浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明

学年论文

题目：浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明

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浅谈函数的凹凸性与泛函分析中重要不等式的证明

摘要：本文从函数的凹凸性质出发，推证了几个在泛函分析中应用特别广泛的不等式. 关键词：凹凸性 泛函分析 不等式 证明

函数在数学的学习中占有重要的地位，其精髓在于利用函数的性质讨论和解决实际问题，函数的凹凸性就是函数的一种特殊性质，利用此性质我们可以证明一些较为复杂的不等式，同时可以降低证明的难度。在学习泛函分析过程中，我们遇到了几个特别复杂的不等式，而且应用特别广泛，本文试用凸函数方法推证之。

1.

凹凸函数的定义与性质

1.1

定义

设()f x 是在区间I 上有定义的连续的函数，如果对I 中的任意两点1x 与2x 和非负实数

1q 与2q ，且 121q q +=，成立不等式

11221122()()()f q x q x q f x q f x +≤+. （1）

则称函数()f x 区间I 上的凸函数；反之若有

11221122()()()f q x q x q f x q f x +≥+. （2）

则称函数()f x 区间I 上的凹函数。

注：1。

若将（1）式中的“≤”改为“<”,则称函数()f x 区间I 上的严格凸函数；

2。若将（2）式中的“≥”改为“>”,则称函数()f x 区间I 上的严格凹函数.

显然，若()f x 是凸（凹）的，则()f x -是凹（凸）的，这一说明可使我们在许多情下只讨论凸函数就够了.

1.2 几何图像上的直观反映

（图1.2a ） （图1.2b ）

图1.2a 就是凸函数的几何形状；图1.2b 是凹函数的几何形状.

1.3 性质

性质1 ：若()f x 为凸函数，则有：

1212()()()22

x x f x f x f ++≤ . （3）

若()f x 为凹函数，则有：

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≥. （4） 很显然，我们分别在（1），（2）式中令121

2

q q ==，就可得到上述性质。 性质2：若()f x 为凸函数，则如下不等式成立

1

1

()()n n

i i i i i i f q x q f x ==≤∑∑ （5）

此不等式被称为詹森不等式。

依照凸函数定义[参看（1）式]，显然（5）式是（1）的更一般情形，我们用数学归纳法即可证明，由于现行的数学分析教材中都有其（5）式的证明，在此省略证明。

1.4 凹凸函数的判定定理

引理：()f x 为区间I 上的凸函数的充要条件是：对于123,,x x x I ∀∈，若123x x x <<，总有

21322132

()()

f x x f x x x x x x --≤--. （6）

此引理在书目[1]中有详细的证明，在此不予重复。

定理1：设()f x 是区间I 上的可导函数，()f x 为凸函数的充要条件是：对于12,x x I ∀∈ ，若12x x ≤，有

12()()f x f x ''≤.

证明：必要性 假定()f x 是凸的，对于12,x x I ∀∈，设12x x x <<，由（6）式得：

1212()()

f x x f x x x x x x

--≤

--. （7） 令x 趋向于1x 或2x 并且求极限，我们将分别得到 21121

()()

()f x f x f x x x -'≤-

和

21221

()()

()f x f x f x x x -'≥

-.

由此得

12()()f x f x ''≤.

充分性 假定后面的条件被满足即()f x '是常增的，为了证明（7）式成立，我们对它两边应用有限增量公式，即

111()()()f x f x f x x ξ-'=-， 21221

()()

()f x f x f x x ξ-'=-.

其中1122x x x ξξ<<<<，由于依照假定12()()f f ξξ''≤，则（7）式成立，有引理得()f x 是凸的.

定理2：设()f x 为区间I 上的二阶可导函数，则()f x 为凸（凹）函数的充要条件是

()0f x ''≥（()0f x ''≤），x I

∈.

证明略。

特别指出：如果指的是狭义（严格）的凹凸性，那么把等号出去即可。

2. 利用函数凹凸性质证明泛函分析中的重要不等式

例1 ：证明不等式：

.111,0,,=+>+

p b a q b p a ab q p

证明：令()ln ,(0)f x x x =>由于2

1

()0f x x ''=-<，则()f x 在区间(0,)+∞上为凹函数，直线AB 的方程为

)(ln ln ln 11

21

21x x x x x x x y ---=- .

取

)1,0('),,()'1('2121∈∈-+=p x x x p x p x

则

21211

21

21ln )'1(ln '))'1()1'((ln ln ln x p x p x p x p x x x x x y -+=-+---+

=

如取.111'1,1',,21q

p p p p b x a x q

p

=-=-=

== 由（4）式得 q p q p b q

a p

b q a p ln 1

ln 1)11ln(+>+ .

即

11ln(

)ln p q

a b ab p q

+> 又因为x ln 在定义域上为严格增函数，所以有

p q

a b ab p q

<+

. 特别的，此不等式在泛函分析一些证明中经常用到，有时也会用它的积分形式：

11()()|()||()|b b p b q a a a f x g x dx f x dx g x dx p q

⎰≤

⎰+⎰. 11

(0,0,1,1,1)a b p q p q

>>>>+=且

例2： Holder 不等式

设 11

,0(1,2),

1k k a b k n p q

≥=+= ，若1p > 则