第六章___常微分方程

1
（6-2-6）
又若存在 y0 使 g（ y0 ）=0，则易证 y= y0 也是（6-2-4）的一个解.事实上，以 y= y0 代入（6-2-4） ，两 端全为 0， （6-2-4）成为恒等式.因此，方程（6-2-4）除了通积分（6-2-6）之外，还可能有一些常数解. 例 1 求方程
dy =2 y 的所有解. dx 1 2 y
dy y + =0; dx x
2 2
②
dy + x 2 y =sinx; dx
③ ( x + y ) dx+dy=0;
d 2 s ds ④ 2 -2 +s=1. dt dt
下面我们举几个例子,说明常微分方程是如何从物理学和几何学方面的问题引导出来的. 例 1 在力 f 的作用下,质量为 m 的物体作直线运动,设经过时间 t 后物体的运动路程为 s（t） ，则由牛顿 第二定律可得下面的微分方程 m
4
称这样的解为方程的奇解. 例 2 求微分方程
1 − y2 dy = dx 1 − x2
的通解. 解 当 y≠±1 时,方程化为
dy 1− y
两端积分,即得通积分
2
=
dx 1 − x2 dx 1 − x2
.
∫
即 解出 y,得到通解 另外,方程还有常数解 y=±1. 例 3 解初值问题
dy 1− y
此为微分方程通解,将初始条件代入得 C= M 0 ， 所以 M= M 0 e − λ t
为所求铀的衰变规律.由此可见,铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减.
邵阳学院理学与信息科学系教案尾页 1、思考题
课堂思考题： （1）一曲线过点(1,2)，且在曲线上任意一点 P ( x, y ) 处的切线的斜率等于该点的纵坐标的平方，求此 曲线的方程。 （ y' = y 2 , x = −
(其中 C= e
）
y ,得原方程的通解. x
y =C e
− x2 2 y2
.
再由初始条件得 C=1.故所求特解为 y= e
− x2 2 y2
.
四、一阶线性微分方程
y ,即 y=xu. x
(6-2-8)
du dx = . ϕ (u ) − u x
两边积分得
∫ ϕ (u) − u du= ∫ x dx.
求出积分后,再用
1
1
y 代替 u,便得齐次方程的通解. x ( y 2 − 3 x 2 )dy + 2 xydx = 0 .
例 5 求解方程
解 这显然是齐次方程.令 y=ux,则 dy=udx+xdu. 代入原方程得
s
•
''
(t)=-0.4
和条件 s｜ t =0 =0,s′｜ t =0 =20 的函数 s=s(t).
2
常微分方程中出现的未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数称为此方程的阶.例如,①、②、③均为一阶 方程，④为二阶方程. 若用 F（ x1 ， x2 ，…， xn ）表示含有变量 x1 ， x2 ，…， xn 的一个表达式，则自变量为 x，未知函数 为 y 的 n 阶微分方程的一般表达式可写作 F（x，y，y′，…， y
dM = −λ M , dt
其中 λ(λ＞0)为常数,称为衰变系数,λ 前置负号是由于当 t 增加时 M 单调减少,即
dM ＜0. dt
5
初始条件为 M｜ t =0 = M 0 .将微分方程分离变量，得
dM = −λ dt. dt
两边积分
∫
得 即
dM = (−λ ) dt, dt ∫
lnM= λt+lnC, M= C e − λ t .
1 1 3 + C, x = − + ） 。 y y 2 1 arctan3 x + C 。 3
（2）求 (1 + x 2 ) y ' = arctan 2 x 的通解。 y =
预习：第六章第二节。 课外作业：P239：2（1,3） ，4（2） ，5（1,3,5,7） ，6（1） 。
2
=∫
,
arcsiny=arcsinx+C. y=sin(arcsinx+C).
(1 + x 2 ) y ' = arctan x, y (0) = 0.
解 分离变量,得 dy= 所以 y= 代入初始条件,得 C=0,故所求特解为 y=
arctan x dx=arctanxd(arctanx). 1 + x2 1 (arctan x) 2 +C. 2 1 (arctan x) 2 . 2
例 4 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素,铀的含量就不断减少,这种现象叫 做衰变,由原子物理学知,铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比,已知 t=0 时铀的含量为 M0.求 在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律. 解 铀的衰变速度为 dM/dt,根据题意有
讲授内容 及 时间分配
教
具 1、《高等数学》,同济大学数学系编,高等教育出版社,2007
主要 参考资料
2、《高等数学》,北京邮电大学数学教研室编,北京邮电大学出版社,2000. 3、《高等数学》,湖南省 21 世纪数学教材编写组编, 复旦大学出版社, 2007. 4、《高等数学教与学参考》，阎国辉编，西北工业大学出版社，2003.
