第六章--实数(知识点+知识点分类练习)

【知识要点】
被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如.25 5, 2500 50.
一、算数平方根
算数平方根的定义：一般的，如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a ，（a>0），那么这
个非负数x叫做a的算术平方根。

a的算术平方根记为谄，读作“根号a”，a叫做被开方数。

求
一个正数a的平方根的运算叫做开平方。

1.0的算术平方根是0
2. 被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数都成立）。

3. 一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。

显然，如果我们知道了这两个平方
根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

4. 负数在实数系内不能开平方。

二、平方根
平方根的定义：如果一个数x的平方等于a ,即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

平方根的性质：一个正数有2个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算数平方根；0只有1个平方根，它是0;负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

三、立方根
立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根，求一个数的立方根的运算叫做开立方，a的立方根记为鴛读作“三次根号a”，其中a是被开方数。

立方根的性质：每个数a都只有1个立方根。

正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。

四、实数
1. 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。

2. 实数的定义：有理数和无理数统称实数。

3. 实数的分类：
整数
宀拓有理数八”有限小数或无限循环小数 实数 分数
无理数
无限不循环小数
像有理数一样，无理数也有正负之分。

例如
2 ,
3 3 , 是正无理数， 2， 3 3， 是负无
理数。

由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
4. 实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是 -- 对应的。

5. 有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义相同。

五、 实数的运算：
1. 实数的加、减、乘、除、乘方运算和有理数一样，而且有理数的运算律对无理数仍然适用。

2. 两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根， 算术平方根的商等于这两个数商的
算术平方根，用式子表示为 六、 题型规律总结：
1、 a 本身为非负数，有非负性，艮卩..a >0； 「a 有意义的条件是a >0。

2、 公式：⑴（ja ）2=a （a >0）；⑵ 旷孑=Va （a 取任何数）。

3、 区分（（a > 0）,与 JO 2 = a
4、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于 0，则每一个非负数都为 0（此性质应用很广，务必掌握）
正实数
实数 0
负实数
正有理数 正无理数
负有理数
负无理数
考点1平方根、立方根的定义与性质
1.下列语句中，正确的是（
实数考点分析应用
A•—个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B. 负数没有立方根
C. 一个实数的立方根不是正数就是负数
D. 立方根是这个数本身的数共有三个
2.下列说法正确的是（
A.-2是（-2）2的算术平方根
B.3 是-9的算术平方根
C.16的平方根是土4
D.27 的立方根是土3
3.下列说法中正确的是（）
A.9的平方根是3
B. .16的算术平方根是土
C. ,16的算术平方根是4
D..16的平方根是土
4.以下语句及写成式子正确的是（
A.7是49的算术平方根，即-49
B.7 是（7）2的平方根，即■ ( 7)2
C. 7是49的平方根，即49 7
D. 7是49的平方根，即49
5.下列语句中正确的是（
A.-9的平方根是-3
B.9 的平方根是
C.9 的算术平方根是土3
D.9 的算术平方根是
6.下列语句不正确的是（
A.0的平方根是0
B. 正数的两个平方根互为相反数
C. —22的平方根是土2
D.a 是a2的一个平方根
7.下列语句中正确的是（
A.任意算术平方根是正数
B. 只有正数才有算术平方根
C. •/ 3的平方是9 ,••• 9的平方根是
D. 1是1的平方根
8.下列结论正确的是（
A. 27的立方根是2
64 4 B. 丄没有立方根
125
C. 有理数一定有立方根
D. (—1) 6的立方根是一1
9.下列结论正确的是（
A.64的立方根是土4
1 1
B. 2是6的立方根
C.立方根等于本身的数只有
D. 3 27 3,27
10.下列说法中：①3都是27的立方根，②3 y3 y，③ 64的立方根是中正确的有（）
A.1 个
B.2个
C.3个
D.4个
11.下列说法：（1）3是9的平方根；（2）9的平方根是
3
;
(3)
3
是9的平方
根;
其中正确的有（）
A.3 个
B.2个
C.1个
D.4个
12.9的算术平方根是（)
A.-3
B.3
C.± 3
D.8 1
13.64的平方根是（
）
A. ± 8
B.± 4
C.± 2
D.± 2
14.4的平方的倒数的算术平方根是（)
A.4
B.1
C.-1
D.1
844
15.下列计算正确的是（)
A. ,4=± 2
B.(9)281=9
C. 366
D.929
16.下列结论正确的是（)
A. ( 6)2 6
B.(■ 3)2
9
C.(16)2
1
6
D._2
1616
2525
17.若m是9的平方根，n= ( .3 )2,则m
n的关系是
（
)
A.m=n
B.m=—n
C.m=± n D
.
1 m|M|n 1
18.已知3 5.28
1.73 8,3 a 0.1738 , I则a的值为（)
A.0.528
B.0.052 8
C.0.00528
D.0.000528
19. 一个数的算术平方根是
a,则比这个数
大
8数是（)
A.a + 8
B.a —4
C.a —8
D.a2+ 8
a的值是(4)9
20.已知一个正数的两个平方根分别是2a - 2和a - 4,则
的平方根是3,
21. 一个正数的两个平方根分别是a+2和a-4，贝U a=，x=
22. 一个正数的平方根是2a 3与5 a,则a的值为
23.若•、a2a，则a
24.若..3x 7有意义，则x的取值范围是
25.若4a 1有意义，则a能取的最小整数为
26.当x时，x 3有意义。

