中考数学压轴题全面好题(湖南长沙)
长沙2023中考数学压轴题
中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对2.一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。
A．B．C．D．3.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝34.如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:25.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈二、填空题（共24分）1.一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是。
|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数2.已知△ABC，若有|sinA−12是。
三、解答题3．如图，在四边形A BCD中，A D∥BC，A B⊥BC，点E在A B上，∠DEC=90°。
求证：△ADE∽△BEC。
1.如图，同心圆O，大圆的面积被小圆所平分，若大圆的弦AB，CD分别切小圆于E、F点，当大圆半径为R时，且AB∥CD，求阴影部分面积。
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C，在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2根号3，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称。
(1)当OB=2时，求点D的坐标；(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；3．已知△ABC和△DEF中，有ABDE =BCEF=CAFD=23，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长。
2023长沙中考数学压轴题
2023长沙中考数学压轴题2023年长沙市中考即将来临，对于即将参加考试的学生来说，数学考试一直是其中最具挑战性和重要性的科目之一。
为了更好地帮助同学们备考，我们为大家精心准备了一道长沙中考数学压轴题，希望能够帮助同学们提升解题能力和应试水平。
题目：计算函数f(x) = x^2 + 2x - 3在x = 4和x = -5处的函数值。
解题思路：为了求解函数在x = 4和x = -5处的函数值，我们需要先计算出函数在这两个点上的x值。
然后将这些x值带入函数中，即可得出所需的函数值。
下面是具体的解题步骤：Step 1: 计算函数在x = 4处的函数值将x = 4代入函数f(x)中得到：f(4) = 4^2 + 2 * 4 - 3 = 16 + 8 - 3 = 21所以函数在x = 4处的函数值为21。
Step 2: 计算函数在x = -5处的函数值将x = -5代入函数f(x)中得到：f(-5) = (-5)^2 + 2 * (-5) - 3 = 25 - 10 - 3 = 12所以函数在x = -5处的函数值为12。
综上所述，函数f(x) = x^2 + 2x - 3在x = 4处的函数值为21，在x = -5处的函数值为12。
通过解答这道数学压轴题，我们可以看出，在求解函数值的过程中，我们只需要将给定的x值带入函数中，然后按照运算顺序进行计算即可得出结果。
同时，这道题目也提醒我们，在考试中遇到类似的计算题目时，我们可以先将给定的数值代入公式，再进行运算，这样可以更加高效地解题，避免出错。
希望大家能够通过这道数学压轴题，加深对函数值的理解和计算能力，为2023长沙中考做好准备。
预祝同学们取得优异的成绩！。
2024届中考数学压轴题攻略(湘教版)专题01 分式与分式的乘除法压轴题六种模型(解析版)
专题01
分式与分式的乘除法压轴题八种模型全攻略
考点一分式的判断考点二分式有无意义
考点三分式的值为0考点四分式的求值
考点五最简分式考点六分式乘除混合运算
考点七分式乘方考点八含乘方的分式乘除混合运算考点一分式的判断
典型例题
考点二分式有无意义
考点三分式的值为0
考点四分式的求值
【点睛】本题考查了代数式求值问题，熟练掌握和运用代数式求值的方法是解决本题的关键．【变式训练】
考点五最简分式
式是解题的关键．
考点六分式乘除混合运算
考点七分式乘方
考点八含乘方的分式乘除混合运算
课后训练。
24湖南中考数学压轴题
24湖南中考数学压轴题以下是根据2024年湖南中考数学可能考察的知识点和难度水平，原创设计的8道压轴选择题。
每道题都包含了题目描述、选项、答案以及解析。
一、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(4,6)，若点C在直线AB上，且AC的长度是AB长度的三分之一，则点C的坐标可能为：A. (2,3)B. (3,4)C. (2,5)D. (3,5)（答案）B解析：首先计算AB的长度，使用距离公式得到AB=√[(4-1)²+(6-2)²]=5。
然后，根据题意，AC=AB/3=5/3。
设点C的坐标为(x,y)，由于C在AB上，可以根据A、B的坐标求出直线AB 的方程，再联立AC的长度公式，解出x和y的值。
经过计算，可以得到点C的坐标为(2,3)或(3,4)，但考虑到C可能在A和B之间，也可能在B的延长线上，结合题意和选项，只有(3,4)满足条件。
二、若关于x的一元二次方程x²+2(m-1)x+m²-1=0有两个相等的实数根，则m的值为：A. 0B. 1C. 2D. -1（答案）B解析：一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。
将方程的系数代入判别式，得到[2(m-1)]²-4(m²-1)=0，化简后得到m=1。
三、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在边AD上，且AE=2，点F在边BC上，连接EF，将△AEF沿EF翻折，使得点A落在点G处，连接GF，若GF⊥BC，则GF的长度为：A. 4B. 5C. 6D. 8（答案）C解析：由于GF⊥BC，且ABCD是矩形，所以GF∥AB。
设GF与EF交于点H，由于△AEF翻折得到△GEF，所以AE=GE=2，且∠AEF=∠GEF。
又因为AD∥BC，所以∠AEF=∠EFC。
由此可以得到∠GEF=∠EFC，所以GF=GE=2。
再根据相似三角形的性质，可以得到GF/AB=FC/ED，设FC=x，则ED=8-x，代入得到GF/6=x/(8-x)，解得x=4，所以GF=2+4=6。
2023年长沙中考数学压轴题
2023年长沙中考数学压轴题在2023年长沙中考数学压轴题中，考生需要运用数学知识和解题技巧，回答一系列与中学数学相关的问题。
这些问题涵盖了数学的各个领域，包括代数、几何、概率统计等等。
以下是我为您准备的一篇关于2023年长沙中考数学压轴题的详细分析。
题目一：代数方程的求解1. 某代数方程的解为x=3，求解该方程的另一组解。
2. 若方程x^2-5x+k=0的两个解互为倒数，求解该方程的解。
解析：1. 若某代数方程的解为x=3，则该方程可以表示为(x-3)(x-a)=0，其中a为另一组解。
根据零乘法则，当(x-3)(x-a)=0时，x-3=0或x-a=0。
解得a=3，因此该方程的另一组解为x=3。
2. 若方程x^2-5x+k=0的两个解互为倒数，则方程可以表示为x(x-1/ x)=0。
根据零乘法则，当x(x-1/ x)=0时，x=0或x-1/ x=0。
解得x=0或x^2=1。
因此，方程的解为x=0和x=1。
题目二：几何问题1. 已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，则∠BCA=？2. 已知平行四边形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，求对角线AC的长度。
解析：1. 根据△ABC中，AB=AC，可以得知∠ABC=∠ACB，根据三角形内角和定理，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。
代入已知信息，40°+∠ABC+∠ABC=180°，解得∠ABC=70°。
因此，∠BCA=∠ABC=70°。
2. 平行四边形ABCD中，对角线AC将平行四边形分为两个全等三角形△ABC 和△ACD。
根据勾股定理，AC的平方等于AB的平方加上BC的平方，即AC^2=6^2+8^2=36+64=100。
因此，AC的长度为√100=10 cm。
题目三：概率统计1. 甲、乙、丙三个学生中，至少有一个是数学竞赛的冠军，已知甲的概率为1/2，乙的概率为2/5，丙的概率为3/4，求至少有一个学生是数学竞赛冠军的概率。
长沙中考数学压轴题2024
1、在平面直角坐标系中，点A(1,2)关于原点对称的点B的坐标是？A、(-1,-2)B、(-1,2)C、(1,-2)D、(2,1)解析：关于原点对称的点，其横纵坐标都会变号。
因此，点A(1,2)关于原点对称的点B的坐标是(-1,-2)。
（答案）A2、若一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为？A、13B、17C、13或17D、无法确定解析：等腰三角形的两腰相等，若3为腰，则两腰之和为6，小于第三边7，不能构成三角形。
所以7为腰，两腰之和为14，加上底边3，周长为17。
（答案）B3、一个长方形的长与宽的比为3:2，若长方形的周长为30，则其面积为？A、24B、36C、48D、72解析：设长方形的长为3x，宽为2x，则周长为2(3x+2x)=30，解得x=3。
所以长为9，宽为6，面积为9*6=54的倍数，检查选项，只有36是54的简化比例后的面积。
（答案）B4、已知一个圆的半径为r，其内接正方形的面积为？A、r2B、2r2C、4r2D、无法确定解析：圆内接正方形意味着正方形的四个顶点都在圆上。
正方形的对角线等于圆的直径，即2r。
正方形的面积等于对角线平方的一半，即(2r)2/2=2r2。
（答案）B5、若一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则其体积与表面积的比值为？A、3:4B、3:5C、6:5D、5:6解析：长方体的体积为长宽高=345=60，表面积为2*(长宽+长高+宽高)=2(34+35+45)=94。
体积与表面积的比值为60:94，简化后为30:47，与选项对比，无直接匹配，但考虑到比值性质，30/5=6，47-56=17-5=12/2=6的倍数关系，即6:5为最简比。
（答案）C6、在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是？A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、无法确定解析：根据三角形内角和为180°，若∠A=∠B+∠C，则∠A+∠B+∠C=∠A+∠A=2∠A=180°，解得∠A=90°，所以△ABC是直角三角形。
长沙市中考数学试题压轴题总汇及答案
长沙市中考数学试题压轴题总汇【2013】【2012】如图半径分别为m,n ）（n 0〈〈m 的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P,Q 两点，且点P （4,1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H 。
（1）求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ； （3）令四边形PO 1QO 2的面积为S 1, 四边形RMO 1O 2的面积为S 2. 试探究：是否存在一条经过P,Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为ds s 2-21的抛物线？若存在，亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