第二节
一阶微分方程的一般形式为
一阶微分方程及其解法
F（x，y，y′）=0. (6-2-1) （6-2-2） （6-2-3）
若可解出 y′，则（6-2-1）可写成显式方程 y′=f（x，y） 或 M（x，y）dx+N（x，y）dy=0. 若（6-2-2）中右端不含 y，即
3
y′=f（x） ， 则由积分学可知，当 f（x）在某一区间上可积时，其解存在，且 y=
1
第六章 常微分方程
常微分方程是一个历史悠久的数学分支,也是与实际问题联系最为紧密的数学分支之一.在本章中,我们 首先介绍有关常微分方程的一些基本概念,然后讨论几种常微分方程的解法.
第一节 常微分方程的基本概念
我们通常把含有一元未知函数及其导数(或微分) 的方程称为常微分方程.在不致引起混淆的情况下简 称为微分方程或方程.例如,以下这些都是常微分方程: ①
∫ f （x）dx+C.
下面我们讨论几种特殊类型的一阶微分方程的求解方法.
一、可分离变量方程
形如 y′=f(x)g(y) 的方程，称为可分离变量方程.这里 f（x） ，g（y）分别是 x，y 的函数. 当 g（y）≠0 时，方程（6-2-4）可写成 (6-2-4)
dy =f（x）dx. g ( y)
解 将变量分离，得 dy=dx.
两边积分，得
y =x+C.
通解为 y= ( x + C ) 2 . 此外,还有解 y=0.无论 C 取怎样的常数,解 y=0 均不能由通解表达式 y= ( x + C ) 得出,即直线 y=0(x 轴)
2
虽然是原方程的一条积分曲线,但它并不属于这方程的通解所确定的积分曲线族 y= ( x + C ) 2 (抛物线),我们
d2s =f. dt 2
例 2 已知一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意一点 M(x,y)处切线的斜率为 2x,要求这条曲线方程.在 数学上该问题归结为求满足微分方程
dy =2x dx
和条件 y｜x=1=2 的函数 y=y(x). 例 3 列车在直线轨道上以 20m· s −1 的速度行驶,制动时列车获得的加速度为-0.4m· s −2 .求列车开始制动 后行驶路程 s(t)与时间 t 的关系. 此问题相当于求满足微分方程
2、课后分析（学生反映、经验教训、改进措施）：6二、齐次方程
形如 y′= ϕ ( ) 的方程,称为齐次方程. 为了解方程(6-2-7),我们可作变量代换: u= 将 y′=u+xu′代入(6-2-7)式，得 u+xu′= ϕ (u). (6-2-8)式为可分离变量方程,分离变量得
y x
（6-2-7）
解 将方程化成
y dy x = dx 1 − ( y )2 x
这是一个齐次方程.令 u=
y ,得 x du u u+x = . dx 1 − u 2 1− u2 1 du= dx. 3 u x
分离变量,得
两边积分,得
−
即
1 − ln u = ln x + C1 , 2u 2
− 1 2u2 − c1
xu=C e 将 u 换成
第六章 常微分方程
教研室：高等数学教研室 课程名称 授课内容 高等数学 I（上） 第六章 常微分方程 授课专业及班次 授课方式及学时 讲授，14 学时
通过本章的学习，使学生：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念， 二阶线性微分方程解的结构；熟练掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法、二阶 常系数齐次线性微分方程的解法；会解齐次方程、伯努利方程，从中领会用变量代换 目的 与 要求 解方程的思想；会解较简单的全微分方程；掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函 数、余弦函数及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法；知道可降 阶的高阶方程的解法和高阶常系数齐次线性微分方程的解法；会识别可分离变量的方 程，齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程。会用微分方程解一些简单的几何和物理 问题。 重点 与 难点 重点：一阶微分方程的解法（可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程）、二 阶常系数线性微分方程的解法。 难点：一阶微分方程的解法，高阶线性微分方程解的结构，可降阶的高阶微分方 程、二阶常系数非齐次线性微分方程。 第一节 常微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程方程及其解法 第三节 微分方程的降阶法 第四节 线性微分方程解的结构 第五节 二阶常系数线性微分方程 ** 第七节 欧拉方程 本章总结 (1 学时) (3学时) (2 学时) (2 学时) (4 学时) (2 学时)