我们首先讨论了六种基本的初等函数，这六种函数分别是：
常量函数 (y c c =是常数)；
幂函数 (y x αα=为实数);
指数函数 (0,1)x y a a a =>≠；
对数函数 (0,1)log x y a a a
=>≠； 三角函数 sin y x =，cos y x =，tan y x =，cot y x =；
反三角函数 arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =.
以上的六种基本初等函数都具有非常好的分析性质，数学分析中的一般理论讨论的都是一般函数，但是具体的问题都是以上六种基本初等函数或者是它们的复合函数，也就是说， 数学分析中的一般函数都是可以化归为基本初等函数的，如:
①泰勒公式是用幂函数来逼近或表示一般函数，也就是说一般函数可以通过泰勒公式用恒等变形的方法化归为幂函数，例如: 证明
()211......1n n x x x o x x
=++++- 证明如下：设()1,1f x x =- 则()()()()()()()()()23411
12123!','',''',...,1111n n n f x f x f x f x x x x x +⨯⨯⨯====----
代入泰勒公式：
()()()()()()()()()()2000000''2!!n
n n o f x f x f x f x f x x x x x x x o x n '=+-+-+⋅⋅⋅+-+， 在00x =时的形式，即带有皮亚诺余项的麦克劳林公式
()()()()()()()''000'0...2!!n
n n f f f x f f x x o x n =+++++从而 ()()()
()()222311112!!...1...110101010n n n n n n x x x o x x x x o x x +=+++++=+++++----- 证毕。

②傅里叶级数是用三角函数来逼近或表示一般函数的，也就是一般函数可以通过傅里叶级数用恒等变形的方法化归为三角函数，例如：
求函数(),0,0,0.
t t f t t ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩的傅里叶级数展开式. 解:函数()f t 及其周期延拓之后的图像如下图所示：
显然()f t 是可以展开成为傅里叶级数的，其中 ()001
12a f t dt tdt ππππππ-==
=⎰⎰. 当1n ≥时，()011cos cos n a f t ntdt t ntdt π
ππππ-==⎰⎰
()002022111sin sin cos 2,1cos 10,n t nt ntdt nt n n n n n n ππ
πππππππ=
-=⎧-⎪=-=⎨⎪⎩⎰当n 为奇数时当为偶数时,;
()011sin sin n b f t ntdt t ntdt πππππ-==
⎰⎰ ()()00120111cos cos 11cos 1.
n n t nt ntdt
n n ntdt n
n n ππ
ππ
ππ++=-+-=+-=⎰⎰ 因此在开区间(),ππ-上
()2121cos sin sin 2cos3sin 3...,4293f t t t t t t πππ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 在x π=±时，上式右边收敛于
()()000222
f f ππππ-+-++== 于是，在[],ππ-上f 的傅里叶级数的图像如下图所示：
从以上能够看出在数学分析中可以用基本初等函数来表示或逼近一般函数；分段函数虽然不是初等函数，但是分段函数在不同的定义域上大多是以基本初等函数出现的，如著名的符号函数
1,0,
sgn 0,
0,1,0.
x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
和狄利克雷函数1,
()0,x Q D x x Q
∈⎧=⎨
∈⎩.当然，若我们从复变函数的观点
看，以上六种基本初等函数都可以看成是一种函数，因此数学分析中的函数都可以化归为一种函数。

五、在一些著名公式中的化归
数学分析中有许多著名的公式、定理都是可是推广和拓展的，因此也都可以化归。

在微分学中我们所熟悉拉格朗日中值定理和柯西中值定理就是通过构造辅助函数的方法转化为罗尔中值定理证明的，这三个中值定理的内容如下：
罗尔中值定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且()(),f b f a =则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0.f ξ'=
拉格朗日中值定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()().
f b f a f b a ξ-'=
-
柯西中值定理：若函数()f x 和()g x 在闭区间[],a b 上都连续，在开区间(),a b 内都可导，且
()f x '和()g x '不同时为零，()()g a g b ≠则存在(),a b ξ∈使得
()()()()
()().
f f b f a
g g b g a ξξ'-=
'- ① 用罗尔中值定理来证明拉格朗日中值定理
显然从罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的内容可以看出当拉格朗日中值定理()()f b f a = 时，拉格朗日中值定理的结论即为罗尔中值定理的结论，这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。

证明方法如下：
构造辅助函数()()()()()
().f b f a G x f x f a x a b a
-=--
--那么显然有()()()0G a G b ==，
且()G x 在[],a b 上也满足罗尔中值定理的另外两个条件，所以
()()()()(),,0f b f a a b stG f b a ξξξ-''∃∈=-
=-，即()()()
.f b f a f b a
ξ-'=-证毕；
② 用罗尔中值定理来证明柯西中值定理，证明方法如下：
构造辅助函数()()()()()
()()
()()().f b f a T x f x f a g x g a g b g a -=----
显然有()()()0T a T b ==，且()T x 在[],a b 上满足罗尔中值定理的条件，所以
()()()()()
()()
(),,0f b f a a b stT f g g b g a ξξξξ-'''∃∈=-
=-，由于()0g ξ'≠（否则由上式可得
()0f ξ'=）
，所以上式变形即为()()()()
()()
.f f b f a g g b g a ξξ'-='-证毕。

在积分学中有几个著名的公式都体现着化归的等价转化思想，如下： 格林公式：
()(),,L
D Q P d P x y dx Q x y dy x y σ⎛⎫
∂∂-=+ ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰（这里L 为区域D 的边界曲线）给
出了二元函数在平面区域D 上的二重积分与其“原函数”在平面区域D 的边界曲线L 上的第二型曲线积分之间的联系。

