数学选修2-1第一章常用逻辑用语典型例题含解析

数学选修2-1第一章常用逻辑用语典型例题含解析(总5
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一．知识点回顾： 1、命题：可以判断真假的语句叫命题； 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词； 简单命题：不含逻辑联结词的命题; 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.
常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题.
2、四种命题及其相互关系
四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
⑴、一般地，如果已知p q ⇒，那么就说：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
若p q ⇔，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p 与结论q 之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：
①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件；
②若p q ⇒，但q p ，则p 是q 充分而不必要条件;
③若p q ，但q p ⇒，则p 是q 必要而不充分条件;
④若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；
⑤若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：
已知{A x x =满足条件}p ，{B x x =满足条件}q ：
①若A B ⊆,则p 是q 充分条件；
②若B A ⊆,则p 是q 必要条件；
③若A B ，则p 是q 充分而不必要条件;
④若B A ，则p 是q 必要而不充分条件;
⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；
⑥若A B ⊄且B A ⊄，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ⌝）. ⑵复合命题的真假判断
“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；
“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；
“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对. ⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题p ：,()x p x ∀∈M ，它的否定p ⌝：00,().x p x ∃∈M ⌝全称命题的否定是特称命题．
②特称命题p ：00,(),x p x ∃∈M ，它的否定p ⌝：,().x p x ∀∈M ⌝特称命题的否定是全称命题.
二．典题训练：
【例1】 判断下列命题的真假．
(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题；
(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；
(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．
【例2】 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？
【例3】 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.
q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.
且绨p 是绨q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
【例4】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)3＝2；
(2)5>4；
(3)对任意实数x ，x >0；
(4)有些质数是奇数．
例5.已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立；命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解；若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求a 的取值范围．
例 6.判断命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．
例7.已知p ：⎪
⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，若绨p 是绨q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．
例8.已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
例题解析：
例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．
(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，
∴0≤|x －2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.
例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．
(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥ba·b ＝0为真命题．
逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0a ⊥b 为真命题．
否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直ba·b ≠0也为真．
例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无
实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，
则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .
于是0<－a <2,0<b <1，
即－2<a <0,0<b <1，故qp .
所以，p 是q 的必要不充分条件．
【例3】解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．
B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}
＝{x |x <－4或x ≥－2}．
∵绨p 是绨q 的必要不充分条件，
∴q 是p 的必要不充分条件．
∴A B ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧
3a ≥－2a <0
， 解得－23≤a <0或a ≤－4.
故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－23，0. 【例4】： 解 (1)3≠2，真命题；
(2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；
(4)所有质数都不是奇数，假命题．
例5.解 ∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，
则x 1＋x 2＝m 且x 1x 2＝－2，
∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝m 2＋8，
当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3，
由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立可得：a 2－5a －3≥3，
∴a ≥6或a ≤－1.
所以命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.
命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，
当a >0时，显然有解；
当a ＝0时，2x －1>0有解；
当a <0时，∵ax 2＋2x －1>0有解，
∴Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，
从而命题q ：
不等式ax 2＋2x －1>0有解时a >－1.
又命题q 为假命题，∴a ≤－1.
综上得，若p 为真命题且q 为假命题则a ≤－1.
例6.解 方法一 (直接法)
逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上，
判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.
∵a <1，∴4a －7<0.
即二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，
∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．
方法二 (先判断原命题的真假)
∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，
即4a －7≥0，解得a ≥74，
∵a ≥74>1，∴原命题为真．
又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．
方法三 (利用集合的包含关系求解)
命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集．
命题q ：a ≥1.
∴p ：A ＝{a |关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a |(2a ＋
1)2－4(a 2＋2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a |a ≥74， q ：B ＝{a |a ≥1}．
∵AB ，∴“若p ，则q ”为真，
∴“若p ，则q ”的逆否命题“若绨q ，则绨p ”为真．
即原命题的逆否命题为真．
例7．解 绨p ：⎪
⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13>2，解得x <－2，或x >10， A ＝{x |x <－2，或x >10}．
绨q ：x 2－2x ＋1－m 2>0，解得x <1－m ，或x >1＋m ，
B ＝{x |x <1－m ，或x >1＋m }．
∵绨p 是绨q 的必要非充分条件，∴B A ，
即⎩⎨⎧ 1－m ≤－21＋m ≥10
且等号不能同时成立m ≥9， ∴m ≥9.
例8．解 令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝2k －12－4k 2≥0－2k －12>1f 1>0，
即k <－2.
所以其充要条件为k <－2.。