27. 当x _______ 时，1 x有意义。

x 1
28. 当x _______ 时，式子x 2有意义。

29. 如果（a 3）2 =a-3，贝U a的取值范围是______________________
30. ________________________________________________________ 如
果（a 3）2 =3-a,则a的取值范围是_________________________________
32. 若V x y y _________________ 0,则x
与y的关系是
33. 如果Va 4
4,那么（a —67）3的值是______
34. 若3' 2x 1 Vix —,则x= _________
35. 若m K 0，则m 3m3 _____ .
36. 求下列各式的值
(1) .81 ; (2) .16 ；
37. 求2 -的平方根和算术平方根。

9
38. 求下列各式中未知数x的值（每小题4分，共8 分）
31. 31 x 3x 1中的x的取值范围是.x 1中的x的取值范围是
2
(1) 16x -25=0 (2) (x-1 ) 3=8 2
(3) 2x-1 ) -169=0 ;
2 (4) 4 ( 3x+1) -1=0 ;
3
(5) x -27 =0
3
(6) 2 (x+3) =512
(4) 4)2
考点2实数的分类与性质
(1 )实数不是有理数就是无理数。

( ) (2
)
无限小数都是无理数。

( )
(3 )无理数都是无限小数。

( )
(4
)
根号的数都是无理数。

( )
(5 ) 两个无理数之和一定是无理数。

( )
(6
)
实数是由正实数和负实数组成。

( )
(7 ) 0属于正实数。

( )
（8）数轴上的点和实数是
一-
一对应
的。

( )
(9
) 如果一个数的立方等于它本身，
那么这个数
是0或1 1. ( ) (10)若|X|•2则
x•
、2
(
)
1.判断下列说法是否正确。

（11）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。

（）2.下列说法正确是（）
A.不存在最小的实数
B.有理数是有限小数
3.下列说法错误的是（）
A.实数都可以表示在数轴上C.无限小数都是无理数 D.带根号的数都是无理数
B.数轴上的点不全是有理数
C.坐标系中的点的坐标都是实数对
4.下列说法正确的是（）
A.无理数都是无限不循环小数
C.有理数都是有限小数
D. .2是近似值，无法在数轴上表示准确
B.无限小数都是无理数
D.带根号的数都是无理数
5.如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（）
A. ± 1
B.0 和1
6. 下列说法正确的是（）
A.正实数和负实数统称实数
B.
C.带根号的数和分数统称实数
D.
7. 下列说法正确的是（）
A.数轴上任一点表示唯一的有理数
B.
C.两个无理数之和一定是无理数
D.C.0 和一1 D.0 和土1
正数、零和负数统称为有理数
无理数和有理数统称为实数
数轴上任一点表示唯一的无理数
数轴上任意两点之间都有无数个点
8.已知a、b是实数，下列命题结论正确的是（）
「—2 2 A.若a> b,贝U a >b
2 2
B.若a>| b I,贝U a >b
C.
2 2
3 3 2 2
若I a |> b,贝U a > b D.若 a > b，贝U a > b
9.把下列各数中，有理数为______________________________ ;无理数为___________________________
39, , 5, .2, • 2°, . 36,3.14, 5, 38,0.030030003 .......
2 V 3
10. 下列各数中：其中有理数有 ________________ 亠 _________ ;无理数有 _____________
—1 ,
.. 7 , 3.14159, —n,
10
, — 3 4 ,0,0.
3, 3 8 , 16 ,2.121122111222 …
4
3
11. 把下列各数填入相应的集合：
—1、 ：.： 3、n 、 一 3.14、 p'9、 、.. 6 ；2、 2 、 0.7 • (1)有理数集合｛ ｝； (2)无理数集合｛
} (3)正实数集合｛ ｝
；
(4)负实数集合｛
}
12.估计,76的大小应在(
)
A.7〜8之间
B.8.0〜8.5之间
C.8.5 〜9.0之间
D.9
〜10之间
13. 大于 ,17而小于.11的所有整数为 _________________________________ 14. 大于-(2,小于0的整数有 ____________ 个。

