最优投资组合的计算

最优投资组合的计算
案例：设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=-r ，%302=-
r ，标准差分别为%301=σ，%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6%，求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2
005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。

求解：
第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。

随意指定一个期望收益率%14=-P r ，考虑达到-P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）：
min(1221222221212σσσx x x x ++),
S.T.---=--++P f r r x x r x r x )1(212211.
令L=(1221222221212σσσx x x x ++)+[
λ--P r ])1(212211f r x x r x r x ------， 由一阶条件：
=∂∂λL --
P r 0)1(212211=------f r x x r x r x 0)(2211222111
=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 0)(2221212222
=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得268
25.8,268521==x x 。

风险证券A 、B 的组合结构为62.0,38.02
12211=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。

如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=-
P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算）。

说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。

风险资产最优组合的收益率和标准差为：
()()()%
06.3206.062.038.024.062.03.038.02%
2.26
3.062.02.038.022221221222221212211=⨯⨯⨯+⨯+⨯=++==⨯+⨯=+=σσσσx x x x R E x R E x R E r r 第二步，构造投资者的最优投资组合（设y 为风险资产组合投资占比例，（1-y ）为无风险资产投资占比例）：
1.设目标函数()2005.0P P A R E MaxU σ-=
约束条件为S.T ：
()()()y
y y
y y r y Rr yE R E r P f P 3206.0202.006.006.0)1(262.0122==+=-+=-+=σσ
2.将约束条件代入目标函数，得： ()2
3206.04005.0202.006.0y y U ⨯⨯-+= 3.将目标函数对y 求一阶导数，并令其等于零得
0.202-0.020*2*0.32062y=0
Y=0.49
4.三种资产组合的收益率=0.06+0.202*0.49=1
5.9%
三种资产组合的标准差为0.3206*0.49=15.7%
5.无风险资产占比51%，风险资产1占比为0.38*0.49=18.62%，风险资产2占比为0.62*0.49=30.38%。