高斯公式：
()()(,,),,,,V S
P Q R dxdydz P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy x y z ⎛⎫
∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰
（这里空间区域V 由封闭曲面S 围成）给出了三元函数在空间区域V 上的三重积分与其“原函数”在围成空间区域V 的封闭曲面S 上的第二型曲面积分之间的联系。

斯托克斯公式：
.L
S R Q P R Q P dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz y z Z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+-=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎰⎰⎰
（这里的光滑曲线L 是光滑曲面S 的边界）给出了三元函数在空间曲面S 上的第二型曲面积分与“原函数”在围成曲面S 的边界光滑曲线L 上的第二型曲线积分之间的联系。

我们知道，牛顿—莱布尼兹公式
()()()b
a f x dx f
b f a '=-⎰给出了定积分与“原函数”在闭区
间的端点上值的关系。

可见，从“原函数”与“边界”的这个意义来看，格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，都是可以化为牛顿—莱布尼兹公式的，也就是格林公式、高斯公式、斯托克斯公式都能够在牛顿—莱布尼兹公式中找到自己的影子，这是数学思想上非常有意思的化归。

化归在数学分析中的显化，有化归在基本概念中的显化，化归在基本理论中的显化。

例如，函数的连续性、导数、积分、无穷大（小）量、反常积分和级数的收敛，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的定义等都是归结成为极限的方式来定义的；海涅定理揭示了函数极限与数列极限之间的关系，其意义是可以将数列极限的问题转化为函数极限的问题来处理，例如在求解数列的不定式极限时，可以将其转化为求解函数的不定式极限，从而运用洛必达法则求出极限，也可以将函数极限的问题转化为数列极限的问题来处理，通过数列极限的性质得到并证明函数极限的性质；微分中值定理揭示了函数及其导数之间的关系，其意义是可以讲函数问题转化为其导数的问题来研究，例如用导数来研究函数的单调性、凹凸性、最值、极值等问题；在积分中，二重积分、三重积分、第一、二型曲线积分、第一、二型曲面积分、无穷积分、瑕积分都可以转化为定积分来求解，求解定积分和不定积分的换元法和分部积分法都含有化归的思想。

总之，数学分析这门课程到处都体现着化归这一思想。

3.2化归方法在数学分析解题中的体现
1.在极限中的体现
我们知道极限包括函数极限和数列极限，而在函数极限中有两个重要的极限：0sin lim
1,x x
x
→=
1
0lim (1)x
x e x →=+（等价于1(1)lim x
x e x →∞+=）
，因此在解有很多函数极限计算的题目只要将其转化为两个重要极限的形式就很容易得出结果，例如
①2222200000
sin sin sin lim
lim lim lim lim 1100sin sin sin x x x x x x x x x x
x x x x x x x →→→→→=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=， ②3
333
33
33lim(1)
lim(1)lim(1)x x x
x x x e x
x
x --⋅-→∞
→∞
→∞
⎡⎤
-=+
=+=⎢⎥--⎣⎦
在函数极限中还有一种是关于不定式的极限的问题，不定式的极限形式主要是：
000-0,0-0∞∞∞⋅∞∞∞，，，，00，以及1∞等类型，其中0
∞∞，是两大基本的类型，而其他的形式都可以通过取对数或者恒等变形的方法化为∞∞或00
型，从而应用洛比达法则来求解，而其中1∞
类型
的题目求极限时可以转化为求第二个重要极限的类型。

例如
①2222111212lim()("00")lim ("")lim lim 01(1)316x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞-+∞---====++∞+型型 ②1
sin
10lim sin ("0")lim
("")110
x x x x x x
→∞→∞⋅∞⋅==型型
③1
)("""2x x x x →∞
∞
∞-∞=∞
型型)=)= ④()002
01ln lim
lim 11
lim ln 0
lim ("0""0"1x x x x
x x x
x x
x x x ++→→+
→+
-
→⋅∞===型型)=e e
e
⑤()11
11111
11ln 1111lim lim lim lim lim 11ln 1ln 1ln 2ln 2ln t t t t t t t t t t t t t t t t t t t
t
→→→→→--+--⎛⎫-=====- ⎪----++⎝⎭+ ⑥()()00sin cos 11cos sin lim ln cos sin lim sin sin cos 0
0lim(cos sin )
"1"=""0x x x x
x x x x x
x
x
x x x e
e e →→-+++∞→⎛⎫+== ⎪⎝⎭
型型
在上述解题过程中中我们通过化简、取对数等方法来实现恒等变形将其他的不定式极限都化归为"
"∞∞
型和0
""0型，从而应用我们所熟悉的洛比达法则解题。

在求数列极限的问题时，可以通过海涅定理将数列极限转化为函数极限，在判断函数极限的敛
散性时也可以将函数极限转化为数列极限，这体现了一般与特殊之间的转化，从而解决数列极限及函数极限敛散性的问题；而夹逼定理可以将原式放缩变形然后再求解。

例如
①1111lim ln lim
lim lim lim 1x x x n
x
x
x n n x n x e e
→∞→∞→∞
→∞
→∞=====
②证明极限02
lim sin
x x →不存在
证：设()
11
',''4
n n x x n N n n πππ*==∈+
则显然有()'0,''0n n x x n →→→∞，
2
limsin
limsin 20'x n n n x π→→∞
==。