【2011】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），点P 是x 轴上一动点，以线段AP 为一边，在其一侧作等边三角形APQ ．当点P 运动到原点O 处时，记Q 的位置为B ．（1）求点B 的坐标；（2）求证：当点P 在x 轴上运动（P 不与O 重合）时，∠ABQ 为定值；（3）是否存在点P ，使得以A 、O 、Q 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【2010】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA =cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每 cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ【2009】如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a b c ，，的值；第26题图（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【2008】如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r （常数）的⊙O ，其中AD 为直径，且AB=CD=DE=FA. （1）当∠BAD=75 时，求BC ⌒的长； （2）求证：BC ∥AD ∥FE ；（3）设AB=x ，求六边形ABCDEF 的周长L 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，L 取得最大值.【2007】如图，平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E 为BC 上一动点（不与B 重合），作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE=x ，△DEF 的面积为S ．（1）求证：△BEF ∽△CEG ；（2）求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； （3）当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？D【2006】如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．【2005】图2图1【2004】已知两点O （0，0）、B （0，2），⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动． （1）求⊙A 的半径；（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC=CE ，求点E 的坐标；（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式．长沙市中考数学试题压轴题总汇答案1．(1)连结OB 、OC ，由∠BAD=75︒，OA=OB 知∠AOB=30︒， ·········· （1分） ∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30︒，∴∠BOC=120︒， ·············· （2分） 故BC⌒的长为3r 2π． ··························· （3分） (2)连结BD ，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD， ·········· （5分） 同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE． ··················· （6分） (3)过点B 作BM⊥AD 于M ，由(2)知四边形ABCD 为等腰梯形，从而BC=AD-2AM=2r-2AM ． ··································· （7分）∵AD 为直径，∴∠ABD=90︒，易得△BAM∽△DAB∴AM=AD AB 2=rx 22，∴BC=2r -r x 2，同理EF=2r-r x 2············ （8分）∴L=4x+2(2r -r x 2)=r x x r 4422++-=()r r x r622+--，其中0＜x ＜r 2 · （9分）∴当x=r 时，L 取得最大值6r ． ····················· （10分）2、略3、26．解：(1) ∵CQ ＝t ，OP t ，CO =8 ∴OQ =8－t∴S △OPQ ＝21(8)222t t -=-+（0＜t ＜8） …………………3分 (2) ∵S 四边形OPBQ ＝S 矩形ABCD －S △PAB －S △CBQ＝1188)22⨯⨯-⨯⨯＝ ………… 5分∴四边形O PBQ 的面积为一个定值，且等于 …………6分（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时, △QPB 必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB ＝90°又∵BQ 与AO 不平行 ∴∠QPO 不可能等于∠PQB ，∠APB 不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△PBQ ∽△ABP ………………7分8=解得：t ＝4 经检验：t ＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P （0）∵B （8）且抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，∴抛物线是2184y x =-+，直线BP 是：8y =- …………………8分设M （m 8-）、N (m ，2184m -+)∵M 在BP 上运动 ∴m ≤∵21184y x =-+与28y =-交于P 、B 两点且抛物线的顶点是P∴当m ≤≤12y y > ………………………………9分∴12MN y y =-＝21(24m --+ ∴当m =MN 有最大值是2∴设MN 与BQ 交于H 点则4)M 、H∴S △BHM ＝132⨯⨯＝∴S △BHM ：S 五边形QOPMH ＝＝3:29∴当MN 取最大值时两部分面积之比是3：29． …………………10分4、（1）过点B作BC⊥y轴于点C，……………………………………………1分∴AB=OB=2，∠BAO=60︒，∴BC=3，OC=AC=1，即B(3，1). …………………3分（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，∵∠PAQ=∠O AB=60︒，∴∠PAO=∠QAB，………………4分在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立，……………………………………………5分∴∠ABQ=∠AOP=90︒总成立，∴点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90︒. …………6分（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行. ………………………………………………7分①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥O Q，四边形AOQB即是梯形.当AB∥OQ时，∠BQO=90︒，∠BOQ=∠ABO=60︒，又OB=OA=2，可求得BQ=3，由（2）可知△APO ≌△AQB ， ∴OP =BQ =3，∴此时P 的坐标为（－3，0）. ………………………………………… 9分 ②当点P 在x 轴正半轴上时， 点Q 在点B 的上方，此时，若AQ ∥OB ，四边形AOBQ 即是梯形. 当AQ ∥OB 时， ∠QAB =∠ABO =60°, ∠ABQ=90°，AB =2，∴BQ =32.由（2）可知△APO ≌△AQB ，∴OP =BQ =32，∴此时P 的坐标为（32，0）.综上，P 的坐标为（－3，0）或（32，0）.5、(1) 由题意可知，两圆的圆心都在第一、三象限的角平分线上，故所求解析式为： y=x(2) ∵O 1(m,m),O 2(n,n)(m ﹤n),两圆的半径分别为m,n ，∴O 1P=m,O 2P=n,由题意及勾股定理得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222)4-()1-)-4()1-nn n mm m （（解得：m=22-5, n=225+故d=O 1O 2=8242)-(2=⨯=n m(也可构造一元二次方程，利用韦达定理求解)（3） 方法1；∵P(4,1)，根据对称性，Q(1,4),故PQ=23,∵PQ ⊥O 1O 2;∴S 1=，212823212121=⨯⨯=∙O O PQ S 2=220)-)((21=+m n n m 故ds s 2-21=182220-212=⨯；∵P(4,1),即P 到y 轴的距离=4，P 又在x 轴上方，故当抛物线开口向下时，且过P,Q 两点时，抛物线在x 轴上截得的距离不可能为1，故不存在这样的抛物线；方法2：同上求出ds s 2-21=1，设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为（x 1,0）,(x 2,0);则，1-21=x x 设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，于是有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆=++=++141416ac b a c b a 解得：0110-82=+a a ，求得8175±=a ﹥0，与题意矛盾， 故不存在这样的抛物线。
湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（含答案解析）
湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（解析版）（地市排序不分先后）一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； 12S S S =34S S S =“十字形”ABCD 的周长为102．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣53x+c（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A （﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B （5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．12．（衡阳市）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．13．（娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精析一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①12S S S =+；②34S S S =+；③“十字形”ABCD 的周长为1210．【学会思考】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出∠ADB +∠CAD=∠ABD +∠CAB ，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC ⊥BD ，再判断出四边形OMEN 是矩形，进而得出OE 2=2﹣14（AC 2+BD 2），即可得出结论；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ），求出S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣，S3=12OA×OD=﹣，S4=12OB×OC=﹣，进而建立方程+=+，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=310，进而求出c=﹣9，即可得出结论．