工科数学分析课件 Chap1第1-2节 集合的映射与函数

若 A B但 A B,则称 A为B的真子集,记为 A B.
本书常用集合及表示:
---自然数集 ---整数集 ---实数集 *或 + ---正整数集 ---有理数集
Φ ----空集（不包含任何元素的集合）
(a,b) {x | a x b}
开区间
(a,
)
{x
| x a}
(, b) { x | x b}
u g(x)的值域为Wg , 若 Df Wg , 则称函数
y f [g(x)]为 x的复合函数.
为映射f，g的复合映射. 恒等映射 设 f : A B可逆映射, f 1 : B A, 则
f 1 f (x) f 1( f (x)) x, x A. f 1 f I A
f f 1( y) f ( f 1( y)) y, y B.
f f 1 IB
I A, IB分别称为A,B上的恒等映射.
集合的补集： 若 A为 X 的子集, X称为全集，X \ A Ac 称为 A的补集.
笛卡尔积：A B {( x, y) | x A, y B}
运算律
(1)交换律：A B B A, A B B A. (2)结合律 : ( A B) C ( A B) C,
(A B) C (A B) C. (3)分配律：( A B) C ( A C) (B C),
积 f g : ( f g)(x) f ( x) g( x), x Df Dg .
商f: g
( f )(x) g
f (x) g( x)
,
x
D
f
Dg ,
g( x) 0.
(2) 复合运算
设 y u, u 1 x2,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数
( A B) C ( A C) (B C).
(4)A \ B A Bc (5)De Morgan律：
( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc .
作业：习题1.1 3, 4
§2 映射与函数
一、映射定义
定义2.1 设 A, B为两个集合, 如果 f 是一种规则，
对x A, 在B中有唯一元素 y与之对应,
称 f 是 A到B的映射. f :AB
A
B
f
x
y
y 称为 x 在映射 f 下的像，f (x) = y, 此时也称 x为 y的一个逆像或者原像. 集合A称为映射 f 的定义域, 记为Df . 像的全体称为映射 f 的值域，记为Rf .
例1
A
甲 乙
丙
B
f
x y
z
f : A B的映射
定义2.2 f : A B, 单射 x, y A,若x y, f (x) f ( y),则称 f 为单射.
[a, b] { x | a x b}
闭区间
[a,
)
{x
| x a}
(, b] { x | x b}
[a, b) { x | a x b} 半开半闭区间 (a, b] { x | a x b}
(, b) { x | x b}
(, )
二、集合运算
集合的并集：A B { x | x A或x B} 集合的交集：A B {x | x A且x B} 集合的差集：A \ B {x | x A但x B}
第一章 集合与映射 §1 集合
一、集合定义
定义 某些具有特定性的事物构成的全体称为集合,
简称集. 构成这些集合的其中一个事物称为该集合的 一个元素. 通常用大写字母 A, B或 X ,Y 表示集合,用小写字母 a, b 或 x, y 表示元素.
若a 为集合 A中的元素，则称a 属于 A , 记作a A; 若b不是集合 A中的元素，则称b不属于A，记作b A.
满射 若f (A) B，则称 f 为满射. 双射、一一对应 f 既是单射，又是满射.
可逆映射 设f 为双射,则对y B,存在唯一的x A, 成立f ( x) y,由此确定一个从 B到A的映射g，g 称为 映射 f 的逆映射，记为g = f 1.
复合映射 设f : B C,g : A B, 当x A1 g1(B)时定义映射 ( f g)( x) f ( g( x))
(4) 参数法1
x g(t)
y
h(t
)
(5) 参数法2---极坐标表示
M (, )
o
x
心形线 a(1 cos ), [0, 2 )
a
o
x
(6) 图像法
y
0
y f (x) x
(7) 分段函数法
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
f
(
x)
二、函数
1.定义
f : X Y 的映射, 如果 X,Y R, 则称 f 为函数.
记作 :
y f (x)
因变量
自变量
Байду номын сангаас
当x0 X时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
数集X叫做这个函数的定义域.
函数值全体组成的数集 Rf { y y f ( x), x X } 称为函数的值域 .
2.函数的两要素 定义域与对应法则.
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
⒊ 函数的表示方法
⑴ 公式法 (2) 列表法
例如， y 1 x2
x1 x2 y1 y2
x3 x4 y3 y4
(3) 隐函数 F( x, y) 0
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
4、函数的运算
(1)四则运算
D( f ) D f , D(g) Dg .
和 f g : ( f g)(x) f ( x) g( x), x Df Dg .
差 f g : ( f g)(x) f ( x) g( x), x Df Dg .
集合的表示方法 枚举法和描述法. 例1 {1,2,,n 1,n} 枚举法
{ x | sin x 0} 描述法 定义 若集合 A中所有元素都属于为集合 B，则称
集合 A包含于集合 B , 或称集合 B 包含集合 A, 记作 A B; A 称为 B的一个子集； 若既有 A B又有B A,则称 A和B相等,记为 A B; 若 A和B不相等,记为 A B;