15. 比较大小，填＞或＜号： __11
；
3^2 ____ 2J3 .
16. 比较大小：(1)
. 3 _______ 3 2; (2) 3
125 _______ . 36.
17. 绝对值小于..7的整数有 ________________ . 18. 满足 2 x -3的整数是 _________________________ . 19. 写出符合绝对值小于 2, 3的所有整数.
20.
已知M 是满足不等式 ,3 a ,6的所有整数a 的和，N 是满足不等式x 37 2的最大整数
•求 M 2
+ N 的平方根.
考点3实数的运算 1.化简.8 ,2^. 2 2）得（ ）
A. — 2
B. J2 2
C.2
D.
2.
下列计算中，正确的是(
A.2 , 3+3.2 =5 •. 5 C. ( 3+2 .. 3 ) (3 — 2 .. 3 ) =— 3 D. 3. 若(x+1) 2-仁0 ,贝U x 的值等于(
)
A . 土 1 B. ± 2
C.0 或 2
4.
3 4
=
5. | 3.14 — n| = _________ ; | 2j3 3、迈 | _______
6.
若m n 互为相反数，则 m
J 5
n =
7. 若|x| 賦则x = _________ ;若|x|血 1;则x = ______________ . 8. 当 a ____ 时，| a — 2 | = a — 2.
9. 如果| a |=— a ,那么实数a 的取值范围是 __________ . 10. 已知| a |= 3, 岛 2,且ab >0,贝U a — b 的值为 ___________ . 11. 已知 b v a v c ,化简| a — b | + | b — c | + | c — a | = ______ . 12. 若 a =25, |b =3,则 a+b= ______
10
. V2T6 Vi000 J ( 2)2
11.1 讥1 -)2
V 3
\27 r 4
13.求下列各式的值: (1) 3 25 (2) 81 \36 (3) 0.04 . 0.25
(4) J036 J-4-
\ 121
(.2a 、.b ) (一 2a . b )=2a+b
D. 0 或-2
14.化简(1) 48 —3.3 (2) 12 x 3+5 (3)；(2-12 — 75) (4)(3 ..5)(2 ..5)
15.计算：（1）皿聽矿它任⑵^27 v16 V4 V8
(4) ( 1冏匹呵2 73]
16.计算卜3 2咄同v2忑|V2褐
17. 已知a是,10的整数部分，b是它的小数部分，求（一a）3+（b+ 3））的值.
18. 用铁皮制成一个封闭的正方体，它的体积是
1.331立方米，需要多大面积的铁皮才能制成?
19. 已知25
0，求7 (x+y) -20的立方根。

■75~x
20. 若xy= - . 2 ,x - y=5 . 2 - 1,求(x+1)(y - 1)的值。

21. 已知2a- 1的平方根是土3, 3a+b—1的平方根是土4,求a+2b的平方根•
考点4非负数
1. 已知x，y为实数，且3( y 2)20，则x y的值为( )•
A.3
B. - 3
C.1
D. -1
2. (成都市)已知2一2 (b 5)2 0,那么a b的值为____________________________
3. 已知实数x, y满足,x 2+(y+1) 2=0，则x-y等于___________________
4. 若~1 Jy 3 0 ,贝H x= ______ ，y= _______ .
5. 已知x 2 |x23y 13| 0,求x + y 的值.
6.若 x 1
(3x y 1)2 0，求 5x y 2 的值。

12 / 13
7.若a 、b 、c 满足a 3 *5 b ）2 JTh 0，求代数式匕上的值。

a
考点5数形结合题
P
Q M N
Il
1 t
li
- 1
-1
■
r
1.如图，在数轴上表示实数
v'15的点可能是（ )
0 12 3 4
A . P 点
B . Q 点 C. M 点 D. N 点
2. （江西省）在数轴上与表示 .3的点的距离最近的整数点所表示的数是 _______________
A B
—1 --------- ►
3 、一 5
3. 已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：|
a —
b |-| a + b |
4.数a,b 在数轴上的位置如图：化简： ..（a b ）2 +|c+a|
1 1 1 1 .1 ■
a
b
C
■
5.已知a 、b 、c 位置如图所示，化简
考点6探究题
1. 观察下列式子，根据你得到的规律回答： 、肛二石=3;』］11-力=33 ;站=333; ................. 请你
说出5的值是
iKfe nft -------------
2. (1)计算 73"
，407 _______ ，、；( 6)2 ___ ，1(丄)2
，\( 0.28)2 ______ ，吊 ____
1 2
言描述出来。

3•阅读下列解题过程:
、5 ,4
■5 4
请回答下列问题:
(1 )、观察上面的解题过程，请直接写出式子:
分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。

(2)原式=.2 1 3 2 4 - 3 -5 . 4
说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律, 4.
阅读下列材料，然后回答问题。

在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如
一样的式子，其实我们还可以将其进一步
1
化简:
5 =
：■ 3
2 3 = 2 3 1
( 3 1)( 3 1)
以上这种化简的步骤叫做 分母有理化
(2)根据(1)中的计算结果可知，■ a 2
定等于a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语
(3)利用上述规律计算:
,(3.14
)2
1 6 -5
1 -.6
5 .6
5
6 -.5
(2)、利用上面所提供的解法，请化简： 1
罷1
.3
、2 4 、、3 5 , '4
r
■/10 9 10
寻找解决问题的途径。

3 3
3 '
- 2 '3-1)
2还可以用以下方法化简:
3 1
2= 3 1 ( 3)212( 3 1)( 3 1) …
= = = 3 1 .3
1 3 1 ,3 1 3 1
(1)请用不同的方法化简一2:
>5 $3
A:参照③式得 B :参照④式得
(2)化简：_1
V3 1
1
..2n 1 . 2n 1
5.观察
.10 /V 3爲即3 103鳥；猜想:
5
5等于什么，并通过计算验证
26
你的猜想。