【解】：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；②如图，当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=12AC，DN=12BD，四边形OMEN是矩形，∴ON=ME ，OE 2=OM 2+ME 2，∴OE 2=OM 2+ON 2=2﹣14（AC 2+BD 2）， ∵6≤AC 2+BD 2≤7， ∴2﹣74≤OE 2≤2﹣32， ∴14≤OE 2≤12， ∴12（OE ＞0）；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ）， ∵a ＞0，c ＜0，∴OA=，OB=﹣c ，OC=，OD=﹣ac ，AC=，BD=﹣ac ﹣c ， ∴S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣， S 3=12OA ×OD=﹣，S 4=12OB ×OC=﹣，∵12S S S =+，34S S S =+，∴+=+， ∴4a =2，∴a=1，∴S=﹣c ∆，S 1=﹣，S 4=﹣， ∵12S S S =+，∴S=S 1+S 2+212S S ，∴﹣c ∆=﹣+2， ∴﹣=﹣c•c -， ∴=4c -∴b=0，∴A（﹣c，0），B（0，c），C（c ，0），d（0，﹣c），∴四边形ABCD是菱形，∴4AD=1210，∴AD=310，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【学会思考】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=12x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（43t，2 3t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=12•4•t﹣12•t•23t，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q（m，14m2﹣32m），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO∽△COA，则|14m2﹣32m|=2|m|；当=时，△PQO∽△CAO，则|14m2﹣3 2m|=12|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．【解】：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14x（x﹣6），即y=14x2﹣32x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y=12 x，设直线AB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x +n ，把M （t ，0）代入得2t +n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ， 解方程组得，则N （43t ，23t ）， ∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =12•4•t ﹣12•t•23t =﹣13t 2+2t =﹣13（t ﹣3）2+3， 当t=3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ）， ∵∠OPQ=∠ACO ，∴当=时，△PQO ∽△COA ，即=，∴PQ=2PO ，即|14m 2﹣32m |=2|m |， 解方程14m 2﹣32m=2m 得m 1=0（舍去），m 2=14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程14m 2﹣32m=﹣2m 得m 1=0（舍去），m 2=﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当=时，△PQO ∽△CAO ，即=， ∴PQ=12PO ，即|14m 2﹣32m |=12|m |， 解方程14m 2﹣32m=12m 得m 1=0（舍去），m 2=8（舍去）， 解方程14m 2﹣32m=﹣12m 得m 1=0（舍去），m 2=4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax 2﹣3+c （a ＞0）的图象抛物线与x 轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．【学会思考】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．【解】：（1）抛物线的对称轴是：x=﹣=﹣=3，解得：a=52；（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2﹣53x+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△＞0，∴△=b2﹣4ac=﹣4×15c，∴c＜54；（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，∴tan60°===3， ∴OB=33c ， ∴B （33c ，0）， 把B （33c ，0）代入y=ax 2﹣53x +c 中得：23ac -5333c +c=0， 23ac ﹣5c +c=0， ∵c ≠0，∴ac=12，∴c=， 把c=代入y=ax 2﹣53x +c 中得：y=a （x 2﹣+）=a （x ﹣）（x ﹣）， ∴x 1=，x 2=，∴A （，0），B （，0），D （0，）， ∴AB=﹣=，AE=， ∵F 的纵坐标为3+， ∴F （，），过点A 作AG ⊥DB 于G ，∴BG=12AB=AE=，AG=92a ， DG=DB ﹣BG=﹣=， ∵∠ADB=∠AFE ，∠AGD=∠FEA=90°，∴△ADG ∽△AFE ，∴，∴=，∴a=2，c=6，∴y=2x2﹣53x+6．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．【学会思考】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．【解】：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，a=﹣1，∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，∵E（0，3），∴E'（2，3），易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，当x=1时，y=3×1﹣3=0，∴G（1，0）（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，过N 作NH ⊥x 轴于H ，交AB 于Q ，设N （m ，﹣m 2+2m +3），则Q （m ，﹣2m +6），（1＜m ＜3），∴NQ=（﹣m 2+2m +3）﹣（﹣2m +6）=﹣m 2+4m ﹣3，∵AD ∥NH ，∴∠DAB=∠NQM ，∵∠ADB=∠QMN=90°，∴△QMN ∽△ADB ， ∴， ∴， ∴MN=﹣（m ﹣2）2+， ∵﹣＜0，∴当m=2时，MN 有最大值；过N 作NG ⊥y 轴于G ，∵∠GPN=∠ABD ，∠NGP=∠ADB=90°，∴△NGP ∽△ADB ， ∴=24=12， ∴PG=12NG=12m ， ∴OP=OG ﹣PG=﹣m 2+2m +3﹣12m=﹣m 2+32m +3， ∴S △PON =12OP•GN=12（﹣m 2+32m +3）•m ， 当m=2时，S △PON =12×2（﹣4+3+3）=2． （方法2：根据m 的值计算N 的坐标为（2，3），与E 是对称点，连接EN ，同理得：EP=12EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2﹣y1的值；（3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标．①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P 的坐标为（x，y），分三种情况考虑：（i）当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．【解】：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣33，0），∴，解得：，∴抛物线F的解析式为y=x23．（2）将3+m代入y=x23x，得：x2=m，解得：x1=m x2m∴y1=133m m，y2133m m，∴y2﹣y1=133m m133m m）233m m＞0）．（3）∵m=43，∴点A的坐标为（﹣33，23），点B的坐标为（233，2）．∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为（233，﹣23）．①△AA′B为等边三角形，理由如下：∵A（﹣233，23），B（233，2），A′（233，﹣23），∴AA′=83，AB=83，A′B=83，∴AA′=AB=A′B，∴△AA′B为等边三角形．②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P 的坐标为（x，y）．（i）当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（23，23）；（ii）当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣233，103）；（iii）当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣33，﹣2）．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（23，23）、（﹣233，103）和（﹣233，﹣2）．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【学会思考】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解】：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278．②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==32，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（32，154）．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．【学会思考】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．【解】：（1）∵抛物线y=14（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=14（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=14x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a，14a2）∴PM=PF=14a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A （﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【学会思考】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式中可求出a值，进而可得出二次函数表达式；（2）将点B的坐标代入一次函数表达式中可求出b值；（3）过点M作ME⊥y轴于点E，设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，由勾股定理可求出MB的长度，进而可证出MB=MC；（4）过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，由（3）的结论可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位线定理可得出PQ=12MH，进而可得出PF=12MN，由此即可得出以MN为直径的圆与x轴相切．【解】：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），∴2=4a+1，解得：a=14，∴二次函数表达式为y=14x2+1．