【市级公开课】《圆锥曲线中的三角形面积问题》课件

1
已知椭圆 C:
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0) 的离心
率为 2 ，短轴长为 2。过点 P(0, 2) 的直线 l 与 2
椭圆 C 交于 A 、 B 两点，
（Ⅱ）当 AOB 面积取得最大值时，求直线
l 的方程。
（Ⅱ）解法一：第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。本问题中，直
2 ||
x2
|
|
x1
||
|
x2

x1
|
=
2 2 2k 2 3 。 1 2k 2
第三步，代数运算。
m 2k2 3(m 0) ，
2k 2
m2 3 S

2 2m m2 4

22 m 4

2 2
m
当且仅当 m

4 m
即m

2 时，
Smax

2 此时 k 2
2
问题目标代数化：
方法
1：
S SAVAOOBB

1 2
| OD | |
y1

y2
|
1 2
|
2 k
||
kx1

2
kx2

2|
=| x1 x2 |
16k 2 24 2 2 2k 2 3 .
1 2k 2
1 2k 2
方法
2： SAOB
SPOB SPOA

1 2
问题 1
已知椭圆 C:
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0) 的离心率
为 2 ，短轴长为 2。过点 P(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C
2
交于 A 、 B 两点，
（Ⅰ）当直线 l 的斜率为 2 时，求 AOB 的面积。
（Ⅰ）第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。
本问题中，直线 l 与椭圆相交于 A 、 B 。
a2
b
1.
可得 c2 a2

a2 b2 a2

a2 1 a2
1 ,即a2 =2. 所以 椭圆
2
C
的方程为
x2 y2 1. 由题意知直线 l 的斜率存在且不为零.设直线 l
2
的方程为 y kx 2, A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则直线 l 与 x 轴的交点
位置关系代数化：由
y kx 2

x2 2

y2
，消去
1
y
得关于
x
的方程：(1
2k
2 )x2

8kx

6

0
。
由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，V00 64k 2 24(1 2k 2 ) 0 解得 k2 3 。
2
问题目标代数化：
SAOB

14 .所以，所求 2
直线方程为 14 2 y 4 0
由题悟法
圆锥曲线中三角形面积表示的方法有：
1. S 1 | AB | d （弦长公式求| AB | ，点到直线距离求 d ）
2
2.利用共同的底边，拆分三角形为面积和（或差），
1 k2
Q SVAOB

11||AABB| |dd 22
16k 2 24 2 1 2k 2
2 1
2k 2 2k 2

3
.
m
2k2 3(m 0) ，
2k 2
m2 3 S

2 m2
2m 4

22 m 4

2 2
m
当且仅当 m

4 m
即
m

2
时，
Smax

x1

x2

16 9


x1

x2

6 9
| AB | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
10 2 。 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离 9
d

2 55 。SAOB

1 2
|
AB
|
d

2
10 9
.
典例导入
问题
yy2kxx22,, A(x1, y1), B(x2, y2 ) 。
y 2x 2
位置关系代数化：由

x
2
2

y2
，消去
1
y
得关于源自文库
x
的方程：9 x 2
16 x
6

0.
由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点。
问题目标代数化： SAOB

1 2
|
AB
|d
第三步，代数运算。 由韦达定理得
线 l 与椭圆相交于 A 、 B 。
第二步，进行代数化。
元 素 代 数 化 ： 由 已 知 得 e c 2 , 2b 2. 解 得 a2
b
1.
可得 c2 a2

a2 b2 a2

a2 1 a2
1 ,即a2 =2.所以椭圆 C 的方程为 x2
2
2

y2
1. 由题
意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx 2, A(x1, y1), B(x2, y2 ) 。

2 此时 k
2
14 .
2
所以，所求直线方程为 14 2y 4 0
解法二： 第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。 本问题中，直线 l 与椭圆相交于 A 、 B 。 第二步，进行代数化。
元 素 代 数 化 ： 由 已 知 得 e c 2 , 2b 2. 解 得
立足基础，提升时效
圆锥曲线中的三角形 面积问题
思考
解法回顾
解析几何有哪些解题步骤 ？
(1)分析几何对象的几何特征。理解题 意，并画出图像。
(2)进行代数化。包括几何元素的代数 化、位置关系代数化、问题目标代数化。
(3)进行代数运算。包括联立方程组、消 参、运用函数性质等。
(4)得出几何结论。
典例导入
第二步，进行代数化。
元 素 代 数 化 ： 由 已 知 得 e c 2 , 2b 2. 解 得 a2
b 1.
可得 c2 a2

a2 b2 a2

a2 1 a2

1 2
,即a2
=2.
所
以
椭
圆
C
的方程为
x2 y2 1. 由 题 意 知 直 线 l 的 斜 率 存 在 ， 设 直 线 l 的 方 程 为 2
1 2
|
AB
|
d
第三步，代数运算。 由韦达定理得

x1

x2

8k 1 2k 2


x1

x2

6 1 2k 2
| AB | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2
(x1 x2 )2 4x1x2

1 k2 1 2k 2
16k 2 24
原点 O 到直线 l 的距离 d 2
D( 2 , 0) .
k
y kx 2
位置关系代数化：由

x2 2

y2

，消去
1
y
得关于
x
的
方程：(1 2k2)x2 8kx 6 0 。由直线 l 与椭圆相交于 A、
B 两点，V 0 64k 2 24(1 2k 2 ) 0 解得 k2 3 。