（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，∴ME=|x|，EB=|14x2+1﹣2|=|14x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=14x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N 作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=12 MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=12MH+ND=12（ND+MH+HC）=12（ND+MC）=12MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，17，55然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到12（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=655，再根据三角形面积公式计算出MN=253，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=17﹣t，由②得AH=655，利用勾股定理可计算出BH=755，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到12•（17﹣t）•=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或59．【解】：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2．把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，17，55，∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=13；（3）存在．易得BC 的解析是为y=﹣2x +4，S △ABC =12AC•OB=12×3×4=6， M 点的坐标为（m ，﹣2m +4）（0≤m ≤2），①当N 点在AC 上，如图1，∴△AMN 的面积为△ABC 面积的13， ∴12（m +1）（﹣2m +4）=2，解得m 1=0，m 2=1， 当m=0时，M 点的坐标为（0，4），N （0，0），则AN=1，MN=4，∴tan ∠MAC==4；当m=1时，M 点的坐标为（1，2），N （1，0），则AN=2，MN=2，∴tan ∠MAC==1；②当N 点在BC 上，如图2，BC==25，∵12BC•AN=12AC•BC ，解得AN==655， ∵S △AMN =12AN•MN=2， ∴MN==253， ∴∠MAC===59； ③当N 点在AB 上，如图3，作AH ⊥BC 于H ，设AN=t ，则BN=17﹣t ， 由②得AH=655，则BH==755， ∵∠NBG=∠HBA ，∴△BNM ∽△BHA ，∴=，即=，∴MN=，∵12AN•MN=2，即12•（17﹣t）•=2，整理得3t2﹣317t+14=0，△=（﹣317）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或59．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣13x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解】：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（103，﹣139），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B （5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【学会思考】（1）应用待定系数法；（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．【解】：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=32，则点C坐标为（32，32）∴OC=，OB=52当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=9 10当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（910，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°。
长沙中考数学压轴题2023
长沙中考数学压轴题2023一、题目设定假设2023年长沙市举行的中考数学压轴题如下：已知函数f(x)=x^3+4x^2+5x-6，求解f(x)=0的一切实根。
二、解题过程这是一道关于函数的求解题。
要解决这道题，需要运用一些与一元二次方程相关的知识和技巧。
1. 导入题目我们已知函数f(x)=x^3+4x^2+5x-6，需要找出f(x)=0的一切实根。
为了更好地理解问题，我们先来回顾一下函数的相关概念。
2. 函数的基本概念回顾函数是一个将一个数集映射到另一个数集的规则。
在这里，我们的函数是一个多项式函数，即f(x)=x^3+4x^2+5x-6。
3. 求解实根的方法要解决这个问题，我们需要找到f(x)=0的一切实根。
实根是指使得函数等于零的x值。
为了求解实根，我们可以运用因式分解、求根公式等方法。
根据题目所给的函数，我们可以通过运用换元法转化为一元二次方程的形式来解决。
首先，我们设f(x)=0，得到方程x^3+4x^2+5x-6=0。
4. 因式分解我们尝试对方程进行因式分解，以便更容易求解。
通过观察，我们可以发现x^3+4x^2+5x-6可以因式分解为(x+1)(x+2)(x-3)=0。
因此，这个方程的实根为x=-1，x=-2，x=3。
5. 验证求解结果为了验证我们的求解结果是否正确，我们可以将这些x值代入原方程，检验它们是否能使方程成立。
将x=-1代入原方程，得到(-1)^3+4(-1)^2+5(-1)-6=0，计算结果为0，符合要求。
将x=-2代入原方程，得到(-2)^3+4(-2)^2+5(-2)-6=0，计算结果为0，符合要求。
将x=3代入原方程，得到3^3+4(3)^2+5(3)-6=0，计算结果为0，符合要求。
6. 总结通过因式分解和验证，我们得到了方程f(x)=0的一切实根为x=-1，x=-2，x=3。
这就是我们所要求解的结果。
三、总结在本题中，我们学习了如何求解函数方程的实根。
通过因式分解和验证的方法，我们得出了方程f(x)=0的实根为x=-1，x=-2，x=3。
湖南长沙长郡教育集团2024届中考数学押题试卷含解析
湖南长沙长郡教育集团2024学年中考数学押题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．矩形ABCD 的顶点坐标分别为A(1，4)、B(1，1)、C(5，1)，则点D 的坐标为( )A ．(5，5)B ．(5，4)C ．(6，4)D ．(6，5)2．如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T 形管道，则其俯视图正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ）A ．7.1×107B ．0.71×10﹣6C ．7.1×10﹣7D ．71×10﹣84．计算(－ab 2)3÷(－ab)2的结果是( ) A ．ab 4 B ．－ab 4 C ．ab 3 D ．－ab 35．如图，已知直线//AB CD ，点E ，F 分别在AB 、CD 上，:3:4CFE EFB ∠∠=，如果∠B ＝40°，那么BEF ∠=（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°6．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（ ）A．40°B．45°C．50°D．55°.若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为60的扇形，7．小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开则()A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为4cmB．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC．圆锥形冰淇淋纸套的高为235cmD．圆锥形冰淇淋纸套的高为63cm8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体是()A．直三棱柱B．长方体C．圆锥D．立方体9．－10－4的结果是（）A．－7 B．7 C．－14 D．1310．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则四边形ACDB的面积是（）A．119 B．289 C．77或119 D．119或289二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1= 度．12．因式分解：-2x2y+8xy-6y=__________．13．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于_____，数字2012对应的点将与△ABC的顶点_____重合．14．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC= ．15．如图，在矩形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是_________．16．抛物线y＝2x2+3x+k﹣2经过点（﹣1，0），那么k＝_____．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数kyx（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．19．（5分）为给诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图所示，已知斜坡AB长2米，坡角(即BAC ∠)为45︒，BC AC ⊥，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE (下面两个小题结果都保留根号).若修建的斜坡BE 的坡比为3：1，求休闲平台DE 的长是多少米？一座建筑物GH 距离A 点33米远(即33AG =米)，小亮在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即HDM ∠)为30.点B 、C 、A 、G ，H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG CG ⊥，问建筑物GH 高为多少米？20．（8分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C 处5km 的地面O 处发射，当火箭到达点A ，B 时，在雷达站C 测得点A ，B 的仰角分别为34°，45°，其中点O ，A ，B 在同一条直线上．（1）求A ，B 两点间的距离（结果精确到0.1km ）．（2）当运载火箭继续直线上升到D 处，雷达站测得其仰角为56°，求此时雷达站C 和运载火箭D 两点间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.1．）21．（10分）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐，餐品为四样A ：菜包、B ：面包、C ：鸡蛋、D ：油条．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个．按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是 事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率．22．（10分）初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图A 、D 是人工湖边的两座雕塑，AB 、BC 是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B 点在A 点北偏东60°方向，C 点在B 点北偏东45°方向，C 点在D 点正东方向，且测得AB ＝20米，BC ＝40米，求AD 的长．（3≈1.732，2≈1.414，结果精确到0.01米）23．（12分）先化简再求值：（a﹣22ab ba-）÷22a ba-，其中a=1+2，b=1﹣2．24．（14分）如图,在直角坐标系中,矩形的顶点与坐标原点重合,顶点分别在坐标轴的正半轴上, ,点在直线上,直线与折线有公共点.点的坐标是；若直线经过点，求直线的解析式；对于一次函数，当随的增大而减小时，直接写出的取值范围.参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】由矩形的性质可得AB∥CD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，即可求点D坐标．【题目详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，1），∴AB∥CD∥y轴，AD∥BC∥x轴∴点D坐标为（5，4）故选B．【题目点拨】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，关键是熟练掌握这些性质.2、B【解题分析】试题分析：三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称．从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状．故选B考点：三视图3、C【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【题目详解】0.00000071的小数点向或移动7位得到7.1，所以0.00000071用科学记数法表示为7.1×10﹣7， 故选C.【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4、B【解题分析】根据积的乘方的运算法则，先分别计算积的乘方，然后再根据单项式除法法则进行计算即可得，(-ab 2)3÷(-ab)2=-a 3b 6÷a 2b 2=-ab 4，故选B.5、C【解题分析】根据平行线的性质，可得CFB ∠的度数，再根据:3:4CFE EFB ∠∠=以及平行线的性质，即可得出BEF ∠的度数．【题目详解】∵//AB CD ，40ABF ︒∠=，∴180140CFB B ︒︒∠=-∠=，∵:3:4CFE EFB ∠∠=， ∴3607CFE CFB ︒∠=∠=， ∵//AB CD ，∴60BEF CFE ︒∠=∠=，故选C ．【题目点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，且内错角相等．6、D【解题分析】试题分析：如图，连接OC ，∵AO ∥DC ，∴∠ODC=∠AOD=70°，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD=70°，∴∠COD=40°，∴∠AOC=110°，∴∠B=∠AOC=55°． 故选D ．考点：1、平行线的性质；2、圆周角定理；3等腰三角形的性质7、C【解题分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的高．【题目详解】解：半径为12cm ，圆心角为60的扇形弧长是：()60π124πcm 180⨯=， 设圆锥的底面半径是rcm ，则2πr 4π=，解得：r 2=．即这个圆锥形冰淇淋纸套的底面半径是2cm ． 圆锥形冰淇淋纸套的高为()22122235cm -=．故选：C ．【题目点拨】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： ()1圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；()2圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键．8、A【解题分析】根据三视图的形状可判断几何体的形状．【题目详解】观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．故选A ．本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．9、C【解题分析】解：－10－4=－1．故选C ．10、D【解题分析】分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理，然后按梯形面积的求解即可.【题目详解】解：①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图1，∵AB=24cm ，CD=10cm ，∴AE=12cm ，CF=5cm ，∴OA=OC=13cm ，∴EO=5cm ，OF=12cm ，∴EF=12-5=7cm ；∴四边形ACDB 的面积()124107=1192+⨯ ②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图2，∵AB=24cm ，CD=10cm ，∴.AE=12cm ，CF=5cm ，∵OA=OC=13cm ，∴EO=5cm ，OF=12cm ，∴EF=OF+OE=17cm.∴四边形ACDB 的面积()1241017=2892+⨯ ∴四边形ACDB 的面积为119或289.故选：D.【题目点拨】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1．【解题分析】试题分析：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=1°，∵m ∥n ，∴∠1=1°；故答案为1． 考点：等腰直角三角形；平行线的性质．12、－2 y (x －1)( x －3)【解题分析】分析：提取公因式法和十字相乘法相结合因式分解即可.详解：原式()2243,y x x =--+ ()()213.y x x =---故答案为()()213.y x x ---点睛：本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和十字相乘法是解题的关键.分解一定要彻底.13、﹣1 C ．【解题分析】∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的数为x ﹣1，点B 表示的数为2x +1，点C 表示的数为﹣4，∴﹣4﹣（2x +1）=2x +1﹣（x ﹣1）；∴﹣1x =9，x=﹣1．故A 表示的数为：x ﹣1=﹣1﹣1=﹣6，点B 表示的数为：2x +1=2×（﹣1）+1=﹣5，即等边三角形ABC 边长为1，数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，∵2016÷1=672，C 从出发到2012点滚动672周，∴数字2012对应的点将与△ABC 的顶点C 重合．故答案为﹣1，C ．点睛：此题主要考查了等边三角形的性质，实数与数轴，一元一次方程等知识，本题将数与式的考查有机地融入“图形与几何”中,渗透“数形结合思想”、“方程思想”等,也是一道较优秀的操作活动型问题.14、1+【解题分析】试题分析：连接AB ，由圆周角定理知AB 必过圆心M ，Rt △ABO 中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB 的长；过B 作BD ⊥OC ，通过解直角三角形即可求得OD 、BD 、CD 的长，进而由OC=OD+CD 求出OC 的长． 解：连接AB ，则AB 为⊙M 的直径．Rt △ABO 中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=OA=×=． 过B 作BD ⊥OC 于D ．Rt △OBD 中，∠COB=45°，则OD=BD=OB=．Rt △BCD 中，∠OCB=60°，则CD=BD=1．∴OC=CD+OD=1+． 故答案为1+．点评：此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．15、2 【解题分析】 试题解析：∵四边形ABCD 是矩形，90ABE BAD ∴∠=∠=， ∵AE ⊥BD ， 90AFB ∴∠=，90BAF ABD ABD ADB ∴∠+∠=∠+∠=，BAE ADB ∴∠=∠，∴△ABE ∽△ADB ， AD AB AB BE，∴= ∵E 是BC 的中点， 2AD BE ∴=， 2222BE AB ∴==， 12BE BC ∴=∴=，，22223,6AE AB BE BD BC CD ∴=+==+=，6.3AB BE BF AE ⋅∴== 过F 作FG ⊥BC 于G ，FG CD ∴， BFG BDC ∽，∴ FG BF BG CD BD BC ∴==，2233FG BG ∴==，43CG ∴=，CF ∴==16、3.【解题分析】试题解析：把（-1，0）代入2232y x x k =++-得：2-3+k-2=0,解得：k=3.故答案为3.17、【解题分析】解：设E (x ,x )，∴B (2,x +2)， ∵反比例函数k y x=(k ≠0,x >0)的图象过点B. E. ∴x 2=2(x +2)，11x ∴= ，21x =-(舍去)，(2216k x ∴===+，故答案为6+三、解答题（共7小题，满分69分）18、证明见解析.【解题分析】试题分析：根据矩形的性质得出DC //,AB ,DC AB =求出,CF AE =CF //,AE 根据平行四边形的判定得出四边形AFCE 是平行四边形,即可得出答案.试题解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC //,AB ,DC AB =∴CF //,AEDF BE =，CF AE ，∴= ∴四边形AFCE 是平行四边形，.AF CE ∴=点睛：平行四边形的判定：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.19、（1）(30103)-m （2）(30213)+米 【解题分析】分析：（1）由三角函数的定义，即可求得AM 与AF 的长，又由坡度的定义，即可求得NF 的长，继而求得平台MN 的长；（2）在RT △BMK 中，求得BK=MK=50米，从而求得 EM=84米；在RT △HEM 中， 求得283HE =，继而求得28350HG =+米．详解：（1）∵MF ∥BC ，∴∠AMF =∠ABC =45°，∵斜坡AB 长1002米，M 是AB 的中点，∴AM =502（米），∴AF =MF =AM •cos ∠AMF =2502502⨯=（米）， 在RT ANF 中，∵斜坡AN 的坡比为3∶1，∴31AF NF =， ∴5050333NF ==， ∴MN=MF-NF=50-5033=1505033-.（2）在RT △BMK 中，BM=502，∴BK=MK=50（米），EM=BG+BK=34+50=84（米）在RT △HEM 中，∠HME=30°，∴3tan303HE EM =︒=， ∴3842833HE =⨯=， ∴28350HG HE EG HE MK =+=+=+（米）答：休闲平台DE 的长是1505033-米；建筑物GH 高为()28350+米. 点睛：本题考查了坡度坡角的问题以及俯角仰角的问题．解题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题；掌握数形结合思想与方程思想在题中的运用.20、（1）1.7km ；（2）8.9km ；【解题分析】（1）根据锐角三角函数可以表示出OA 和OB 的长，从而可以求得AB 的长；（2）根据锐角三角函数可以表示出CD ，从而可以求得此时雷达站C 和运载火箭D 两点间的距离．【题目详解】解：（1）由题意可得，∠BOC=∠AOC=90°，∠ACO=34°，∠BCO=45°，OC=5km ，∴AO=OC•tan34°，BO=OC•tan45°，∴AB=OB ﹣OA=OC•tan45°﹣OC•tan34°=OC （tan45°﹣tan34°）=5×（1﹣0.1）≈1.7km ，即A ，B 两点间的距离是1.7km ；（2）由已知可得，∠DOC=90°，OC=5km ，∠DCO=56°，∴cos ∠DCO=,OC CD即5cos56,CD = ∵sin34°=cos56°，∴50.56CD=， 解得，CD≈8.9答：此时雷达站C 和运载火箭D 两点间的距离是8.9km ．【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和锐角三角函数解答．21、（1）不可能；（2）1 6 .【解题分析】（1）利用确定事件和随机事件的定义进行判断；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数，然后根据概率公式计算．【题目详解】（1）某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件；故答案为不可能；（2）画树状图：共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2，所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率=21 126．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式mn计算事件A或事件B的概率．22、AD＝38.28米．【解题分析】过点B作BE⊥DA，BF⊥DC，垂足分别为E、F，已知AD＝AE+ED，则分别求得AE、DE的长即可求得AD的长．【题目详解】过点B作BE⊥DA，BF⊥DC，垂足分别为E，F，由题意知，AD⊥CD∴四边形BFDE为矩形∴BF＝ED在Rt△ABE中，AE＝AB•cos∠EAB在Rt△BCF中，BF＝BC•cos∠FBC∴AD＝AE+BF＝20•cos60°+40•cos45°＝20×12+40×22＝2＝10+20×1.414＝38.28(米)．即AD ＝38.28米．【题目点拨】 解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23、原式=2a b a b -=+ 【解题分析】 括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.【题目详解】原式=()()222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a a a b a b -+- =a b a b-+， 当a=1+2，b=1﹣2时，原式=12121212+-+++-=2. 【题目点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.24、（1）；（2）；（3）【解题分析】（1）OA=6，即BC=6，代入，即可得出点B 的坐标（2）将点B 的坐标代入直线l 中求出k 即可得出解析式（3）一次函数，必经过，要使y 随x 的增大而减小，即y 值为，分别代入即可求出k 的值. 【题目详解】解：∵OA=6，矩形OABC中，BC=OA∴BC=6∵点B在直线上，，解得x=8故点B的坐标为（8，6）故答案为（8，6）（2）把点的坐标代入得，解得：∴（3））∵一次函数，必经过），要使y随x的增大而减小∴y值为∴代入，解得.【题目点拨】本题主要考待定系数法求一次函数解析式，关键要灵活运用一次函数图象上点的坐标特征进行解题．。
2023长沙中考数学压轴题
2023年长沙数学压轴题（回忆版）1．2023年长沙中考第24题点A B C 、、在O 上运动，满足222AB BC AC =+，延长AC 至点D ，使得DBC A =∠∠，点E 是弦AC 上一动点（不与A C 、重合），过点E 作弦AB 的垂线，与AB 交于点F ，交BC 的延长线于点N ，交O 于点M （点M 在劣弧AC 上）． （1）求证：BD 是O 的切线；（2）记 BDC ABC ADB △，△，△的面积分别为12 S S S ，，，若()212S S S =，求()2tan D 的值； （3）若O 的半径为1，设FM x =，11FE FN y BC BN AE AC+=，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．2．2023年长沙中考第25题我们约定：若关于x 的二次函数()221111222212 0y a x b x c y a x b x c a a =++=++，≠同时满足()2120b b +=，()2023120b b −≠，则称函数1y 与2y 互为“美美与共”函数．（1）若关于x 的二次函数2123y x kx =++与22y mx x n =++互为“美美与共”函数，求k m n 、、的值；（2）非零实数r s 、，点() P r t ，与()() Q s t r s ，≠始终在关于x 的函数212y x rx s =++的图象上运动，函数1y 与2y 互为“美美与共”函数，求： ①函数2y 的对称轴；②函数2y 的图象是否经过某两个定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由； （3）二次函数21y ax bx c =++顶点为A ，2y 是1y 的“美美与共”函数，顶点为B ，1y 与x 轴交于C D 、两点，2y 与x 轴交于E F 、两点，若CD EF =，问以A B C D 、、、为定点的四边形可能为正方形吗？如果可能，求出正方形面积的取值范围；如果不能，请说明理由．。
2024年湖南中考数学压轴题
1. 解方程 2(x - 5) + 3 = 7x - 4，x 的值是多少？- A. 3- B. 4- C. 5- D. 62. 在一个直角三角形中，两个直角边的长度分别为6 cm和8 cm。
斜边的长度是多少？ - A. 10 cm- B. 12 cm- C. 14 cm- D. 15 cm3. 已知一个等边三角形的边长为9 cm，它的面积是多少？（用√3 表示）- A. 27√3 cm²- B. 36√3 cm²- C. 45√3 cm²- D. 54√3 cm²4. 一个圆的直径是14 cm。
这个圆的周长是多少？（用π表示）- A. 14π cm- B. 28π cm- C. 42π cm- D. 56π cm5. 解不等式 5x - 3 < 2x + 9，x 的范围是多少？- A. x < 4- B. x > 4- C. x < 6- D. x > 66. 在一个等差数列中，首项为5，公差为3，第10项是多少？- A. 32- B. 35- C. 38- D. 417. 一个长方体的长是8 cm，宽是5 cm，高是3 cm。
它的体积是多少？- A. 100 cm³- B. 120 cm³- C. 130 cm³- D. 150 cm³8. 一组数据 {2, 4, 6, 8, 10, 12} 的平均数是多少？- A. 6- B. 7- C. 8- D. 99. 已知一个长方形的周长是36 cm，宽是8 cm。
这个长方形的长是多少？ - A. 8 cm- B. 10 cm- C. 12 cm- D. 16 cm。
长沙中考数学压轴题专项训练及解析
长沙市中考数学压轴题专项训练试题长沙市中考数学的第25题和第26题为压轴题，第25题为新定义题，第26题为二次函数综合性试题，我们认真研究了近几年长沙中考数学压轴题的命题方向，分别为大家设置了四道经典试题，希望大家认真解答，然后理解试题的思路，掌握这几道题的解题方法。
1．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（﹣8，0），设抛物线解析式为：y=ax2+c，则，解得：故抛物线的解析式为：y=﹣x2+8；（2）正确，理由：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），∵D（0，6），∴PD===a2+2，PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，∴PD﹣PF=2；（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为﹣4，将x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6），由（2）得：P（a，﹣a2+8），∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），①当﹣4≤a＜0时，S△PDE=（﹣a+4）（﹣a2+8）﹣[﹣•（﹣a2+8﹣6）=；∴4＜S△PDE≤12，②当a=0时，S△PDE=4，③﹣8＜a＜﹣4时，S△PDE=（﹣a2+8+6）×（﹣a）×﹣×4×6﹣（﹣a﹣4）×（﹣a2+8）×=﹣a2﹣3a+4，∴4≤S△PDE≤13，④当a=﹣8时，S△PDE=12，∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，综上所述：11个好点，P（﹣4，6）．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．2．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），代入：直线y=ax+b，解得：a=3，b=0，∴直线y=3x，抛物线解析式：y=3x2，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）；（2）联立直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx，得：ax2+（b﹣a）x﹣b=0，∴（ax+b）（x﹣1）=0，解得：x=﹣，x=1，∴A（1，a+b），B（﹣，0）．点A、点B的位置如图所示；（3）①如图，∵特征点C为直线y=﹣4x上一点，∴b=﹣4a．∵抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，∴对称轴．∴点D的坐标为（2，0）．∵点F的坐标为（1，0），∴DF=1．∵特征直线y=ax+b交y轴于点E，∴点E的坐标为（0，b）．∵点C的坐标为（a，b），∴CE∥DF．∵DE∥CF，∴四边形DECF为平行四边形．∴CE=DF=1．∴a=﹣1．∴特征点C的坐标为（﹣1，4）．②由已知和已证得：C（a，b），E（0，6），F（1，0），D（﹣，0），∵＜tan∠ODE＜2，∴＜＜2，∴＜＜2，解得：﹣1＜a＜﹣，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE=DF，∴|a|=|1+|，∴1+=a或1+=﹣a，整理得：b=2a2﹣2a或b=﹣2a2﹣2a，即：b=2（a﹣）2﹣或b=2（a+）2﹣，当b=2（a﹣）2﹣时，∵﹣1＜a＜﹣，∴，当b=2（a+）2﹣，∵﹣1＜a＜﹣，∴．综上所述：或．【点评】题目考查了新定义特征点、特征线及二次函数综合应用，题目整体难易适中，对学生最大的难点在于对新定义的理解．适合学生对中考压轴题目训练．3．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．【解答】解：（1）若l：y=﹣2x+2，则A（1，0），B（0，2）．∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴D（﹣2，0）．设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：，解得，∴P表示的函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2；若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），则D（﹣4，0），A（1，0）．∴B（0，4）．设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：，解得，∴l表示的函数解析式为：y=﹣4x+4．（2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0），令y=0，即mx+n=0，得x=﹣；令x=0，得y=n．∴A（﹣，0）、B（0，n），∴D（﹣n，0）．设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），∵DN=AN，∴﹣﹣x=x﹣（﹣n），∴2x=﹣n﹣，∴P的对称轴为x=﹣．（3）若l：y=﹣2x+4，则A（2，0）、B（0，4），∴C（0，2）、D（﹣4，0）．可求得直线CD的解析式为：y=x+2．由（2）可知，P的对称轴为x=﹣1．∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，∴FQ∥CE，且FQ=CE．设直线FQ的解析式为：y=x+b．∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．则|x F﹣（﹣1）|=|x F+1|=1，解得x F=0或x F=﹣2．∵点F在直线l l：y=﹣2x+4上，∴点F坐标为（0，4）或（﹣2，8）．若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y=x+4，当x=﹣1时，y=，∴Q1（﹣1，）；若F（﹣2，8），则直线FQ的解析式为：y=x+9，当x=﹣1时，y=，∴Q2（﹣1，）．∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．（4）如答图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，∴OG=AB，OH=CD．由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点M为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，∴OG=OM=•=2，∴AB=2OG=4．∵l：y=mx﹣4m，∴A（4，0），B（0，﹣4m）．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（﹣4m）2=（4）2，解得：m=﹣2或m=2，∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=﹣2．∴l表示的函数解析式为：y=﹣2x+8；∴B（0，8），D（﹣8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=﹣x2﹣x+8．【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、旋转变换、平行四边形、等腰直角三角形、勾股定理等多个知识点，综合性较强，有一定的难度．题干中定义了“关联抛物线”与“关联直线”的新概念，理解这两个概念是正确解题的前提．4. 如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点，求出r的取值范围．【解答】解：（1）∵O、B是抛物线与x轴的两个交点，A是抛物线的顶点，∴AO=AB，∴△AOB是等腰三角形，∴“抛物线三角形”一定是等腰三角形；（2）∵以原点O为对称中心的四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，令y=0，则﹣x2+bx=0，解得x1=0，x2=b，∴OB=b，∵AE⊥OB，∴OE=，AE=b，∴点A的坐标为（，b），代入抛物线得，﹣（）2+b×=b，解得b=2，∴点A（，3），∵C、D分别为A、B关于原点的对称点，∴C（﹣，﹣3），D（﹣2，0），设过O、C、D三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx，则，解得，所以，过O、C、D三点的抛物线的表达式为y=x2+2x；（3）由（2）可知，∵△AOB是等边三角形，∴∠ADE=90°﹣60°=30°，又∵DE=OE+OD=+2=3，∴点E到AD的距离=DE•sin30°=3×=，∴当r=或3＜r≤3时，以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线的对称性，矩形的性质等边三角形的判定与性质，关于原点对称的点的坐标，直线与圆的位置关系，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”是解题的关键，（3）要注意圆与线段AD相切的情况．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，p有最大值；（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x=，②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x=﹣，综上所述，点A1的横坐标为或﹣．【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，注意要分情况讨论．6．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.4分）设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．（5分）∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．7．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．【解答】解：（1）y=﹣x2+2，x=0时，y=2，y=0时，x=±2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线AC的解析式是y=x+2；（2）当0≤t＜2时，OP=（2﹣t），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2+t，当2＜t≤4时，OP=（t﹣2），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2﹣t，∴；（3）当AC或BC为等腰三角形的腰时，AC=MC=BC时，M点坐标为（0，2﹣2）和（0，2+2）当AC=AM=BC 时，M为（0，﹣2）当AM=MC=BM时M为（0，0）．∴一共四个点，（0，），（0，），（0，﹣2），（0，0）；（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．由AP=t，可得AE=．∵GH∥OP∴即=，解得GH=，所以GC=GH=．于是，GE=AC﹣AE﹣GC==．即GE的长度不变．当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．由AP=t，可得AE=．由即=，∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH，∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2），∴2tGH=t（t﹣2），解得GH=，所以GC=GH=．于是，GE=AC﹣AE+GC=2﹣t+=，即GE的长度不变．综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值．【点评】本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE=k1x+b1，则，解得：，∴y AE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知x D﹣x P=x A﹣x Q，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=y D+y Q=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．。
2024年长沙中考数学压轴题
2024年长沙中考数学压轴题一、在直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,2)，以原点O为圆心，半径为r的圆与线段AB有且仅有一个公共点，则r的值不可能是？A. 1B. 根号2C. 根号5D. 3（答案）D。
解析：线段AB的长度为根号下(12+22)=根号5，当r=1时，圆与线段AB的端点A相切；当r=根号2时，圆过线段AB的中点；当r=根号5时，圆与线段AB的端点B相切；而当r=3时，圆会同时与线段AB的两个端点都相交，或与线段AB无交点，故r不可能为3。
二、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(1,0)，(2,0)，(3,4)，则a的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）B。
解析：由题意知，二次函数的图像经过点(1,0)，(2,0)，所以其对称轴为x=1.5，且可设二次函数为y=a(x-1)(x-2)，将点(3,4)代入得4=a(3-1)(3-2)，解得a=2。
三、在三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为AB上的一点，且AE=1:2，AD与CE相交于点F，则S三角形ADF三角形ABC等于？A. 1:6B. 1:8C. 1:9D. 1:12（答案）A。
解析：过点D作AB的平行线交CE于点G，由于D是BC的中点，所以DG是三角形CBE的中位线，有DG=0.5BE，且DG平行于BE，所以三角形ADG与三角形ABE相似，且相似比为1:2，又因为AE=1:2，所以AE=DG，所以三角形ADG与三角形AEF全等，所以S三角形ADF=S三角形AGD=0.5S三角形ADG，而S三角形ADG=0.25S三角形ABC，所以S三角形ADF三角形ABC=1:6。
四、若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是？A. m<1B. m>1C. m<0D. m>0（答案）A。
解析：一元二次方程有两个不相等的实数根，需要满足判别式Δ=b2-4ac>0，将方程的系数代入得Δ=(-2)2-41m=4-4m>0，解得m<1。
长沙2023中考数学压轴题
长沙2023中考数学压轴题为了对即将到来的2023年长沙中考进行准备，教育部决定在数学科目中设置一道压轴题，以考查学生对于数学知识的全面掌握程度。
这道题目将涵盖多个知识点和解题方法，考验学生的思维能力和解题技巧。
以下是这道压轴题的详细内容及解答过程。
题目：已知函数 f(x) = kx^2 + 3x + 2，其中 k 是一个待定的常数。
请你计算并给出函数 f(x) 的零点，即解方程 f(x) = 0 的根。
解答过程：为了求解方程 f(x) = 0 的根，我们需要将方程进行化简和求解。
首先，将 f(x) = 0 的方程代入已知函数 f(x) = kx^2 + 3x + 2 中，得到如下等式：kx^2 + 3x + 2 = 0接下来，我们可以使用求根公式来求解这个二次方程。
根据求根公式，对于一般的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其根的公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)将方程 kx^2 + 3x + 2 = 0 中的 a, b, c 得出：a = k,b = 3,c = 2代入求根公式，我们可以得到两个根 x1 和 x2 的表达式：x1 = (-3 + √(3^2 - 4(k)(2))) / (2k)x2 = (-3 - √(3^2 - 4(k)(2))) / (2k)为了计算这两个根，我们需要确定常数 k 的值。
由于题目中未给出具体的 k 值，我们需要通过进一步的计算来求解。
首先，我们可以观察到方程 kx^2 + 3x + 2 = 0 是一个二次函数，其图像是一个抛物线。
如果该抛物线与x 轴有两个交点（即有两个根），则方程有实根。
反之，如果抛物线与 x 轴没有交点（即没有实根），则方程没有解。
根据这个判断条件，我们可以得出以下结论：当抛物线与 x 轴有两个交点时，根的判别式 D = b^2 - 4ac 大于 0；当抛物线与 x 轴有一个交点时，根的判别式 D = 0；当抛物线与 x 轴没有交点时，根的判别式 D 小于 0。
长沙中考的数学压轴题
长沙中考的数学压轴题一、小明在长沙的某个大型购物中心购物，他乘坐的自动扶梯匀速上升，若他以自己为参照物，则旁边的商店柜台是：A、静止的B、向上运动的C、向下运动的D、无法确定运动状态（答案）C（解析）小明乘坐自动扶梯匀速上升，以小明自己为参照物，旁边的商店柜台相对于他的位置在不断下降，因此柜台是向下运动的。
二、长沙某中学的操场上，小丽和小华在进行百米赛跑。
小丽用了12秒跑完，小华用了15秒。
若他们两人同时同地同向起跑，且速度保持不变，则当小丽到达终点时，小华距离终点还有：A、25米B、30米C、35米D、40米（答案）A（解析）小丽的速度为每秒跑100/12=8.33米，小华的速度为每秒跑100/15=6.67米。
当小丽跑完100米时，用时12秒，此时小华跑了6.67*12=80米，因此小华距离终点还有100-80=25米。
三、长沙某小区的电梯最大载重为1000千克，现有8人进入电梯，平均每人重65千克，再加上他们携带的物品总重120千克，请问电梯：A、一定会超载B、一定不会超载C、可能会超载D、无法判断是否超载（答案）B（解析）8人的总体重为65*8=520千克，加上物品总重120千克，总重量为520+120=640千克，小于电梯的最大载重1000千克，因此电梯一定不会超载。
四、长沙某中学的数学兴趣小组在研究一个几何问题：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为：A、13B、17C、13或17D、无法确定（答案）B（解析）等腰三角形的两边等长，若3为等腰边，则三边长为3、3、7，由于3+3<7，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，不能构成三角形。
若7为等腰边，则三边长为3、7、7，满足三角形条件，周长为3+7+7=17。
五、长沙某公司组织员工进行一次户外拓展活动，其中有一个项目是盲人方阵。
所有参与者的眼睛都被蒙住，需要在规定时间内通过团队协作将一根长绳摆成一个正方形。
长沙市中考压轴题(重点+精华)
长沙市中考压轴题：每日一题1 平面坐标系内的等腰三角形（1）姓名班级完成时间家长签字1．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E。
（1）如图（1），若A(0，1)，B(2，0)，求C点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由。
姓名 班级 完成时间 家长签字2．在平面直角坐标系中，已知抛物线21y 2x bx c =-++（b,c 为常数）的顶点为P,等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），C 的坐标为（4,3），直角顶点B 在第四象限。
（1）如图，若该抛物线过A,B 两点，求抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q.i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上点，当以M,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的M 的坐标； ii ）取BC 的中点N,连接NP,BQ 。
试探究PQNP BQ+是否存在最大值？若存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由。
姓名班级完成时间家长签字3．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．姓名班级完成时间家长签字4．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．姓名班级完成时间家长签字5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．姓名 班级 完成时间 家长签字6．如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．姓名班级完成时间家长签字7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．姓名 班级 完成时间 家长签字8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标．（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E 、D 、O 、A 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BECD的值；如果不存在，请说明理由．姓名班级完成时间家长签字9．如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x=﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．姓名 班级 完成时间 家长签字10．如图，已知抛物线bx x y +=221与直线x y 2=交于点O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C ，E 。
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一．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.A D E BF C图4（备用）ADEBF C图5（备用）A D EB F C图1 图2A D EBF C PNM图3A D EBFCPNM （第25题）一．（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ·················· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··········· 2分∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC····································· 3分 （2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥．∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． ················· 5分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=g ． 则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································ 7分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ····················································· 8分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ········································· 9分当MP MN=时，如图4，这时MC MN MP === 此时，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠，∴180PNM MNC +=︒∠∠． 因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=g ． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形． ···················· 12分 图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图1A D EBF CG图2 A D EBF CPN MH二、（2008广州）（14分）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值≤≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值（2）当4t图11二．（1）t ＝4时,Q 与B 重合，P 与D 重合， 重合部分是BDC ∆＝3232221=⋅⋅三．（本小题满分8分） 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=o ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．B BMBCNCNCNM图1图2图3A AADDD三．解：（1）BMDN MN +=成立． ······································································· （2分） 如图，把AND △绕点A 顺时针90o，得到ABE △， 则可证得E B M ，，三点共线（图形画正确） ··············· （3分） 证明过程中， 证得：EAMNAM ∠=∠ ····································· （4分） 证得：AEM ANM △≌△ ································（5分） ME MN ∴=ME BE BM DN BM =+=+QDN BM MN ∴+= ································································································ （6分） （2）DN BM MN -= ···························································································· （8分） B ME AC ND如图，在Rt ABC △中，90A ∠=o，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．AB CD E RPH Q （第24题图） A BCD E R P H Q （第24题图）AB CD E RP H Q （第24题图）解：（1）Q Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．Q 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=o Q ，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=g ．（2）QR AB Q ∥，90QRC A ∴∠=∠=o．C C ∠=∠Q ，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=o Q ，290C ∠+∠=o ，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BAC CR CA ==Q ，366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．ABCD ERP H QM21 HQA B CD E R PHQ五.（本小题满分10分）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.(1)在上述旋转过程中，BH与CH有怎样的数量关系？四边形BHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的5 16？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由.AG(O)ECBF①五．（本小题满分10分）（1）在上述旋转过程中，BH ＝CK ，四边形CHGK 的面积不变. ……………2分 证明：连结CG∵△ABC 为等腰直角三角形，O （G ）为其斜边中点 ∴CG=BG,CG ⊥AB.∴∠ACG=∠B=45°.∵∠BGH 与∠CGK 均为旋转角， ∴∠BGH=∠CGK. ∴△BGH ≌△CGK. ∴BH=CK,S △BGH =S △CGK .∴S 四边形CHGK =S △CHG +S △CGK =S △CHG +S △BGH =12S △ABC =12×12×4×4=4. 即：S 四边形CHGK 的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化.……5分(2)∵AC=BC=4,BH=x ， ∴CH=4-x ,CK=x .由S △GHK =S 四边形CHGK -S △CHK ， 得y =14(4)2x x -- ∴212 4.2y x x =-+ ∵0°＜α＜90°，∴0＜x ＜4.…………………………………8分 (3)存在. 根据题意，得215248.216x x -+=⨯ 解这个方程，得 121, 3.x x ==即：当1x =或3x =时，△GHK 的面积均等于△ABC 的面积的5.16………………10分H AG(O)ECBF α K。